SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.1 LIMIT ALJABAR DAN LIMIT TRIGONOMETRI)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 187 SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu

menerapkannya dalam pemecahan masalah.

5. 1. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Limit Aljabar

Bentuk Umum

lim

�→

�

Limit

� →

Limit

� → ∞

Jika � t�rd��inisi Jika � = _∞itu m�nd�kati nol

lim

�→ � =

� diubah sehingga

pembuat nilai hilang. _�→∞lim � =

Pemfaktoran

Dikali Sekawan Akar

Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi

lim

�→

� � = lim�→

� − � � − �

Sehingga hilanglah pembuat nilai , yaitu �−

�−

⇒ lim_�→ �_� ⇒

lim

�→

√ � − � −

Bentuk limit tersebut memuat bentuk akar yaitu √ � − , yang

bentuk sekawannya √ � + .

⇒ lim

�→

√ � − � − ×

√ � + √ � + ⇒ lim_�→ � −

� − (√ � + )

Sehingga hilanglah pembuat nilai , yaitu �−

�−

lim

�→∞

� − � + � + � −

Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu ∞

∞,

bagilah semua suku pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu � ,

⇒_�→∞lim �

� −� + ��

� +� − ��

⇒ lim

�→

− + + − ⇒

Aturan L’

Hôpital

Diturunkan

lim

�→

�

� = lim�→

′ � ′ �

Dikali Sekawan Akar

lim

�→∞√ � + � − − √ � − � +

Nilai limit adalah bentuk tak tentu ∞ − ∞, kalikan dengan bentuk sekawan akar.

lim

�→∞√ � + � − − √ � − � + ×

√ � + � − + √ � − � + √ � + � − + √ � − � +

(3)

Halaman 188 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Limit Trigonometri

Sinus dan Tangen

Kosinus

Jahat

Cor�t Sinta Hapus Kosinus

lim

�→

sin � � = lim�→

� sin � =

lim

�→

tan � � = lim�→

� tan � =

lim

�→

sin � tan � = lim�→

tan � sin � =

lim

�→

sin � sin � = lim�→

tan � tan � =

lim

�→

� sin � =

lim

�→

� tan � =

lim

�→

tan � sin � =

lim

�→

tan � tan � =

lim

�→ cos � = lim�→ cos � =

lim

�→ cos � = lim�→ cos � =

Kosinus Baik adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0.

Ingat lagi identitas trigonometri

− cos � = sin � − cos � = sin �

Kosinus

Baik

Ubah Kosinus

lim

�→

− ��

� = lim�→

sin �

� = lim�→ ∙

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� −

� = lim�→

− sin �

� = lim�→ − ∙

sin � � ∙ sin � � lim �→ − ��

� = lim�→

sin �

� = lim�→ ∙

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� −

� = lim�→

− sin �

� = lim�→ − ∙

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� − ��

� = lim�→

sin � − sin �

� = dst dst …

lim

�→

− ��

� = lim�→

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� −

� = lim�→

− sin � � = lim�→ −

sin � � ∙ sin � � lim �→ − ��

� = lim�→

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� −

� = lim�→

− sin � � = lim�→ −

sin � � ∙ sin � � lim �→ �� − ��

� = lim�→

sin � − sin �

� = dst dst …

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 189 LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit.

Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:

lim

�→ �

Substitusi � = ke �

Periksa Hasilnya?

Bentuk tertentu Bentuk tak tentu

( , � = ,�= ∞) ( ,∞_{∞ , ∞ − ∞, … )}

Selesai

(5)

T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Aturan L’Hopital Turunan .

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan

m�nggunakan aturan L’Hopital, yaitu m�ncari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.

Contoh:

lim

�→

� − � +

� − =

Sehingga,

lim

�→

� − � +

� − = lim�→

� −

= − = − =

diturunkan

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 191 Asal Muasal T�IK SUPE�KILAT Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .

Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari:

lim

�→

√ �

�

− √ �� ℎ � = ….

Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu . Jadi kesimpulannya adalah:

lim

�→

√ �

� _{− √ �}�

ℎ � = ⇒ untuk � → { √ �

� _{− √ �}� _{= ⇒ √ �}� _{= √ �}�

ℎ � =

Maka, p�ny�l�saiannya bisa m�nggunakan aturan L’Hopital, m�skipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar.

Sehingga dengan menggunakan aturan L’Hopital:

lim

�→

√ �

� _{− √ �}�

ℎ � = lim�→ � [ √ �

� _{− √ �}� _]

� [ℎ � ]

ingat � √ ��

= �( � )

s�hingga � √ �� _{= ( � )} − _∙ _′ _{� =} ′ �

∙ ( � ) −

= ′ �

( √ �� ₎ −

= lim_�→

′ _�

( √ �� ₎ − −

′ _�

( √ �� ₎ −

ℎ′ _�

ingat untuk � → b�rlaku √ �� _{= √ �}�

= lim_�→

′ _�

( √ �� ₎ − −

′ _�

( √ �� ₎ −

ℎ′ _� k�luarkan

( √ �� ₎ − dari k�dua ruas

=

( √ �� ₎ − × lim�→

′ _{� −} ′ _�

ℎ′ _�

Pangkat Akar Nilai Akar Pangkat Akar − Aturan L’Hopital, tapi tanpa tanda akar

Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI.

