SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2014 (Full Version – Free Edition)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

TAHUN PELAJARAN 2013

/2014

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

SKL 1. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah.

1. 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Implikasi

Kesetaraan Implikasi

𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝

Penarikan Kesimpulan

Modus Ponens & Tollens

Silogisme

“implikasi” + “pernyataan”= “pernyataan” “implikasi” + “implikasi”= “implikasi”

Coret pernyataan yang sama

Selesai Keterangan:

Warning!! Jika terdapat pernyataan majemuk selain implikasi, maka ubah dulu menggunakan konsep kesetaraan implikasi.

Modus Ponens dan Modus Tollens

Pola penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens dan Modus Tollens adalah serupa, yakni

penarikan kesimpulan dari dua premis. Premis pertama adalah harus sebuah implikasi, dan premis kedua berisi pernyataan tunggal. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah pernyataan tunggal.

Contoh:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah. Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan : Hari ini tidak hujan deras. Silogisme

Penarikan kesimpulan menggunakan Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua premis yang harus berupa implikasi. Hasil dari penarikan kesimpulan adalah implikasi dan bentuk setara yang lain.

Contoh:

Premis 1 : Jika cuaca hujan maka Agus pakai payung. Premis 2 : Jika Agus pakai payung maka Agus tidak basah. Kesimpulan : Jika cuaca hujan maka Agus tidak basah.

= Cuaca tidak hujan atau Agus tidak basah. = Jika Agus basah maka cuaca tidak hujan.

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

UN Matematika SMA Program IPA

(3)

Halaman 2 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)} 1. 2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Ingkaran

Pernyataan Majemuk

Pernyataan Berkuantor

“

Dan, Atau

”

“

Jika Maka

”

“

Semua, Ada

”

Ubah operator dan pernyataan “dan tidak” Ubah kuantor dan pernyataan

Selesai Keterangan:

“Dan, Atau”

Pola ingkaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi adalah sama, yaitu tukarkan operator dan ingkarkan semua pernyataannya.

Contoh:

Ingkaran dari Saya makan mie dan dia membeli baju

adalah: Saya tidak makan mie atau dia tidak membeli baju “Jika Maka”

Pola ingkaran dari pernyataan majemuk implikasi adalah “dan tidak”. Contoh:

Ingkaran dari Jika saya lulus ujian maka ayah memberi hadiah

adalah: Saya lulus ujian dan ayah tidak memberi hadiah

“Semua, Ada”

Pola ingkaran dari pernyataan berkuantor adalah sama, yaitu tukarkan operator kuantornya dan ingkarkan pernyataannya.

Contoh:

Ingkaran dari Semua siswa ikut upacara bendera pada hari Senin.

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 3 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak keluar rumah.

Premis 2 : Bona keluar rumah.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

A.

Hari ini hujan deras

B.

Hari ini hujan tidak deras

C.

Hari ini hujan tidak deras atau bona tidak keluar rumah

D.

Hari ini tidak hujan dan Bona tidak keluar rumah

E.

Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah

2.

Ingkaran pernyataan “Jika semua anggota keluarga pergi, maka semua pintu rumah dikunci rapat ” adalah

....

A.

Jika ada anggota rumah yang tidak pergi maka ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

B.

Jika ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat maka ada anggota keluarga yang tidak pergi.

C.

Jika semua pintu rumah ditutup rapat maka semua anggota keluarga pergi.

D.

Semua anggota keluarga pergi dan ada pintu rumah yang tidak dikunci rapat.

E.

Semua pintu rumah tidak dikunci rapat dan ada anggota keluarga yang tidak pergi.

3.

Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit.

Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah ....

A.

Jika Tio sakit maka ia kehujanan.

B.

Jika Tio kehujanan maka ia demam.

C.

Tio kehujanan dan ia sakit.

D.

Tio kehujanan dan ia demam.

E.

Tio demam karena kehujanan.

4.

Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah

....

A.

Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet.

B.

Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet.

C.

Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet.

D.

Ada mahasiswa berdemonstrasi.

E.

Lalu lintas tidak macet.

5.

Diketahui premis-premis sebagai berikut:

Premis I

: “Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung.”

Premis II

: “Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang.”

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ....

A.

Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

B.

Jika saya pergi ke Lembang maka Cecep lulus ujian.

C.

Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

D.

Cecep lulus ujian dan saya pergi ke Lembang.

E.

Saya jadi pergi ke Lembang atau Cecep tidak lulus ujian.

6.

Negasi dari pernyat

aan: “Jika semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah maka Roy siswa teladan”,

adalah ...

A.

Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

B.

Semua siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy siswa teladan.

C.

Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah dan Roy bukan siswa teladan.

D.

Ada siswa SMA mematuhi disiplin sekolah atau Roy siswa teladan.

E.

Jika siswa SMA disiplin maka Roy siswa teladan.

Modus tollens : ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ ∼ 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟

∴ ∼ ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛

Jadi kesimpulannya hari ini tidak hujan deras.

∼ [(∀𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖) ⇒ (∀𝑝𝑖𝑛𝑡𝑢, 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖)] ≡ (∀𝑎𝑛𝑔𝑔𝑜𝑡𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖) ∧ (∃𝑝𝑖𝑛𝑡𝑢, ∼ 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖)

Silogisme : ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ 𝑠𝑎𝑘𝑖𝑡 𝑠𝑎𝑘𝑖𝑡 ⇒ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚 ∴ ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚

Jadi kesimpulannya Jika Tio kehujanan, maka ia demam.

∼ [(∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ⇒ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡] ≡ (∀𝑚𝑎ℎ𝑎𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑑𝑒𝑚𝑜) ∧ ∼ 𝑚𝑎𝑐𝑒𝑡

Silogisme : 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠 ⇒ 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 ⇒ 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 ∴ 𝑙𝑢𝑙𝑢𝑠 ⇒ 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔

Jadi kesimpulannya Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang.

(5)

Halaman 4 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana,

fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, matriks dan determinan,vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.

2. 1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.

Pangkat

Definisi

Sifat

𝑎𝑛_{= 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎}_⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

“Bilangan Pokok Sama” “Kurung”

untuk 𝑎 ≠ 0, berlaku: 𝑎0 _{= 1} 𝑎−𝑛₌ 1 𝑎𝑛

𝑎𝑚_{× 𝑎}𝑛_{= 𝑎}𝑚+𝑛 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; 𝑎 ≠ 0

(𝑎𝑚₎𝑛_{= 𝑎}𝑚×𝑛 (𝑎 × 𝑏)𝑛_{= 𝑎}𝑛_{× 𝑏}𝑛

(𝑎_𝑏)𝑛=𝑎_𝑏𝑛𝑛 ; 𝑏 ≠ 0

Pangkat Pecahan

Bentuk Akar

Definisi

Sifat

“Invers Pangkat” “Bentuk Akar Sama” “Kurung” 𝑎 = 𝑏𝑛_{⇔ √𝑎}𝑛 _{= 𝑏}

"PangkatPecahan" √𝑎

𝑛 _{= 𝑎}_𝑛1

𝑝 √𝑎𝑛

+ 𝑞 √𝑎𝑛

= (𝑝 + 𝑞) √𝑎𝑛 𝑝 √𝑎𝑛

− 𝑞 √𝑎𝑛

= (𝑝 − 𝑞) √𝑎𝑛

√ √𝑎𝑛 𝑚

= 𝑚×𝑛√𝑎 √𝑎𝑏

𝑛

= √𝑎𝑛 _{× √𝑏}𝑛 √𝑎_𝑏

𝑛

= 𝑛𝑛√𝑎_√𝑏 ; 𝑏 ≠ 0

Haram menjadi penyebut pecahan

Rasionalisasi

“kalikan sekawan penyebut”

