SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.2 APLIKASI TURUNAN FUNGSI)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201 5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Definisi

′ _{= l�m} ℎ→

+ ℎ − ℎ

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Trigonometri

= → ′ ₌

= � _→ ′ _{= .} �−

��at:

= → ′ ₌ ′

= ± → ′ ₌ ′_± ′

= ∙ → ′ ₌ ′ ₊ ′

= → ′ ₌ ′ − ′

= → ′ ₌ ′ _∙ ′

Aplikasi Turunan Fungsi

Gradien Garis Singgung

Kurva

=

di titik

=

= ′

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi

Naik

Tidak Naik dan Tidak Turun

Turun

′ _> ′ ₌ ′ _<

Titik dimana grafik fungsi tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum

Titik Belok

Titik Minimum

na�k – stasioner –na�k

na�k – stasioner –tu�un atau tu�un – stasioner –na�k

tu�un – stasioner –tu�un

�

− �

= tan → ′ _{= ��c}

= c�t → ′ _{= − c�c}

= ��c → ′ _{= ��c tan}

= c�c → ′ _{= − c�c c�t}

Simbol

′ ₌ ′₌ ₌ ₍ ₎

Persamaan Garis Singgung di titik ,

(3)

Halaman 202 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar.

Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

=

→

′

= ∙

−

∙

−

Proses mencari turunan fungsi �: 1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya!

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203 LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.

Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

Cara membacanya:

�

− �

= ��n → ′ = c�� = c�� → ′ = −��n = −��n → ′ = −c�� = −c�� → ′ = ��n

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.

KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:

= → ′₌ ′ − ′

Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan ?

= tan =_{c�� →}��n _{= c��}= ��n ′_′= c��_{= − ��n}

′ ₌ ′ − ′ ₌c�� c�� − ��n − ��n

c�� =

c�� + ��n

c�� = c�� = ��c

Jadi, = tan → ′= ��c .

Silahkan temukan sendiri turunan fungsi c�t , ��c , dan c�c menggunakan aturan dan sifat tersebut!!! LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

= �

= ��

= � �

}

tu�unan da�� ung�� yang b��awalan hu�u� c ��lalu n�gat��

�ung�� b��awalan hu�u� c hanya kum�ul d�ngan yang b��awalan c �uga

� dan� tu�unannya k�mba�

tan c�t

��c c�c

□ □

Tips membaca LOGIKA PRAKTIS:

Turunannya tan adalah ��c . Turunannya ��c adalah ��c tan Turunannya c�t adalah – c�c . Turunannya c�c adalah − c�c c�t

□

Cara membacanya:

= tan → ′ _{= ��c}

= c�t → ′ _{= − c�c}

= ��c → ′ _{= ��c tan}

(5)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva).

Kurva

Tentukan turunan yaitu ′

Persamaan Garis Lurus melewati titik , Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien

di = adalah adalah:

= ′ ₋ ₌ ₋

Gradien Garis Singgung Kurva di titik , dengan gradien adalah:

− = −

Contoh Soal:

Diketahui ℎ adalah garis singgung kurva = − + − pada titik , − . Titik potong garis ℎ dengan

�umbu � adalah ….

a. − , b. − , c. − , d. − , e. − ,

Pembahasan:

Diketahui kurva yaitu:

= − + − ′ ₌ ₋ ₊ Gradien garis singgung kurva di = adalah:

= ′ ₌ ′

= − + = − +

= −

Persamaan garis singgung kurva di titik , − dengan gradien = − adalah:

− = − − − = − − + = − +

= − + − = − −

Jadi garis ℎ adalah = − − .

Titik potong garis ℎ terhadap sumbu X terjadi saat = , sehingga:

= = − − = − = −

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.

Hubungan antara Jarak � , Kecepatan � , dan Percepatan . *)

Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

�

Contoh Soal 1:

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi ℎ meter setelah detik dirumuskan dengan ℎ = − ,

maka t�ngg� mak��mum yang d�ca�a� ��lu�u t��but adalah …. meter. a. 270

b. 320 c. 670 d. 720 e. 770

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah ℎ . Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah .

Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

= (ℎ ) = − ∴ = −

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.

= − =

− = − =−₋ ∴ = �

Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat = �, yaitu

ℎ = − ℎ = −

= − = m

Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Turun artinya turunan fungsi.

Sehingga cara membacanya seperti ini:

Fungsi adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan =� � = ′ Fungsi adalah turunan dari fungsi . atau dinotasikan =��

� = ′

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

turun

(7)

Contoh Soal 2:

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu diberikan oleh fungsi = − − + . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat =…. detik

a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah . Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah .

Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

= ( ) = ( − − + ) ∴ = − − +

Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan ( = .

