SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 5.3 INTEGRAL TAK TENTU DAN INTEGRAL TERTENTU FUNGSI ALJABAR DAN FUNGSI TRIGONOMETRI) 1

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 213 5. 3. Menentukan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

Integral Tak Tentu

Definisi

Kebalikan Proses �urunan

�

Integral Turunan

�′ ₌ _{⇒ ∫} _{ⅆ = �} ₊

Integral Fungsi Aljabar

Integral Fungsi Trigonometri

∫ ⅆ = ₊ + ₊

�ifat:

∫ ⅆ[ ] = +

∫ � ∙ ⅆ = �∫ ⅆ

∫ [ ± ] ⅆ = ∫ ⅆ ± ∫ ⅆ

Integral Tertentu

Definisi

∫ ⅆ = � | = � − �

��

� � �

− ��

− � � �

(3)

Halaman 214 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Teknik Integral Aljabar

Integral Langsung

Jika sesuai dengan Rumus Dasar

harus dalam bentuk pangkat

∫

□

ⅆ

□

=

₊

□

+

harus sama

∫ [

±

] ⅆ = ….

boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

tidak boleh perkalian pembagian!!!!!

∫ [

×

] ⅆ = ….

∫ [

] ⅆ = ….

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah

Substitusi

Parsial

∫ � + ⅆ�

Fungsi integran dan operator masih belum sama

harus sama

∫ � + ⅆ � +

∫ √ ⅆ ∫ ⅆ

Bentuk pangkat Bentuk pangkat belum terlihat!!! belum terlihat!!!

∫ ⅆ ∫ − _ⅆ

∫ + ⅆ ∫ + ⅆ

Nggak boleh dalam Nggak boleh dalam bentuk perkalian!!! bentuk perkalian!!!

∫ + ⅆ ∫ + + ⅆ

dan lain-lain …

turunan

∫ � + ⅆ�

harus sama

∫ � + ⅆ � +

∫ ⅆ = − ∫ ⅆ turunan

Perbedaan mendasar antara teknik integral substitusi dengan

teknik integral parsial. Sederhanakan!

Nggak boleh muncul variabel �

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 215 LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Aljabar.

Secara umum integral fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

� � = ��

�

→ � � =

_�+�

�

�+

+ �

��

�

��

�+ �

�+

�

�+

Proses mencari integral fungsi terhadap : 1. Tambah satu pangkatnya!

2. Bagi koefisien dengan bilangan hasil langkah pertama! 3. Tambahkan dengan konstanta .

4. Selesai!

TRIK SUPERKILAT Integral Fungsi Aljabar Pangkat Pecahan.

Sebagaimana sudah kita ketahui bersama, bahwa konsep dasar integral adalah sebagai berikut:

Lho ini kan saling berkebalikan? 

� � = �

�

→ � � =

�+

�

�+

+ �

Nah, seringkali kita kesulitan mengerjakan integral dengan langkah pasti dan yakin apabila bertemu dengan bentuk pangkat pecahan.

Misalnya,

∫ ⅆ = ∫ ⅆ ( Ingat konsep ∫ �_{alias buang semua konstanta keluar integral)}ⅆ = �∫ ⅆ

= ∙ 5+

= 5+

Sesuai konsep integral, pangkatnya kan harus ditambah 1! Pangkat ditambah 1 menjadi berapa? , kan?

Mudah saja, balik angka menjadi . Jadi,

∫ ⅆ =

5

+

(5)

Teknik Integral Trigonometri

Integral Langsung

Jika sesuai konsep 6 Turunan Trigonometri

∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + ∫ cos □ ⅆ□ =−sin □ + ∫ sec □ ⅆ□ =−tan □ + ∫ csc □ ⅆ□ = −cot □ + ∫ sec □ tan □ ⅆ□ =−sec □ + ∫ csc □ cot □ ⅆ□ = −csc □ +

∫ [

±

] ⅆ

boleh dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan

Jika tidak bisa diintegralkan secara langsung, maka bisa menggunakan salah satu dari metode berikut:

Diubah

Substitusi

Parsial

∫ tan ⅆ ∫ cot ⅆ

Adanya konsep Adanya konsep integral �� !!! integral �� !!!

