REPRESENTASI TURUNAN DAN INTEGRAL FRAKSIONAL DARI FUNGSI HIPERBOLIK
SKRIPSI
SYIFAUL JANAN
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
REPRESENTASI TURUNAN DAN INTEGRAL FRAKSIONAL DARI FUNGSI HIPERBOLIK
SKRIPSI
SYIFAUL JANAN
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
REPRESENTASI TURUNAN DAN INTEGRAL FRAKSIONAL DARI FUNGSI HIPERBOLIK
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
Disetujui oleh:
Pembimbing I, Pembimbing II,
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik
Penyusun : Syifaul Janan
NIM : 081211231007
Pembimbing I : Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si Pembimbing II : Dr. Windarto, M.Si
Tanggal Seminar : 14 Maret 2016
Disetujui oleh: Pembimbing I
Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si NIP. 19640103 198810 1 001
Pembimbing II
Dr. Windarto, M.Si NIP. 19771104 200312 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs NIP . 19780126 200604 1 001
Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama : Syifaul Janan
NIM : 081211231007
Program Studi : S1-Matematika Fakultas : Sains dan Teknologi Jenjang : Sarjana (S1)
Menyatakan bahwa saya tidak melakukan kegiatan plagiat dalam penulisan skripsi saya yang berjudul :
Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik
Apabila suatu saat nanti terbukti melakukan tindakan plagiat, maka saya akan menerima sanksi yang telah ditetapkan.
Demikian surat pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Surabaya, 28 Maret 2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur Penulis panjatkan kepada Allah SWT karena berkat limpahan, rahmat dan karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik”. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baik suri tauladan bagi kehidupan umat manusia.
Keberhasilan Penulis dalam menyelesaikan skripsi ini tentunya tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, tak lupa Penulis ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih Penulis sampaikan kepada:
1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu.
2. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Kementerian Ristek dan Pendidikan Tinggi yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik
(PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).
3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran dan keramahan dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.
5. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan dan inspirasi untuk membuat rancangan perkuliahan.
6. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran dan keramahan dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.
7. Dra. Suzyanna, M.Si selaku dosen penguji I yang telah memberikan koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.
8. Dr. Herry Suprajitno, M.Si selaku dosen penguji II yang telah memberikan koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.
9. Ahmadin, S.Si, M.Si dan Dr. Eridani, M.Si selaku inspirator dan motivator Penulis selama kuliah di Prodi S-1 Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Airlangga.
10.Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmu dan motivasi kepada Penulis.
11.Rofiqohtul Hasanah dan Halili selaku kedua orang tua Penulis, Tuhfatul Janan selaku kakak Penulis, serta keluarga besar yang selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa serta kasih sayangnya.
12.Evan, Gagan, Reza, Robert, Zen serta keluarga kost Mulyorejo Utara Gang 3 No. 10C yang telah memberikan dukungan dan semangat selama ini.
14.Ayu, Adi Seran, Fandi, Ibnu, Rizki Azizia, Selva dan Suci yang merupakan teman seperjuangan dalam menyelesaikan skripsi.
15.Adi Purwanto, Andri, Anik, Dani, Darma, Endra, Fani, Faidah, Icha, Ima, Ilman, Irvayanto, Lutfan, Sukar, Taufik, Ubaid, Via dan Vio yang telah mengajarkan arti kebersamaan selama kuliah.
16.Farah, Asa, Zahra, Yufan serta adik-adik tutorial kalkulus II yang telah memberikan semangat dan motivasi selama ini.
17.Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.
18.Semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya.
Surabaya, 28 Maret 2016
Syifaul Janan, 2016, Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Mohammad Imam Utoyo,
M.Si dan Dr. Windarto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Definisi turunan fraksional suatu fungsi melibatkan operasi turunan dari integral hasil kali fungsi tersebut dengan suatu variabel , sedangkan definisi integral fraksional suatu fungsi melibatkan operasi integral dari hasil kali fungsi tersebut dengan suatu variabel , sehingga pada umumnya sulit diintegralkan secara analitik. Salah satu cara untuk menyelesaikan hal ini adalah dengan menyajikan fungsi tersebut dalam bentuk deret kuasa.
