Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Halaman 32 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) 2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
Bentuk Umum
(𝑥 − 𝑎)
2+ (𝑦 − 𝑏)
2= 𝑟
2𝑥
2+ 𝑦
2+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
dibagi (−2)
Pusat
Jari-jari
Pusat
(𝑎, 𝑏) 𝑟 (−12𝐴, −12𝐵)
Jumlah kuadrat pusat dikurangi 𝐶
Jari-jari
𝑟 = √(−1 2𝐴) 2 + (−1 2𝐵) 2 − 𝐶Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 33
Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
PGS Lingkaran
PGS Lingkaran
di titik (𝑥
1, 𝑦
1) pada lingkaran
dengan gradien 𝑚
Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor. Ingat pola persamaan garis lurus 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄
Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan. Lalu perhatikan gambar berikut!
𝑥2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → 𝑥 1𝑥 (𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → (𝑥 1− 𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑥 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖 → 1 2(𝑥1+ 𝑥)
Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien 𝒎, maka PGS tersebut adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 ± 𝒄
dimana 𝒄 = 𝒓√𝟏 + 𝒎𝟐
PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1)
pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟
𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2 PGS dengan gradien 𝑚
dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari 𝑟
(𝑥1− 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1− 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2 PGS dengan gradien 𝑚
dari lingkaran pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
PGS lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran dengan bentuk umum
𝑥2+ 𝑦2+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +𝐴2(𝑥1+ 𝑥) +𝐵2(𝑦1+ 𝑦) + 𝐶 = 0
Catatan Tambahan:
Ingat juga tentang konsep jarak titik (𝑥1, 𝑦1) ke garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑑 = |𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1+ 𝑐
√𝑎2+ 𝑏2 |
TRIK SUPERKILAT:
PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1± 𝑟√𝑎2+ 𝑏2
PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang tegak lurus dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0:
Halaman 34 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
PGS Lingkaran
di titik (𝑥
1, 𝑦
1) yang berada di luar lingkaran
Titik Singgung (𝑎, 𝑏)
Diperoleh PGS + Persamaan Lingkaran (dalam variabel 𝑎, 𝑏). Substitusi titik (𝑥1, 𝑦1) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran
Diperoleh dua titik Singgung (𝑎1, 𝑏1) dan (𝑎2, 𝑏2) Substitusikan ke PGS di langkah kedua
Selesai
TRIK SUPERKILAT:
Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu.
PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien. Selesai.
(𝑥1, 𝑦1) (𝑎, 𝑏)
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 35 Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2= 10!
Penyelesaian:
PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik singgung tersebut (𝒂, 𝒃). Artinya titik (𝑎, 𝑏)tersebut berada baik di PGS maupun lingkaran.
Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel 𝒂 dan 𝒃. Perhatikan bahwa (𝑎, 𝑏) berada di lingkaran, maka:
PGS lingkaran di titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟏𝟎
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (𝑎, 𝑏) adalah 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐= 𝟏𝟎
Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (𝟓, 𝟓) ke PGS akan diperoleh: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 10 ⇔ 5𝑎 + 5𝑏 = 10
⇔ 𝑎 + 𝑏 = 2
⇔ 𝒃 = 2 − 𝑎
Dari persamaan lingkaran 𝑎2+ 𝑏2= 10 dan 𝑏 = 2 − 𝑎, substitusikan 𝒃 = 𝟐 − 𝒂 ke persamaan lingkaran
diperoleh: 𝑎2+ (2 − 𝑎)2= 10 ⇔ 𝑎2+ (4 − 4𝑎 + 𝑎2) = 10 ⇔ 2𝑎2− 4𝑎 + 4 = 10 ⇔ 2𝑎2− 4𝑎 + 4 − 10 = 0 ⇔ 2𝑎2− 4𝑎 − 6 = 0 ⇔ 𝑎2− 2𝑎 − 3 = 0 ⇔ (𝑎 + 1)(𝑎 − 3) = 0 ⇔ 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3
Dari 𝑎 = −1 atau 𝑎 = 3 akan diperoleh nilai 𝑏, yaitu: 𝑎 = −1 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 + 1 = 3
𝑎 = 3 ⇔ 𝑏 = 2 − 𝑎 = 2 − 3 = −1
Jadi dua titik singgung tersebut adalah (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏). Sehingga PGS lingkaran pada titik (−𝟏, 𝟑) dan (𝟑, −𝟏) adalah:
−𝑥 + 3𝑦 = 10 dan 3𝑥 − 𝑦 = 10. TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran 𝑥2+ 𝑦2= 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = √10.
Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
⇒ 5 = 𝑚(5) ± √10√1 + 𝑚2
⇔ 5 − 5𝑚 = ±√10√1 + 𝑚2(kuadratkan kedua ruas)
⇔ 25 − 50𝑚 + 25𝑚2= 10 + 10𝑚2 ⇔ 15𝑚2− 50𝑚 + 15 = 0 ⇔ 3𝑚2− 10𝑚 + 3 = 0 ⇔ (3𝑚 − 1)(𝑚 − 3) = 0 ∴ 𝑚 =1 3 atau 𝑚 = 3
Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 =13 𝑦 − 𝑦1= 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 5 =1 3(𝑥 − 5) −𝑥 + 3𝒚 = 10
Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien 𝑚 = 3 𝑦 − 𝑦1= 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 5 = 3(𝑥 − 5) 𝟑𝒙 − 𝒚 = 10 (5, 5) (𝑎, 𝑏) (0, 0)
Halaman 36 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:
Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal! Contoh:
1. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2 = 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….
Penyelesaian:
(𝑥 − 0)2+ (𝑦 − 0)2 = 25
Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.
2. Diberikan persamaan lingkaran (𝑥 − 3)2+ (𝑦 − 4)2= 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah …. Penyelesaian:
(𝑥 − 3)2+ (𝑦 + 4)2 = 25
Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.
3. Diberikan persamaan lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah …. Penyelesaian:
𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = 0
dibagi (-2)
Maka pusat (1, −2), dan jari-jari adalah 𝑟 = √(1)2+ (−2)2− (−20)
𝑟2= 25 ⇒ 𝑟 = 5
𝑟2= 25 ⇒ 𝑟 = 5
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 37
Menentukan persamaan lingkaran
Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.
Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka 𝑟 = |𝑏|. Misal diketahui pusat lingkaran (𝑎, 𝑏) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka 𝑟 = |𝑎|. Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgung.
Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, −1) dan jari-jari 3 adalah …. Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟: (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
(𝑥 − 5)2+ (𝑦 + 1)2 = 9
atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:
(𝑥 − 5)2+ (𝑦 + 1)2 = 9 ⇒ 𝑥2− 10𝑥 + 25 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 9 = 0
⇔ 𝑥2+ 𝑦2− 10𝑥 + 2𝑦 + 17 = 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah …. Penyelesaian:
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 22
⇒ 𝑥2 + 𝑦2− 6𝑥 − 4𝑦 + 9 = 0
3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (−1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah …. Penyelesaian:
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (−1)2
⇒ 𝑥2 + 𝑦2+ 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 adalah …. Penyelesaian:
Pusat (𝑥1, 𝑦1) = (1, 4)
Garis 3𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0, dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, dan 𝑐 = −2.
Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑥1, 𝑦1) menyinggung garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah: (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2 = [𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐 √𝑎2+𝑏2 ] 2 ⇒ (𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 4)2 = [3(1) − 4(4) − 2 √32+ 42 ] 2 ⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2− 8𝑦 + 16 = 9 ⇔ 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0
Halaman 38 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran. Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.
Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor. Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan. Contoh:
1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2 = 25 di titik (4, −3) adalah ….
Penyelesaian: 𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = −3 Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥
1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥12+𝑥).
𝑥2+ 𝑦2 = 25
⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 25
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4𝑥 − 3𝑦 = 25
2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 4)2 = 25 di titik (−2, 0) adalah ….
Penyelesaian: 𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = 0 Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥
1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥12+𝑥).
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 25
⇒ (𝑥1− 1)(𝑥 − 1) + (𝑦1− 4)(𝑦 − 4) = 25 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
(−2 − 1)(𝑥 − 1) + (0 − 4)(𝑦 − 4) = 25 ⇒ (−3)(𝑥 − 1) + (−4)(𝑦 − 4) = 25
⇔ −3𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0
3. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 6𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….