∫ sec − ⅆ ∫ csc − ⅆ

∫ sin cos ⅆ ∫ sin ⅆ ∫ cos cos ⅆ ∫ cos ⅆ ∫ sin sin ⅆ dst …

Diubah menjadi Sin Cos berpangkat bentuk perjumlahan genap harus diubah!

Ingat Rumus Perkalian Ingat Rumus Sin Cos ke penjumlahan setengah sudut

� + � � � − � �

+

− − ��

sin = − cos cos = + cos

Jadi, ∫ sin ⅆ juga diubah menjadi

∫ sin sin ⅆ

dan lain-lain …

∫ sin � + ⅆ�

harus sama

∫ sin � + ⅆ � +

∫ �� cos ⅆ�

harus sama

∫ �� cos ⅆ_cos��

∫ sin � + ⅆ�

harus sama

∫ sin � + ⅆ � +

∫ ⅆ = − ∫ ⅆ

turunan turunan

Sederhanakan! Nggak boleh muncul

variabel �

turunan

Sederhanakan! Nggak boleh muncul

variabel �

Sederhanakan! Tetapi masih muncul

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 217 LOGIKA PRAKTIS Integral Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus.

Secara umum integral fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

Cara membacanya:

��

� � �

− ��

− � � �

∫−sin ⅆ = − cos + ∫ −cos ⅆ = − sin + ∫ −sin ⅆ = −cos + ∫−cos ⅆ = −sin +

Jadi integralnya sinus adalah negatif kosinus. Integralnya kosinus adalah sinus.

KONSEP DASAR Integral Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

Dasar dari konsep integral fungsi trigonometri selain sinus kosinus adalah harus paham dan hafal turunan dari fungsi trigonometri. *)

Perhatikan konsep berikut:

tan cot

sec csc

□ □

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 SKL 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi, Halaman 203 (http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html)

Jadi, dengan melihat bahwa integral adalah lawan dari proses turunan, diperoleh konsep berikut:

∫ sec ⅆ =−tan + ∫ csc ⅆ = −cot + ∫ sec tan ⅆ =−sec + ∫ csc cot ⅆ = −csc +

Cara membacanya:

= tan → ′ _{= sec}

= cot → ′ _{= − csc}

= sec → ′ _{= sec tan}

(7)

Tips dan Trik Integral Trigonometri

Intinya pada integral trigonometri harus menguasai bagaimana konsep trigonometri serta bagaimanakah sifat turunan dari fungsi trigonometri. OK!

Disamping itu, harus menguasai bagaimana konsep identitas trigonometri yang pernah Pak Anang tulis pada Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 4 Pengantar Trigonometri di laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html Rumus Identitas Trigonometri yang sering digunakan dalam integral adalah:

Rumus identitas trigonometri sin + cos =

tan + = sec + cot = csc sin = − cos

cos = + cos sin = sin cos

Rumus perkalian trigonometri

sin cos = [sin + + sin − ]

cos sin = [sin + − sin − ]

cos cos = [cos + + cos − ]

sin sin = − [cos + − cos − ]

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:

∫ sin _{cos ⅆ = + sin} + ₊

∫ cos _{sin ⅆ = − + cos} + ₊

∫ tan sec _{ⅆ = + tan} + ₊

∫ cot csc _{ⅆ = − + cot} + ₊

∫ sec _{sec tan ⅆ = + sec} + ₊

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 219 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral dengan Mengubah Bentuk Integral.

Seringkali dalam pengerjaan integral kita bertemu dengan integral �ang bentuk integraln�a sedikit berbeda dari konsep dasar, namun sebenarnya apabila kita mau mengubahnya terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat aljabar maupun sifat identitas trigonometri, bentuk integral tersebut bisa kembali sesuai dengan konsep dasar.

Seperti telah diketahui bahwa untuk integral fungsi aljabar harus dalam bentuk pangkat dan variabel fungsi integral dengan operator harus sama. Bentuk integral yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau

pengurangan. TITIK!

Sementara untuk integral fungsi trigonometri harus memenuhi sifat 6 turunan fungsi trigonometri, serta bentuk yang diperbolehkan adalah penjumlahan atau pengurangan. Serta perkecualian untuk bentuk perkalian tertentu yang bisa diubah menjadi penjumlahan pengurangan lewat rumus perkalian ke penjumlahan trigonometri. TITIK!

Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian integral dengan cara mengubah bentuk integral:

Contoh Soal 1: Hasil dari

∫ √5 ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih berbentuk akar. Ubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan dong!

∫ √5 ⅆ = ∫ √5 ⅆ (Ingat √ = )

= ∫ 5_ⅆ_{(Ingat ∫} _{ⅆ =} +

+

+ atau �RIK �UPERKILA� di halaman )

= ∙ 75₊

= 75₊

Contoh Soal 2: Hasil dari ∫ ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada variabel berpangkat menjadi penyebut. Ubah bentuk tersebut bentuk pangkat negatif dong!

∫ ⅆ =(Ingat = − ₎

= ∫ − _ⅆ

= ∙ − − ₊

= − − ₊

(9)

Halaman 220 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Contoh Soal 3:

Hasil dari ∫ ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian. Ubah bentuk tersebut menjadi bentuk pangkat negatif dong!

∫ ⅆ = (Ingat = − ₎

= ∫ − _ⅆ

= − ₊

= tidak terdefinisi

Lho kok tidak terdefinisi????????

Ya! Khusus ∫ ⅆ apabila = − maka penyelesaiannya tidak menggunakan konsep dasar integral. Jadi,

∫ −

ⅆ ≠ − + − + ₊

tetapi menggunakan rumus:

(10)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 221 Contoh Soal 5:

Hasil dari

∫ − ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk perkalian.

Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong! Dengan mengalikan secara distributif!

∫ − ⅆ = ∫ − ⅆ (Ingat ∫( + ) ⅆ = ∫ ⅆ + ∫ ⅆ )

= ∫ ⅆ − ∫ ⅆ

= − +

∫ − ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pangkat atau dalam bentuk perkalian sebanyak faktor sebagaimana sifat dari pangkat itu sendiri yaitu = × × × … ×⏟

� �

.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong! Dengan mengalikan sebanyak faktor!

∫ − ⅆ = ∫ − − ⅆ Ingat + = + +

= ∫ − + ⅆ

= − + +

∫ − ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih dalam bentuk pembagian.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan dong! Dengan men�ederhanakann�a dulu, tentun�a…..

∫ − ⅆ = ∫ − ⅆ (Ingat + = + )

= ∫ ( − ) ⅆ

= ∫ ⅆ −∫ ⅆ

(

Men�elesaikan bentuk ∫ ⅆ �ang paling mudah adalah

∫ ⅆ = ∫ ⅆ = ∙ + ₎

= − ∙ +

(11)

Hasil dari

∫ + tan ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.

Bentuk tan bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ tan ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.

Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ sec ⅆ = tan + . Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!

Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: tan + = sec ⇒ tan = sec −

∫ + tan ⅆ = Ingat tan = sec −

= ∫( + sec − ) ⅆ

= ∫ + sec ⅆ

= ∫ ⅆ + ∫ sec ⅆ = + tan +

∫ cot − ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk bukan turunan fungsi trigonometri dasar.

Bentuk cot bukanlah 6 turunan fungsi trigonometri dasar. Jadi ∫ cot ⅆ tidak bisa dikerjakan langsung.

Padahal konsep dasar integral trigonometri yang ada hanyalah ∫ csc ⅆ = −cot + . Ubah bentuk tan menjadi bentuk sec dong!

Ya! Dengan menggunakan identitas trigonometri berikut: + cot = csc ⇒ cot = csc −

∫ cot − ⅆ = Ingat cot = csc −

= ∫ csc − − ⅆ

= ∫ csc − ⅆ

= ∫ csc ⅆ − ∫ ⅆ

(12)

Hasil dari

∫ sin cos ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral tapi masih ada bentuk perkalian fungsi trigonometri. Ubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan dong!

Ya! Dengan menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus perkalian trigonometri

sin cos = [sin + + sin − ]

cos sin = [sin + − sin − ]

cos cos = [cos + + cos − ]

sin sin = − [cos + − cos − ]

Jadi,

∫ sin cos ⅆ = ∫ [sin + + sin − ] ⅆ

= ∫ sin + sin ⅆ

= ∫ ( sin + sin ) ⅆ

= ∫ sin ⅆ + ∫ sin ⅆ

= ∫ sin_⏟ⅆ + ∫ sin_⏟ⅆ

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. �udut sinus dan , sementara operator integraln�a ⅆ .

(13)

Hasil dari

∫ sin ⅆ = ….

