Menentukan nilai optimum fungsi objektif Contoh Soal:

Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan 4 unsur A dan 6 unsur B perminggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur A dan dua unsur B, setiap sepatu memerlukan dua unsur A dan dua unsur B. Bila setiap tas untungnya 3000 rupiah, setiap sepatu untungnya 2000 rupiah, maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agar diperoleh untung yang maksimal adalah …. a. 2 sepatu

b. 3 sepatu c. 3 tas d. 4 tas

e. 2 tas dan 2 sepatu Penyelesaian:

Model Matematika

Tas (𝑥) Sepatu (𝑦) Total

Unsur A 1 2 4

Unsur B 2 2 6

Untung 3000 2000

Fungsi kendala:

𝑥 + 2𝑦 ≤ 4 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1/2) 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 6 (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 1) Fungsi objektif:

maks 3000𝑥 + 2000𝑦 =…. (perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 adalah 3/2) LANGSUNG MASUK KE LANGKAH TRIK SUPERKILAT:

Memaksimumkan berarti Y-E-X!!!!!

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋

Urutkan Perbandingan Koefisien X:Y

Cari perbandingan koefisien 𝑥 dan 𝑦 untuk masing-masing fungsi kendala dan objektif, lalu urutkan dari kecil ke besar.

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋

1/2 1 3/2

Letak Fungsi Objektif Perhatikan tabel tadi:

Sumbu 𝑌 Eliminasi Sumbu 𝑋

1/2 1 3/2

Karena fungsi objektif yang perbandingan koefisiennya adalah 3/2 terletak pada kolom Sumbu 𝑋, maka artinya nilai optimum adalah terletak di sumbu X untuk persamaan yang berada disebelahnya (yaitu persamaan dengan perbandingan koefisien bernilai 1)

Artinya substitusikan 𝑦 = 0 untuk persamaan 2𝑥 + 2𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 6

2𝑥 + 2(0) = 6 𝑥 = 3

Jadi, agar keuntungan maksimal maka perusahaan tersebut haruslah menjual 3 tas. Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum keuntungan adalah Rp9.000,00.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 57

Menentukan nilai optimum fungsi objektif, ada nilai perbandingan 𝒙 dan 𝒚 yang sama.

Contoh Soal :

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B.

Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B.

Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ….

Penyelesaian Cara Biasa: Model Matematika

Fungsi kendala: 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25; 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5;

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 elemen bilangan cacah. Fungsi objektif:

Minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦 Grafik dan Daerah Penyelesaian

Titik Pojok

Dua dari tiga titik pojok sudah bisa dilihat pada grafik yaitu (5, 0) dan (0, 5). Sementara satu titik pojok belum diketahui yaitu titik potong kedua garis. Menentukan titik potong kedua garis menggunakan metode eliminasi substitusi: 5𝑥 + 10𝑦 = 25

3𝑥 +10𝑦 =25

Substitusi 𝑦 = 2 ke salah satu persamaan: 3𝑥 + 𝑦 = 5 3𝑥 + 2 = 5 3𝑥 = 5 − 2 3𝑥 = 3 𝑥 =3₃ 𝑥 = 1

Jadi titik potong kedua kurva adalah di titik (1, 2) Sehingga titik pojok adalah (5, 0), (1, 2), dan (0,5) Substitusi Titik Pojok

Substitusikan titik-titik pojok tersebut ke fungsi objektif untuk mencari titik manakah yang memiliki nilai objektif paling kecil.

Titik pojok (𝑥, 𝑦) Fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000𝑥 + 8.000𝑦

(5, 0) 4.000(5) + 8.000(0) = 20.000 +12.000= 20.000 (1, 2) 4.000(1) + 8.000(2) =04.000 + 16.000 = 20.000 (0, 5) 4.000(0) + 8.000(5) =20.000+ 40.000 = 40.000 Nilai Optimum

Dari tabel tersebut diperoleh nilai minimum fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) terjadi pada titik (5, 0) dan (1, 2) yaitu dengan pengeluaran sebesar Rp20.000,00.

