SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.5 PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Halaman 32 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ 2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Bentuk Umum

−

+

−

= �

+

+ =

dibagi −

Pusat

Jari-jari

Pusat

, � − , −

Jumlah kuadrat pusat dikurangi

Jari-jari

(3)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran

PGS Lingkaran

di titik

,

pada lingkaran

dengan gradien

�

Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus = � +

Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!

�� →

− �� → − −

�� → +

Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien �,

maka PGS tersebut adalah = � ± dimana = �√ + �

PGS lingkaran di titik ,

pada lingkaran pusat di , dan jari-jari �

+ = � PGS dengan gradien �

dari lingkaran pusat , dan jari-jari �

= � ± �√ + �

pada lingkaran pusat di , dan jari-jari �

− − + − − = � PGS dengan gradien �

dari lingkaran pusat , dan jari-jari �

− = � − ± �√ + �

pada lingkaran dengan bentuk umum

(4)

Halaman 34 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

PGS Lingkaran

di titik

,

yang berada di luar lingkaran

Titik Singgung ,

Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel , ).

Substitusi titik , ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran

Diperoleh dua titik Singgung , dan ,

Substitusikan ke PGS di langkah kedua

Selesai

TRIK SUPERKILAT:

Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu.

PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.

, ,

(5)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 35 Contoh Soal:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik , yang menyinggung lingkaran + = !

Penyelesaian:

PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut , . Artinya titik , tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran.

Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel dan . Perhatikan bahwa , berada di lingkaran, maka:

PGS lingkaran di titik , adalah + =

Persamaan lingkaran dengan pusat , dan melewati titik , adalah + =

Karena PGS melewati , maka bila kita substitusikan �, � ke PGS akan diperoleh:

Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik , dan jari-jari √ ke dalam rumus:

= � ± �√ + �

Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien � =

− = � −

− = −

− + =

Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien � =

(6)

Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:

Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran

Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!

Contoh:

1. Diberikan persamaan lingkaran + = , maka pusat dan jari-jari lin�karan adalah …. Penyelesaian:

− + − =

Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.

2. Diberikan persamaan lingkaran − + − = , maka pusat dan jari-jari lingkaran

adalah ….

Penyelesaian:

− + + =

Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.

3. Diberikan persamaan lingkaran + − + − = , maka pusat dan jari-jari lingkaran

adalah ….

Penyelesaian:

+ − + − =

dibagi (-2)

Maka pusat , − , dan jari-jari adalah � = √ + − − −

� = ⇒ � =

(7)

Menentukan persamaan lingkaran

Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.

Misal diketahui pusat lingkaran , dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka � = | |. Misal diketahui pusat lingkaran , dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka � = | |. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.

Contoh:

1. Persamaan lingkaran dengan pusat , − dan jari-jari adalah …. Penyelesaian:

Persamaan lingkaran dengan pusat , dengan jari-jari �:

− + − = � − + + =

atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:

− + + = ⇒ − + + + + − = ⇔ + − + + =

2. P�rsamaan lin�karan d�n�an pusat di , yan� m�nyin��un� sumbu X adalah …. Penyelesaian:

− + − = ⇒ + − − + =

3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:

+ + − = − ⇒ + + − + =

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis − − = adalah …. Penyelesaian:

Pusat , = ,

Garis − − = , dengan = , = − , dan = − .

Persamaan lingkaran dengan pusat , menyinggung garis + + = adalah:

− + − = [ _{√ +}+ + ]

⇒ − + − = [ − − √ + ] ⇔ − + + − + =

(8)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.

Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.

Contoh:

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

− =

− − − + − − =

(9)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1. Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik , adalah ….

Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT:

Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari � = .

Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).

+ = ⇒ + = > (maka titik berada di luar lingkaran) Gunakan rumus berikut:

= � ± �√ + � ⇒ = � ± √ + �

⇔ − � = ± √ + � kuadratkan k�dua ruas

⇔ − � + � = + � ⇔ � + � =

⇔ � � + = ∴ � = atau � = −

Melalui (1 ,3) dan gradien � =

− = � − − = −

=

Melalui (1 ,3) dan gradien � = −

(10)

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran − + + = yang sejajar dengan garis −

+ = adalah ….

Penyelesaian: Trik Superkilat:

Sesuaikan sejajar apa nggak?

Masukkan substitusikan pusat

± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien

Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari � = √

PGS yang sejajar − + = adalah − juga!!!

− = − − ± √ √ + − ⇒ − = − ±

⇔ = − ±

2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran + − − + = yang tegak lurus garis + = adalah ….

Penyelesaian: Trik Superkilat:

Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari � = √

PGS yang sejajar + = adalah + harus diubah menjadi − !!!

− = − ± √ √ + ⇒ − = ±

⇔ − = dan − = −

PGS lingkaran pusat , jari-jari � yang sejajar dengan garis + + = :

(11)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Lingkaran L

  

x12  y3



2 9 memotong garis y3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....

A. x2 dan x4

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

Jadi titik potongnya di