𝑎 √𝑏=

𝑎 √𝑏×

√𝑏 √𝑏 𝑎

√𝑏+√𝑐= 𝑎 √𝑏+√𝑐×

√𝑏−√𝑐 √𝑏−√𝑐

Syarat:

𝑎 ∈ 𝑅 𝑛 ∈ ℤ +

"Bentuk Akar Beda"

Untuk 𝑎 > 𝑏, berlaku:

√𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

√𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏

Syarat:

(6)

Logaritma

Definisi

Sifat

𝑎𝑏 _{= 𝑐 ⇔}𝑎_{log 𝑐 = 𝑏}

Sehingga diperoleh: 𝑎0_{= 1 ⇔}𝑎_{log 1 = 0} 𝑎1 _{= 𝑎 ⇔}𝑎_{log 𝑎 = 1} 𝑎𝑛_{= 𝑎}𝑛 _⇔𝑎_{log 𝑎}𝑛 _{= 𝑛}

"Penjumlahan Pengurangan"

𝑎_{log(𝑏𝑐) =}𝑎_{log 𝑏 +}𝑎_{log 𝑐} 𝑎_{log (}𝑏

𝑐) =𝑎log 𝑏 −𝑎log 𝑐 𝑎_{log 𝑏}𝑛_{= 𝑛 ⋅}𝑎_{log 𝑏}

"Perbandingan"

𝑎_{log 𝑏 =}𝑐log 𝑏 𝑐_{log 𝑎} =

1 𝑏_{log 𝑎} 𝑎_{log 𝑏 =}𝑎_{log 𝑐 ⋅}𝑐_{log 𝑏} 𝑎𝑚_{log 𝑏}𝑛₌ 𝑛

𝑚⋅𝑎log 𝑏

Tipe soal yang sering keluar

Pangkat

Menyederhanakan bentuk pangkat

Bilangan pokok berupa angka, ubah ke bentuk bilangan pokok yang paling sederhana. Bilangan pokok berupa variabel, lakukan operasi pangkat tiap variabel.

Contoh:

Tentukan bentuk sederhana dari:

2125 ⋅ 1256 834_{⋅ 6}13

= ….

Penyelesaian:

2125 _{⋅ 12}56 834_{⋅ 6}13

= 2 5

12_{⋅ (2}2_{⋅ 3)}56 (23₎3₄_{⋅ (2 ⋅ 3)}1₃

=2 5

12_{⋅ 2}53_{⋅ 3}56 294⋅ 213⋅ 313 = 212+5 53−94−13⋅ 356−13 = 2−12⋅ 312

=3 1 2 212

= (3₂₎ 1 2

𝑎_{log 𝑏 =}𝑎_{log 𝑏 ⇔ 𝑎}𝑎log 𝑏 _{= 𝑏}

Syarat:

𝑎, 𝑝 > 0 𝑝 ≠ 1

Contoh:

Tentukan bentuk sederhana dari:

24𝑎−7_𝑏−2_𝑐1 6𝑎−2_𝑏−3_𝑐−6= ….

Penyelesaian:

24𝑎−7_𝑏−2_𝑐1

6𝑎−2_𝑏−3_𝑐−6= 8 ⋅ 𝑎−7−(−2)⋅ 𝑏−2−(−3)⋅ 𝑐1−(−6) = 8𝑎−5_𝑏𝑐7

(7)

Halaman 6 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Bentuk Akar

Menyederhanakan Bentuk Akar

Cari faktor bilangan tersebut yang dapat diakar, sehingga mendapatkan bentuk akar paling sederhana. Contoh:

√72 = √36√2 = 6√2 √54

3

= √273 3√2= 3√23

Menyederhanakan bentuk akar dengan konsep √(𝒂 + 𝒃) ±𝟐√𝒂𝒃 = √𝒂 ± √𝒃

Pastikan bilangan di depan akar adalah harus angka 2. Jika bukan 2, maka ubahlah menjadi 2. Contoh:

√5 + √24 =….

Penyelesaian:

√5 + √24 = √5 + √4√6 = √5 +𝟐√6 = √(3 + 2) + 2√3 ∙ 2 = √3 + √2

Menyederhanakan bentuk akar dengan merasionalisasi penyebut pecahan bentuk akar

Kalikan dengan 1 (pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah sekawan bentuk akar tersebut)

Sekawan dari _√𝑎 adalah _√𝑎.

Sekawan dari √𝑎 + √𝑏 adalah √𝑎 − √𝑏. Sekawan dari √𝑎 − √𝑏 adalah √𝑎 + √𝑏.

Contoh:

Bentuk sederhana dari

3√3 + √7 √7 − 2√3 adalah ….

Penyelesaian:

3√3 + √7 √7 − 2√3=

3√3 + √7 √7 − 2√3×

√7 + 2√3 √7 + 2√3=

3√21 + 18 + 7 + 2√21

7 − 12 =

25 + 5√21

−5 = −5 − √21

Logaritma

Menyederhanakan bentuk logaritma

Gunakan definisi dan sifat logaritma untuk menyederhanakan logaritma. Contoh:

5 ∙2_{log 3 +}2_{log 5 −}2_{log 15} 2_{log 9} = ….

Penyelesaian:

5 ∙2_{log 3 +}2_{log 5 −}2_{log 15}

2_{log 9} =

2_{log 3}5₊2_{log 5 −}2_{log 15} 2_{log 9}

=

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7 Menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.

Gunakan definisi untuk menyusun bentuk logaritma menggunakan beberapa bentuk logaritma yang lain.

Contoh:

Jika 2log 3 = 𝑎 dan 3log 5 = 𝑏. Nilai dari 12log 150 = ….

Penyelesaian:

12_{log 150 =}3log 150 3_{log 12 =}

3_{log(2 ∙ 3 ∙ 5}2₎ 3_log(22_{∙ 3) =}

3_{log 2 +}3_{log 3 +}3_{log 5}2 3_{log 2}2₊3_{log 3} =

3_{log 2 +}3_{log 3 + 2 ∙}3_{log 5} 2 ∙3_{log 2 +}3_{log 3}

= 1

𝑎 + 1 + 2𝑏 2 𝑎 + 1

= 1

𝑎 + 1 + 2𝑏 2 𝑎 + 1

×𝑎_𝑎

=1 + 𝑎 + 2𝑎𝑏_{2 + 𝑎}

Cara tersebut cukup menyita waktu kalau digunakan saat mengerjakan soal UN, karena kita harus menuliskan panjang lebar konsep definisi dan sifat logaritma. Nah, perhatikan urutan mengerjakannya:

Pertama, ubah logaritma menjadi perbandingan.