Penyelesaian: 𝑥1 = 7 dan 𝑦1 = 1 Ingat, ganti 𝑥2 menjadi 𝑥
1𝑥, dan 𝑥 menjadi (𝑥12+𝑥). 𝑥2+ 𝑦2− 6 𝑥 + 4 𝑦 − 12 = 0 ⇒ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 − 6 ( 𝑥1+ 𝑥2 2 ) + 4 ( 𝑦1+ 𝑦 2 ) − 12 = 0 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
7𝑥 + 𝑦 − 3(7 + 𝑥) + 2(1 + 𝑦) − 12 = 0
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 39
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran. 1. Persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2 = 9 di titik (1, 3) adalah ….
Penyelesaian: TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari 𝑟 = 3.
Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).
𝑥2+ 𝑦2 = 9 ⇒ (1)2+ (3)2 = 10 > 9 (maka titik berada di luar lingkaran)
Gunakan rumus berikut:
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
⇒ 3 = 𝑚(1) ± 3√1 + 𝑚2
⇔ 3 − 𝑚 = ±3√1 + 𝑚2(kuadratkan kedua ruas)
⇔ 9 − 6𝑚 + 𝑚2 = 9 + 9𝑚2
⇔ 8𝑚2+ 6𝑚 = 0
⇔ 2𝑚(4𝑚 + 3) = 0 ∴ 𝑚 = 0 atau 𝑚 = −3
4
Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = 0 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 = 0(𝑥 − 1) 𝑦 = 3
Melalui (1 ,3) dan gradien 𝑚 = −34 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 = −3
4(𝑥 − 1) 4𝑦 − 12 = −3𝑥 + 3 3𝑥 + 4𝑦 = 15
Halaman 40 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis. 1. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 − 3)2+ (𝑦 + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis 𝑦 −
2𝑥 + 5 = 0 adalah …. Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Sesuaikan sejajar apa nggak?
Masukkan substitusikan pusat
± Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien
Lingkaran pusat (3, −5) dan jari-jari 𝑟 = √80
PGS yang sejajar 𝑦 − 2𝑥 + 5 = 0 adalah 𝑦 − 2𝑥 juga!!! 𝑦 − 2𝑥 = (−5) − 2(3) ± √80 √12+ (−2)2
⇒ 𝑦 − 2𝑥 = −11 ± 20
⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 11 ± 20
2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2+ 𝑦2− 4𝑥 − 8𝑦 + 15 = 0 yang tegak lurus
garis 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah …. Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari 𝑟 = √5
PGS yang sejajar 𝑥 + 2𝑦 = 6 adalah 𝑥 + 2𝑦 harus diubah menjadi 2𝑥 − 𝑦 !!! 2𝑥 − 𝑦 = 2(2) − (4) ± √5 √(2)2+ (1)2
⇒ 2𝑥 − 𝑦 = 0 ± 5
⇔ 2𝑥 − 𝑦 = 5 dan 2𝑥 − 𝑦 = −5
PGS lingkaran pusat (𝑥1, 𝑦1) jari-jari 𝑟 yang
sejajar dengan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1± 𝑟√𝑎2+ 𝑏2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 41 Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Lingkaran L
x1
2 y3
2 9 memotong garis y3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....A. x2 dan x4 B. x2 dan x2 C. x2 dan x4 D. x2 dan x4 E. x8 dan x10
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang. Memotong garis 𝑦 = 3 𝑦 = 3 ⇒ (𝑥 + 1)2+ (3 − 3)2= 9 ⇔ (𝑥 + 1)2= 9 ⇔ 𝑥 + 1 = ±3 ⇔ 𝑥 + 1 = −3 atau 𝑥 + 1 = 3 ⇔ 𝑥1= −4 𝑥2= 2
Jadi titik potongnya di (−4, 3) dan (2, 3) PGS lingkaran (𝑥1+ 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + (𝑦1+ 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 𝑟2 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 ⇔ −3𝑥 − 3 = 9 ⇔ 𝑥 = −4 (2, 3) ⇒ (2 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 ⇔ 3𝑥 + 3 = 9 ⇔ 𝑥 = 2 TRIK SUPERKILAT: Gunakan sketsa lingkaran
𝑦 = 3 𝑥 = 2 𝑥 = −4