SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.16 DERET ARITMETIKA)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 123 2. 16. Menyelesaikan masalah deret aritmetika.

Deret Aritmetika

Barisan Bilangan

Deret Bilangan

� , � , � , … , �� = � + � + � + … + ��

Barisan Aritmetika

Deret Aritmetika

��= + � − �=� + � −

=� + ��

Hubungan

�

_�

dan

_�

�� = �− �−

Keterangan:

�� = suku ke-�

�= jumlah � suku pertama = suku pertama

= beda

(3)

Halaman 124 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Hubungan antara �_� dan �_�, maupun beda suku barisan.

Suku depan �_�diintegralkan,

jumlah koefisien�_� dan _�harus sama.

�

Suku depan _�diturunkan,

jumlah koefisien�_� dan _�harus sama.

Koefisien Koefisien

suku depan suku depan

ambil aja dikali dua

beda

Untuk meringkas pengerjaan soal UN Matematika SMA dalam topik materi barisan dan deret aritmetika ini, maka perlu kita coba buktikan dulu TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan. TRIK SUPERKILAT yang akan kita gunakan adalah sebuah penyederhanaan langkah dari penjabaran terhadap hubungan antara dua hal, yaitu �� (suku ke-�), dan � (jumlah n suku pertama).

Dari definisi barisan aritmetika dan deret aritmetika diperoleh:

�� = + � − = + � −

= � + −

dan

�=� + � −

=� + � −

= � + − �

Kesimpulan!

Dari konsep �_�= + � − akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk �_� =��+ −

Lho ini kan integral!!! Berarti ini turunan!!

Dari konsep _�=� + � − akan menghasilkan sebuah formula berbentuk _�=�

��+

− _�

Untuk suku pertama berlaku � = ⇒ + − = + − .

Jadi, pada suku pertama dan jumlah suku pertama itu nilainya pasti sama, sehingga hal tersebut juga membuktikan bahwa jumlah koefisien baik �_� maupun �_� adalah sama.

Beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan dari �_�

Dari konsep �_�= + � − akan menghasilkan sebuah formula dengan bentuk �_� =�� + −

Berarti beda barisan aritmetika adalah koefisien suku depan �_� dikalikan 2.

Dari konsep _�=� + � − akan menghasilkan sebuah formula berbentuk _�=�

�� +

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 125

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan

�

_�

jika diketahui

�

_�

:

Jumlah � suku pertama jika diketahui �_�= � + adalah ….

Langkah logika praktis:

� diperoleh dari integral �.

Perhatikan �_� jumlah koefisiennya adalah + = , sementara _�= � + sesuatu. Karena jumlah koefisien _� dan �_� harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi _�= � + .

SELESAI.

Menentukan

�

_�

jika diketahui

�

_�

:

Rumus suku ke-� jika diketahui _�= � + adalah ….

� diperoleh dari turunan � .

Perhatikan _� jumlah koefisiennya adalah + = , sementara �_�= � + sesuatu. Karena jumlah koefisien �_� dan _� harus sama, maka jelas sesuatunya adalah 2. Jadi �_� = � + .

SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui

�

_�

:

Jika diketahui �_� = � − , beda barisan aritmetika tersebut adalah ….

Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel � pangkat terbesar), yaitu2. Koefisien tersebut ambil aja.

Sehingga beda barisan aritmetika adalah . SELESAI.

Menentukan beda jika diketahui

�

_�

:

Jika diketahui _�= � + , beda barisan aritmetika tersebut adalah …

Beda barisan aritmetika diperoleh dari koefisien depan (variabel � pangkat terbesar), yaitu 3. Koefisien tersebut kalikan dua.

(5)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Beda Barisan Aritmetika

Jika diketahui dua suku pada barisan aritmetika,

maka beda dari barisan aritmetika tersebut bisa ditentukan dengan:

=� − �₋

Bukti:

� = + − � ………….. � = + − � …………..

Dengan mengeliminasi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: � = + − � ⇒ � = + − �

� = + − � ⇒ � = + − �

� − � = − ⇒ =� − �₋

Menentukan beda jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui � = dan � = , beda barisan aritmetika tersebut adalah = −

− = = .

Beda adalah suku besar kurangi suku kecil,

lalu hasilnya dibagi dengan selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil.