5 X Y 5 3 5 2,5 × 3 × 5 15𝑥 + 30𝑦 = 7515𝑥 +35𝑦 = 25 25𝑦 = 50 𝑦 =50₂₅ 𝑦 = 2 TRIK SUPERKILAT: Tablet I Tablet II Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦 Vitamin A 5 10 25 1/2 Vitamin B 3 1 5 3/1 Harga 4.000 8.000 1/2 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y

1/2 1/2 2/2

Kesimpulan:

Perhatikan perbandingan fungsi objektif yang bernilai 1/2 terdapat di X dan E,

Di X, artinya nilai optimum diperoleh di perpotongan sumbu X dengan fungsi di dekatnya, yaitu fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 .

Di E, artinya nilai optimum juga diperoleh dari hasil titik potong antara fungsi kendala dengan perbandingan 1/2 dan 3/1.

Halaman 58 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)} Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30

gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi, sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr

kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp.1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp.800,00, maka

biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah ....

A.

Rp12.000,00

B.

Rp14.000,00

C.

Rp18.000,00

D.

Rp24.000,00

E.

Rp36.000,00

2.

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung

dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia

merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda

gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang

diterima pedagang adalah ....

A.

Rp13.400.000,00

B.

Rp12.600.000,00

C.

Rp12.500.000,00

D.

Rp10.400.000,00

E.

Rp8.400.000,00

3.

Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula.

Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula. Ibu hanya memiliki persediaan tepung

sebanyak 6 kg dan gula 4 kg. jika kue jenis I dijual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II dijual

dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang diperoleh ibu adalah ....

A.

Rp30.400,00

B.

Rp48.000,00

C.

Rp56.000,00

D.

Rp59.200,00

E.

Rp72.000,00

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.

Pak Anang.

TRIK SUPERKILAT:

Kapsul Tablet Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦 Kalsium 5 2 60 5/2

Zat Besi 2 2 30 2/2

Harga 1.000 800 10/8

Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

X E Y

2/2 10/8 5/2

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E. Artinya titik minimumnya berada di hasil eliminasi kedua fungsi kendala. (Gunakan metode determinan matriks) 𝑥 =|60 230 2| |5 2_{2 2|} = 60 6 = 10; 𝑦 = |5 60_{2 30|} |5 2_{2 2|} = 30 6 = 5 Jadi nilai minimumnya adalah:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 1.000(10) + 800(5) = Rp14.000,00

TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) Sepeda gunung Sepeda balap Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦 Jumlah 1 1 25 1/1 Harga 1.500 2.000 42.000 3/4 Untung 500 600 5/6 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X

3/4 5/8 1/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Gunakan metode determinan matriks 𝑥 =| 25 1 42.000 2.000| | 1_{1.500 2.000|}1 = 8.000 500 = 16; 𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9;

Jadi nilai maksimum adalah:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400 TRIK SUPERKILAT: Kue jenis I Kue jenis II Jumlah Perbandingan koef 𝑥 dan 𝑦 Tepung 40 20 6.000 4/2 Gula 30 10 4.000 3/1 Harga 4.000 1.600 40/16 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar.

Y E X

4/2 40/16 3/1

Ternyata fungsi objektif (warna biru) berada di E (titik potong atau hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala)

Gunakan metode determinan matriks 𝑥 =|6.000 204.000 10|

|40 20_{30 10|} = −20.000

−200 = 100;

30𝑥 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 3.000 + 10𝑦 = 4.000 ⇒ 𝑦 = 100;

Jadi nilai maksimum adalah:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 4.000(100) + 1.600(100) = Rp560.000

Soal ini tidak ada jawabannya,

mungkin maksudnya pilihan jawaban A, B, C, D, dan E kurang satu angka nol.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 59 2. 9. Menyelesaikan operasi matriks.

Matriks

Bentuk Umum

Operasi Aljabar Matriks

𝐴

𝑚×𝑛

= (

𝑎

11

𝑎

12

𝑎

21

𝑎

22

⋯

𝑎

1𝑛

𝑎

2𝑛

⋮

⋱

⋮

𝑎

𝑚1

𝑎

𝑚2

⋯ 𝑎

_𝑚𝑛

)

Transpose Matriks

“TukarBaris Kolom” 𝐴 = (𝑎 𝑏_{𝑐 𝑑) ⇒ 𝐴}𝑇 _{= (𝑎 𝑐}

𝑏 𝑑)