Smart Solution
Smart Solution
Smart Solution
Smart Solution
TAHUN PELAJARAN 201
TAHUN PELAJARAN 201
TAHUN PELAJARAN 201
TAHUN PELAJARAN 2012222/201
/201
/2013333
/201
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
(Program Studi
(Program Studi
(Program Studi
(Program Studi IPA
IPA
IPA
IPA))))
Disusun oleh :
Pak Anang
Pak Anang
Pak Anang
Pak Anang
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 73 2. 11.
2. 11. 2. 11.
2. 11. Menyelesaikan Menyelesaikan Menyelesaikan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor dua vektor dua vektor dua vektor....
Sudut
Sudut
Sudut
Sudut
Antara Dua
Antara Dua
Antara Dua
Antara Dua Vektor
Vektor
Vektor
Vektor
DiketahuiKomponen Vektor
Titik Koordinat
Panjang dan ResultanVektor
34 5 36748 39:4 8 3;<=4 >=4 5 >6748 >9:4 8 >;<=4 ?@ =====4 5 >=4 A 34 ?B =====4 5 C4 A >=4 D34 8 >=4D 9 5 |34|28 D>=4D98 2|34|D>=4D cos F D34 A >=4D95 |34|28 D>=4D9A 2|34|D>=4D cos F
Kosinus Sudut
Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor
Antara Dua Vektor
cos F 5D3==4DH3==4·>==4>==4H cos F 5H3==48>==4H 2 AID3==4D28H>==4H2J 2D3==4DH>==4H atau cos F 5ID3==4D 2 8H>==4H2JAH3==4A>==4H2 2D3==4DH>==4H
Besar Sudut
Antara Dua Vektor
“Sudut berapa yang nilai cosnya “Sudut berapa yang nilai cosnya “Sudut berapa yang nilai cosnya “Sudut berapa yang nilai cosnya L""""
cos F 5 N O F 5 cosP6(N) Q 5 RSTU======4,TW======4X @ B ? Q D>=4D |34| Q 5 RSY==4, Z==4X >=4 34
Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT:
TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT:
Tentukan dua vektor Cek
Perkalian titik
Perkalian titik 5 0 Perkalian titik ≠ 0
F 5 90° Gunakan rumus cos F
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.
Langkah TRIK SUPERKILAT:
• Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut F.
• Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut F pasti 90°! Kalau perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos F yang sesuai dengan kondisi soal.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75 LOGIK
LOGIKLOGIK
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel PythagorasA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel PythagorasA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:::: A PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras
Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….!
Misal vektor 34 = 374A 4:4 8 12<=4, maka tentukan panjang vektor 34?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |34| = g398 (A4)98 129= √9 8 16 8 144 = √169 = 13
Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut: 34 =j74 Ak:4 8lm<=4
3 4 12 3 4 12 3 4 12 3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)
5 12 5 12 5 12 5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13) 13131313 Keterangan:
• Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor 34 yaitu 3, 4, 12.
• Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 53, 4, 53, 4, 53, 4, 5. Maka 3, 43, 43, 43, 4 kita sederhanakan menjadi 5menjadi 5menjadi 5menjadi 5. • Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi3, 4, 5 kini menjadi 5555, , , , 123, 4, 5 kini menjadi3, 4, 5 kini menjadi 121212.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 135, 12, 135, 12, 135, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13. • Selesai! Panjang vektor 34 adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Trik Cepat Hitung Tripel PythagorasTrik Cepat Hitung Tripel Pythagoras Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul Tripel Pythagoras yang sering muncul Tripel Pythagoras yang sering muncul Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 8 15 17
Cara cepat menghafal bilangan Cara cepat menghafal bilanganCara cepat menghafal bilangan
Cara cepat menghafal bilangan tripeltripeltripeltripel PythagorasPythagorasPythagoras Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut! Contoh:
39= 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 53, 4, 53, 4, 53, 4, 5.
59= 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13, sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 135, 12, 135, 12, 135, 12, 13
3 4
5 5
12 13
Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar: LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar? Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan. Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 3√> dan 3√C, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah N, maka nilai N bisa ditentukan oleh:
N9= S3√>X98 S3√CX9
O N = g39> 8 39C
O N = g39(> 8 C)
O N = g39√> 8 C
O N = 3√> 8 C
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar
Tripel Pythagoras bentuk akar Tripel Pythagoras bentuk akar Tripel Pythagoras bentuk akar
3 √> 3 √C 3 √> 8 C Contoh: Sekarang m Sekarang m Sekarang m
Sekarang mari cermati contoh soalari cermati contoh soalari cermati contoh soal panjang vektorari cermati contoh soalpanjang vektorpanjang vektor di bawah ini!panjang vektordi bawah ini!di bawah ini!di bawah ini! Misal vektor 34 = 474A 2:4 8 6<=4, maka tentukan panjang vektor 34?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: |34| = g498 (A2)98 69= √16 8 4 8 36 = √56 = √4√14 = 2√14
Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut: 34 = k74 A m:4 8 p<=4 (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)
4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…)
m√k m√l m√ r (jumlahkan 4 8 1 8 9) m√k 8 l 8 r m√lk 3 √C 3 √> 3 √> 8 C
bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
3 √C 3 √> N 4√4 4√9 4√13 8 12
• Cari FPB dari 12 dan 8. • FPBnya adalah 4.
• Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. • Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor
komponen dua vektor
komponen dua vektor....
komponen dua vektor
Contoh Soal: Contoh Soal: Contoh Soal: Contoh Soal:
Diketahui vektor 34 = 474 8 2:4 8 2<=4 dan >=4 = 374 8 3:4. Besar sudut antara vektor 34 dan >=4 adalah …. a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120° Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: 34 = 4748 2:4 8 2<=4 = s42 2t O |34| = g4 98 298 29= √16 8 4 8 4 = √24 = √4√6 = 2√6 >=4 = 3748 3:4 = s33 0t O D>=4D = g3 98 398 09 = √9 8 9 8 0 = √18 = √9√2 = 3√2
Dengan demikian diperoleh: cos F = 34 · >=4 |34|D>=4D = s42 2t · s 3 3 0t 2√6 · 3√2 =(4)(3) 8 (2)(3) 8 (2)(0) 6√12 =12 8 6 8 0 6√4√3 = 18 12√3 = 18 12√3u √ 3 √3 =18√336 =12 √3
Jadi karena cos F =69√3, maka besar sudut F = 30° Penyelesaian
Penyelesaian Penyelesaian
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT:TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa 34 · >=4 ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 34 = 4748 2:4 8 2<=4 = s42 2t= v 2√4 2√1 2√1 wO |34| = 2√4 8 1 8 1 = 2√6 >=4 = 3748 3:4 = s33 0t= v 3√1 3√1 0 w O D>=4D = 3√1 8 1 = 3√2 Lanjutkan dengan menghitung nilai cos F menggunakan rumus: cos F = 34 · >=4 |34|D>=4D= s42 2t · s 3 3 0t
2√6 · 3√2= xyz xyz xyz …
Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat
beberapa titik koordinat
beberapa titik koordinat....
beberapa titik koordinat
Contoh Soal Contoh Soal Contoh Soal Contoh Soal::::
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika {=4 mewakili @?=====4 dan |4 mewakili @B=====4, maka sudut yang dibentuk oleh vektor {=4 dan |4 adalah …
a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120° Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: @? =====4 = >=4 A 34 = s61 2t A s 2 1 2t = s 4 0 0t O D@?=====4D = g4 98 098 09= √16 8 0 8 0 = √16 = 4 @B =====4 = C4 A 34 = s65 2t A s 2 1 2t = s 4 4 0t O D@B=====4D = g4 98 498 09= √16 8 16 8 0 = √32 = 4√2
Dengan demikian diperoleh: cos F = @?=====4 · @B=====4 D@?=====4DD@B=====4D = s40 0t · s 4 4 0t 4 · 4√2 =(4)(4) 8 (0)(4) 8 (0)(0) 16√2 =16 8 0 8 0 16√2 = 16 16√2 = 1 √2 = 1 √2u √ 2 √2 =12 √2
Jadi karena cos F =69√2, maka besar sudut F = 45° Penyelesaian TRIK SUPERKILAT
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT Penyelesaian TRIK SUPERKILAT
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISdan LOGIKA PRAKTISdan LOGIKA PRAKTISdan LOGIKA PRAKTIS::::
Lihat bahwa @?=====4 · @B=====4 ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: @? =====4 = >=4 A 34 = s61 2t A s 2 1 2t = s 4 0
0t O D@?=====4D = 4 (karena komponen yang lain nol) @B =====4 = C4 A 34 = s65 2t A s 2 1 2t = s 4 4 0t = v 4√1 4√1 0 wO D@B=====4D = 4√1 8 1 = 4√2
serta hasil kali titik dari @?=====4 · @B=====4 tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang @B memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos F =69√2, dan satu-satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos F =69√2 adalahF = 45°.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan
panjang dan resultan
panjang dan resultan vektor.
panjang dan resultan
vektor.
vektor.
vektor.
Contoh Soal Contoh Soal Contoh Soal Contoh Soal::::
Diketahui|34| = 2, D>=4D = 3, dan D34 8 >=4D = √19. Besar sudut antara vektor 34 dan >=4 adalah …. a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120° Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Ingat D34 8 >=4D9= |34|28 D>=4D98 2|34|D>=4D cos F
Dengan demikian diperoleh:
D3=48 >=4D2= |3=4|2 8D>=4D28 2|3=4|D>=4Dcos F } S√19X2= (2)28(3)28 2(2)(3)cos F } 19 = 4 8 9 8 12 cos F } 19 = 13 8 12 cos F } 19 A 13 = 12 cos F } 6 = 12 cos F } 126 = cos F } 12= cos F } cos F = 12
Jadi, karena cos F =69, maka besar sudut F = 60° Penyelesaian TRIK SUPERKILAT
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT Penyelesaian TRIK SUPERKILAT
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dandandandan LOGIKA PRAKTISLOGIKA PRAKTISLOGIKA PRAKTISLOGIKA PRAKTIS::::
Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah: cos F =D34 8 >=4D 9 A ~|34|28 D>=4D9 2|34|D>=4D =19 A (4 8 9)12 =19 A 1312 =126 =12
Jadi, karena cos F =69, maka besar sudut F = 60°
Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:yang serupa pada UN 2012 kemarin:yang serupa pada UN 2012 kemarin:yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui vektor
−
=
3
3
2
a
r
dan.
4
2
3
−
−
=
b
r
Sudut antara vektor
a
danb
adalah ....A. 135° B. 120° C. 90° D. 60° E. 45°
2.
Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektorAB
denganAC
adalah .... A. 30°B. 45° C. 60° D. 90° E. 120°
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. cos RS34, >=4X =|3||>|34 · >=4 =6 8 6 A 12 √22√29 = 0 cos = 0 O = 90° @? =====4 = ? A @ = (1, 0, 1) @B =====4 = B A @ = (1, 0, A1 cos RS@?=====4, @B=====4X = @?=====4 · @B=====4=====4 D@?=====4DD@B=====4D =1 8 0 A 1 √2√2 = 0 cos = 0 O = 90° TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
☺
TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT: TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.