BELAJAR TENTANG RUMUS SUDUT GANDA

1 | P a g e

2.2a 2

RUMUS SUDUT GANDA

Dalam subbab ini, pembahasan akan dikembangkan lagi dalam penentuan rumus sinus, kosinus dan tangen untuk sudut ganda. Pengertian ganda disini adalah penjumlahan dua sudut yang sama besar.

Pengembangan rumus ini akan didasarkan oleh rumus sin(𝛼 + 𝛽), cos(𝛼 + 𝛽) dan tan(𝛼 + 𝛽). Berikut adalah penjabaran dari penentuan rumus ganda berikut.

2.2a.1.Rumus 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 sin 2𝐴 = sin(𝐴 + 𝐴)

 …

 …

Berdasarkan hasil penjabaran, apabila sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴, Benarkah rumus tersebut?

2.2a.2.Rumus 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨

Perhatikan rumus ganda cosinus berikut.

a. cos 2𝐴 = cos²𝐴 − sin²𝐴 b. cos 2𝐴 = 1 − 2 sin²𝐴 c. cos 2𝐴 = 2cos²𝐴 − 1

Buktikan ketiga rumus ganda cosinus dengan menggunakan bantuan dari cos(𝛼 + 𝛽).

cos 2𝐴 = cos(𝐴 + 𝐴)

 …

 …

 …

 …

2.2a.3.Rumus 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝑨 tan 2𝐴 = tan(𝐴 + 𝐴)

 …

 …

Berdasarkan hasil penjabaran, apabila tan 2𝐴 = ^{2 tan 𝐴}

1−tan²𝐴, Benarkah rumus tersebut?

Contoh soal:

1. Jika sin 𝐴 =³

5 dengan A sudut lancip, hitunglah:

a. sin 2𝐴 b. cos 2𝐴 c. tan 2𝐴 2. Apabila sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝. Tentukansin 2𝐴!

a. Penyelesaian:

1. Perhatikan gambar berikut!

sin 𝐴 =3

5= 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

2 | P a g e Sehingga, cos 𝐴 =⁴

5 dan tan 𝐴 =³ a. sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 4

 2 (³

5) (⁴

5)

 ²⁴

b. cos 2𝐴 = 1 − 2 sin25 ²𝐴

 1 − 2 (³

5)²

 1 − 2 (⁹

25)

 1 −¹⁸

25=²⁵⁻¹⁸

25 = ⁷

25

c. tan 2𝐴 = ^{2 tan 𝐴}

1−tan²𝐴

 ²⁽

3 4) 1−(³₄)²



3 2 1−₁₆⁹



3 27

16

 ³

2∶ ⁷

16 maka ³

2 ×¹⁶

7

 ²⁴

7

2. Apabila sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝. Tentukan sin 2𝐴!

b. Penyelesaian:

(sin 𝐴 − cos 𝐴)² = 𝑝²

 sin²𝐴 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 + cos²𝐴 = 𝑝²

 (sin²𝐴 + cos²𝐴) − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝²

 1 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝²

 −2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝² − 1

 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 1 − 𝑝²

 sin 2𝐴 = 1 − 𝑝² TUGAS 01:

1. Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0. Jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 180^𝑜. 2. Tunjukkan bahwa cos 𝑥(1 − cos 2𝑥) = sin 𝑥 sin 2𝑥!

3. Tuliskan rumus untuk:

a. sin 3𝑥 b. cos 3𝑥 c. tan 3𝑥 4. Jika sin 𝑥 =¹

3, maka tuliskan nilai sin 3𝑥!

3 | P a g e

2.2b 2

RUMUS SUDUT PARUH

Dalam pembahan sebelumnya, kita telah menguraikan pengertian tentang sudut ganda dan rumus- rumus trigonometrinya. Sekarang kita akan menjelaskan tentang sudut paruh, yaitu setengah dari sudut awal. Misalnya 𝐴 merupakan separuh dari 2𝐴, ¹

2𝐴 merupakan separuh 𝐴, ¹

4𝐴 separuh ¹

2𝐴, dan seterusnya.

2.2b.1.Rumus 𝐬𝐢𝐧 ^𝟏

𝟐𝑨

Berdasarkan rumus cos 2𝐴 = 1 − 2 sin²𝐴, diperoleh:

2 sin²𝐴 = 1 − cos 2𝐴

 sin²𝐴 =^{1−cos 2𝐴}

2

 𝑠𝑖𝑛 𝐴 = ±√^{1−cos 2𝐴}

2

Berdasarkan hasil penjabaran, 𝑠𝑖𝑛¹

2𝐴 = ±√^{1−cos 𝐴}

2 dengan tanda positif (+) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran I dan II dan tanda negatif (−) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran III dan IV.

2.2b.2.Rumus 𝐜𝐨𝐬 ^𝟏

𝟐𝑨

Perhatikan rumus cos 2𝐴 = 2cos²𝐴 − 1, maka 2 cos²𝐴 = 1 + cos 2𝐴

 …

 …

Berdasarkan hasil penjabaran, 𝑐𝑜𝑠¹

2𝐴 = ±√^{1+cos 𝐴}

2 dengan tanda positif (+) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran I dan IV dan tanda negatif (−) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran II dan III.

2.2b.3.Rumus 𝐭𝐚𝐧 ^𝟏

𝟐𝑨 tan1

2𝐴 = 𝑠𝑖𝑛1 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠1

 … 2 𝐴

 …

 …

** (Apabila dikalikan dengan √1 − cos 𝐴) ** (Apabila dikalikan dengan √1 + cos 𝐴)

Sehingga, Sehingga,

 …  … Akibatnya diperoleh,

1. tan¹

2𝐴 = ±√^{1−cos 𝐴}

1−cos 𝐴 2. tan¹

2𝐴 =^{1−cos 𝐴}

sin 𝐴 3. tan¹

2𝐴 = ^{sin 𝐴}

1+cos 𝐴

Tanda positif (+) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran I dan III dan tanda negatif (−) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran II dan IV.

4 | P a g e Contoh soal:

1. Dengan prinsip sudut paruh, hitunglah sin 15^𝑜! 2. Diberikan sin 𝐴 = −¹²

13 dengan A di Kuadran III, hitunglah cos^𝐴

2! c. Penyelesaian:

1. ^𝐴

2 = 15^𝑜  𝐴 = 30^𝑜 (Kuadran I, artinya positif) sin 15^𝑜= √^{1−cos 2𝐴}

2

 √^{1−cos 30𝑜}

2

 √^1−12√3

2

 √^2−√3

4 =¹

2√2 − √3 2. cos^𝐴

2 = −√^{1+cos 𝐴}

2

 −√¹⁻

5 3 2

 −√¹³⁻⁵

13.2

 −√ ⁸

13.2= −√⁴

13

 − ²

√13×^√13

√13 = − ²

13√13

TUGAS 02:

1. Buktikan bahwa a. cos^{2 𝐵}

2 =^{𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 𝐵+1}

2 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛 𝐵

b. tan^𝐴

2 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝐴 − 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 2. Carilah nilai sin 22,5^𝑜!

3. Jika cos 𝑥 =⁴

5, maka carilah nilai tan^𝑥

2!