= ( ) = ( − − + ) ∴ = − −

Sehingga,

= − − = � �

− − = + − =

��mbuat n�l + = atau − =

= − atau = �M

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun).

Kurva

Periksa nilai ′ pada interval [ , ]

′ _> _{Fung�� na�k} ′ _< _{Fung�� tu�un}

Fung�� Na�k Fung�� u�un

Contoh Soal:

Grafik dari = − − + na�k untuk �nt��val …. a. < < −

b. − < < c. < − atau > d. < atau > − e. < − atau > − Pembahasan:

Naik atau turunnya grafik fungsi dapat dilihat dari nilai ′ .

= − − + ′ ₌ ₋ ₋ Fungsi naik apabila ′ > .

Sehingga,

′ ₌ ₋ ₋ _> _� _�

− − > + − >

��mbuat n�l + = atau − =

= − atau =

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi grafik fungsi akan naik dalam interval < − atau > .

−

+

′

(9)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).

Kurva

Periksa nilai ′ pada =

′ _≠ _{Fung�� na�k atau tu�un} ′ ₌ _{Fung�� ta��n��}

Menentukan jenis titik stasioner

grafik fungsi

Metode grafis Metode analitis

(Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua)

titik titik

maksimum minimum

stasioner

naik turun naik stasioner

titik belok

turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner

TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:

Perhatikan Grafik Fungsi

= ��n , ° ≤ ≤ °

TIPS Mengingat Titik Belok:

Perhatikan Grafik Fungsi

= c�� , ° ≤ ≤ °

′

−

+ +

′

−

− + +

′′ _< ′′ ₌ ′′ _>

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum

°

° c��

��n

(10)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 209 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum).

Nilai maksimum atau minimum fungsi pada interval ≤ ≤

Tentukan nilai pada ujung interval Tentukan nilai stasioner

dan (Jika ada)

Pilih nilai terbesar  nilai maksimum Pilih nilai terkecil  nilai minimum

Contoh Soal:

Nilai maksimum dari fungsi = − + + pada interval −≤ ≤ adalah …. a.

b. c. d.

e.

Pembahasan:

Nilai pada ujung interval ≤ ≤ .

= = − + + =

Fungsi stasioner saat ′ = .

= − + + ′ ₌ ₋ ₊

′ ₌ ₋ _{+ =}

− − = − = atau − = = atau =

Sehingga, dari sketsa kurva pada interval ≤ ≤ terlihat bahwa:

maksimum di titik = atau mungkin maksimum di = dan minimum di = .

Periksa dulu apakah maksimum di = atau di = dengan membandingkan nilai pada kedua titik tersebut.

= = − + + =

Jadi nilai maksimum adalah .

′

−

(11)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik = , Luas maksimum =

Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.

� =

= } = � × ℓ = × =

Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut:

Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan

Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi

Periksa keadaan stasioner fungsi

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di

http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html

untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013

�ada bab A�l�ka�� u�unan Fung�� n�….

X Y

( , )

X Y

+ =

( , )

ℓ

(12)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 211 Contoh Soal:

Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah ….

a. , b. , c. , d. , e. , Pembahasan:

Persamaan garis lurus yang melewati titik , dan , adalah:

+ =

Misal koordinat adalah , . Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang dan lebar .

Pan�ang =

L�ba� = , dari persamaan + = = −

= 8− �₈ = −

Jadi luas persegi panjang adalah:

= � × ℓ = ( − ) = −

= − ′ _{= −}

Luas persegi panjang akan maksimum jika ′=

′₌ ₋ ₌

− = − =−

−

= − × (− ) =

Substitusikan = ke = − diperoleh:

= − = − =

Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat = , Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Karena = dan = , dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat = , . X

Y

X Y

(13)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Suatu perusahaan memproduksi

x

unit barang, dengan biaya

(4x2 8x24)

dalam ribu rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A.

Rp16.000,00

B.

Rp32.000,00

C.

Rp48.000,00

D.

Rp52.000,00

E.

Rp64.000,00

2.

Suatu perusahaan memproduksi

x

unit barang, dengan biaya



5x2 10x30



dalam ribuan rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A.

Rp10.000,00

B.

Rp20.000,00

C.

Rp30.000,00

D.

Rp40.000,00

E.

Rp50.000,00

Jika adik-

ad�k butuh ’b�c��an’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

� = − − + = − + +

� akan maksimum untuk yang memenuhi �′ =

�′ ₌

− + + = d�bag� −

− − =

+ − =

= − atau =

Karena mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya =

Substitusikan = ke � , diperoleh:

� = − + +

= − + +

=

� = − − + = − + +

� akan maksimum untuk yang memenuhi �′ =

�′ ₌

− + + = d�bag� −

− − =

+ − =

= − atau =

Karena mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya =

Substitusikan = ke � , diperoleh:

� = − + +

= − + +