Pembahasan:

� �

.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan genap menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin = − cos

cos = + cos

Jadi,

∫ sin ⅆ = ∫ ( − cos ) ⅆ = ∫ ⅆ − ∫ cos ⅆ

= − ∫ cos ⅆ

⏟

Karena fungsi sudut dan operator integral tidak sama. �udut kosinus , sementara operator integraln�a ⅆ .

Maka proses perhitungann�a dilanjutkan dengan teknik integral substitusi! Yang akan dibahas pada bagian selanjutn�a.OK!

∫ sin ⅆ = ….

Pembahasan:

� �

.

Ubah bentuk tersebut menjadi penjumlahan atu pengurangan dong!

Ya! Jika pangkat adalah pangkat bilangan ganjil menggunakan salah satu dari identitas trigonometri berikut: Rumus identitas trigonometri

sin = − cos cos = − sin

Jadi,

∫ sin ⅆ = ∫ sin sin ⅆ = ∫ − cos sin ⅆ = ∫ sin − cos sin ⅆ = ∫ sin ⅆ −∫ cos sin ⅆ

⏟

Karena fungsi integran dan operator integral tidak sama. Fungsi integran cos sin , sementara operator integraln�a ⅆ .

(14)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 225 LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi.

Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral

∫

□

ⅆ

□

=

₊

□

+

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Substitusi

∫

□

ⅆ

∆

belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut.

Periksa!

Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral

masih memuat variabel ?

Tidak! Ya!

Nggak ada variabel lagi! Masih menyisakan variabel !

Integral Substitusi Integral Parsial

(15)

Halaman 226 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Substitusi.

Perhatikan konsepnya: ⅆ

ⅆ + − = + ⇒ ⅆ + − = + ⅆ

⇔ ⅆ +₊ − = ⅆ

⇔ ⅆ =ⅆ + −

+

Jadi ⅆ pada soal bisa diganti dengan (_′ )

Atau dalam kalimat bisa diartikan sebagai berikut:

Jadi, ⅆ dapat diganti dengan sebuah fungsi permisalan dibagi oleh turunan fungsi tersebut!

Contoh:

∫ − ⅆ�= ∫ − ⅆ � −

∫ sin ⅆ�= ∫ sin ⅆ �

∫ cos ⅆ�= ∫ cos ⅆ( � )_�

dan lain-lain …..

Nah intisari dari teknik integral substitusi adalah mengupayakan agar turunan fungsi yang disubstitusi bisa membagi habis variabel pada fungsi lain yang tidak disubstitusi.

Contohnya:

∫ cos ⅆ = ∫ cos ⅆ = ∫ cos ⅆ = ∫ cos ⅆ = ∫ cos□ⅆ□

Pokoknya variabel Hore!!!!! Hore!!!!!! harus hilang!!! Variabel udah hilang!!!! Sudah sama!!!!

Kalau hilang berarti integral substitusi. Kalau enggak hilang berarti integral parsial.

turunannya

(16)

Hasil dari

∫ − − + − _{ⅆ = ….}

a. − − + − +

b. − − + − +

c. − − + − +

d. − − + − +

e. − − + − +

Pembahasan: Perhatikan soal,

∫ − (� − � + )− ⅆ�

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫ − (� − � + )− ⅆ�⇒ ∫ − (� − � + )− ⅆ(� − � + )_{� −}

Periksa, apakah hasil −

− tidak menyisakan variabel ?

Ternyata hasil dari −

− = , dan kita sudah tidak menemukan variabel yang tersisa.

Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral substitusi.

Langkah penyelesaian selengkapnya adalah sebagai berikut:

∫ − − + − _{ⅆ = ∫ −} ₋ ₊ − ⅆ − +

− (Ingat ∫ □ ⅆ = ∫ □ ⅆ )

= ∫ − + − _ⅆ ₋ ₊

(Ingat ∫ □ ⅆ = + □ + _{+ )}

= ∙

( − + ) � − � + − + +

= ∙ − − + − ₊

= − − + − ₊

Ganti operator integral

turunannya

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel �?

2

(17)

Hasil dari

∫ √ + ⅆ = ….

a. + √ ₊ +

b. + √ ₊ +

c. + √ + +

d. + √ + +

e. + √ ₊ +

Pembahasan:

∫ √ + ⅆ =�anda akar diubah menjadi bentuk pangkat dulu!OK!