Kedua, faktorkan numerus kedua logaritma tersebut sehingga memuat bilangan pada logaritma yang diketahui. Ketiga, menjabarkan kedua logaritma tersebut dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma.

Keempat, mengubah bentuk logaritma ke dalam variabel yang diketahui pada soal.

Kelima, apabila masih terdapat bentuk pecahan, bulatkan dengan mengalikan KPK penyebut. Selesai.

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang diketahui.

𝟐_log_𝟑_{= 𝑎}_dan𝟑_log_𝟓_{= 𝑏}_.

Ternyata bilangannya adalah 2, 3, dan 5.

Lalu, cari bilangan yang sama.

Ternyata bilangan yang sama adalah 3.

Semua bilangan akan menjadi numerus dari bentuk logaritma yang akan menjadi acuan kita nanti, sedangkan bilangan yang sama akan menjadi basis dari logaritma tersebut.

𝟑_{log 2 =}1 𝑎 𝟑_{log 5 = 𝑏} 𝟑_{log 3 = 1} Cara membacanya:

Bilangan 2 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1 𝑎. Bilangan 5 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan b. Bilangan 3 pada langkah berikutnya akan disubstitusi dengan 1.

Perhatikan basis dan numerus pada bentuk logaritma yang ditanyakan. Ubah menjadi pecahan (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠

𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠 ). 𝟏𝟐_log_𝟏𝟓𝟎_⇒𝟏𝟓𝟎

𝟏𝟐

Faktorkan kedua bilangan tersebut dengan memperhatikan ketiga angka tadi (2, 3, dan 5).

Segera substitusikan faktor dari kedua bilangan tersebut seperti cara membaca ketiga logaritma acuan tadi. Jangan lupa untuk mengubah tanda perkalian menjadi penjumlahan.

150 12 =

2 × 3 × 5 × 5 2 × 2 × 3 =

1

𝑎 + 1 + 𝑏 + 𝑏 1

𝑎 +1𝑎 + 1 =

1

𝑎 + 1 + 2𝑏 2 𝑎 + 1 Jadi,

𝟏𝟐_log_𝟏𝟓𝟎₌ 1

(9)

Halaman 8 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui

, 2, 2

1 _

 b

a

dan

c



1

.

Nilai dari

₂ ₁ 3 2 . . . .   c b a c b a

adalah ....

A.

1

B.

4

C.

16

D.

64

E.

96

2.

Diketahui

a4,b2,

dan

.

2

1



c

Nilai

₃

4 2 1 ) (   _ c b

a

adalah ....

A.

2 1

B.

4 1

C.

8 1

D.

16 1

E.

32 1

3.

Jika diketahui

,

5 1 , 3 1   y

x

dan

z



2

.

Nilai

4 2 3 2 4    

z

y

x

yz

x

adalah ....

A.

32

B.

60

C.

100

D.

320

E.

640

(𝑎−1₎2_× 𝑏4

𝑐−3= (4−1)2× 24 (12)−3 =₁₆1 ×16₈

=1₈

𝑥−4_𝑦𝑧−2

𝑥−3_𝑦2_𝑧−4= 𝑥−4−(−3) 𝑦(1−2) 𝑧−2−(−4) = 𝑥−1_𝑦−1_𝑧2

= (1₃₎−1 (1₅₎−1 (2)2 = 3 ∙ 5 ∙ 4

= 60 𝑎−2_𝑏𝑐3

𝑎𝑏2_𝑐−1= 𝑐4 𝑎3_{𝑏 =}

14 (12)32 = 1₁

(10)

4.

Bentuk

3

2

7

3





dapat disederhanakan menjadi bentuk ....

A.



25



5

21

B.



25



5

21

C.



5



5

21

D.



5



21

E.



5



21

5.

Bentuk

3

2

3

2



A.

43 6

B.

4 6

C.

4 6

D.

4 6

E.

4 6

6.

Bentuk

5

2

5

3

2





A.



17 4 10



3

1 

B.



15 4 10



3

2 _



C.



15 4 10



3

2 _

D.



17 4 10



3

1 _



E.



17 4 10



3

1  

3√3 + √7 √7 − 2√3=

3√3 + √7 √7 − 2√3×

√7 + 2√3 √7 + 2√3 =3√21 + 18 + 7 + 2√21_{7 − 12}

=25 + 5√21₋₅ = −5 − √21

LOGIKA PRAKTIS:

Pembilang positif semua tandanya. Sekawan penyebut juga positif semua. Pasti pembilang hasil rasionalisasi positif juga (plus plus).

Lihat bentuk bilangan negatif lebih besar dari bilangan positif, artinya perkalian penyebut dengan sekawan penyebut pasti negatif.

Pola jawabannya pasti negatif semua (min min).

Duh, tapi sayang ada dua jawaban yang seperti kriteria tsb. (A dan E).



√2 − 2√3 √2 − √3 =

√2 − 2√3 √2 − √3 ×

√2 + √3 √2 + √3 =2 + √6 − 2√6 − 6_{2 − 3}

=−4 − √6₋₁ = 4 + √6

√2 + 3√5 √2 − √5 =

√2 + 3√5 √2 − √5 ×

√2 + √5 √2 + √5 =2 + √10 + 3√10 + 15_{2 − 5}

=17 + 4√10₋₃

=_{−3 (17 + 4√10)}1

(11)

7.

Diketahui

5log3a

dan

3log4b.

Nilai

4log15

....

A.

ab a  1

B.

b a   1 1

C.

a b   1 1

D.

a ab  1

E.

b ab  1

8.

Diketahui

3log6 p, 3log2q.

Nilai

24log288 

....

A.

q p q p 2 3 2  

B.

q p q p 2 2 3  

C.

q p q p 3 2 2  

D.

q p q p 2 3 2  

E.

q p p q 3 2 2  

9.

Diketahui

2log3 x, 2log10  y.

Nilai

6log120 

....

A.

1 2    x y x

B.

2 1    y x x

C.

2  xy x

D.

x xy2

E.

1 2  x xy

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

4_{log 15 =}3log 15 3_{log 4} =3₃log 15_{log 4} =3log(3 × 5)₃_{log 4} =3log₃3 +_log3₄log5

=1 + 1𝑎_𝑏 ×𝑎_𝑎

=𝑎 + 1_𝑎𝑏

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!

5_{log 3 = 𝑎 ⇒}3_{log 5 =}1 𝑎 3_{log 4 = 𝑏} 3_{log 3 = 1}

}

bertemu 5 tulis1_𝑎 bertemu 4 tulis 𝑏 bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya.

