• Tidak ada hasil yang ditemukan

Turunan Fungsi | Dwipurnomoikipbu's Blog

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Turunan Fungsi | Dwipurnomoikipbu's Blog"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

BAB III

TURUNAN FUNGSI 3.1 Pengertian dan Sifat Turunan

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y  f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)).

Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga

gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat

dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

h x f h x f m

m

h L h

L lim lim ( ) ( )

0 0 1

  

 .

Bentuk

h x f h x f h

) ( ) ( lim

0

 

 dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x),

yang dinotasikan dengan

dx dy

, y’ , dx df

, atau f’(x).

Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva fungsi tersebut.

L

L1

x x+ h

f(x+h)

f(x)

y = f(x)

(2)

Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.

Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f(x) x , yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini.

Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi f(x)x tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi f(x)x tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

1 1 lim lim

| 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim

0 0

0 0

 

  

 

 

h h h

h h

h h

h h

f h f

dan

1 ) 1 ( lim lim

| 0 | | | lim ) 0 ( ) 0 ( lim

0 0

0 0

       

 

 

h h h

h h

h h

h h

f h f

,

maka

(3)

h f h f h

f h f

h h

) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim

0 0

  

 

 ,

sehingga

h f h f f

h

) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( '

0

  

 tidak ada.

Contoh:

a. Tentukan garis singgung kurva yx2 di titik (2,4)

b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi yx2 mempunyai turunan ?

Penyelesaian:

a. Gradien garis singgung kurva yx2 di titik (2,4) adalah

m = '(2) lim (2 ) (2) lim (2 ) 2 lim(4 ) 4

0 2 2

0

0   

  

  

 

h h

h h

f h f f

h h

h .

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah 4 4 )

2 ( 4 4 )

( 0

0         

y m x x y x y x

y

b. Karena '(0) lim (0 ) (0) lim 0 lim 0

0 2 2 0

0  

 

  

 

h h

h h

f h f f

h h

h , maka

2

x y

mempunyai turunan di x = 0.

Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.

Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.

1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

( )

f(x) dx

d c x cf dx

d

2. Aturan jumlah.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

( ) ( )

( ) g(x) dx

d x f dx

d x g x f dx

d

 

(4)

3. Aturan selisih.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

( ) ( )

( ) g(x)

4. Aturan hasil kali.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

( ) ( )

( ) ( ) ( ) f(x)

5. Aturan hasil bagi.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

( )

2

1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

2. Aturan jumlah.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

3. Aturan selisih. Untuk latihan

(5)

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

5. Aturan hasil bagi. Untuk latihan.

Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.

Nomo

r Fungsi Turunan fungsi

(6)

2. Carilah turunan fungsi:

a. yx812x5 4x4 10x3 6x5 aturan

3

(7)

Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan fungsi.

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh

h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka

dx sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.

Nomo

r Fungsi Turunan fungsi

(8)

2. Untuk latihan

3. Untuk latihan

3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik

Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.

Contoh :

a. Jika x2 + y2 = 25, carilah

dx dy

b. Jika x = 2t +1

y = t2 + t

tentukan dx dy

.

Penyelesaian:

a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x,

maka akan kita peroleh:

2 2

 

25

dx d y x dx

d

 

 

2 

 

y2 0

dx d x dx

d

Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh

 

 

dxdy

y dx dy y dy

d y dx

d

2

2

2

Oleh karena itu 2x + 2y dx dy

= 0, sehingga dxdy  xy

(9)

2  dt dx

sedangkan 2t1 dt

dy

.

Karena yang akan kita cari adalah dx dy

maka

dt

dx

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

.

=

2 1 2t

.

3.3 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri

Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai.

Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.

Nomo

r Fungsi Turunan fungsi

1 y = sin x y’ = cos x

2 y = cos x y’ = - sin x

Bukti: 1.

h

x h

x h

x f h x f y

x y

h h

sin ) sin( lim ) ( ) ( lim ' sin

0 0

  

  

 

 

x

x h

h h

x h

h h x

h h

h

cos

2 1 . 1 . cos 2 2 1 .

2 2 sin lim 2 2 cos lim 2

2 sin 2 2 cos 2 lim

0 0

0

 

 

 

2.

h

x h

x h

x f h x f y

x y

h h

cos ) cos( lim ) ( ) ( lim ' cos

0 0

  

  

 

(10)

x

1. Carilah turunan fungsi:

a. y tanx

2. Carilah turunan fungsi: a. ysin4(ex lnx)

aturan sec

cos

aturan csc

sin

aturan

(11)

f. aturan rantai 2 2 2 aturan 2

3.4 Turunan Tingkat Tinggi

Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah

(12)

Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan

  ( )

)

( D f x

dx y d

y n

n n

n .