Dalam skripsi ini, disajikan representasi turunan dan integral fraksional dari fungsi hiperbolik (sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, secan hiperbolik dan cosecan hiperbolik). Hasil representasi tersebut disimulasikan dengan menggunakan software MATLAB. Diperoleh bahwa hanya turunan dan integral fraksional dari fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik yang menunjukkan bahwa jika orde turunan dan integral fraksional dari fungsi mendekati satu, maka grafik turunan dan integral fraksional masing-masing mendekati turunan pertama dan integral dari fungsi tersebut, sedangkan jika orde turunan dan integral fraksional dari fungsi mendekati nol, maka grafik turunan dan integral fraksional mendekati fungsi semula.
Kata Kunci: Deret Kuasa, Fungsi Hiperbolik, Turunan Fraksional, Integral
Syifaul Janan, 2016, Fractional Derivative and Integral Representation of Hyperbolic Function. This undergraduate thesis is supervised by Dr. Mohammad
Imam Utoyo, M.Si and Dr. Windarto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
The fractional derivative definition of a function involves derivative operation of integral multiplication results of function with a variable , whereas the fractional integral definition of a function involves integral operation of multiplication results of function with a variable , as of common, it is difficult to be integrated analytically. One of accomplished methods is by presenting function in the power series form.
In this thesis, presented the fractional derivative and integral representation of hyperbolic functions (hyperbolic sine, hyperbolic cosine, hyperbolic tangent, hyperbolic cotangent, hyperbolic secant and hyperbolic cosecant). The result of these representations is simulated by MATLAB software. Obtained that only fractional derivatives and integrals of hyperbolic sine and hyperbolic cosine functions which indicates that if order of fractional derivative and integral of function approaches to one, then each graph of the fractional derivative and integral approaches to the first derivative and integral of the function, whereas if order of fractional derivative and integral of function approaches to zero, then graph of fractional derivative and integral approaches to the original function.
Keywords: Power Series, Hyperbolic Function, Fractional Derivative,
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL ... i
LEMBAR PERNYATAAN ... ii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ... iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv
SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ... v
KATA PENGANTAR ... vi
ABSTRAK ... ix
ABSTRACT ... x
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
2.2 Penjumlahan dan Perkalian Deret ... 5
2.3.2 Representasi Deret Maclaurin dari Fungsi Cosinus
Hiperbolik ... 5
2.4 Jari-Jari Konvergensi pada Deret Kuasa ... 6
2.5 Selang Konvergensi untuk Fungsi Hiperbolik ... 6
2.5.1 Selang Konvergensi untuk Fungsi Sinus Hiperbolik ... 6
2.5.2 Selang Konvergensi untuk Fungsi Cosinus Hiperbolik ... 7
2.6 Turunan dan Integral dari Suatu Deret Pangkat ... 8
2.7 Turunan dan Integral Fraksional ... 8
2.7.1 Definisi dan Teorema tentang Turunan dan Integral Fraksional ... 8
2.7.2 Sifat-Sifat dari Turunan dan Integral Fraksional ... 10
2.8 Matlab ... 10
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 11
BAB IV PEMBAHASAN ... 12
4.1 Representasi Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik ... 12
4.2 Software Matlab untuk Menentukan Turunan dan Integral Fraksional dari Fungsi Hiperbolik ... 21
4.2.1 Tampilan Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional ... 21
4.2.2 Interpretasi Hasil dari Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional ... 22
BAB V PENUTUP ... 31
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Gambar Halaman
4.1 Tampilan Software Matlab Turunan dan Integral Fraksional 21
4.2 Grafik dari 22
4.3 Grafik dari 23
4.4 Grafik dari 24
4.5 Grafik dari 24
4.6 Grafik dari 25
4.7 Grafik dari 26
4.8 Grafik dari 26
4.9 Grafik dari 27
4.10 Grafik dari 28
4.11 Grafik dari 28
4.12 Grafik dari 29
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Lampiran
1. Kode Program pada Gui Matlab