Cara cepat ini meringkas pengerjaan ini lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

Jadi,

4_{log 15} jadikan pecahan ⇒ 15₄

faktorkan sehingga muncul angka warna

biru di atas ⇒ 3 × 5₄

ubah tanda kali menjadi tambah,dan

⇒ 1 + 1𝑎_{𝑏 = 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡}



24_{log 288} ⇒ 3₃log 288_{log 24} ⇔3₃log(2_log(23₂× 6_{× 6)}2) ⇔3₃log_log2₂3₂+₊3₃log_log6₆2 ⇔3 ∙_{2 ∙}3log 2 + 2 ∙₃_{log 2 +}₃3_{log 6}log 6 ⇔3𝑞 + 2𝑝_{2𝑞 + 𝑝}

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma!

3_{log 6 = 𝑝} 3_{log 2 = 𝑞} 3_{log 3 = 1} }

bertemu 6 tulis 𝑝 bertemu 2 tulis 𝑞 bertemu 3 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya.

Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping!

Jadi,

24_{log 288} jadikan pecahan ⇒ 288₂₄

biru di atas

⇒ 2₂3₂× 6_{× 6}2

ubah tanda kali menjadi

tambah,dan

⇒ 3𝑞 + 2𝑝_{2𝑞 + 𝑝 = 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡}



6_{log 120} ⇒ 2₂log 120_{log 6}

⇔2log(2₂_{log(2 × 3)}2× 3 × 10)

⇔2log2₂2_log+2₂log₊₂3_log+2₃log10 ⇔2 ∙2log 2 +₂_{log 2 +}2log 3 +₂_{log 3}2log 10 ⇔2 + 𝑥 + 𝑦_{1 + 𝑥}

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! 2_{log 3 = 𝑥}

2_{log 10 = 𝑦} 2_{log 2 = 1} }

bertemu 3 tulis 𝑥 bertemu 10 tulis 𝑦

bertemu 2 tulis 1 Ingat tanda kali diganti tambah ya.

Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru disamping lho!

Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! Jadi,

6_{log 120} jadikan pecahan ⇒ 120₆

biru di atas

⇒ 22× 3 × 10_{2 × 3}

ubah tanda kali menjadi tambah,dan

(12)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 11 2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuadrat (PK)

𝒂𝒙

𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Akar-Akar PK

𝑥1=−𝑏+√𝑏 2_−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2_−4𝑎𝑐 2𝑎

Jumlah Akar-Akar PK

Hasil Kali Akar-Akar PK

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏_𝑎 𝑥1𝑥2=_𝑎𝑐

Selisih Akar-Akar PK

|𝑥1− 𝑥2| =√𝑏 2_−4𝑎𝑐

𝑎 =

√𝐷 𝑎

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

𝑥12± 𝑥22 = (𝑥1± 𝑥2)2∓ 2𝑥1𝑥2

𝑥12− 𝑥22 = (𝑥1+ 𝑥2)(𝑥1− 𝑥2)

𝑥13± 𝑥23 = (𝑥1± 𝑥2)3∓ 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1± 𝑥2)

𝑥14± 𝑥24 = (𝑥12± 𝑥22)2∓ 2(𝑥1𝑥2)2

1 𝑥1±

1 𝑥2 =

𝑥1± 𝑥2

𝑥1𝑥2

1 𝑥12+

1 𝑥22 =

𝑥12+ 𝑥22

(𝑥1𝑥2)2

𝑥1

𝑥2±

𝑥2

𝑥1 =

𝑥12± 𝑥22

(13)

Halaman 12 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Menyusun bentuk simetri akar-akar PK

Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).

Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal:

Jumlah Kuadrat Akar-Akar PK:

𝑥12+ 𝑥22= …. Penyelesaian:

Ingat bentuk (𝑥₁+ 𝑥₂)2= 𝑥₁2+ 2𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₂2, maka diperoleh:

𝑥12+ 𝑥22= (𝒙𝟏+ 𝒙𝟐)2− 2𝒙𝟏𝒙𝟐 Selisih Kuadrat Akar-Akar PK

𝑥12− 𝑥22= …. Penyelesaian:

Ingat bentuk (𝑥₁− 𝑥₂)2= 𝑥₁2− 2𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₂2, maka diperoleh:

𝑥12− 𝑥22= (𝒙𝟏− 𝒙𝟐)2+ 2𝒙𝟏𝒙𝟐

Atau ingat bentuk (𝑥₁+ 𝑥₂)(𝑥₁− 𝑥₂) = 𝑥₁2− 𝑥₁2, maka diperoleh:

𝑥12− 𝑥22= (𝒙𝟏+ 𝒙𝟐)(𝒙𝟏− 𝒙𝟐) Jumlah Pangkat Tiga Akar-Akar PK

Ingat bentuk (𝑥₁+ 𝑥₂)3= 𝑥₁3+ 3𝑥₁2𝑥₂+ 3𝑥₁𝑥₂2+ 𝑥₂3

= 𝑥13+ 3(𝑥1𝑥2)(𝑥1+ 𝑥2) + 𝑥23 maka diperoleh:

𝑥13+ 𝑥23= (𝒙𝟏+ 𝒙𝟐)3− 3(𝒙𝟏𝒙𝟐)(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐) Jumlah Pangkat Empat Akar-Akar PK:

Ingat bentuk (𝑥2+ 𝑥₂2)2= 𝑥₁4+ 2𝑥2𝑥2+ 𝑥₂4, maka diperoleh:

𝑥14+ 𝑥24= (𝒙𝟏𝟐+ 𝒙𝟐𝟐)2− 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2

= [(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐)2− 2𝒙𝟏𝒙𝟐]2− 2(𝒙𝟏𝒙𝟐)2 Dan lain-lain ….

Contoh:

Persamaan kuadrat −2𝑥2+ 3𝑥 − 2 = 0 memiliki akar-akar 𝑥₁ dan 𝑥₂, maka nilai 𝑥₁2+ 𝑥₂2= .... Penyelesaian:

Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut: 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐= −𝑏_{𝑎 = −}_{−2 =}3 3₂

𝒙𝟏𝒙𝟐=_{𝑎 =}𝑐 −2_{−2 = 1}

Kedua, cari bentuk identik dari 𝑥₁2+ 𝑥₂2 yang memuat bentuk 𝑥₁+ 𝑥₂ dan 𝑥₁2+ 𝑥₂2.

𝑥12+ 𝑥22= (𝒙𝟏+ 𝒙𝟐)2− 2𝒙𝟏𝒙𝟐

(14)

Menyusun PK Baru

Diketahui:

𝒂𝒙𝟐_{+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎}_{adalah PK Lama}

𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐adalah akar-akar PK Lama

𝜶 dan 𝜷 adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!

Apakah 𝜶 dan 𝜷 identik atau tidak?

Jika

𝛼

dan

𝛽

identik

Jika

𝛼

dan

𝛽

tidak identik

Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama

𝜷−𝟏 _𝒙

𝟏+ 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Substitusi 𝜷−𝟏 ke PK Lama

cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru

𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷

menggunakan nilai 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐 dan 𝒙𝟏𝒙𝟐

Rumus PK Baru adalah

𝑎(𝜷−𝟏)2+ 𝑏(𝜷−𝟏) + 𝑐 = 0 𝑥2− (𝜶 + 𝜷)𝑥 + (𝜶𝜷) = 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi artinya substitusi penjumlahan.

Dikalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Dibalik artinya juga dibalik.

Dinegatifkan artinya koefisien 𝑏 juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, maka: 1. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼+ 𝒏) dan (𝛽+ 𝒏)

𝑎(𝑥− 𝒏)2_{+ 𝑏(𝑥}_{− 𝒏}_{) + 𝑐 = 0}

2. PK Baru yang akar-akarnya (𝛼− 𝒏) dan (𝛽− 𝒏)

𝑎(𝑥+ 𝒏)2_{+ 𝑏(𝑥}_{+ 𝒏}_{) + 𝑐 = 0} 3. PK Baru yang akar-akarnya (𝒏𝛼) dan (𝒏𝛽)

𝑎𝑥2₊_𝒏_{𝑏𝑥 +}_𝒏𝟐_{𝑐 = 0} 4. PK Baru yang akar-akarnya (𝟏

𝜶) dan ( 𝟏 𝜷)

𝒄𝑥2_{+ 𝑏𝑥 +}_𝒂_{= 0}

5. PK Baru yang akar-akarnya (−𝛼) dan (−𝛽)

(15)

Contoh 1:

Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2− 12𝑥 + 2 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah …. Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (𝑥 + 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (𝑥 + 2).

Invers dari (𝑥 + 2) adalah (𝒙 − 𝟐).

Ketiga, Substitusikan (𝒙 − 𝟐)menggantikan variabel 𝑥 pada PK Lama:

3(𝒙 − 𝟐)2_{− 12(}_{𝒙 − 𝟐}_{) + 2 = 0}

⇔ 3(𝑥2_{− 4𝑥 + 4) − 12𝑥 + 24 + 2 = 0}

⇔ 3𝑥2_{− 12𝑥 + 12 − 12𝑥 + 24 + 2 = 0}

⇔ 3𝑥2_{− 24𝑥 + 38 = 0}

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (𝛼 + 2) dan (𝛽 + 2) adalah 3𝑥2− 24𝑥 + 38 = 0.

Contoh 2:

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2− 4𝑥 + 8 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan 𝛽

𝛼adalah …. Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak? Akar-akar PK Baru 𝛼

𝛽 dan 𝛽

𝛼, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama. 𝜶 + 𝜷= −−4_{2 = 2}

𝜶𝜷=8_{2 = 4}

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Baru menggunakan nilai 𝜶 + 𝜷 dan 𝜶𝜷 .

𝛼 𝛽 +

𝛽 𝛼 =

𝛼2_{+ 𝛽}2

𝛼𝛽

=(𝜶 + 𝜷_𝜶𝜷)2− 2𝜶𝜷 =𝟐2− 2 ∙_𝟒 𝟒 =4 − 8₄ = −4

4 = −1 𝛼

𝛽 𝛽 𝛼 = 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

𝑥2_{− (}_{jumlah akar-akar PK baru}_{)𝑥 +}_{hasil kali akar-akar PK baru}_{= 0}

𝑥2_{− (−1)𝑥 + 1 = 0}

𝑥2_{+ 𝑥 + 1 = 0} Jadi, PK Baru yang akar-akarnya 𝛼

𝛽 dan 𝛽

(16)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 15 Contoh 3

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 + 3) dan (𝛽 + 3) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah penjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 − 3). Jadi, PK Baru adalah:

2(𝑥 − 3)2_{− 5(𝑥 − 3) + 3 = 0}

Jabarkan sendiri ya…!

Contoh 4

Akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥2+ 12𝑥 − 1 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (𝛼 − 2) dan (𝛽 − 2) adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah pengurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (𝑥 + 2). Jadi, PK Baru adalah:

3(𝑥 + 2)2_{+ 12(𝑥 + 2) − 1 = 0}

Contoh 5

Akar-akar persamaan kuadrat −4𝑥2+ 2𝑥 − 7 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2𝛼 dan 2𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

Jadi, PK Baru adalah:

−4𝑥2₍₂0_{) + 2𝑥(2}1_{) − 7(2}2_{) = 0}

Contoh 6

Akar-akar persamaan kuadrat 7𝑥2− 5𝑥 + 13 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 𝛼

5 dan 𝛽

5 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah pembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

7𝑥2₍₅5_{) − 5𝑥(5}1_{) + 13(5}0_{) = 0}

Contoh 6

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2− 𝑥 + 5 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1

𝛼 dan 1

𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah kebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 𝑥2 dengan konstanta.

(17)

Contoh 7

Akar-akar persamaan kuadrat −𝑥2+ 2𝑥 + 4 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya −𝛼 dan −𝛽 adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah negatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 𝑥 dikalikan (−1). Jadi, PK Baru adalah:

−𝑥2_{+ 2𝑥(−1) + 4 = 0}

−𝑥2_{− 2𝑥 + 4 = 0} Contoh 7

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2𝛼 − 3) dan (2𝛽 − 3)adalah …. Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Akar-akar PK Baru adalah perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,

dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3). Jadi, PK Baru adalah:

2𝑥2₍₂0_{) − 5𝑥(2}1_{) + 3(2}2_{) = 0}

2𝑥2_{− 10𝑥 + 12 = 0}

Dilanjutkan dengan substitusi (𝑥 + 3).

2(𝑥 + 3)2_{− 10(𝑥 + 3) + 12 = 0}

(18)

Berlawanan

Berkebalikan

𝑏 = 0 𝑎 = 𝑐

Sifat-Sifat

Akar-Akar PK

Perbandingan

Selisih

𝑛𝑏2_{= (𝑛 + 1)}2_𝑎𝑐 _{𝐷 = (𝑛𝑎)}2

Keterangan:

Menggunakan sifat-sifat akar-akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.

TRIK SUPERKILAT

Sifat akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 yang mungkin keluar di soal: 1. Jika akar yang satu kelipatan 𝑛 dari akar yang lain (𝑥₁= 𝑛𝑥₂), maka 𝑛𝑏2= (𝑛 + 1)2𝑎𝑐 2. Jika selisih akar-akarnya adalah 𝑛(|𝑥₁− 𝑥₂| = 𝑛), maka 𝐷 = (𝑛𝑎)2

3. Jika akar-akarnya berlawanan (𝑥₁= −𝑥₂ atau 𝑥₁+ 𝑥₂= 0), maka 𝑏 = 0 4. Jika akar-akarnya berkebalikan (𝑥₁ = 1

𝑥2 atau 𝑥1𝑥2= 1), maka 𝑎 = 𝑐 Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat 2𝑥2+ 𝑚𝑥 + 16 = 0 adalah 𝛼 dan 𝛽. Jika 𝛼 = 2𝛽 dan 𝛼, 𝛽 positif maka nilai 𝑚 =….

Penyelesaian:

Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena 𝛼 = 2𝛽, maka jelas nilai 𝑛 = 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK.

𝑛𝑏2_{= (𝑛 + 1)}2_𝑎𝑐

⇔ 2𝑚2_{= (2 + 1)}2_{∙ 2 ∙ 16}

⇔ 𝑚2_{= 3}2_{∙ 4}2

⇔ 𝑚 = ±12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga:

𝑥1+ 𝑥2> 0 ⇒ −_{𝑎 > 0}𝑏

⇔ −𝑚_{2 > 0} ⇔ 𝑚 < 0

(19)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Akar-akar persamaan kuadrat

x2 ax40

adalah

p

dan

q.

Jika

p2 2pqq2 8a,

maka nilai

a

....

A.

−8

B.

−4

C.

4

D.

6

E.

8

2.

Persamaan

kuadrat

x2  (m  1) x  5  0

mempunyai

akar-akar

x₁

dan

x₂.

Jika

,

8 2 1 2 2

2 2

1 x x x m

x   

maka nilai

m

....

A.

−3 atau −7

B.

3 atau 7

C.

3 atau −7

D.

6 atau 14

E.

−6 atau −14

3.

Persamaan kuadrat

x2 4px40

mempunyai akar-akar

x₁

dan

x₂.

Jika

2 32, 2

1 2 2

1x x x 

x

maka nilai



p

....

A.

−4

B.

−

2

C.

2

D.

4

E.

8

Jika adik-

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

𝑥12+ 𝑥22− 2𝑥1𝑥2= 8𝑚 ⇒ (𝑥1+ 𝑥2)2_{− 4𝑥1𝑥2}_{= 8𝑚} ⇔ (−𝑚 + 1)2_{+ 20 = 8𝑚} ⇔ 𝑚2_{− 10𝑚 + 21 = 0} ⇔ (𝑎 − 3)(𝑎 − 7) = 0 ⇔ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 7 = 0 ⇒ 𝑎 = 3 𝑎 = 7 𝑥1+ 𝑥2= −𝑚 + 1

𝑥1. 𝑥2= −5 𝑝 + 𝑞 = −𝑎 𝑝. 𝑞 = −4

𝑝2_{− 2𝑝𝑞 + 𝑞}2_{= 8𝑎} ⇒ (𝑝 + 𝑞)2_{− 4𝑝𝑞 = 8𝑎}

⇔ 𝑎2_{+ 16 = 8𝑎}

⇔ 𝑎2_{− 8𝑎 + 16 = 0} ⇔ (𝑎 − 4)(𝑎 − 4) = 0

⇒ 𝑎 = 4

𝑥1𝑥22_{+ 𝑥1}2_𝑥2_{= 32} ⇒ 𝑥1𝑥2(𝑥1+ 𝑥2) = 32

⇔ 4(−4𝑝) = 32

⇔ −16𝑝 = 32

⇔ 𝑝 =₋₁₆32

⇔ 𝑝 = −2

(20)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 19 2. 3. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.

Persamaan Kuadrat (PK)

𝒂𝒙

𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Diskriminan

𝑫 = 𝒃

𝟐

− 𝟒𝒂𝒄

Persamaan Kuadrat

Fungsi Kuadrat

𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0} _{𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥}2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

𝐷 ≥ 0 𝐷 < 0 𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝐷 < 0

akar real akar imajiner memotong menyinggung terpisah

𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝑎 > 0, 𝐷 < 0 𝑎 < 0, 𝐷 < 0

berbeda kembar definit positif definit negatif

𝐷 = 𝑟2 rasional

TRIK SUPERKILAT.

Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!

“Persamaan kuadrat𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai 𝑝 =….“

“Fungsi kuadrat𝑦 = 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝yang memenuhi adalah ….”

“Grafik𝑦 = 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4memotong garis 𝒚 = 𝟎 di dua titik. Batas-batas nilai 𝑝yang memenuhi adalah ….”

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 𝐃𝐔𝐀 akar real 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 sumbu X di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀

𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆 garis di 𝐃𝐔𝐀 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀 } ⇒ 𝐷 > 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real 𝐊𝐄𝐌𝐁𝐀𝐑 (= 𝐒𝐀𝐓𝐔) 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik

𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis di 𝐒𝐀𝐓𝐔 titik 𝐁𝐄𝐑𝐁𝐄𝐃𝐀} ⇒ 𝐷 = 0

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐈𝐋𝐈𝐊𝐈 akar real

𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 sumbu X

𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐌𝐎𝐓𝐎𝐍𝐆/𝐓𝐈𝐃𝐀𝐊 𝐌𝐄𝐍𝐘𝐈𝐍𝐆𝐆𝐔𝐍𝐆 garis } ⇒ 𝐷 < 0

(21)

Soal yang sering ditanyakan

PERSAMAAN KUADRAT.

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.

Contoh:

Jika persamaan kuadrat 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 akan memiliki dua akar berbeda. Batas-batas nilai pyang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), dan 𝑐 = (−𝑝 + 4)

Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0} ⇔ (𝑝 + 2)2_{− 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0} ⇔ 𝑝2_{+ 4𝑝 + 4 + 4𝑝}2_{− 16𝑝 < 0} ⇔ 5𝑝2_{− 12𝑝 + 4 < 0} ⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8 ⇔ 𝑝 <2_{5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2}

⇔ 𝑚 <2₃

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.

Contoh:

Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat 𝑥2+ (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0memiliki dua akar kembar. Maka nilai 𝑘yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 𝑥2+ (𝑘 − 3)𝑥 + 4 = 0 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0} ⇔ (𝑘 − 3)2_{− 4(1)(4) = 0} ⇔ (𝑘 − 3)2_{− 16 = 0} ⇔ 𝑘2_{− 6𝑘 + 9 − 16 = 0} ⇔ 𝑘2_{− 6𝑘 − 7 = 0} ⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0 ⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

(22)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 21 Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner)

Contoh:

Persamaan kuadrat 1

2𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + 7

2) = 0tidak memiliki akar real untuk nilai 𝑝 =….

Penyelesaian:

Dari persamaan kuadrat 1

2𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + 7

2) = 0 diperoleh: 𝑎 =1_{2 , 𝑏 =}(𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 +7₂₎

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0} ⇔ (𝑝 + 2)2_{− 4 (}1

2) (𝑝 + 7 2) < 0 ⇔ 𝑝2_{+ 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0} ⇔ 𝑝2_{+ 2𝑝 − 3 < 0} ⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0

⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

−

+

(23)

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).

Contoh:

Grafik𝑦 = 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai pyang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑝𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 − 𝑝 + 4 diperoleh:

𝑎 = 𝑝, 𝑏 = (𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (−𝑝 + 4)

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 > 0

𝐷 > 0 ⇒ 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0} ⇔ (𝑝 + 2)2_{− 4(𝑝)(−𝑝 + 4) < 0} ⇔ 𝑝2_{+ 4𝑝 + 4 + 4𝑝}2_{− 16𝑝 < 0} ⇔ 5𝑝2_{− 12𝑝 + 4 < 0} ⇔ (5𝑝 − 2)(𝑝 − 2) < 8 ⇔ 𝑝 <2_{5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 > 2}

⇔ 𝑚 <2₃

Sehingga nilai m yang memenuhi adalah 𝑚 <2

3.

Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ (𝑘 − 3)𝑥 + 4menyinggung sumbu X pada satu titik. Maka nilai 𝑘yang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ (𝑘 − 3)𝑥 + 4 diperoleh:

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑘 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4

Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0} ⇔ (𝑘 − 3)2_{− 4(1)(4) = 0} ⇔ (𝑘 − 3)2_{− 16 = 0} ⇔ 𝑘2_{− 6𝑘 + 9 − 16 = 0} ⇔ 𝑘2_{− 6𝑘 − 7 = 0} ⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 7) = 0 ⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 3

(24)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 23 Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)

Contoh:

Fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + 7

2) tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X

untuk nilai𝑝 =….

Penyelesaian:

Dari fungsi kuadrat 𝑦 =1

2𝑥2+ (𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝 + 7

2) diperoleh: 𝑎 =1

2 , 𝑏 =(𝑝 + 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = (𝑝 + 7 2)

Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan 𝐷harus memenuhi 𝐷 < 0.

𝐷 < 0 ⇒ (𝑝 + 2)2_{− 4 (}1 2) (𝑝 +

7 2) < 0 ⇔ 𝑝2_{+ 4𝑝 + 4 − 2𝑝 − 7 < 0} ⇔ 𝑝2_{+ 2𝑝 − 3 < 0} ⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 1) < 0

⇔ 𝑝 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 = 1 (𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai −1 < 𝑝 < 3.

3 −1

−

+

(25)

Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 4memotong garis𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai byang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Substitusikan 𝑦 = 3𝑥 + 4 dan𝑦 = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 4

⇒ 𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 4 = 3𝑥 + 4} ⇔ 𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 4 − 3𝑥 − 4 = 0} ⇔ 𝑥2_{+ (𝑏 − 3)𝑥 = 0}

Koefisien-koefisien persamaan kuadrat

𝑎 = 1, 𝑏 = (𝑏 − 3), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 0

Kurva memotong garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi D > 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2_{− 4(1)(0) > 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{− 0 > 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{> 0}

⇔ 𝑏 − 3 > 0

⇔ 𝑏 > 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > 3.

Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK?

Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 4menyinggung garis𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai byang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Kurva menyinggung garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 = 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2_{− 4(1)(0) = 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{− 0 = 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{= 0}

⇔ 𝑏 − 3 = 0

⇔ 𝑏 = 3

Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai 𝑏 = 3.

Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).

Contoh:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 4 tidak memotong dan tidak menyinggung garis𝑦 = 3𝑥 + 4. Nilai byang memenuhi adalah ….

Penyelesaian:

Kurva terpisah garis, maka diskriminan 𝐷 harus memenuhi 𝐷 < 0

𝐷 = 0 ⇒ (𝑏 − 3)2_{− 4(1)(0) < 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{− 0 < 0} ⇔ (𝑏 − 3)2_{< 0}

⇔ 𝑏 − 3 < 0

⇔ 𝑏 < 3

(26)

1.

Persamaan kuadrat

x2 (m2)x2m40

mempunyai akar-akar real, maka batas nilai

m

yang

memenuhi adalah ....

A.

m



2

atau

m



10

B.

m





10

atau

m





2

C.

m



2

atau

m



10

D.

2



m



10

E.



10



m





2

2.

Persamaan kuadrat

2x2 2(p4)x p0

mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai

p

yang

memenuhi adalah ....

A.

p



2

atau

p



8

B.

p



2

atau

p



8

C.

p





8

atau

p





2

D.

2 p8

E.



8



p





2

Jika adik-

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

.

Semua

soal

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

Akar-akar real ⇒ 𝐷 ≥ 0

𝑏2_{− 4𝑎𝑐 ≥ 0} ⇒ (𝑚 − 2)2_{− 4 . 1 . (2𝑚 − 4) ≥ 0} ⇔ 𝑚2_{− 12𝑎 + 20 ≥ 0} ⇔ (𝑚 − 2)(𝑚 − 10) ≥ 0 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶

𝑚 − 2 = 0 atau 𝑚 − 10 = 0 ⇒ 𝑚 = 2 𝑚 = 10

+ − +

2 10

Jadi daerah penyelesaian: 𝑚 ≤ 2 atau 𝑚 ≥ 10

Akar-akar real berbeda ⇒ 𝐷 > 0 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 ≥ 0} ⇒ (2(𝑝 − 4))2− 4 . 2 . 𝑝 ≥ 0 ⇔ 4𝑝2_{− 40𝑝 + 64 ≥ 0} ⇔ 4(𝑝 − 2)(𝑝 − 8) ≥ 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑝 − 2 = 0 atau 𝑝 − 8 = 0 ⇒ 𝑝 = 2 𝑝 = 8

+ − +

2 8

(27)

2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks

|𝑎 𝑏_{𝑐 𝑑| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐}

|𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 ℎ 𝑖| = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖

Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!

Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel

(SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

𝑎

₁

𝑥 + 𝑏

₁

𝑦 =

𝒄

_𝟏

𝑎

2

𝑥 + 𝑏

2

𝑦 =

𝒄

𝟐

Penyelesaian SPLDV

Nilai

𝑥

Nilai

𝑦

Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti!

𝑥 =

|

𝒄

𝟏

𝑏

1

𝒄

𝟐

𝑏

2

|

|𝑎

𝑎

1

𝑏

1

2

𝑏

2

|

𝑦 =

|

𝑎

1

𝒄

𝟏

𝑎

2

𝒄

𝟐

|

|𝑎

𝑎

1

𝑏

1

(28)

Sistem Persamaan Linear

Tiga Variabel

(SPLTV)

Bentuk Umum SPLTV

𝑎

1

𝑥 + 𝑏

1

𝑦 + 𝑐

1

𝑧 =

𝒅

𝟏

𝑎

2

𝑥 + 𝑏

2

𝑦 + 𝑐

2

𝑧 =

𝒅

𝟐

𝑎

3

𝑥 + 𝑏

3

𝑦 + 𝑐

3

𝑧 =

𝒅

𝟑

Penyelesaian SPLTV

Nilai

𝑥

Nilai

𝑦

Nilai

𝑧

Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti! Kolom 𝑧 diganti!

𝑥 =

|

𝒅

𝟏_𝟐

𝑏

1₂

𝑐

1₂

𝒅

_𝟑

𝑏

₃

𝑐

₃

|

𝑎

1₂

𝑏

1₂

𝑐

1₂

𝑎

3

𝑏

3

𝑐

3

|

𝑦 =

|

𝑎

1₂

𝒅

𝟏_𝟐

𝑐

1₂

𝑎

₃

𝒅

_𝟑

𝑐

₃

|

𝑎

1₂

𝑏

1₂

𝑐

1₂

𝑎

3

𝑏

3

𝑐

3

|

𝑧 =

|

𝑎

1₂

𝑏

1₂

𝒅

𝟏_𝟐

𝑎

₃

𝑏

₃

𝒅

_𝟑

|

𝑎

1₂

𝑏

1₂

𝑐

1₂

𝑎

3

𝑏

3

𝑐

3

|

Keterangan:

Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi.

Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi.

Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke?

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut:

(29)

TRIK SUPERKILAT:

Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh.

Contoh Soal:

Penyelesaian dari SPL {2𝑥 − 3𝑦 = 1

3𝑥 + 5𝑦 = 11adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

2𝑥 − 3𝑦 = 1 3𝑥 + 5𝑦 = 11

Karena yang paling pojok kiri variabel 𝑥, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel 𝑥.

Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel 𝑦.

Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5.

2𝑥 − 3𝑦 = 1 3𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya?

2𝑥 − 3𝑦 = 1 3𝑥 + 5𝑦 = 11

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut.

Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3! Hasilnya adalah:

−3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (−3)(11) − (1)(5) = −33 − 5 =−𝟑𝟖

2𝑥 − 3𝑦 = 1 3𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut.

Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah:

−3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (−3)(3) − (2)(5) = −9 − 10 =−𝟏𝟗

Jadi, nilai variabel 𝑥 adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.

𝑥 =−𝟑𝟖_−𝟏𝟗= 2

Selesai!

Paham, kan?

Kalau mencari nilai 𝑦, gimana dong?

Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel 𝑦 harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi:

−3𝑦 + 2𝑥 = 1 5𝑦 + 3𝑥 = 11

(30)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 29 Contoh 1:

Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah ....

Penyelesaian: Misal:

𝑥 = hari biasa 𝑦 = hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 6𝑥 + 4𝑦 =𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎

5𝑥 + 2𝑦 =𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎

Ditanyakan: 4𝑥 + 4𝑦 = ?

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =|

𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎 4

𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎 2|

|6 4_{5 2|} =

148.000 − 220.000

12 − 20 =

−72.000

−8 = 9.000

𝑦 =|6

𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎

5 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎|

|6 4_{5 2|} =

330.000 − 370.000

12 − 20 =

−40.000

−8 = 5.000

Jadi,

4𝑥 + 4𝑦 = 4(9.000) + 4(5.000) = 36.000 + 20.000 = 56.000

TRIK SUPERKILAT:

Dengan acuan koefisien variabel 𝑦 adalah 4, maka nilai variabel 𝑦 diperoleh dengan cara:

“(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan

(31)

Contoh 2:

Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero?

𝑥 = buah apel 𝑦 = buah salak 𝑧 = buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah: 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 47.000

2𝑥 + 𝑦 + 3𝑥 = 68.500 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 63.000

𝑥 =

|𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 2 21 3

𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 2 1|

|1 2 22 1 3 3 2 1|

𝑦 =

|12 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 23

3 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 1|

|1 2 22 1 3 3 2 1|

𝑧 =

|1 22 1 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎

3 2 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎|

|1 2 22 1 3 3 2 1|

Contoh 3:

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah ….

𝑥 = uang Artha 𝑦 = uang Deby 𝑧 = uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama.

Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 142.000

⇔𝒙 + 𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ 𝑧 − 𝑥 = 4.000

⇔−𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝒛 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔ 2𝑧 = 𝑦 + 100.000

⇔𝟎𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah: 𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 47.000

−𝑥 + 0𝑦 + 𝑥 = 68.500 0𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 63.000

𝑥 =

|𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟒. 𝟎𝟎𝟎 10 −01

𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −1 2|

|−11 10 −01 0 −1 2|

𝑦 =

|−11 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟒. 𝟎𝟎𝟎 −01

0 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 2|

|−11 10 −01 0 −1 2|

𝑧 =

|12 10 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟒. 𝟎𝟎𝟎

3 −1 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎|

|−11 10 −01 0 −1 2|

(32)

1.

Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak

Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi

adalah ....

A.

86 tahun

B.

74 tahun

C.

68 tahun

D.

64 tahun

E.

58 tahun

2.

Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah

umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....

A.

52 tahun

B.

45 tahun

C.

42 tahun

D.

39 tahun

E.

35 tahun

Jika adik-

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

.

Semua

soal

20November 2012 yang lalu.

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

Misal 𝑥 = Pak Andi 𝑦 = Bu Andi 𝑧 = Amira

𝑥 = 𝑧 + 28 ⇒ 𝑧 = 𝑥 − 28

𝑦 = 𝑥 − 6

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119 ⇒ 𝑥 + (𝑥 − 6) + (𝑥 − 28) = 119

⇔ 3𝑥 − 34 = 119

⇔ 3𝑥 = 153

⇔ 𝑥 = 51

Jadi, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119

⇒ 51 + 𝑦 + 𝑧 = 119

⇔ 𝑦 + 𝑧 = 119 − 51

⇔ 𝑦 + 𝑧 = 68

Misal

𝑑 = Umur Deksa 𝑒 = Umur Elisa 𝑓 = Umur Firda

𝑑 = 𝑒 + 4

𝑒 = 𝑓 + 3 ⇒ 𝑓 = 𝑒 − 3 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58 ⇒ (𝑒 + 4) + 𝑒 + (𝑒 − 3) = 58

⇔ 3𝑒 + 1 = 58

⇔ 3𝑒 = 57

⇔ 𝑒 = 19

Jadi, 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58

⇒ 𝑑 + 19 + 𝑓 = 58

⇔ 𝑑 + 𝑓 = 58 − 19

(33)

2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Bentuk Umum

(𝑥 − 𝑎)

2

+ (𝑦 − 𝑏)

2

= 𝑟

2

𝑥

2

+ 𝑦

2

+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

dibagi (−2)

Pusat

Jari-jari

Pusat

(𝑎, 𝑏) 𝑟 (−1

2𝐴, − 1 2𝐵)

Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶

Jari-jari

(34)

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran

di titik

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

pada lingkaran

dengan gradien

𝑚

Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄

Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

𝑥2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 _{→ 𝑥} 1𝑥

(𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 _→ _(𝑥

1− 𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → 1₂(𝑥1+ 𝑥)

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎,

maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄 dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 + 𝒎𝟐

PGS lingkaran di titik (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2 PGS dengan gradien 𝑚

dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2

PGS lingkaran di titik (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟

(𝑥1− 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1− 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2 PGS dengan gradien 𝑚

dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2

PGS lingkaran di titik (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran dengan bentuk umum

𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0}

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +𝐴₂(𝑥1+ 𝑥) +𝐵₂(𝑦1+ 𝑦) + 𝐶 = 0

Catatan Tambahan:

Ingat juga tentang konsep jarak titik

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

ke garis

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

:

𝑑 = |

𝑎𝑥

1

+ 𝑏𝑦

1

+ 𝑐

√𝑎

2

+ 𝑏

2

|

TRIK SUPERKILAT:

PGS lingkaran pusat (𝑥₁, 𝑦₁) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1± 𝑟√𝑎2+ 𝑏2

(35)

PGS Lingkaran

di titik

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung (𝑎, 𝑏)

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏).

Substitusi titik (𝑥₁, 𝑦₁) ke PGS, lalu substitusi PGS ke p