Contoh:

1. Carilah 22

dx y

d dari :

a. x2 + y2 = 25

b. y = ln t, x = et

c. y = et2t, x = ln (et +1)

2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:

a. yekx

b. ylnx

Penyelesaian :

1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh dx dy

dari x2 + y2

= 25, yaitu dxdy  yx.

Karena 

             

y x dx

d dx dy dx

d dx

y d

2 2

Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh

3 2 2 2

2

. .

1 . .

.

y x y y

y x x y y

dx dy x dx dx y y

x dx

d

      

        

Jadi 22 .2 3 2 y

x y dx

y

d

 

(13)

(14)

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang diberikan.

a. y 1 2x 3x2 di titik (- 2, - 7)

b. 12

x

y, di titik (1,1)

2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan.

a. yx 1 di x = 1

b. yx2  4 di x = 2

c.

     

 

 

1 , 3

1 , 1 )

(

2 2

x x

x x

x

f di x = 1

d.

     

 

 

2 ,

9 8

2 , 1 )

(

2 2

x x

x

x x

x

f di x = 2

3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi yf(x) di titik

x

a

. Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a pada setiap kasus.

a. hh

h

1 1 lim

0

 

b.

1 1 lim 9

1 

x

x

x

4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: b. G(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2)

c. G(y) = (y2 + 1) (2y – 7)

d.

d cx

b ax x h

   ) (

e. 2

x c x b a y  

(15)

a.

1 2

 

x x

y , di titik (1, 1)

b. yxx, di titik (1, 2)

c.

1  

x x

y , di titik (4 ; 0,4)

d. yx x, di titik (1, 1)

6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis

singgungnya mendatar.

7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku

(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘

b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi y = x

x4 x1

2x 3

8. Tentukan nilai lim 10001 1

1 

x

x x

9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi

sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian

carilah dx dy

a.

2

2

6

4 

x x

y

b. y31x3

c. yx2  7x

10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut

a. y3x 210

5x2 x1

12

b. y

s2 1

4 s31

11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini : a. xy + ln y = 1

(16)

c. cos (x + y) – eyx = x

d. sin xy + ln (x + y) = ex

e. eyx + x ln y = sin 2x

12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan

a. xy – ln y = x; (0,1)

b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0) c. x3y + y3x = 30; (1,3)

d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1)

13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan

a. y = ln t, x = et

b. y = et2t, x = ln (et +1) c. y = et + 2, x = e-t + 5

d. y = et + ln t, x = et + 1

e. y = te2t + t, x = et + t

f. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5

14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. 3x3 + 3x2y – 8xy2 + 2y3 = 0

b. xy + y3 = 2

c. x3 – 4y2 = 3

d. yx33x

e. yx3ln(x2 1)

15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. x3 + y3 = 3xy; (0,0)

b. 2x2y – 4y3 = 4; (2,1)

(17)

16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:

a. ysinx

b. ycosx

c. ysin(axb)

d. ycos(pxq)

17. Carilah turunan dari fungsi di bawah ini: e. yearctan(x25)

f. yarccos(ex 5x)

g. yexarcsin(ax2 b)

Referensi

Dokumen terkait

Sedangkan dalam makalah ini telah dijelaskan lebih rinci tentang penggunaan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut,dan sudut ganda,penggunaan rumus sinus,

Turunan fungsi trigonometri yang lain dapat ditentukan dari turunan fungsi sin x dan cos x menggunakan aturan turunan hasil bagi

Apakah Ananda telah mampu menggunakan rumus- rumus trigonometri tersebut untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut pada sinus

4. Melalui tanya jawab, guru mengingatkan  peserta didik mengenai materi pertemuan kemarin tentang konsep turunan fungsi trigonometri. Guru menyampaikan materi yang

Untuk dapat memahami konsep turunan fungsi trigonometri tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini2. Untuk

1 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014 INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRIA. Rumus Trigonometri

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2 π , dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan − 1.. Fungsi

2 Materi - Persamaan trigonometri Rumus Perkalian, Penjumlahan dan Pengurangan sinus dan cosinus Indikator Soal - Diberikan bentuk trigonometri dalam bentuk pengurangan, siswa dapat