SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5 PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 243

Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � ⅆ�

atau

∫ � � ⅆ�

∫ �� ⅆ�

atau

∫ � � � ⅆ�

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � ⅆ�

atau

∫ �

� ⅆ�

∫ � � ⅆ�

atau

∫ �

� ⅆ�

∫ �

� �

� ⅆ�

?

∫ �

� �� ⅆ�

∫ �

� � � � ⅆ�

?

Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?

Bagaimana Pola Penyelesaian Integral menggunakan Rumus Reduksi?

(3)

Halaman 244 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � ⅆ�

atau

∫ � � ⅆ�

Untuk bentuk ∫ tan � ⅆ� dan ∫ cot � ⅆ�, maka ubah bentuk tan � dan cot � menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

tan � = sin � cos �

cot � =cos �_{sin �}

Ternyata sudah menjadi sebuah bentuk integral substitusi berikut:

∫_{cos � ⅆ�}sin �

∫_{sin � ⅆ�}cos �

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫ �ⅆ� = ln|�| + �

Serta ingat juga sifat logaritma (ln � = log � = logaritma natural) berikut:

ln � = −ln�

Contoh Soal 1:

∫ tan � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ tan � ⅆ� =∫_{cos � ⅆ�}sin �

= ∫_{cos �}sin �ⅆ cos �_{− sin �}

= −_{∫ cos�ⅆ cos�}

= − ln|cos �| + �=_{− ln |sec�| + �} = ln|sec �| + �

Contoh Soal 2:

∫ tan � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ tan � ⅆ� =∫sin � cos � ⅆ�

= ∫_{cos �}sin �ⅆ cos �_{− sin �}

= − _{∫ cos �ⅆ cos �}

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 245 Contoh Soal 3:

∫ cot � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ cot � ⅆ� =∫cos �_{sin � ⅆ�}

= ∫cos � sin �

ⅆ sin � cos � =_{∫ sin�ⅆ sin�} = ln|sin �| + �

Contoh Soal 4:

∫ cot � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ cot � ⅆ� =∫cot �_{sin � ⅆ�}

= ∫cos �_{sin �}ⅆ sin �_{sin �}

= _{∫ cos �ⅆ cos �}

(5)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ �� ⅆ�

atau

∫ � � � ⅆ�

Untuk bentuk ∫ sec � ⅆ� dan ∫ csc � ⅆ�, maka ubah bentuk sec � dan csc � menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

sec � = cos�

csc � = sin�

Lalu kita upayakan supaya menjadi bentuk integral substitusi berikut:

∫sec � + sec � tan �_{sec � + tan �} ⅆ�

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫ �ⅆ� = ln|�| + �

Contoh Soal 1:

∫ sec � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � ×(sec � + tan �_{sec � + tan �)}ⅆ�

=∫sec � + sec � tan �_{sec � + tan �} ⅆ�

= ∫sec � + sec � tan �_{sec � + tan �} _{sec � tan � + sec �}ⅆ sec � + tan �

=_{∫ sec� + tan�ⅆ sec� + tan�} = ln|sec � + tan �| + �

Contoh Soal 2:

∫ sec � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sec � ⅆ� = ∫ sec � ×(sec � + tan �_{sec � + tan �)}ⅆ�

=∫sec � + sec � tan �_{sec � + tan �} ⅆ�

= ∫sec � + sec � tan �_{sec � + tan �} _{sec � tan � + sec �}ⅆ sec � + tan �

= _{∫ sec � + tan �ⅆ sec � + tan �}

(6)

∫ csc � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � ×(csc � − cot �_{csc � − cot �)}ⅆ�

=∫csc � − csc � cot �_{csc � − cot �} ⅆ�

= ∫csc � − csc � cot �_{csc � − cot �} _{− csc � cot � + csc �}ⅆ csc � − cot �

= ∫csc � − csc � cot � csc � − cot �

ⅆ csc � − cot � csc � − csc � cot � = −_{∫ csc� − cot�ⅆ csc� − cot�}

= ln|csc � − cot �| + �

Contoh Soal 4:

∫ csc � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ csc � ⅆ� = ∫ csc � ×(csc � − cot �_{csc � − cot �)}ⅆ�

=∫csc � − csc � cot � csc � − cot � ⅆ�

= ∫csc � − csc � cot �_{csc � − cot �} _{− csc � cot � + csc �}ⅆ csc � − cot �

= ∫csc � − csc � cot �_{csc � − cot �} _{csc � − csc � cot �}ⅆ csc � + cot �

= _{∫ csc � − cot �ⅆ csc � − cot �}

(7)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � ⅆ�

dengan = bilangan ganjil?

∫ �

� ⅆ�

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin � + cos � = ⇒ sin � = − cos � ⇒ cos � = − sin �

Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:

∫ sin � cos � ⅆ� ∫ cos � sin � ⅆ�

Contoh Soal 1:

∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�

= ∫ − cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � ⅆ� −∫ cos � sin � ⅆ�

= − cos � − ∫ cos � sin �ⅆ cos �_{− sin �}

= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �

= − cos � + cos � + �

Contoh Soal 2:

∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�

= ∫ sin � ∙ sin � ⅆ�

= ∫ − cos � sin � ⅆ�

= ∫ − cos � + cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � − cos � sin � + cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � ⅆ� − ∫ cos � sin � ⅆ�+∫ cos � sin � ⅆ�

= − cos � − ∫ cos � sin �ⅆ cos �_{− sin � + ∫ cos � sin �}ⅆ cos �_{− sin �}

= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos � − ∫ cos � ⅆ cos �

(8)

∫ cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�

= ∫ − sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � ⅆ� −∫ sin � cos � ⅆ�

= sin � − ∫ sin � cos �ⅆ sin �_{cos �}

= sin � − ∫ sin � ⅆ sin �

= sin � − sin � + �

Contoh Soal 4:

∫ cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�

= ∫ cos � ∙ cos � ⅆ�

= ∫ − sin � cos � ⅆ�

= ∫ − sin � + sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � − sin � cos � + sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � ⅆ� − ∫ sin � cos � ⅆ�+∫ sin � cos � ⅆ�

= sin � − ∫ sin � cos �ⅆ sin �_{cos � + ∫ sin � cos �}ⅆ sin �_{cos �}

= sin � + ∫ sin � ⅆ sin � − ∫ sin � ⅆ sin �

(9)

Halaman 250 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh Soal 5:

∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin �ⅆ �

= ∫ sin � ⅆ �

= ∫ sin � ∙ sin � ⅆ �

= ∫ − cos � sin � ⅆ �

= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ �

= [∫ sin � ⅆ � −∫ cos � sin � ⅆ � ]

= [ − cos � − ∫ cos � sin �ⅆ cos �_{− sin � ]}

= [− cos � + ∫ cos � ⅆ cos � ]

= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �

= − cos � + ∙ cos � + �

= − cos � + cos � + �

Contoh Soal 6:

∫ cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos �ⅆ �

= ∫ cos � ⅆ �

= ∫ cos � ∙ cos � ⅆ �

= ∫ − sin � cos � ⅆ �

= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ �

= [∫ cos � ⅆ � −∫ sin � cos � ⅆ � ]

= [ sin � − ∫ sin � cos �ⅆ sin � cos � ] = [sin � − ∫ sin � ⅆ sin � ]

= sin � − ∫ sin � ⅆ sin �

= sin � − ∙ sin � + �

(10)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

∫ � � ⅆ�

∫ sin � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +

= ∫ sin �+ _{� ⅆ� (Ingat sifat pangkat sin} �+ _{= sin} �_{� sin �)}

= ∫ sin �_{� sin � ⅆ�}_{(Ingat sifat pangkat sin} �_{� = sin �} �₎

= ∫ sin � �_{sin � ⅆ�} _{Ingat identitas t�igonomet�i sin � = − cos �}

= ∫ − cos � �_{sin � ⅆ�} _{�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a}

