Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 161 4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri.
Nilai Perbandingan Trigonometri
Tabel Nilai Trigonometri
� � � � � � �
°
° √ √
° √ √
° √ √
° 0 −
Kuadran
Relasi Sudut
Periodisasi
Periksa Sudut sin � = sin □+ � ∙�� °
� ° − �
Pilih Acuan
cos � = cos □+ � ∙�� °
Genap Ganjil � −�
° ± α ° ± �
° − α ° ± � tan � = tan □+ � ∙ � °
SEMUA SINdikat �
TANgan KOSong Fungsi
Fungsi Berubah dimana � bilangan bulat
Tetap sin ↔ cos
tan ↔ cot
Grafik
Cek Kuadran
sin � Tanda ±
Selesai
cos �
tan �
Relasi Sudut Negatif
sin −� = − sin � cos −� = cos � tan −� = − tan �
° °
°
°
°
Kuadran I Kuadran II
Kuadran IV Kuadran III
Semua +
sin +
tan +
cos +
Persamaan Trigonometri
sin � = sin � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� ° − �
cos � = cos � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� −�
tan � = tan � ⇒ � =□+ � ∙ � °
�
dimana � bilangan bulat °
°
Halaman 162 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:
Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:
o Jika ada persamaan sin � = sin �, maka penyelesaiannya adalah:
� = � + � ∙ °
� = ° − � + � ∙ °
o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah:
x = � + � ∙ ° x = −α + � ∙ °
o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah:
x = � + � ∙ °
Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal.
Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah:
Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari:
Persamaan Awal pada Soal
Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri
Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana
sin � = sin � cos � = cos � tan � = tan �
Cari Himpunan Penyelesaian
Persamaan Trigonometri
Sederhana
sin � = sin � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� ° − �
cos � = cos � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� −�
tan � = tan � ⇒ � =□+ � ∙ � °
�
dimana � bilangan bulat
cos � − cos � = −
⇒ cos � − − cos � = −
⇔ cos � − cos � − = −
⇔ cos � − cos � =
⇔ cos � cos � − =
⇔ cos � = atau cos � =
Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = ° + � ∙ ° ⇒ � = ° + � ∙ °
� = − ° + � ∙ °⇒ � = − ° + � ∙ °
Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = ° + � ∙ ° ⇒ � = ° + � ∙ °
� = − ° + � ∙ °⇒ � = − ° + � ∙ °
Dst… dst…. �ehingga akan diperoleh
himpunan nilai � yang memenuhi
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 163 LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:
Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai
perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu.
Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1?
Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk:
sin � = = sin ° ⇒ � = °
Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin °.
Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut °. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.
Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya?
Perhatikan gambar di atas.
Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf � tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°.
Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II.
Jadi,
sin � = sin � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� ° − �
Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf C tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°.
Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?).
Jadi,
cos � = cos � ⇒ � =□+ � ∙�� °
� −�
Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°.
Jadi,
tan � = tan � ⇒ � =□+ � ∙ � °
�
Grafik
Daerah kuadran bernilai positif °
°
°
periode periode
Halaman 164 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri.
Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari cos � − cos � = − ; ≤ � ≤ ° adalah …. a. { °, °, °, °, °, °, °, °}
b. { °, °, °, °, °, °, °, °} c. { °, °, °, °, °, °, °, °} d. { °, °, °, °, °, °, °} e. { °, °, °, °, °, °, °}
Penyelesaian:
cos � − cos � = − ⇒ cos � − − cos � = − ⇔ cos � − cos � − = − ⇔ cos � − cos � = ⇔ cos � cos � − = ⇔ cos � = atau cos � =
Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = ° + � ∙ ° ⇒ � = ° + � ∙ °
untuk � = ⇒ � = °
untuk � = ⇒ � = °
� = − ° + � ∙ ° ⇒ � = − ° + � ∙ °
untuk � = ⇒ � = °
untuk � = ⇒ � = °
Jadi, untuk cos � = = cos °, maka
� = ° + � ∙ ° ⇒ � = ° + � ∙ °
untuk � = ⇒ � = °
untuk � = ⇒ � = °
� = − ° + � ∙ ° ⇒ � = − ° + � ∙ °
untuk � = ⇒ � = °
untuk � = ⇒ � = °
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 165 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Himpunan penyelesaian persamaan
cos
2
x
2
cos
x
1
;
0
x
2
π
adalah ....