(Ingat ∫ √□ ⅆ = ∫ □ ⅆ )

= ∫ + ⅆ �amakan dulu operator integraln�a

= ∫ + ⅆ +

= ∫ + ⅆ + _{(Ingat ∫ □ ⅆ = + □} + _{+ )}

=

+ ( � + ) +

+

= + +

= + + + Ingat sifat pangkat + ₌ _∙

= + + +

(18)

Hasil dari

∫ ₋ ⅆ = ….

Pembahasan:

∫

− ⅆ = ∫ − ⅆ = ∫ − − ⅆ �amakan dulu operator integraln�a

= ∫ − − ⅆ −

= ∫ − − _ⅆ ₋ _{Buang semua konstanta keluar integral}

= ln| − | +

∫ −

− ⅆ = ….

Pembahasan:

∫ _{− ⅆ = ∫}− ₋ ⅆ Ingat _ℎ = _{+ ℎ} −

− = + −

⇒ −₋ = −₋ + ₋

⇔ −

− =

− +

− ⇔ −₋ = − +₋

⇔ −₋ = + ₋ −

⇔ − = + −

}

+ =_{= } = dan =}

⇒ ∫ _{− ⅆ = ∫ +}− ₋ ⅆ Ingat, dari perhitungan di atas tern�ata = dan =

⇔ ∫ _{− ⅆ = ∫ +}− ₋ ⅆ

= ∫ ⅆ + ∫ ₋ ⅆ

= ln| | + ∫ ₋ ⅆ − +

(19)

Hasil dari

∫ sin − � ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri yang sudutnya tidak sama dengan operator integralnya.

Maksudnya?

Perhatikan sudut fungsi sinus yaitu − � . Padahal operator integralnya adalah ⅆ . Artinya fungsi sinus tersebut diintegralkan terhadap variabel . Maka langkah penyelesaiannya adalah mensubstitusi operator integralnya agar sesuai dengan sudut fungsi trigonometrinya.

∫ sin − � ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a

= ∫ sin − � ⅆ − �

�ern�ata tidak ada variabel tersisa.

Jadi benar bahwa kita memilih langkah integral substitusi bukan integral parsial.

= ∫ sin − � ⅆ − � (Ingat ∫ sin □ ⅆ□ = − cos □ + )

= ∙ − cos − � +

(20)

Hasil dari

∫ sin cos ⅆ = ….

Pembahasan:

Soal tersebut adalah soal dimana ada integral dari fungsi trigonometri beserta turunannya. Maksudnya?

Masih ingat dengan 6 turunan fungsi trigonometri kan? = sin → ′ _{= cos}

= cos → ′ _{= − sin}

= tan → ′ _{= sec}

= cot → ′ _{= − csc}

= sec → ′ _{= sec tan}

= csc → ′ _{= − csc cot}

Coba lihat dan amati 6 fungsi trigonometri dan turunannya di atas.

Apabila ada integral yang memuat fungsi trigonometri pangkat dan memuat fungsi turunannya maka bisa dituliskan konsep integral substitusinya sebagai berikut:

∫ sin _{cos ⅆ = + sin} + ₊

∫ cos _{sin ⅆ = − + cos} + ₊

∫ tan sec _{ⅆ = + tan} + ₊

∫ cot csc _{ⅆ = − + cot} + ₊

∫ sec _{sec tan ⅆ = + sec} + ₊

∫ csc csc cot ⅆ = −

+ csc + +

Jadi ∫ sin cos ⅆ bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi. Dengan mengganti operator integral dari yang semula ⅆ menjadi ⅆ sin .

∫ sin cos ⅆ = �amakan dulu operator integraln�a

= ∫ sin cos ⅆ sin_cos

= ∫ sin ⅆ sin _{(Ingat ∫ sin □ ⅆ sin □ = + sin} + _{□ + )}

(21)

Hasil dari

∫ sin ⅆ = ….

Pembahasan:

Integral sin atau cos berpangkat ganjil arah penyelesaiannya selalu ke bentuk integral berikut: ∫ sin _{cos ⅆ = + sin} + ₊

∫ cos _{sin ⅆ = − + cos} + ₊

Jadi, selalu disisakan satu fungsi sin atau cos berpangkat 1.

