SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 4.1 ATURAN SINUS ATAU ATURAN KOSINUS)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Halaman 152 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

SKL 4. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, identitas, dan rumus trigonometri dalam pemecahan masalah.

4. 1. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Nilai Perbandingan Trigonometri

Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

adalah sisi di depan sudut adalah sisi di depan sudut

 

adalah sisi di depan sudut

Aturan Sinus dan Kosinus

Aturan Sinus

Aturan Kosinus

Ada dua pasangan sudut–sisi yang berhadapan Diketahui dan ditanyakan sisi dan sudut

sisi – sudut – sudut

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

sisi – sisi – sudut

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

sisi – sudut – sisi

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

sisi – sisi – sisi

(diketahui ketiga sisi segitiga)

sin = sin = sin

= + − cos

⇒ cos = + −

Luas Segitiga

alas – tinggi

= ×

sisi – sudut – sisi

= sin

satu sisi dan semua sudut

= sin sin_sin

sisi – sisi – sisi

= √ − − −

dimana = + +

sin =

⇒ = sin

a sin A =

b sin B

⇒ = _sin sin

?

?

?

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 153

Luas Segitiga

sisi – sudut – sisi

= sin

Luas Segi-n Beraturan

Misal segidelapan beraturan.

Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 6 °

8 = °.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling

Segi-n Beraturan

sudut pusat =���°_�

= � ∙ sin ( _{� )}°

= � √ − cos 6 °_�

Halaman 154 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

LOGIKA PRAKTIS Aturan Sinus dan Aturan Kosinus:

Segitiga punya tiga unsur atau komponen penyusun, yaitu 3 sisi dan 3 sudut. Untuk menyelesaikan masalah segitiga dengan aturan sinus atau kosinus maka perlu diperhatikan acuan sebagai berikut:

Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 3 sisi dan 1 sudut, maka penyelesaiannya adalah harus menggunakan aturan kosinus.

Komponen yang diketahui dan ditanyakan dari segitiga adalah 2 sisi dan 2 sudut, maka penyelesaiannya adalah:

- Jika masing-masing sisi dan sudut saling berhadapan, maka harus menggunakan aturan sinus. - Jika masing-masing sisi dan sudut tidak saling berhadapan, maka periksa dulu apakah:

o _{Diketahui dua sudut, maka penyelesaiannya harus mencari sudut ketiga dulu menggunakan sifat}

sudut segitiga 180°, dan dilanjutkan menggunakan aturan sinus.

o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus. (Atau apabila ada satu pasangan sisi sudut yang berhadapan, bisa menggunakan aturan sinus dulu untuk menentukan pasangan sudut yang lain, lalu menggunakan sifat sudut segitiga 180°)

Atau bisa digambarkan seperti berikut:

Periksa jumlah komponen yang diketahui dan ditanyakan

3 sisi dan 1 sudut 2 sisi dan 2 sudut

Periksa!

Gunakan aturan kosinus Apakah kedua pasangan sisi dan sudut tersebut

saling berhadapan

Saling berhadapan Ada yang tidak berhadapan

Periksa! Gunakan aturan sinus Berapa jumlah sudut

yang diketahui

Dua sudut Satu sudut

Cari sudut ketiga, lalu Gunakan aturan kosinus gunakan aturan sinus dilanjutkan dengan

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 155

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan unsur atau komponen segitiga menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Contoh Soal:

Diberikan segi empat ABCD seperti gambar di bawah! Panjang BC adalah ….

a. √ cm b. √ cm c. √ cm d. √ cm e. √ cm

Penyelesaian:

Pertama kita mempertimbangkan apakah kita akan menggunakan aturan sinus atau aturan kosinus. Lalu pada segitiga yang mana kita akan menerapkan aturan sinus atau kosinus tersebut.

Perhatikan gambar, terlihat ada dua segitiga. 1. ∆ dengan diketahui 1 sisi dan 1 sudut. 2. ∆ dengan diketahui 1 sisi dan 2 sudut.

Nah, ternyata ∆ tidak bisa kita terapkan aturan sinus atau kosinus, karena aturan sinus dan kosinus bisa digunakan jika minimal diketahui 3 atau lebih unsur atau komponen dari segitiga!

Sekarang amati ∆ ternyata sudah diketahui 3 komponen segitiga, sehingga agar ∆ tepat diketahui minimal 3 komponen maka kita harus mencari panjang terlebih dahulu.

Perhatikan ∆ ,

Diketahui 1 sisi dan 2 sudut, ditanyakan 1 sisi . (2 sisi dan 2 sudut)

Periksa apakah kedua pasang sisi dan sudut saling berhadapan? Ya! Maka pada ∆ berlaku aturan sinus:

sin = sin ⇒ = sin × sin = sin ° × sin ° = √ × = √ = √ × √

√ rasionalisasi penyebut bentuk akar

= √

= √ cm

Nah, sekarang perhatikan ∆ ,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut, ditanyakan 1 sisi . (3 sisi dan 1 sudut) Pasti berlaku aturan kosinus pada ∆ :

= + − cos

= ( √ ) + ( √ ) − ( √ )( √ ) cos

= + − ∙

= −

= cm

Jadi,

= √ = √ √ = √ cm

D

A

C

30° 45°

?

A B

C 60°

√ cm

√ cm

?

D

A B

C 60°

√ cm

Halaman 156 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Menentukan luas segi-n beraturan.

Contoh Soal:

Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. 192 cm2

b. 172 cm2

c. 162 cm2

d. 148 cm2

e. 144 cm2

Penyelesaian: Ingat luas segitiga:

sisi – sudut – sisi

= sin

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari luas salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut.