= ∫ − cos � �_{sin �}ⅆ cos � − sin � = − ∫ − cos � �_{ⅆ cos �}

Ingat Binomial Ne�ton: + = ∑ ��∙ −�∙ �

�=

− cos � � _{= ∑}

��∙ �−�∙ − cos � � �

�=

= − ∫ ∑��∙ �−�∙ − cos � � �

�=

ⅆ cos � (Ingat �−� _{= jadi co�et saja)}

= − ∫ ∑��∙ − cos � � �

�=

ⅆ cos � Kelua�kan konstanta da�i integ�al

= − ∑��∫ − cos � �ⅆ cos � �

�=

Ingat − cos � � _{= ( − ∙ cos �)}� = − ∑��∫( − ∙ cos �)�ⅆ cos �

�

�=

Ingat ( − ∙ cos �)� = − � cos � � = − ∑��∫ − � cos � �ⅆ cos �

�

�=

(Kelua�kan konstanta dan cos � �= cos �_�) = − ∑��∙ − �∫ cos �� ⅆ cos �

�

�=

Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma

= ∑ − ∙��∙ − �∫ cos �� ⅆ cos � �

�=

(Ingat − ∙��∙ − � = − �+ )

= ∑ − �+ _∙

��∫ cos �� ⅆ cos � �

�=

(Ingat ∫ cos �_{� ⅆ cos � =}

� + cos �+ �)

= ∑ − �+ _∙

��∙ � + cos �+ � �

�=

Rapikan bentukn�a

= ∑ − _{� +}�+ ∙��cos �+ _� �

�=

Ho�e! �elesai

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola bilangan ganjil berawal dari angka 1.

(11)

Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkatnya ganjil berarti:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!

∫ sin � ⅆ� = � � + � � + � � + �

Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.

1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal.

3. Bilangan ganjil (cos � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ sin � ⅆ� =− + − + �

Bilangan segitiga pascal ∫ sin � ⅆ� =− + − + �

Bilangan ganjil _{∫ sin � ⅆ� =}₋ � �₊ � � ₋ � ��

� + �

Jadi penyelesaiannya adalah:

(12)

Pembahasan:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

∫ sin � ⅆ� = � � + � � + � � + � � + �

Tanda positif negatif ∫ sin � ⅆ� =− + − + +�

Bilangan segitiga pascal ∫ sin � ⅆ� =− + − + + �

Bilangan ganjil _{∫ sin � ⅆ� =}₋ � �₊ � � ₋ �

�_�

� +

� �_� � + �

(13)

Pembahasan:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

∫ sin � ⅆ� = � � + � � + �

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi � .

Sehingga,

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin �ⅆ � = ∫ sin � ⅆ �

Artinya,

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ⅆ �

Tanda positif negatif ∫ sin � ⅆ � =− + +�

Bilangan segitiga pascal ∫ sin � ⅆ � =− + + �

Bilangan ganjil _{∫ sin � ⅆ � =}₋ � ��₊ � ��_{+ �}

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ⅆ � = ( – cos � + cos � + �)

(14)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

∫ �

� ⅆ�

∫ cos � ⅆ� = Ka�ena n bilangan ganjil maka � = � +

= ∫ cos �+ _{� ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos} �+ _{= cos} �_{� cos �)}