M�ngapa? Kar�na prinsipnya sama d�ngan pros�s m�ncari nilai limit d�ngan m�nggunakan aturan L’Hopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan d�ngan s�suatu .

(7)

T�IK SUPE�KILAT dan LOGIKA P�AKTIS Limit Aljabar M�nggunakan Modi�ikasi Aturan L’Hopital Turunan Modi�ikasi .

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu adalah d�ngan m�nggunakan modi�ikasi aturan L’Hopital, yaitu m�modi�ikasi cara m�ncari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai.

Soal Limit � → bentuk yang memuat bentuk akar

Perhatikan tiga hal Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung

Pangkat Akar Nilai Akar Letak Akar Turunkan Pembilang P�ny�but Aturan L’Hopital

Kalikan d�ngan S�suatu

Selesai!

Misal soalnya adalah sebagai berikut:

lim

�→

√ � + − √ � −

� − =

Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:

Periksa akar pangkat berapa?

lim

�→

√ � + − √ � −

� − =

⇒ √ ⇒ akar pangkat " "

Periksa nilai dari akar pada soal.

lim

�→

√ � + − √ � −

� − =

⇒ √ � + = √ + = √� = " "

Lihat letak akar! Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas.

Apa yang ditulis?

pangkat × nilai akar pangkat−

lim

�→

√ � + − √ � −

� − =

⇒ akar b�rada di atas ⇒ tulis di bawah ⇒

pangkat × nilai akar pangkat−

Keterangan TRIK SUPERKILAT:

Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:

pangkat× nilai akar

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 193 Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya:

Tentukan nilai dari:

lim

�→

√ � + − √ � −

� − = ….

Perhatikan soal! _lim

�→

√ � + − √ � − � −

Buang tanda akar!

Ganti akar dengan tanda kurung _�→lim

� + − � − � −

Gunakan aturan L’Hopital! Mencari turunan dari pembilang dan penyebut

lim

�→ � [ � +

− � − ]

� [� − ]

⇒ �_�→ −_{� = �}_�→ −_{� =} − =−

Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = 2

Nilai Akar = 3 Letak Akar = di atas

−

×_{pangkat× nilai akar} _pangkat

-⇒− × _∙ ₋ =− × = −

S�l�sai…!!!! _{∴ lim}

�→

√ � + − √ � −

� − = −

Contoh P�ng�rjaan T�IK SUPE�KILAT Modi�ikasi Aturan L’Hopital V�rsi L�bih Singkat:

Tentukan nilai dari:

lim

�→

√ � + − √ � −

� − = ….

Sehingga,

lim

�→

√ � + − √ � −

� − = lim�→

− ×

√ = −

×

√ = − √ = − √

Diturunkan tanpa tanda akar

Dikalikan s�suatu

Keterangan TRIK SUPERKILAT:

Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan:

pangkat× nilai akar

(9)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit � → ∞ bentuk ∞

∞

Bentuk umum

lim

�→∞

� + � − _{+ �} − _{+ … +}

Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut

< = >

Nilai limit = 0 Nilai limit = 1

1 Nilai limit = ∞

lim

�→∞

� + � −

� − � + = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawah….. Berarti KEEECIIIIILLLLL…. S�hingga nilai limitnya adalah nol .

lim

�→∞

� + � +

� + � + = ….

Maka satu yang harus s�g�ra dip�rhatikan pada soal adalah pangkat t�rb�sar ada di atas….. B�rarti BEEESAAAA��…. S�hingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak terhingga).

lim

�→∞

� + � −

� + � − = ….

Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut.

Perbandingan koefisien bertanda positif

LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:

Ingat, kecil ⇒ 0, besar ⇒ ∞

Kalau pangkat terbesar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Kalau pangkat t�rtinggi di atas b�rarti tak hingga. Atas itu BEESAAAA��…. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja.

Selesai!

Kalau pangkat t�rb�sar di bawah b�rarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLL…. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.

Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARR_…. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..

(10)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 195 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai.

Soal Limit � → ∞ bentuk ∞ − ∞

Bentuk umum

lim

�→∞√ � + � + − √ � + � +

Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar

< = >

Nilai limit = −∞ Nilai limit = −�

√ Nilai limit = +∞

lim

�→∞√ � + � − − √� − � − = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +∞ (positif tak hingga).

lim

�→∞√� + � − − √ � − � − = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah −∞ (negatif tak hingga).

lim

�→∞√ � + � − − √ � − � − = ….

Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.

Sehingga nilai limitnya adalah −�

√ = − −7

√ = √ =√ = √ LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:

Ingat, akar tanda positif ⇒ +∞, akar tanda negatif ⇒ −∞

Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGA…. Kalau ko��isi�n t�rb�sar di akar b�rtanda n�gati�. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGA…. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya.

Selesai!

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAA….

Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. Maka nilai limit adalah −�

√ ….

(11)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Soal Limit Fungsi Trigonometri � → bentuk

Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan.

Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.

lim

�→

� sin � =

lim

�→

� tan � =

lim

�→

tan � sin � =

lim

�→

tan � tan � =

lim

�→

� sin � =

lim

�→

� tan � =

lim

�→

tan � sin � =

lim

�→

tan � tan � =

Contoh Soal

lim

�→

� sin � � tan � =

∙ ∙ =

Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim

�→

� sin � � tan � = lim�→

� sin � sin � � � tan � =

∙ ∙ =

lim

�→

� tan � sin � = lim�→

� � tan � sin � sin � sin � =

∙ ∙ ∙ ∙ =

lim

�→

sin � + tan � � = lim�→

� + � � = lim�→

� � =

lim

�→

�

� tan � − sin � = lim�→

�

� � − � = lim�→

� � =

(12)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 197 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus.

Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus jahat dan menghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Jika limit m�muat b�ntuk cos jahat , maka hapus cos.

lim

�→ cos � = lim�→ cos � =

lim

�→ cos � = lim�→ cos � =

Contoh Soal

lim

�→

cos �

� = lim�→ � = = ∞

Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim

�→

�

cos � = lim�→ � =

lim

�→

� cos � sin � = lim�→

�

sin � = lim�→ =

lim

�→

sin � + � cos � tan � cos � = lim�→

� + � � lim�→

�

� = lim�→ =

lim

�→

� cos � � sin � = lim�→

� �

� � = lim�→ =

lim

�→

� cos � � cos � = lim�→

�

� = lim�→ =

(13)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus.

Cara c�pat untuk m�ny�l�saikan limit trigonom�tri yang m�muat b�ntuk kosinus baik dan m�nghasilkan bentuk tak tentu adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai.

Jika limit m�muat b�ntuk cos baik , maka ubah cos.

lim

�→

− �� = lim�→

� �

� =

lim

�→

�� −

� = lim�→

− � �

� = −

lim

�→

�� − �� = lim�→

� � − � �

� = −

lim

�→

− �� = lim�→

� �

� =

lim

�→

�� −

� = lim�→

− � �

� = −

lim

�→

�� − �� = lim�→

� � − � �

� = −

Contoh Soal

lim

�→

− �� = lim�→

� �

� � = lim�→ =

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

lim

�→

− �� = lim�→

� � � � = lim�→

∙

= lim_�→ =

Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html

(14)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 199 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Nilai



 

 _x

x

x ₃ ₉

5 lim 0

....

A.

−30

B.

−27

C.

15

D.

30

E.

36

2.

Nilai



 



 ₂ ₃

1 lim 1 _x x x

....

A.

8

B.

4

C.

0

D.

−4

E.

−8

3.

Nilai



    ₃ 1 2 lim 3 _x x x

....

A.

4 1 

B.

2 1 

C.

1

D.

2

E.

4

lim �→ �

− √ + � = lim�→ � − √ + �× + √ + � + √ + � = lim �→ � ∙ ( + √ + �) − + �

= lim_�→ � ∙ ( + √ + �)_−� = lim �→ − ∙ ( + √ + �) = − ∙ ( + √ ) = − ∙ = − TRIK SUPERKILAT: lim �→ � − √ + � = − ∙ ∙ = − lim �→ − �

− √� + = lim�→

− � − √� + × + √� + + √� + = lim �→ − � ∙ ( + √� + ) − � + = lim �→ − � ∙ ( + √� + ) − � = lim �→ ( + √� + ) = + √ + = + √ = + = TRIK SUPERKILAT: lim �→ − � − √� + = − − ∙ ∙ = TRIK SUPERKILAT: lim �→ − √� + � − = − ∙ _{∙ = −} lim �→ − √� +

� − = lim�→

− √� +

� − × + √� +_{+ √� +}

= lim_�→ − � +

� − ∙ ( + √� + )

= lim_�→ − �

� − ∙ ( + √� + )

= lim_�→ −

( + √� + )

= −

(15)

4.

Nilai

 

 x x x

x _tan₂

2 cos 1 lim

0

....

A.

−2

B.

−1

C.

0

D.

1

E.

2

5.

Nilai

 

 _x _x

x

x tan2

1 4 cos lim

0

....

A.

4

B.

2

C.

−1

D.

−2

E.

−4

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

lim �→

− cos � � tan � = lim�→

− − sin �

� tan � = lim_�→ _{� tan �}sin �

= lim �→

sin � sin �

� tan � ∙

� � ∙

� �

= lim_�→ ∙sin �_{� ∙}sin �_{� ∙}_{tan � ∙}� �_�

= ∙ ∙ ∙ ∙ =

TRIK SUPERKILAT:

lim �→

− cos � � tan � =

∙ ∙

∙ =

lim �→

cos � −

� tan � = lim�→

− sin � − � tan � = lim

�→

− sin � � tan �

= lim_�→ − sin � sin �_{� tan �} ∙ �_{� ∙} �_�

= lim_�→ − ∙sin �_{� ∙}sin �_{� ∙}_{tan � ∙}� _�� = − ∙ ∙ ∙ ∙ = −

TRIK SUPERKILAT:

lim �→

cos � − � tan � =