Perhatikan ∆ � ,

∆ � = � � sin ∠ �

= ∙ ∙ ∙ sin °

= ∙

= cm

Jadi, luas segi-12 beraturan adalah:

���− � �= × ∆ �

= ∙

= cm

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Ingat luas segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:

���−� � �= � ∙ sin _{� =}° ∙ ∙ ∙ sin ° = cm

�

O

A

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 157

Menentukan keliling segi-n beraturan.

Contoh Soal:

Keliling segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah …. a. √ + √ cm

b. √ − √ cm c. √ + √ cm d. √ − √ cm e. √ − √ cm

Penyelesaian:

Segi-12 beraturan terdiri atas 12 segitiga yang kongruen, jadi kita cukup mencari panjang keliling pada salah satu segitiga penyusun segi-12 beraturan tersebut, yaitu panjang sisi .

Perhatikan ∆ � ,

Diketahui 2 sisi dan 1 sudut ditanyakan 1 sisi . (3 sisi dan 1 sudut)

Pasti berlaku aturan kosinus:

= + − cos �

= + − cos

= + − ∙ √

= − √ cm

Jadi,

= √ − √ cm

Sehingga, keliling segi-12 beraturan adalah

���− � �= ×

= √ − √ cm

= × √ √ − √ cm

= × √ − √ cm

= √ − √ cm

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Ingat keliling segi-n beraturan dengan jari-jari lingkaran luar adalah:

���−� � �= � √ − cos � = ∙ ∙ √ ( − √ ) = √ − √ cm

=

= �

O

A

Halaman 158 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Menentukan volume bangun ruang menggunakan aturan sinus atau kosinus.

Contoh Soal:

Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan

panjang rusuk = cm, = √ cm, dan = cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …. a. √ cm3

b. √ cm3

c. √ cm3

d. √ cm3

e. √ cm3

Penyelesaian:

Perhatikan prisma tegak segitiga ABC.DEF berikut:

Perhatikan ∆ ,

Ingat lagi tentang luas segitiga,

alas – tinggi

= ×

sisi – sudut – sisi

= sin

satu sisi dan semua sudut

= sin sin_sin

sisi – sisi – sisi

= √ − − −

dimana = + +

Ternyata kita bisa menggunakan rumus = √ − − − .

Yang jadi masalah adalah ada sisi yang memuat bentuk akar. Repot deh perkaliannya nanti.

Pilih saja rumus luas segitiga yang = sin , dengan catatan kita harus tahu salah satu sudut dari segitiga tersebut.

Akan dicari salah satu sudut segitiga (misalkan ∠ ), dengan diketahui 3 sisi segitiga. (3 sisi dan 1 sudut)

Pasti berlaku aturan kosinus, yaitu:

= + − cos

F D

E

B

C A

F D

E

B

C A

A

B

C

6 cm

3 cm

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 159 Sehingga,

= + − cos ⇒ cos = +_{∙ ∙} −

= + ( √ ) −

( √ )

= + −

√ =

√ =

√

Jadi,

cos = √

Nilai kosinus tersebut bisa dinyatakan pada segitiga siku-siku berikut,

Sehingga akan diperoleh nilai sinus dari ∠ ,

sin = √ √

Dari nilai sinus ∠ dan panjang sisi dan dan rumus luas segitiga = sin diperoleh luas segitiga , yaitu:

∆ = sin ∠

= ( √ ) √

√

= √ cm

Jadi, volum prisma tersebut adalah:

� = ×

= ∆ ×

= √ ×

= √ cm

B 5

√

Halaman 160 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui segienam beraturan. Jika jari-jari lingkaran luar segienam beraturan adalah 10 satuan, maka

luas segienam beraturan tersebut adalah ....

A.

150 satuan luas

B.

150

2

satuan luas

C.

150

3

satuan luas

D.

300 satuan luas

E.

300

2

satuan luas

2.

Panjang jari-jari lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. keliling segidelapan tersebut adalah ....

A.

06

2



2

cm

B.

12

2



2

cm

C.

36

2



2

cm

D.

48

2



2

cm

E.

72

2



2

cm

3.

Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm

2

. Keliling segi-12 beraturan tersebut adalah ....

A.

96

2 3

cm

B.

96

2 3

cm

C.

8

2 3

cm

D.

8

2 3

cm

E.

128 3

cm

4.

Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah ....

A.

432

3

cm

B.

432 cm

C.

216

3

cm

D.

216

2

cm

E.

216 cm

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

���−�=� sin _� °

⇒ ���−6= sin °

= ∙ ∙ sin °

= ∙ √

= √

TRIK SUPERKILAT:

Karena bangunnya adalah segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat

√ yang berasal dari nilai sin °. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya C saja.

� = √ + − ∙ ∙ ∙ cos _�°

���−�= � ∙ � = � ∙ √ + − ∙ ∙ ∙ cos _�° = � ∙ √ ( − cos _{� )}°

⇒ ���−8= ∙ √ ( − √ )

= √ − √ cm

�

= ∙ ∙ ∙ sin ( �) ⇒ = ⇒ = ⇒ = cm

� = √ + − ∙ ∙ ∙ cos _�°

���−�= � ∙ � = � ∙ √ + − ∙ ∙ ∙ cos _�° = � ∙ √ ( − cos _{� )}°

⇒ ���−8= ∙ √ ( − √ )

= √ − √ cm

�

Karena bangun segienam, maka segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi. Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.

���−�=� sin _� °

⇒ ���−6= sin °

= ∙ ∙ sin °

= ∙ √

= √ cm

TRIK SUPERKILAT: