SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.13 TRANSFORMASI GEOMETRI)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Halaman 88 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri

Acuan

Translasi

Pencerminan

Rotasi

Dilatasi

P�r��s�ran • terhadap = sebesar � pusat sebesar � pusat

• terhadap =

• terhadap titik (0, 0)

• terhadap = ±

• terhadap = � +

Menggunakan konsep matriks transformasi

Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik

Transformasi terhadap Kurva

Bayangan , adalah ′ ′, ′ ��s�i��si�an , pada fungsi kurva

( ′′) = � = �− ( ′′)

� = Ma�ri�s �rans�ormasi �− _{= In��rs Ma�ri�s �rans�ormasi}

Komposisi Transformasi

Ingat ∘ artinya dikerjakan lebih dulu daripada

� ∘ … ∘ � ∘ � merupakan komposisi transformasi � dilanjutkan oleh transformasi � dan seterusnya

sampai dengan transformasi �

Komposisi

Dua Transformasi Titik

Dua Transformasi Kurva

Bayangan , adalah ′ ′, ′ ��s�i��si�an , pada fungsi kurva

(3)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 89

Tabel Transformasi Geometri

Translasi

Translasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Transformasi identitas _, � _{→ ′ ,}

( ′′) =

2. Translasi oleh

, �=→ ′ + , + ( ′′) = +

Pencerminan

terhadap garis = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Pencerminan terhadap

sumbu Y = ,

�� → ′ _{− ,}

( ′′) = −

garis = ,

�=

→ ′ _{− ,} ₍ ′−

′ ) = − −

Pencerminan

terhadap garis = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

sumbu X = ,

��

→ ′ , − _{( ′′) =} ₋

garis = ,

� =

→ ′ _, ₋ ₍ ′

′₋ ) = ₋ ₋

Pencerminan

��r�adap �i�i� …., …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

titik asal , ,

�� 0,0

→ ′ _{− , −}

( ′′) = − −

titik , ,

� ,

→ ′ _{− ,} ₋ ₍ ′_′−

− ) = − − −−

Pencerminan

terhadap garis = ± Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

= ,

� =

→ ′ _, _{( ′′) =} 8. Pencerminan terhadap

garis = − ,

� =−

→ ′ _{− , −} _{( ′′) =} −

−

Pencerminan

terhadap garis = � Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

9. Pencerminan terhadap garis = �

dimana � = �an �

, �→ =� ′ _{′, ′}

′_{= �os � + sin �} ′_{= sin � − �os �}

( ′′) = �� − ��

10. Pencerminan terhadap garis = � +

dimana � = �an �

, �→ =� + ′ _{′, ′}

′_{= �os � +} ₋ _{sin �} ′_{= sin � −} ₋ _{�os �}₊

(4)

Rotasi

Rotasi sebesar �

��r�adap �i�i� …., …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Rotasi �° berlawanan jarum jam terhadap pusat ,

, �[ ,�] → ′ _{′, ′}

′_{= �os � − sin �} ′_{= sin � + �os �}

( ′′) = � � − � ��

2. Rotasi �° berlawanan jarum jam terhadap pusat ,

, �[→ , ,�] ′ ′_, ′

′₌ ₋ _{�os � −} ₋ _{sin �}₊ ′₌ ₋ _{sin � +} ₋ _{�os �}₊

( ′′−₋ ) = � � − � �_{� �} _{� �} −₋

Dilatasi

Dila�asi p�sa� …., ….

faktor dilatasi � Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Dilatasi [ , �]

, �[ ,�] → ′ _{� , �} _{( ′′) =} �

�

2. Dilatasi [ , ,�]

, �[→ , ,�] ′ ′_, ′

′_{= � −} ₊ ′_{= � −} ₊

( ′′−₋ ) = � _� −₋

Keterangan:

Transformasi terhadap titik:

Masukkan titik , ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi ′, ′ .

( ′′) = �

Transformasi terhadap fungsi (kurva):

Substitusikan dan ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel ′ dan ′. Untuk mempermudah gunakan invers matriks:

( ′′) = � ⇒ �− ( ′ ′) =

⇔ = �− ₍ ′

′)

Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir. 

Keterangan warna:

= Transformasi ACUAN .

= Transformasi TURUNAN .

� � � �

� � − � � = Matriks Transformasi ACUAN

(5)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 91 TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi.

LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.

Buat dua titik, , dan , pada bidang koordinat

Transformasikan kedua titik

Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom

Selesailah matriks transformasi kita

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti.

Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini.

Hubungan Matriks dan Transformasi

Misalkan � = adalah matriks transformasi �,

maka hasil dari transformasi titik , adalah:

( ′′) = =

dan hasil dari transformasi titik , adalah:

( ′′) = =

Sehingga proses menyusun matriks transformasi � adalah dengan meletakkan titik , dan , pada bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, ( ′_′) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

( ′_′) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

� = = ( ′′ ′′)

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi :

Pencerminan terhadap sumbu Y �aris = .

Perhatikan sumbu koordinat di samping,

Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis = ),

maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , . sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di ′ , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y �aris = adalah:

�

= −

Koordinat ′ − , Koordinat ′ ,

, ,

− ,

, −

, ′_{− ,}

′ ,

�

(6)

Pencerminan terhadap sumbu X �aris = .

Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis = ),

maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di ′ , .

sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X �aris = adalah:

�

=

−

Koordinat ′ , Koordinat ′ , −

Pencerminan terhadap titik asal , .

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal , ,

maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , . sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi ′ , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal , adalah:

�

,

= −

−

Koordinat ′ − , Koordinat ′ ,

Pencerminan terhadap garis = .

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis = ,

maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ′ , . dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis = adalah:

�

=

Koordinat ′ , Koordinat ′ , ,

′_{− ,}

=

,

, −

, ,

, ′ _,

=

′ , ,

′ , �

�

,

(7)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 93 Pencerminan terhadap garis = − .

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis = − ,

maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − . dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , .

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis = − adalah:

�

=−

=

−

Koordinat ′ , − Koordinat ′ − ,

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat , .

Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat , , maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ′ , . dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , .

Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat , :

�

� , °

=

−

Koordinat ′ , Koordinat ′ ,

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat , .

Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat , , maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , . dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − .

�

� ,

°

= −

−

Koordinat ′ − , Koordinat ′ , −

= − , ′ _{, −}

= −

,

′ − ,

ro�asi ° ��rla�anan �ar�m �am ,

′ _,

,

′ − ,

ro�asi ° ��rla�anan �ar�m �am

ro�asi ° ��rla�anan �ar�m �am ,

′ _{− ,}

,

′ , −

(8)

Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat , . atau sama dengan

Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat , .

Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat , atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat , ,

maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − . dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , .

Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat , atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat , :

�

� ,

°

= �

� ,− °

= −

Koordinat ′ , −

Koordinat ′ ,

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar � dengan pusat , .

Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar � dengan pusat , ,

maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ′ �, . dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ′ , � .

Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar � dan pusat , :

�

� ,�

= � �

Koordinat ′ �, Koordinat ′ , � ro�asi ° ��rla�anan �ar�m �am

ro�asi ° s�ara� �ar�m �am , ′ _{, −}

′ , ,

ro�asi ° ��rla�anan �ar�m �am ro�asi ° s�ara� �ar�m �am

dila�asi dengan faktor skala k

, ′ _�,

′ , � ,

(9)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 95 Pencerminan terhadap garis = � , dengan � = � �.

Untuk pencerminan terhadap garis = � dengan � = �an �,

maka titik A akan berputar sejauh �, sehingga menjadi ′ � �, � � .

dan titik B akan berputar sejauh − − � , sehingga menjadi ′ � �, −� � .

Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis = � dengan � = �an �:

�

=�

= �

�

� − �

�

Koordinat ′ � �, � �

Koordinat ′ � �, − � �

Rotasi sebesar � berlawanan jarum jam dengan pusat , .

Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat , , maka titik A akan berputar sejauh �, sehingga koordinatnya menjadi ′ � �, � � . dan titik B akan berputar sejauh �, sehingga koordinatnya menjadi ′ − � �, � � .

�

� ,�

= � � − � �

� �

Koordinat ′ � �, � �

Koordinat ′ − � �, � �

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:

Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:

 Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik , terhadap transformasi tersebut.

 Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik , terhadap transformasi tersebut.

� =

= (

′_′ ′_′

)

,

�

′ _{� � , � �}

′ _{− � �, � �}

�

, �

′ _� _{� , �} _�

�

,

′ _� _{° − � , − �} _{° − �}

atau dengan sifat kuadran bisa diubah menjadi

′ _{� �, − �} _�

° − �

(10)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.

Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi!

Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.