= ∫ cos �_{� cos � ⅆ� (Ingat sifat pangkat cos} �_{� = cos �} �₎

= ∫ cos � �_{cos � ⅆ�} _{Ingat identitas t�igonomet�i cos � = − sin �}

= ∫ − sin � �_{cos � ⅆ�} _{�amakan dulu ope�ato� integ�aln�a}

= ∫ − sin � �_{cos �}ⅆ sin � cos � = ∫ − sin � �_{ⅆ sin �}

Ingat Binomial Ne�ton: + = ∑ ��∙ −�∙ �

�=

− sin � � _{= ∑}

��∙ �−�∙ − sin � � �

�=

= ∫ ∑��∙ �−�∙ − sin � � �

�=

ⅆ sin � (Ingat �−�_{= jadi co�et saja)}

= ∫ ∑��∙ − sin � � �

�=

ⅆ sin � Kelua�kan konstanta da�i integ�al

= ∑��∫ − sin � �ⅆ sin � �

�=

Ingat −sin � � _{= ( − ∙}_sin _�)� = ∑��∫( − ∙ sin �)�ⅆ sin �

�

�=

Ingat ( − ∙sin �)� = − � sin � � = ∑��∫ − � sin � �ⅆ sin �

�

�=

(Kelua�kan konstanta dan cos � �= cos �_�) = ∑��∙ − �∫ sin �� ⅆ sin �

�

�=

(Ingat − ∙��∙ − � = − �+ )

= ∑ − �_∙

��∫ sin �� ⅆ sin � �

�=

(Ingat ∫sin �_{� ⅆ} _sin

� = � + sin �+ _�)

= ∑ − �_∙

��∙ _{� +} sin �+ � �

�=

Rapikan bentukn�a

= ∑ − _{� +}�∙��sin �+ _� �

�=

Ho�e! �elesai

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola bilangan ganjil berawal dari angka 1.

(15)

Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut: ∫ cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

∫ cos � ⅆ� = � � + � � + � � + �

1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal.

3. Bilangan ganjil (sin � berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ cos � ⅆ� =+ − + + �

Bilangan segitiga pascal ∫ cos � ⅆ� =+ − + + �

Bilangan ganjil _{∫ cos � ⅆ� =}₊ � � ₋ � �₊ � ��

� + �

(16)

Pembahasan:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

∫ cos � ⅆ� = � � + � � + � � + � � + �

Tanda positif negatif ∫ cos � ⅆ� =+ − + − +�

Bilangan segitiga pascal ∫ cos � ⅆ� =+ − + − + �

Bilangan ganjil _{∫ cos � ⅆ� =}₊ � � ₋ � �₊ �

�_�

� −

� �_� � + �

(17)

Pembahasan:

� = � − ⇒ = � −

⇔ + = �

⇔ = �

⇔ � =

∫ cos � ⅆ� = � � + � � + �

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus �, sedangkan operatornya ⅆ�. Jadi ⅆ� harus disesuaikan menjadi � .

Sehingga,

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos �ⅆ � = ∫ cos � ⅆ �

Artinya,

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ⅆ �

Tanda positif negatif ∫ cos � ⅆ � =+ − +�

Bilangan segitiga pascal ∫ cos � ⅆ � =+ − + �

Bilangan ganjil _{∫ cos � ⅆ � =}₊ � �� ₋ � ��_{+ �}

∫ cos � ⅆ� = ∫ cos � ⅆ � = ( sin � − sin � + �)

(18)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � ⅆ�

dengan = bilangan genap?

∫ �

� ⅆ�

dengan = bilangan genap?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.

cos � = cos � − ⇒ cos � = cos � −

cos � = − sin � ⇒ sin � = − cos �

Contoh Soal 1:

∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � ⅆ� = ∫( − cos �)ⅆ�

= � − ∫ cos � ⅆ�

= � − ∫ cos �ⅆ �

= � − ∙ ∫ cos � ⅆ �

= � − sin � + �

Contoh Soal 2:

∫ sin � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � ⅆ� = ∫ sin � ⅆ�

= ∫( − cos �) ⅆ�

= ∫ ( − cos � + cos �) ⅆ�

= ∫ − cos � + ( + cos �) ⅆ�

= ∫ ( − cos � + + cos �) ⅆ�

= ∫ ( − cos � + cos �) ⅆ�

= ∫ ⅆ� − ∫ cos � ⅆ� + ∫ cos � ⅆ�

(19)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ �

� �

� ⅆ�

?

