BAB III
TURUNAN FUNGSI 3.1 Pengertian dan Sifat Turunan
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)).
Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga
gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat
dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:
h x f h x f m
m
h L h
L lim lim ( ) ( )
0 0 1
.
Bentuk
h x f h x f h
) ( ) ( lim
0
dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x),
yang dinotasikan dengan
dx dy
, y’ , dx df
, atau f’(x).
Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva fungsi tersebut.
L
L1
x x+ h
f(x+h)
f(x)
y = f(x)
Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f(x) x , yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini.
Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi f(x)x tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi f(x)x tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.
Karena
1 1 lim lim
| 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim
0 0
0 0
h h h
h h
h h
h h
f h f
dan
1 ) 1 ( lim lim
| 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim
0 0
0 0
h h h
h h
h h
h h
f h f
,
maka
h f h f h
f h f
h h
) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim
0 0
,
sehingga
h f h f f
h
) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( '
0
tidak ada.
Contoh:
a. Tentukan garis singgung kurva yx2 di titik (2,4)
b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi yx2 mempunyai turunan ?
Penyelesaian:
a. Gradien garis singgung kurva yx2 di titik (2,4) adalah
m = '(2) lim (2 ) (2) lim (2 ) 2 lim(4 ) 4
0 2 2
0
0
h h
h h
f h f f
h h
h .
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah 4 4 )
2 ( 4 4 )
( 0
0
y m x x y x y x
y
b. Karena '(0) lim (0 ) (0) lim 0 lim 0
0 2 2 0
0
h h
h h
f h f f
h h
h , maka
2
x y
mempunyai turunan di x = 0.
Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
( )
f(x) dxd c x cf dx
d
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
( ) ( )
( ) g(x) dxd x f dx
d x g x f dx
d
3. Aturan selisih.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
( ) ( )
( ) g(x)4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
( ) ( )
( ) ( ) ( ) f(x)5. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
( )
21. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
3. Aturan selisih. Untuk latihan
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
5. Aturan hasil bagi. Untuk latihan.
Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.
Nomo
r Fungsi Turunan fungsi
2. Carilah turunan fungsi:
a. yx812x5 4x4 10x3 6x5 aturan
3
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan fungsi.
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka
dx sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.
Nomo
r Fungsi Turunan fungsi
2. Untuk latihan
3. Untuk latihan
3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.
Contoh :
a. Jika x2 + y2 = 25, carilah
dx dy
b. Jika x = 2t +1
y = t2 + t
tentukan dx dy
.
Penyelesaian:
a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x,
maka akan kita peroleh:
2 2
25dx d y x dx
d
2
y2 0dx d x dx
d
Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
dxdyy dx dy y dy
d y dx
d
2
2
2
Oleh karena itu 2x + 2y dx dy
= 0, sehingga dxdy xy
2 dt dx
sedangkan 2t1 dt
dy
.
Karena yang akan kita cari adalah dx dy
maka
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
.
=2 1 2t
.
3.3 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai.
Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.
Nomo
r Fungsi Turunan fungsi
1 y = sin x y’ = cos x
2 y = cos x y’ = - sin x
Bukti: 1.
h
x h
x h
x f h x f y
x y
h h
sin ) sin( lim ) ( ) ( lim ' sin
0 0
x
x h
h h
x h
h h x
h h
h
cos
2 1 . 1 . cos 2 2 1 .
2 2 sin lim 2 2 cos lim 2
2 sin 2 2 cos 2 lim
0 0
0
2.
h
x h
x h
x f h x f y
x y
h h
cos ) cos( lim ) ( ) ( lim ' cos
0 0
x
1. Carilah turunan fungsi:
a. y tanx
2. Carilah turunan fungsi: a. ysin4(ex lnx)
aturan sec
cos
aturan csc
sin
aturan
f. aturan rantai 2 2 2 aturan 2
3.4 Turunan Tingkat Tinggi
Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah
Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan
( )
)
( D f x
dx y d
y n
n n
n .
Contoh:
1. Carilah 22
dx y
d dari :
a. x2 + y2 = 25
b. y = ln t, x = et
c. y = et2t, x = ln (et +1)
2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a. yekx
b. ylnx
Penyelesaian :
1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh dx dy
dari x2 + y2
= 25, yaitu dxdy yx.
Karena
y x dx
d dx dy dx
d dx
y d
2 2
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh
3 2 2 2
2
. .
1 . .
.
y x y y
y x x y y
dx dy x dx dx y y
x dx
d
Jadi 22 .2 3 2 y
x y dx
y
d
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang diberikan.
a. y 1 2x 3x2 di titik (- 2, - 7)
b. 12
x
y , di titik (1,1)
2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan.
a. yx 1 di x = 1
b. yx2 4 di x = 2
c.
1 , 3
1 , 1 )
(
2 2
x x
x x
x
f di x = 1
d.
2 ,
9 8
2 , 1 )
(
2 2
x x
x
x x
x
f di x = 2
3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi y f(x) di titik
x
a
. Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a pada setiap kasus.a. hh
h
1 1 lim
0
b.
1 1 lim 9
1
x
x
x
4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: b. G(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2)
c. G(y) = (y2 + 1) (2y – 7)
d.
d cx
b ax x h
) (
e. 2
x c x b a y
a.
1 2
x x
y , di titik (1, 1)
b. yx x, di titik (1, 2)
c.
1
x x
y , di titik (4 ; 0,4)
d. yx x, di titik (1, 1)
6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis
singgungnya mendatar.
7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku
(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘
b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi y = x
x4 x1
2x 38. Tentukan nilai lim 10001 1
1
x
x x
9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi
sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian
carilah dx dy
a.
2
26
4
x x
y
b. y31x3
c. y x2 7x
10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut
a. y3x 210
5x2 x1
12b. y
s2 1
4 s3111. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini : a. xy + ln y = 1
c. cos (x + y) – eyx = x
d. sin xy + ln (x + y) = ex
e. eyx + x ln y = sin 2x
12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan
a. xy – ln y = x; (0,1)
b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0) c. x3y + y3x = 30; (1,3)
d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1)
13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan
a. y = ln t, x = et
b. y = et2t, x = ln (et +1) c. y = et + 2, x = e-t + 5
d. y = et + ln t, x = et + 1
e. y = te2t + t, x = et + t
f. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5
14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini
a. 3x3 + 3x2y – 8xy2 + 2y3 = 0
b. xy + y3 = 2
c. x3 – 4y2 = 3
d. yx33x
e. yx3ln(x2 1)
15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. x3 + y3 = 3xy; (0,0)
b. 2x2y – 4y3 = 4; (2,1)
16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a. ysinx
b. ycosx
c. ysin(axb)
d. ycos(pxq)
17. Carilah turunan dari fungsi di bawah ini: e. yearctan(x25)
f. yarccos(ex 5x)
g. yexarcsin(ax2 b)