Atau

Selisih suku dibagi selisih indeks suku.

SELESAI.

Menentukan suku ke-

�

jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika:

Jika diketahui � = dan � = , tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut!

Suku ke 15 adalah suku ke-8 ditambah 7 beda lagi. Jadi, � = � +

= + −₋

= +

(6)

Menentukan suku ke-

�

jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih

indeksnya sama:

Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-3, suku ke-8 dan suku ke-13.

Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? − = − , yaitu sama-sama berselisih 5. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka selisihnya suku tersebut juga sama!

Suku ke 13 adalah suku ke-8 ditambah selisih suku ke-8 dan suku ke-3. Jadi, � = � + � − �

= + −

= +

=

Atau

24 ke 54 itu ditambah 30, maka 54 ditambah 30 lagi sama dengan 84.

SELESAI.

Menentukan suku ke-

�

jika diketahui dua suku dari barisan aritmetika dan selisih

indeksnya berkelipatan.

Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-14. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan?

Selisih dari − adalah 9, sementara itu selisih − adalah 3. Jadi 9 dibagi 3 itu adalah 3.

Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 3 kali lebih besar maka selisihnya suku tersebut juga 3 kali lebih besar!

Suku ke 14 adalah suku ke-5 ditambah tiga kali selisih suku ke-5 dan suku ke-2. Jadi, � = � + � − �

= + −

= +

=

SELESAI.

Menyimpulkan makna dari jumlah beberapa suku.

Jika diketahui � + � + � = , tentukan suku ke-4 dari barisan tersebut!

Perhatikan, ada tiga suku. Suku-suku pada soal adalah suku ke-1, suku ke-5 dan suku ke-6.

Bukankah indeks suku barisan tersebut bisa dibagi tiga? Kenapa dibagi tiga? Ya sebanyak jumlah suku tadi! + +

=

Ya udah berarti suku ke empat adalah rata-rata dari jumlah ketiga suku tersebut.

Jadi, � = �1+� +�

= =

(7)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n

2

+ 4n. Suku ke-9 dari deret

aritmetika tersebut adalah ....

A.

30

B.

34

C.

38

D.

42

E.

46

2.

Jumlah

n

suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan

S

_n



n

2



3

n

.

Suku ke-20 deret aritmetika

tersebut adalah ....

A.

30

B.

34

C.

38

D.

42

E.

46

3.

Jumlah

n

.

2

3

2

5

n

2

n

S

_n





Suku ke-10 dari deret

A.

49

B.

47

2 1

C.

35

D.

33

2 1

E.

29

4.

Jumlah

n

S

n

2

5

n

.

n





Suku ke-20 dari deret

A.

44

B.

44

C.

40

D.

38

E.

36

5.

Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada

bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah

keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....

A.

Rp1.740.000,00

B.

Rp1.750.000,00

C.

Rp1.840.000,00

D.

Rp1.950.000,00

E.

Rp2.000.000,00

TRIK SUPERKILAT 1:

� = − = − + − = + =



= . , = . , = ? � =� + � −

= + dalam ribuan rupiah

= + = = .

TRIK SUPERKILAT 1:

� = −

= − + − = +

=



TRIK SUPERKILAT 1:

� = −

= − + −

= + =



TRIK SUPERKILAT 1:

� = −

= − + − = +

=



TRIK SUPERKILAT 2:

�= � + � ⇒ ��= � + � = � + = + = + =



TRIK SUPERKILAT 2:

�= � + � ⇒ ��= � + � = � + = + = + =



TRIK SUPERKILAT 2:

�= � + � ⇒ ��= � − � = � − = − = − =



TRIK SUPERKILAT 2:

(8)

6.

Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp.1.600.000,00.

Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang

diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ....

A.

Rp25.800.000,00

B.

Rp25.200.000,00

C.

Rp25.000.000,00

D.

Rp18.800.000,00

E.

Rp18.000.000,00

7.

Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi

turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16

adalah ....

A.

45.760

B.

45.000

C.

16.960

D.

16.000

E.

1

9.760

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

= . . , = . , = ?

� =� + � −

= . + dalam ribuan rupiah

= . + . = .

= Rp .

= . = − = ?

� =� + � −

= ( . + − ) = . − .