Nah, untuk bentuk integral ∫ sin � cos � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin � + cos � = ⇒ sin � = − cos � ⇒ cos � = − sin �

∫ sin � cos � ⅆ� ∫ cos � sin � ⅆ�

Contoh Soal 1:

∫ sin � cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ cos � sin � ∙ sin � ⅆ�

= ∫ cos � − cos � sin � ⅆ�

= ∫ − cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � − cos � sin � ⅆ�

= ∫ sin � ⅆ� −∫ cos � sin � ⅆ�

= − cos � − ∫ cos � sin �ⅆ cos �_{− sin �}

= − cos � + ∫ cos � ⅆ cos �

= − cos � + cos � + �

Contoh Soal 2:

∫ sin � cos � ⅆ� = ….

Pembahasan:

∫ sin � cos � ⅆ� = ∫ sin � cos � ∙ cos � ⅆ�

= ∫ sin � − sin � cos � ⅆ�

= ∫ − sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � − sin � cos � ⅆ�

= ∫ cos � ⅆ� −∫ sin � cos � ⅆ�

= sin � − ∫ sin � cos �ⅆ sin �_{cos �}

= sin � + ∫ sin � ⅆ sin �

(20)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ � � �� ⅆ�

?

Nah, untuk bentuk integral ∫ tan � sec � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin � + cos � = ⇒ tan � + = sec � ⇒ + cot � = csc �

∫ tan � sec � ⅆ�, jika pangkat sec � genap.

∫ sec � sec � tan � ⅆ�, jika pangkat sec � ganjil, atau pangkat tan � ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ tan � sec � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �.

Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan � sec � ⅆ�. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ tan � sec � ⅆ�= ∫ tan � sec �ⅆ tan �_{sec �} = ∫ tan � ⅆ tan �

= tan � + �

Contoh Soal 2:

∫ tan � sec � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �. Gunakan bantuan identitas trigonometritan � + = sec �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ tan � sec � ⅆ�. ∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec �sec �ⅆ�

= ∫ tan � tan � + sec �ⅆ�

= ∫ tan � + tan � sec �ⅆ�

= ∫ tan �sec �+ tan �sec � ⅆ�

=∫ tan � sec � ⅆ�+∫ tan � sec � ⅆ�

= ∫ tan � sec �ⅆ tan �

sec � + ∫ tan � sec �

ⅆ tan � sec � = ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �

(21)

∫ tan � sec � ⅆ� = ….

Pembahasan: Cara 1:

Karena pangkat sec � genap, maka sisakan bentuk sec �. Gunakan bantuan identitas trigonometritan � + = sec �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ tan � sec � ⅆ�.

∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec �sec �ⅆ�

= ∫ tan � tan � + sec �ⅆ�

= ∫ tan � + tan � sec �ⅆ�

= ∫ tan �sec �+ tan �sec � ⅆ�

=∫ tan � sec � ⅆ�+∫ tan � sec � ⅆ�

= ∫ tan � sec �ⅆ tan �_{sec � + ∫ tan � sec �}ⅆ tan �_{sec �}

= ∫ tan � ⅆ tan � + ∫ tan � ⅆ tan �

= tan � + tan � + �

Cara 2:

Karena pangkat tan � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �. Gunakan bantuan identitas trigonometritan � + = sec �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ sec � sec � tan � ⅆ�.

∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫ sec � − sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫ sec � sec � tan � − sec � sec � tan � ⅆ�

=∫ sec � sec � tan � ⅆ�−∫ sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫ sec � tan � sec � _{sec � tan � − ∫ sec � tan � sec �}ⅆ sec � _{sec � tan �}ⅆ sec �

= ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �

(22)

∫ tan � sec � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat sec � ganjil, maka sisakan bentuk sec � tan �. Gunakan bantuan identitas trigonometritan � + = sec �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ sec � sec � tan � ⅆ�.