Pencerminan:

 terhadap garis = (sumbu X)

 terhadap garis = (sumbu Y)

 terhadap titik (0, 0)

 terhadap garis = ±

 terhadap garis = � +

Rotasi

 sebesar � berlawanan arah jarum jam dengan pusat ,

Dilatasi

 faktor dilatasi � dengan pusat ,

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini!

Pencerminan:

 pencerminan terhadap garis =

 pencerminan terhadap titik ,

 pencerminan terhadap garis = � +

Rotasi

 rotasi sebesar � berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik ,

Dilatasi

 dilatasi dengan faktor dilatasi �, tapi dengan pusat rotasi titik ,

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini:

Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar �, kok pusatnya di titik , bukan , ? Maka lakukan translasi −

− pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke , −

−

Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!

( ′′) = �� ,� −₋

Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu � = .

( ′′) = �� ,� −₋ +

atau biasa ditulis dengan:

( ′′−₋ ) = �� ,� −₋

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:

Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:

(11)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 97 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi � = .

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik!

Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi.

Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk = … .a�a� = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan.

Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.

= �−

( ′′)

Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini:

Diketahui persamaan + + = , maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks adala� …. ???

Nah, misalkan matriks transformasi � adalah � = dan |�| adalah determinan matriks transformasi tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:

= �−

( ′′)

⇒ _{= |�|} ₋ − ( ′′)

Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:

= |�| ′₋ ′

= |�| − ′₊ ′

Substitusikan dan pada persamaan + + = , maka akan diperoleh:

[|�| ′₋ ′

] + [|�| − ′₊ ′ _{] + =} _{�ali�an s�m�a r�as d�n�an |�|}

⇒ ′₋ ′ _{+ −} ′₊ ′ _{+ |�| =}

⇔ ′₋ ′₋ ′₊ ′_{+ |�| =}

⇔ ′₋ ′₊ ′₋ ′_{+ |�| =}

⇔ − ′₊ ₋ ′_{+ |�| =}

⇔ | | ′_{+ |} _| ′_{+ |} _{| =}

TRIK SUPERKILAT:

Jadi rumus cepat untuk bayangan garis + + = terhadap matriks transformasi � = :

(12)

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik.

Contoh Soal 1:

Bayangan dari titik , − oleh transformasi � = adalah …. a. , −

b. , − c. , − d. − , e. − ,

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

( ′′) = + = − + = −

Contoh Soal 2:

Bayangan dari titik , − oleh pencerminan terhadap garis = − adalah …. a. , −

b. , − c. , − d. − , e. − ,

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu = alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya? 

( ′_{+ ) = �}′ � ₊

⇒ ( ′_{+ ) =}′ _{− ( − + )}

⇔ ( ′_{+ ) =}′ ₋ ₋

⇔ ( ′′) + =

⇔ ( ′′) = −

⇔ ( ′′) =

Atau menggunakan pemetaan:

, �→ = ′ _, ₋

Jadi:

′_{= =}

′ ₌ _{− = − − − = − + =}

Jadi bayangan titik tersebut adalah ′ ,

Atau menggunakan grafik.

(3, 1)

(13)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 99 Contoh Soal 3:

Bayangan dari titik − , oleh rotasi sebesar ° dengan pusat (1, 2) adalah …. a. ( − √ , − √

b. ( − √ , − √ c. (− + √ , − √ d. ( + √ , − √ e. ( − √ , + √

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat (0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya? 

( ′′−_{− ) = �}� , ° ( −_{− )}

⇒ ( ′′−_{− ) =} �os ° −sin °_{sin °} _{�os °} − −₋

⇔ ( ′′−_{− ) =}

√ − √

√ √ ) −−

⇔ ( ′′) + −_{− =}

− √ + √

− √ − √ )

⇔ ( ′′) + −_{− = (}−√

− √ ) ⇔ ( ′′) = ( −√

− √ ) − −− ⇔ ( ′′) = ( − √

− √ )

Contoh Soal 4:

Bayangan dari titik , ol�� dila�asi d�n�an �a��or dila�asi − dan p�sa� , adala� …. a. ,

b. , c. − , d. − , e. − ,

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat (0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya? 

( ′_{− ) = �}′ � ,− ₋

⇒ ( ′_{− ) =}′ − ₋ ₋

⇔ ( ′_{− ) =}′ − ₋ ₋

⇔ ( ′′) + − = −

⇔ ( ′′) = − − −

(14)

Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik.