A.
{0,
π,2 1
π, 2 3
2
π
}
B.
{0,
π,2 1
π, 3 2
2
π
}
C.
{0,
π,2 1 π, π, 2 3
}
D.
{0,
π,2
1 π
3 2
}
E.
{0,
π,2 1
π
}
2.
Himpunan penyelesaian persamaan
cos
4
x
3
sin
2
x
1
;
0
x
180
adalah ....
A.
{120,150}B.
{150,165}C.
{30,150}D.
{30,165}E.
{15,105}3.
Himpunan penyelesaian persamaan
cos
2
x
2
sin
x
1
;
0
x
2
π
adalah ....
A.
,2π}2 3π π, 0, {
B.
,2π}3 4π π, 0, {
C.
π,π,2π} 32 0, {
D.
{0,π,2π}E.
} 2 3π π, 0, {cos � = = cos�
Penyelesaiannya:
� = ±�+ � ∙ �
cos � − cos � = −
⇒ cos � − − cos � + =
⇔ cos � − cos � =
⇔ cos � cos � − =
⇔ cos � = atau cos � − =
⇔ cos � = cos � = 1) � =�+ � ∙ �
=�
2) � = −�+ � ∙ �
= � cos � = = cos
Penyelesaiannya:
� = + � ∙ �
3) � = + � ∙ �
= , �
Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval < � < � maka yang memenuhi hanya {�, �}
Jika intervalnya diubah ≤ � ≤ �, maka penyelesaiannya { ,�, �, �}
sin � = − = − sin ° = sin − °
sin � = − = − sin ° = sin − °
Penyelesaiannya:
cos � + sin � = −
⇒ − sin � + sin � + =
⇔ − sin � + sin � + =
⇔ −sin � + sin � + =
⇔ − sin � + = atau sin � + =
⇔ sin � = mustahil sin � = − 2) � = −= − ° + � ∙° + � ∙ °°
= °
1) � = − ° + � ∙ °
= − ° + � ∙ °
= °
Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.
sin � = = sin = sin �
sin � = − = sin �
Penyelesaiannya:
cos � − sin � =
⇒ − sin � − sin � − =
⇔ − sin � − sin � =
⇔ − sin � sin � + =
⇔ − sin � = atau sin � + =
⇔ sin � = sin � = − 1) � = + � ∙ �
=
TRIK SUPERKILAT:
Satu-satunya jawaban yang tidak memuat
� adalah E. Perhatikan batas yang diminta soal. � tidak diikutkan.
3) � = �+ � ∙ �
= �
2) � = � + � ∙ �
Halaman 166 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
4.
Himpunan penyelesaian persamaan
cos
2
x
3
cos
x
2
0
untuk
0
x
2
π
adalah ....
A.
π,2π
2 3 , 2 π , 0
B.
π,2π
3 5 , 3 π , 0
C.
π,2π
2 3 , 3 π , 0
D.
π 3 2 π, , 2 π , 0E.
, π,2π
2 π , 0
Jika adik-
adik butuh ’bocoran’
butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html
.
Semua
soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html
.
Pak Anang.
cos � = = cos�
Penyelesaiannya:
� = ±�+ � ∙ �
cos � − cos � + =
⇒ cos � − − cos � + =
⇔ cos � − cos � + =
⇔ cos � − cos � − =
⇔ cos � − = atau cos � − =
⇔ cos � = cos � = 1) � =
�+ � ∙ �
=�
2) � = −�+ � ∙ �
=5�
cos � = = cos
Penyelesaiannya:
� = + � ∙ �
3) � = + � ∙ �
= , �
Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval ≤ � < � maka yang memenuhi hanya { ,�,5�}