Misalnya ∫ sin ⅆ , maka harus diubah supaya ada suku fungsi integran yang menjadi ∫ cos sin .

Konsep identitas trigonometri yang selalu digunakan jika bertemu sin atau cos pangkat ganjil adalah:

sin + cos =

∫ sin ⅆ = Untuk soal integral sin atau cos pangkat ganjil selalu sisakan sin atau cos pangkat Jadi ubah dulusin = sin − _sin

= ∫ sin sin ⅆ

= ∫ − cos sin ⅆ Ingat sin + cos = ⇒ sin = − cos

= ∫ sin − cos sin ⅆ (Ingat ∫ + ⅆ = ∫ ⅆ + ∫ ⅆ )

= ∫ sin ⅆ − ∫ cos sin ⅆ (Pen�elesaian ∫ cos sin ⅆ lihat Contoh �oal )

= − cos − ∫ cos sin ⅆ cos_{− sin}_{(Ingat ∫ cos □ ⅆ cos □ = + cos} + _{□ + )}

= − cos + ∫ cos ⅆ cos

= − cos + cos +

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTISnya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut:

(22)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 233 LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Parsial.

Ingat Lagi Ya!!!!!! Konsep Dasar Integral

∫

□

ⅆ

□

=

₊

□

+

harus sama

Bentuk dan Tipe Soal Integral Menggunakan

Teknik Integral Parsial

atau

Metode Tabulasi

∫

□

ⅆ

∆

belum sama

Gantilah operator integral dengan fungsi yang disubstitusi.

Tentukan turunan operator integral tersebut dan letakkan menjadi penyebut.

Periksa!

Apakah hasil bagi fungsi yang lain dengan turunan operator integral

masih memuat variabel ?

Tidak! Ya!

Nggak ada variabel lagi! Masih menyisakan variabel !

Integral Substitusi Integral Parsial

(23)

Hasil dari ∫ √ + ⅆ = ….

a. + √ + − + √ + +

b. + − √ + +

c. + + √ + +

d. − − √ + +

e. + − √ + +

Pembahasan:

Perhatikan soal, ubah dulu tanda akar menjadi bentuk pangkat,

∫ √ + ⅆ = ∫ � + ⅆ�

belum sama

Mari kita coba cek, apakah integral tersebut bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi ataukah teknik integral parsial.

∫ � + ⅆ�⇒ ∫ � + ⅆ � +

Periksa, apakah hasil tidak menyisakan variabel ?

Ternyata hasil dari = , dan kita masih menemukan variabel yang tersisa. Maka, penyelesaian integral tersebut adalah menggunakan teknik integral parsial.

∫ + ⅆ =(Ingat integral parsial ∫ ⅆ = − ∫ ⅆ )

Misal = ⇒ ⅆ_{ⅆ =} ⇔ⅆ = ⅆ

Maka ⅆ = + ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ + ⅆ ⇔ = + ⇒ ∫ + ⅆ = − ∫ ⅆ

=�∙ � + − ∫ � + ⅆ�

= + − ∫ + ⅆ + = + − ∙ + 5+

= + − + 5+ (keluarkan FPB-n�a + )

= + [ − + ] + = + + ( − ) + = + + − + = − + + + = + − + + = + − √ + +

Ganti operator integral

Periksa hasilnya, apakah masih menyisakan variabel �?

(24)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 235 Contoh Soal 2a:

Hasil dari

∫ + cos ⅆ = ….

a. sin + cos +

b. − sin + cos +

c. + sin − cos +

d. cos + sin +

e. sin − − cos +

Pembahasan:

∫⏟ cos ⅆ+ ⏟

ⅆ =(Ingat integral parsial ∫ ⅆ = − ∫ ⅆ )

Misal = ⇒ ⅆ_{ⅆ =} ⇔ⅆ = ⅆ

Maka ⅆ = cos ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ cos ⅆ

⇔ = sin

⇒ ∫ + cos ⅆ = − ∫ ⅆ

=(� + )∙�� − ∫�� ∙ � ⅆ�

= + sin − ∫ sin ⅆ

(Bentuk ∫ sin ⅆ diselesaikan menggunakan teknik integral parsial)