Bayangan dari titik , oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi ° terhadap titik asal (0, 0) adalah ….

a. , b. , − c. , d. , e. , −

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:

( ′′) = �� , ° ∘ � �

⇒ ( ′′) = − ₋

⇔ ( ′′) =

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:

Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut:

Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya ′ ,

Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut:

Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya ′ ,

Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

� =

Sehingga,

( ′′) = �

⇒ ( ′′) =

⇔ ( ′′) =

(15)

Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva.

Contoh Soal 1:

Bayangan dari kurva − = oleh transformasi � = adalah ….

a. − =

b. − =

c. − =

d. − =

e. − =

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

( ′′) = + � � ⇒ = ( ′ ′) −

= ( ′′) −

⇒ = ( ′′) −

⇔ = ( ′′−_{− ) ⇒} = ′₋

= ′₋

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan − = , diperoleh:

⇒ ′₋ ₋ ′₋ ₌

⇔ ′_{− −} ′₊ ₌

⇔ ′₋ ′_{+ =}

⇔ ′₋ ′ _{= −}

⇔ ′₋ ′ ₌

Jadi persamaan bayangannya adalah − =

TRIK SUPERKILAT:

+ = �=→ + = + +

− = �=→ − = + −

⇒ − = + −

(16)

Contoh Soal 2:

Bayangan dari kurva = + − oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah ….

a. = + −

b. = − + −

c. = − −

d. = − − −

e. = − −

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:

( ′′) = − ⇒

′ _{= −} ′ ₌

� �

⇒ = −₌ ′ ′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = + − , diperoleh:

⇒ = + −

⇔ ′_{= −} ′ _{+ −} ′ ₋

⇔ ′₌ ′ ₋ ′₋

Jadi persamaan bayangannya adalah = − − .

TRIK SUPERKILAT:

Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu

menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1.

Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3:

Bayangan dari kurva = − oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut � = � dengan pusat

, adalah ….

a. = − + −

b. = + −

c. = − − −

d. = − − +

e. = − +

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat , diperoleh:

( ′′−_{− ) =} − _{− (} −_{− )}

� �

⇒ ( −_{− ) =} − _{− (} ′′−_{− )}

( −_{− ) =} − _{− (} ′′−_{− )}

⇒ + −_{− = (}₋− ′′+_{+ )}

⇔ = (−₋ ′′+_{+ ) −} −₋

⇔ = (−₋ ′′+_{+ ) ⇒} = − ′₊

= − ′₊

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = − , diperoleh:

⇒ = −

⇔ − ′_{+ = −} ′₊ ₋

⇔ − ′_{+ = (} ′ ₋ ′₊ ₋

⇔ − ′₌ ′ ₋ ′₊ _{− −}

⇔ − ′₌ ′ ₋ ′₊

⇔ ′_{= −} ′ ₊ ′₋

(17)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 103 Contoh Soal 4:

Bayangan dari kurva = − oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat

, adalah …. a. , −

b. , − c. , − d. − , e. − ,

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat , diperoleh:

( ′−′ ) = ( − ) � � ⇒ ( − ) = ( ′₋

′ )

⇒ + − = ( ′−′ )

⇔ = ( ′−′ ) − −

⇔ =

′₋

′ ) − −

⇔ =

′₊

′ ) ⇒

= ′₊

= ′

⇒ = −

⇔ ( ′_{) = (} ′_{+ ) −}

⇔ ′₌ ′_{+ −}

⇔ ′₌ ′₊

(18)

Contoh Soal 5:

Bayangan dari kurva − + = oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks −

− adalah ….

a. − + = b. + + = c. + + =

d. − − =

e. − − + =

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep matriks transformasidiperoleh:

( ′′) = −_{− (} − ) � � ⇒ = −₋ ( ′ ′)

⇒ = (−₋ ′_′₊+ _′′) ⇒ = −_{= −} ′_′+₊ ′_′

⇒ − + =

⇔ − ′₊ ′ _{− −} ′₊ ′ _{+ =}

⇔ − ′₊ ′₊ ′₋ ′_{+ =}

⇔ ′₋ ′_{+ =}

Jadi persamaan bayangannya adalah − + =

TRIK SUPERKILAT

Bayangan garis + + = terhadap matriks transformasi � = :

| | + | | + | | =

Bayangan garis − + = terhadap matriks transformasi � = −

− : | −_{− | + |} −_{− | + |} −_{− | =}

⇒ (− − − + (− − − + (− − − =

(19)

Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva.