∫ tan � sec � ⅆ� = ∫ tan � sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫ sec � − sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫(sec � sec � tan � − sec � sec � tan � ) ⅆ�

=∫ sec � sec � tan � ⅆ�−∫ sec � sec � tan � ⅆ�

= ∫ sec � tan � sec � ⅆ sec �

sec � tan � − ∫ sec � tan � sec �

ⅆ sec � sec � tan � = ∫ sec � ⅆ sec � − ∫ sec � ⅆ sec �

(23)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari

∫ �

� � � � ⅆ�

?

Nah, untuk bentuk integral ∫ cot � csc � ⅆ�, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin � + cos � = ⇒ tan � + = sec � ⇒ + cot � = csc �

∫ cot � csc � ⅆ�, jika pangkat csc � genap.

∫ csc � csc � cot � ⅆ�, jika pangkat csc � ganjil, atau pangkat cot � ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ cot � csc � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �.

Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot � csc � ⅆ�. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ cot � csc � ⅆ�= ∫ cot � csc �ⅆ cot �_{− csc �} = − ∫ cot � ⅆ cot �

= − cot � + �

Contoh Soal 2:

∫ cot � csc � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �. Gunakan bantuan identitas trigonometricot � + = csc �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ cot � csc � ⅆ�. ∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc �csc �ⅆ�

= ∫ cot � + cot � csc �ⅆ�

= ∫ cot �csc �+ cot �csc � ⅆ�

=∫ cot � csc � ⅆ�+∫ cot � csc � ⅆ�

= ∫ cot � csc �ⅆ cot �

− csc � + ∫ cot � csc �

ⅆ cot � − csc � = − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �

(24)

∫ cot � csc � ⅆ� = ….

Pembahasan: Cara 1:

Karena pangkat csc � genap, maka sisakan bentuk csc �. Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ cot � csc � ⅆ�.

∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc �csc �ⅆ�

= ∫ cot � + cot � csc �ⅆ�

= ∫ cot �csc �+ cot �csc � ⅆ�

=∫ cot � csc � ⅆ�+∫ cot � csc � ⅆ�

= ∫ cot � csc �ⅆ cot �_{− csc � + ∫ cot � csc �}ⅆ cot �_{− csc �}

= − ∫ cot � ⅆ cot � − ∫ cot � ⅆ cot �

= − cot � − cot � + �

Cara 2:

Karena pangkat cot � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �. Gunakan bantuan identitas trigonometricot � + = csc �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ csc � csc � cot � ⅆ�.

∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫ csc � − csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫ csc � csc � cot � − csc � csc � cot � ⅆ�

=∫ csc � csc � cot � ⅆ�−∫ csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫ csc � cot � csc � _{− csc � cot � − ∫ csc � cot � csc �}ⅆ csc � _{− csc � cot �}ⅆ csc �

= − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �

(25)

∫ cot � csc � ⅆ� = ….

Pembahasan:

Karena pangkat csc � ganjil, maka sisakan bentuk csc � cot �. Gunakan bantuan identitas trigonometri + cot � = csc �

Sehingga, bentuk integral menjadi∫ csc � csc � cot � ⅆ�.

∫ cot � csc � ⅆ� = ∫ cot � csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫ csc � − csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫(csc � csc � cot � − csc � csc � cot � ) ⅆ�

=∫ csc � csc � cot � ⅆ�−∫ csc � csc � cot � ⅆ�

= ∫ csc � cot � csc � ⅆ csc �

− csc � cot � − ∫ csc � cot � csc �

ⅆ csc � − csc � cot � = − ∫ csc � ⅆ csc � + ∫ csc � ⅆ csc �

(26)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri?

Bentuk Substitusi Turunan Hasil

√ − � � = sin � ⅆ� = cos � ⅆ� _{√ − � = cos �}

√ + � � = tan � ⅆ� = sec � ⅆ� _{√ + � = sec �}

(27)

Dan masih ban�ak �ang lainn�a….

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html

(28)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 269 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.

Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan.

Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri…

Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :)

Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral ��igonomet�i ini… :

Jika adik-

adik butuh ’boco�an’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.