⇒ ∫ + cos ⅆ = + sin − ∫ ⏟ sin ⅆ⏟

ⅆ

Misal = ⇒ ⅆ_{ⅆ =} ⇔ⅆ = ⅆ

Maka ⅆ = sin ⅆ ⇒ ∫ ⅆ = ∫ sin ⅆ ⇔ = − cos

⇒ ∫ + cos ⅆ = + sin − [ − ∫ ⅆ ] +

= + sin − [ ∙ − cos − ∫ −cos ∙ ⅆ + ] +

= + sin − [ − cos + ∫ cos ⅆ + ] + = + sin − [ − cos + sin + ] + = + sin + cos − sin +⏟ +

� +� =� = + sin − sin + cos +

= + − sin + cos +

= − sin + cos +

Menyelesaikan integral dengan teknik integral parsial bisa juga dilakukan menggunakan metode tabulasi. Langkah penyelesaian integral parsial dengan metode tabulasi adalah memisah bagian yang mudah diturunkan hingga nol, dan bagian yang rumit.

(25)

Halaman 236 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ TRIK SUPERKILAT Teknik Integral Parsial Menggunakan Metode Tabulasi.

Contoh Soal 2b: Hasil dari

∫ + cos d = ….

a. sin + cos +

b. − sin + cos +

c. + sin − cos +

d. cos + sin +

e. sin − − cos +

Pembahasan TRIK SUPERKILAT Integral Parsial menggunakan Metode Tabulasi: Langkah penyelesaian integral parsial dengan menggunakan metode tabulasi :

Buat tabel dengan dua kolom.

Isi kolom kiri dengan turunan bagian yang mudah secara terus-menerus hingga turunannya sama dengan nol.

Isi kolom kanan dengan integral bagian yang rumit secara terus-menerus sebanyak baris kolom kiri.

Kalikan kolom kiri dan kanan dengan arah menyerong serta kalikan juga dengan tanda plus minus bergantian.

Ingat! Selalu diawali oleh tanda plus!!

Selesai!

∫⏟ +

mudah rumitcos⏟ ⅆ = Pisahkan bagian �ang mudah diturunkan hingga nol dengan bagian �ang rumit

Kolom Kiri (Turunkan)

Kolom Kanan (Integralkan)

+ cos

sin

2 − cos

0 − sin

∫ + cos d = + sin + cos − sin + = + sin − sin + cos +

= + − sin + cos +

= − sin + cos +

Penyelesaian menggunakan teknik integral parsial ada di halaman sebelumnya. Coba bandingkan hasilnya!

+ sin

cos

(26)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 237 TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Trigonometri yaitu tentang:

 bagaimana cara praktis menguasai konsep integral fungsi trigonometri;

 ciri-ciri soal integral fungsi trigonometri yang bisa diselesaikan dengan integral langsung atau hanya bisa diselesaikan menggunakan teknik integral substitusi maupun teknik integral parsial.

Semuanya bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html !! Jadi selalu tunggu update terbarunya ya!!!

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri.

Sepertinya untuk soal integral UN Matematika SMA 2013 nanti tidak akan muncul soal yang harus dikerjakan dengan teknik integral substitusi trigonometri, yaitu fungsi-fungsi yang memuat bentuk √ − , √ + , dan √ − .

Namun untuk TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Teknik Integral Substitusi Trigonometri juga bisa dilihat nanti pada Suplemen Modul SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013 pada SKL 5 tentang PENGAYAAN INTEGRAL TRIGONOMETRI pada laman web berikut

(27)

Halaman 238 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Cepat Menyelesaikan Integral Tertentu.

Perhatikan konsep dasar dari Integral Tertentu

∫ ⅆ = � | = � − �

∫ − + ⅆ = ….

a. b. c. d. e.

Pembahasan:

∫ − + ⅆ = [ − + ]

= − + − − +

= ( ∙ − ∙ + ) − ( ∙ − ∙ + )

= − + − − +

= −

=

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Langkah penyelesaian TRIK SUPERKILAT hanya mengubah cara perhitungan supaya menjadi lebih sederhana menggunakan kebalikan dari sifat distributif, yakni mengumpulkan faktor yang sama dalam perhitungan.

Misal � = − +

Maka, � − � = ( − + ) − ( − + )

= − + − + −

= − − + + −

= ⏟ − selisihn�a

− ⏟ −

selisihn�a

+ ⏟ − selisihn�a

∫ − + ⅆ = [ − + ]

= − − − + −

= − − − +

= − +

=

(28)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 239 Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di

http://pak-anang.blogspot.com. :)

Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:

http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013.html

(29)

Halaman 240 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Hasil dari













_dx x x x 7 2

7

2

3

1

3

....

