SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.4 APLIKASI INTEGRAL (LUAS DAERAH DAN VOLUME BENDA PUTAR))

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Halaman 270 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) 5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.

Aplikasi Integral

Luas Daerah

Volume Benda Putar

Luas Daerah Dibatasi Kurva

Diputar Mengelilingi Sumbu X

Diputar Mengelilingi Sumbu Y

Volume Benda Antara Dua Kurva

Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva

� = ∫

=

=

=

� = − ∫ =

= =

� = − ∫ =

= =

� = ∫

=

=

=

� = − ∫ + ∫

=

= =

=

� = ∫[ − ]

= = = =

� = ∫[ − ]

= =

=

=

=

� = � ∫( ) =

=

� = � ∫( )

= =

=

� = � ∫ [( ) − ( ) ]

=

=

= =

= =

= =

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 271 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)

Luas Daerah

Dibatasi

Diketahui

Garis Memotong

Dua Kurva

Lebar dan Tinggi

Kurva di Titik Puncak

� = − adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: + + = . Persamaan kuadrat tersebut diperoleh

dari persekutuan kedua kurva.

� =�√�

� = × Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

� = × Lebar × Tinggi

Lebar Tinggi

� � =

� =

X Y

X Y

X Y

,

� � =

� =

X Y

Halaman 272 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Contoh Soal 1a:

Luas daerah yang dibatasi parabola = − dan garis = adalah ....

a. 36 satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. 46 satuan luas

e. satuan luas

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒ = −

⇔ − − =

⇔ − + =

⇔ + − =

⇔ + − =

⇔ + = atau − = ⇔ = −   atau   =

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = . Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

� = ∫ [ − ]

−

Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi − , berlaku .

Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

= − dan =

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

� = ∫ [ − − ] −

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

� = ∫ [ − − ] −

= ∫ − − +

−

= [− − + ]

−

= − − + + − − − − + −

= (− − + ) − ( − − )

= (− − + ) − ( − − )

= − (− )

= +

=

= satuan luas X Y

=

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 273 Contoh Soal 1b:

Luas daerah yang dibatasi parabola = − dan garis = adalah ....

a. 36 satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. 46 satuan luas

e. satuan luas

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva.

Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒ = −

⇔ − − =

⇔ − + =

⇔ + − =

⇔ + − =

⇔ + = atau − = ⇔ = −   atau   =

Dari persamaan kuadrat + − = , diperoleh nilai diskriminan:

� = − ⇒ � = − −

= + =

Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

� =�√�= √ = × = satuan luas

Stop sampai sini aja.

Halaman 274 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Contoh Soal 2a:

Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. 8 satuan luas

e. satuan luas

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒ = +

⇔ − + =

⇔ − − =

⇔ + − =

⇔ + = atau − = ⇔ = −   atau   =

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = − dan = . Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis = dan = .

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

� = ∫ [ − ]

Nah, sekarang kita menentukan dan . Pada interval batas integrasi , berlaku .

Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

= + dan =

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

� = ∫ [ + − ]

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

� = ∫ [ + − ]

= ∫ − + +

= [− + + ]

= − + + + − + +

= (− + + ) −

=− + +

= satuan luas X

Y

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 275 Contoh Soal 2b:

Luas daerah yang dibatasi kurva = , = + , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. satuan luas

b. satuan luas

c. satuan luas

d. 8 satuan luas

e. satuan luas

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒ = +

⇔ − + =

⇔ − − =

⇔ + − =

⇔ + = atau − = ⇔ = −   atau   =

Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:

=

−

{Luas daerah arsir} = { luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi − = }

� � = �□ − �∆

= −

= −

= −

= satuan luas

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html

untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Y

X

= +

2 4

2

=

2 4

2

Y

X

2 4

2

Y

X

2 4

2

Y

Halaman 276 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)

Volume Benda Putar

Dibatasi Kurva

dan Garis Sumbu

� = − adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: + + = . Persamaan kuadrat tersebut adalah

persamaan kurva pada soal.

X

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 277 Contoh Soal 1a:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = − dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8 � satuan volume

b. � satuan volume

c. � satuan volume

d. � satuan volume

e. � satuan volume

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: =

⇒ − =

⇔ − =

⇔ = atau − = ⇔ =    atau   =

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik = dan = .

Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.

Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

� = � ∫ [ ]

Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa:

= −

Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

� = � ∫ [ − ]

Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.

� = � ∫ [ − ]

= � ∫ − +

= � [ − + ]

= � [( − + ) + ( − + )]

= � [( − + ) − ]

= � [ − + ]

= � satuan volume X

Halaman 278 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Contoh Soal 1b:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva = − dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8 � satuan volume

b. � satuan volume

c. � satuan volume

d. � satuan volume

e. � satuan volume

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar.

Titik potong parabola dengan garis adalah: =

⇒ − =

⇔ − =

⇔ = atau − = ⇔ =    atau   =

Dari persamaan kuadrat − = , diperoleh nilai diskriminan:

� = − ⇒ � = −

=

Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

� =� √� � = √ � = × � = � satuan volume.

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html

untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Stop sampai sini aja.

Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 279 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2



4

x



3

dan

y3x

adalah ....

A.

6 41

satuan luas

B.

3 19

satuan luas

C.

2 9

satuan luas

D.

3 8

satuan luas

E.

6 11

satuan luas

2.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2



3

x



4

dan

y1x

adalah ....

A.

3 2

satuan luas

B.

3 4

satuan luas

C.

4 7

satuan luas

D.

3 8

satuan luas

E.

3 15

satuan luas

3.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2



4

x



3

dan

y x1

adalah ....

A.

6 41

satuan luas

B.

3 19

satuan luas

C.

2 9

satuan luas

D.

3 8

satuan luas

E.

6 11

satuan luas

TRIK SUPERKILAT: = ⇒ − + = − ⇔ − = � � � = − = � =�√�= √_∙ =

= satuan luas



Luas daerah diarsir:

� = ∫ − = ∫ − − − + = ∫ − + = [− + ] = (− + ) − (− + ) = (− + ) −

= satuan luas

TRIK SUPERKILAT:



Y X 3 1 3 = − = − + TRIK SUPERKILAT: = ⇒ − + = − ⇔ − + = � � � = − = � =�√�= √_∙ =

= satuan luas



Luas daerah diarsir:

� = ∫ − = ∫ − − − + = ∫ − + − = [− + − ] = (− + − ) − (− + − ) = (− + − ) − (− + − )

= satuan luas

Y X 4 3 3 = − = − +

-1 1

TRIK SUPERKILAT: = ⇒ + + = − ⇔ + + = � � � = − = � =�√�= √_∙ =

= satuan luas



Luas daerah diarsir:

� = ∫ − = ∫− − − + + − = ∫ − −− − − = [− − − ] − − = − − − − − − − − − − − − − = ( − + ) − − +

= satuan luas

Halaman 280 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

4.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2

dan

y4x3

diputar 360°

mengelilingi sumbu X adalah ....

A.

π

15 11

13

satuan volume

B.

π

15 4

13

satuan volume

C.

π

15 11

12

satuan volume

D.

π

15 7

12

satuan volume

E.

π

15 4

12

satuan volume

5.

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva

y





x

2

dan

y2x

diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A.

π

15 11

3

satuan volume

B.

π

15 4

4

satuan volume

C.

π

15 4

6

satuan volume

D.

π

15 6

6

satuan volume

E.

π

15 1

17

satuan volume

6.

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva

y



x

2

dengan

y 2x

diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A.

2π

satuan volume

B.

π

15 1

3

satuan volume

C.

π

15 4

4

satuan volume

D.

π

15 4

12

satuan volume

E.

π

15 2

14

satuan volume

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

Y X = − = − = = − +

Volume benda putar

� = � ∫ − = � ∫ − − = � ∫ − − = � ∫ − + − + = [− + − + ] = − + − + − − + − + = (− + − + ) − (− + − + ) = ( ) − ( )

= = satuan volume

3 1

Volume benda putar

� = � ∫ − = − � ∫ − − − = − � ∫ − = −� [ − ] = −� [( − ) − ( − )] = −� ( − ) = −� ( − )

= � = � satuan volume

Y X = − = − = − = − + 2 -4

Volume benda putar

� = � ∫ − = − � ∫ − = − � ∫ − = −� [ − ] = −� [( − ) − ( − )] = −� ( − ) = −� ( − )

= � = � satuan volume