Contoh Soal 1:

Bayangan garis − + = oleh refleksi terhadap garis = diikuti oleh rotasi dengan pusat , sejauh setengah putaran adalah ….

a. − + =

b. + + =

c. − − + = d. − + + =

e. + + =

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasidiperoleh:

( ′′) = � ∘ �

( ′′) = �� , °� =

( ′′) = − ₋

( ′′) = ₋ −

( ′′) = −−

� �

⇒ = −_{= −} ′′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan − + = , diperoleh:

⇒ − + =

⇔ − ′ _{− −} ′ _{+ =}

⇔ ′₋ ′_{+ =}

Jadi persamaan bayangannya adalah − + =

Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis = dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya ′ , −

Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis = dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya ′ − ,

� = ₋ −

Sehingga,

( ′′) = ₋ −

( ′′) = −−

� �

⇒ = −_{= −} ′′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan − + = , diperoleh:

⇒ − + =

⇔ − ′ _{− −} ′ _{+ =}

⇔ ′₋ ′_{+ =}

(20)

Contoh Soal 2:

Bayangan garis = − + oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat

, dan faktor skala 3 adalah ….

a. − − + =

b. − + + =

c. − + + =

d. + − − =

e. − − − =

Penyelesaian:

Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasidiperoleh:

( ′′) = � ∘ �

( ′′) = �� , � �

( ′′) = ₋

( ′′) = (− ) � � ⇒ =

′

= − ′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = − + , diperoleh:

⇒ = − +

⇔ − ′ _{= (} ′_{) − (} ′_{) +}

⇔ − ′ ₌ ′ ₋ ′₊ _{�ali�an s�m�a r�as d�n�an}

⇔ − ′ ₌ ′ ₋ ′₊

⇔ ′ ₋ ′₊ ′₊ ₌

Jadi persamaan bayangannya adalah − + + =

Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya ′ ,

Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya ′ , −

� = ₋

(21)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 107 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Bayangan garis

x2y5

bila ditransformasi dengan matriks transformasi









2

1

5

3

dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X adalah ....

A.

11x4y5

B.

4x2y5

C.

4x11y5

D.

3x5y5

E.

3x11y 5

2.

Bayangan kurva

y3x9x2

jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi

dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

A.

x3y2 3y

B.

x y2 3y

C.

x3y2 3y

D.

y 3x2 3x

E.

y x2 3y

3.

Bayangan kurva

 2 3 3

x x

y

jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O

dan faktor skala 3 adalah ....

A.

x2 9x3y270

B.

x2 9x3y27 0

C.

3x2 9xy270

D.

3x2 9x y27 0

E.

3x2 9x270

4.

Persamaan bayangan lingkaran

x2 y2 4

bila dicerminkan terhadap garis

x



2

dilanjutkan dengan

translasi









4

3

adalah ....

A.

x2 y2 2x8y130

B.

x2  y2 2x8y130

C.

x2  y2 2x8y130

D.

x2  y2 2x8y130

E.

x2 y2 8x2y130

Jika adik-

adi� �� ’�o�oran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

TIPS SUPERKILAT:

Bayangan garis + + = terhadap matriks transformasi � = :

| | + | | + | | =

� = ; � =�� _{− ; � = � ∘ � =} ₋ _{= − −}

Bayangan garis − − = terhadap matriks transformasi T adalah :

|₋ −_{− | + |} _{− | + |−} _{− | − = ⇒ −} − + = ⇒ + = � = − ; � = � ∘ � = − = − ( ′′) = − ′_{= −} _{⇒ = −} ′ ′₌ _{⇒ =} ′ = − ⇒ (− ′_{) = (} ′_{) − (} ′₎

⇔ − ′₌ ′₋ ′ _{di�ali −}

⇔ ′₌ ′ _{− ′} � = − ; � = � ∘ � = _{− =} ₋ ( ′′) = ₋ ′₌ _{⇒ =} ′ ′_{= −} _{⇒ = −} ′ = + + ⇒ (− ′_{) = ( ) + (} ′_{) +}

⇔ − ′₌ ′ ₊ ′₊ _{di�ali −}

⇔ − ′₌ ′ ₊ ′₊

⇔ = ′ ₊ ′₊ ′₊

, �→ =2 − , − → − , +

′_{= − ⇒ = −} ′ ′_{= + ⇒ =} ′₋ + = ⇒ − + − = ⇔ − + + − + = ⇔ + − − + = ⇔ + − − + − = ⇔ + − − + = TRIK SUPERKILAT:

Bayangkan titik pusat (0, 0)

dicerminkan terhadap = ,

akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).