A.





C

7

2

3

1

6

2





x x

B.





C

7

2

3

4

1

6

2





x x

C.





C

7

2

3

6

1

6

2





x x

D.





C

7

2

3

12

1

6

2







x x

E.





C

7

2

3

12

1

7

2







x x

2.

Hasil dari



3x 3x2 1dx

....

A.

(3 1) 3 1 C

3

2 2 2

  

 x x

B.

(3 1) 3 1 C

2

1 2 2

  

 x x

C.

(3 1) 3 1 C

3

1 2  2  

x x

D.

(3 1) 3 1 C

2

1 2  2  

x x

E.

(3 1) 3 1 C

3

2 2  2  

x x

3.

Hasil dari





4x3





4x2 6x9



9 dx

....

A.



4 6 9



C

10

1 ₂ 10

   x x

B.



2 3



C

15

1 20

 

x

C.



2 3



C

20

1 20

 

x

D.



4 6 9



C

20

1 ₂ 10

   x x

E.



4 6 9



C

30

1 ₂ 10

   x x

4.

Hasil dari









 dx

x x

7 3 5

2

5 2

2

....

A.



2 5



C

7

37 3 3 

x

B.



2 5



C

3

66 3  7 

x

C.



2 5



C

7

67 3 6

 

x

D.



2 5



C

6

77 3 2

 

x

E.



2 5



C

6

72 3 7

  x ∫ ₋ − ₊ ⅆ = ∫ − − + − ⅆ − + − = ∫ − + − _ⅆ ₋ ₊

= ∙ (− ) − + − _{+ C}

= −₋ ₊ + C

∫ √ + ⅆ = ∫ + ⅆ +

= ∫ + ⅆ +

= ∙ ∙ + + C

= + √ + + C

∫ + + − ⅆ = ∫ + + − ⅆ +₊ −

= ∫( + − ) ⅆ( + − )

= ∙ ∙ ( + − ) + C

= ( + − ) + C

∫

√ −

7 ⅆ = ∫7_√ ₋

ⅆ −

= ∫ − − _ⅆ ₋

= ∙ − + C

(30)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 241

5.

Nilai dari





 





2

1 2

5

4x x dx

....

A.

6 33

B.

6 44

C.

6 55

D.

6 65

E.

6 77

6.

Nilai dari





 





4

1 2

2

2x dx

x

....

A.

12

B.

14

C.

16

D.

18

E.

20

7.

Nilai dari





 





2

0 2

7 3

3x x dx

....

A.

6

B.

10

C.

13

D.

16

E.

22

8.

Nilai dari





 





3

1 2

3 4

2x x dx

....

(31)

9.

Nilai dari











π 2 1 0

cos

3

2

sin

2

x x dx

....

A.

−5

B.

−1

C.

0

D.

1

E.

2

10.

Nilai dari











π 2 1 0

cos

2

sin

3

x x dx

....

A.

−2

B.

−1

C.

0

D.

1

E.

2

11.

Nilai dari







2 π

0

)

2

sin(

x



dx

....

A.

−2

B.

−1

C.

0

D.

2

E.

4

12.

Nilai dari







π 3 1 0

)

cos

3

2

(sin

x x dx

....

A.

2 3

4 3



B.

3 3

4 3



C.



1 2 3



4 1



D.



1 2 3



4 2



E.



1 2 3



4 3



Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

∫ sin − cos �

ⅆ = [− cos − sin ] �

= (− cos � − sin �) − − cos − sin = − − − −

= − + = −

∫ � sin − cos ⅆ = [− cos − sin ] �

= (− cos � − sin �) − (− cos − sin )

= (− − ) − (− − ) =

∫ sin − � ⅆ �

= [− cos − � ] �

= (− cos ) − (− cos −� )

= (− ) − ( ) =

TRIK SUPERKILAT:

∫ sin − � ⅆ �

= ∫ − sin ⅆ �

= [ cos ] �

=

∫ sin� + cos ⅆ = [− cos + sin ] �

= (− cos ° + sin °) − (− cos ° + sin °)

= (− (− ) + √ ) − (− + )

= + √ +

= + √