TURUNAN FUNGSI ALJABAR

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Menentukan Konsep Turunan Fungsi

Misalkan 𝑓 adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁) pada kurva 𝑓. Gradien garis singgung di titik 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁) adalah LIMIT gradien garis seakan di titik 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁), ditulis :

𝑚_𝑝𝑔𝑠= lim

∆𝑥→0𝑚_𝑠𝑒𝑐= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥₁+∆𝑥)−𝑓(𝑥₁)

∆𝑥

CONTOH SOAL 1 :

Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 − 4 di titik (2,6).

Jawab :

Dari soal , dapat diketahui bahwa :

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 − 4 , 𝑥₁= 2 , 𝑦₁= 6

Kita akan mencari nilai 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 nya diganti menjadi 𝑥₁= 2 𝑓(𝑥₁) = 𝑥₁²+ 3𝑥₁− 4

= 2²+ 3.2 − 4

= 4 + 6 − 4 𝑓(𝑥₁) = 6

Kita akan mencari nilai 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 nya diganti menjadi(𝑥₁+ ∆𝑥) = ( 2 + ∆𝑥) ingat , karena di soal 𝑥₁= 2 𝑓(𝑥₁+ ∆𝑥) = (𝑥₁+ ∆𝑥 )²+ 3(𝑥₁+ ∆𝑥 ) − 4

𝑓(2 + ∆𝑥 ) = (2 + ∆𝑥 )²+ 3(2 + ∆𝑥 ) − 4 = (4 + 4∆𝑥 + ∆𝑥²) + (6 + 3∆𝑥) − 4 = ∆𝑥²+ 4∆𝑥 + 3∆𝑥 + 4 + 6 − 4 = ∆𝑥²+ 7∆𝑥 + 6

Kita substitusikan ke rumus : 𝑚_𝑝𝑔𝑠= lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥₁+∆𝑥)−𝑓(𝑥₁)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(𝑥₁)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

(∆𝑥²+7∆𝑥+6)−(6)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²+7∆𝑥+6−6

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²+7∆𝑥

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²

∆𝑥 + lim

∆𝑥→0 7∆𝑥

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0∆𝑥 + lim

∆𝑥→07

= 0 + 7 𝒎_𝒑𝒈𝒔 = 𝟕

Jadi, gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 − 4 di titik (2,6) adalah 7.

(2 + ∆𝑥 )²= (2 + ∆𝑥 ). (2 + ∆𝑥 ) = 2(2 + ∆𝑥 ) + ∆𝑥(2 + ∆𝑥 ) = 4 + 2∆𝑥 + 2∆𝑥 + ∆𝑥² = 4 + 4∆𝑥 + ∆𝑥²

Ingat kembali pembelajaran SMP :

PERSAMAAN GARIS KURVA 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik (𝑥₁, 𝑦₁) yaitu : 𝑦 − 𝑦₁= 𝑚_𝑝𝑔𝑠 (𝑥 − 𝑥₁)

CONTOH SOAL 2 :

Tentukan persamaan garis singgyung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 di titik (−1, −3) Jawab :

Dari soal , dapat diketahui bahwa :

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 , 𝑥₁= −1 , 𝑦₁= −3

Kita akan mencari nilai 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 nya diganti menjadi 𝑥₁= −1 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥

𝑓(𝑥₁) = 𝑥₁²+ 4𝑥₁ 𝑓(−1) = (−1)²+ 4(−1)

= 1 − 4 𝑓(𝑥₁) = −3

Kita akan mencari nilai 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 nya diganti menjadi(𝑥₁+ ∆𝑥) = ( −1 + ∆𝑥) ingat , karena di soal 𝑥₁= −1 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥

𝑓(𝑥₁+ ∆𝑥) = (𝑥₁+ ∆𝑥 )²+ 4(𝑥₁+ ∆𝑥 ) 𝑓(−1 + ∆𝑥) = (−1 + ∆𝑥 )²+ 4(−1 + ∆𝑥 )

= (1 − 2∆𝑥 + ∆𝑥²) + (−4 + 4∆𝑥) = ∆𝑥²− 2∆𝑥 + 4∆𝑥 + 1 − 4 = ∆𝑥²+ 2∆𝑥 − 3

Kita akan mencari gradien dengan menggunakan rumus seperti di CONTOH SOAL 1 𝑚_𝑝𝑔𝑠 = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥₁+∆𝑥)−𝑓(𝑥₁)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

𝑓(−1+∆𝑥)−𝑓(−1)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

(∆𝑥²+2∆𝑥−3)−(−3)

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²+2∆𝑥−3+3

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²+2∆𝑥

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥²

∆𝑥 + lim

∆𝑥→0 2∆𝑥

∆𝑥

= lim

∆𝑥→0∆𝑥 + lim

∆𝑥→02

= 0 + 2

𝑚_𝑝𝑔𝑠 = 2 (Didapat gradien kurva tersebut = 2)

Langkah terakhir, kita substitusikan ke persamaan garis singgung : 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚_𝑝𝑔𝑠 (𝑥 − 𝑥₁)

𝑦 − (−3) = 2 (𝑥 − (−1)) 𝑦 + 3 = 2 (𝑥 + 1) 𝑦 + 3 = 2𝑥 + 2

𝑦 = 2𝑥 + 2 − 3

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 atau 𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎

Jadi, persamaan garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 di titik (−1, −3) adalah : 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 atau 𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎

(−1 + ∆𝑥 )²= (−1 + ∆𝑥 ). (−1 + ∆𝑥 )

= −1(−1 + ∆𝑥 ) + ∆𝑥(−1 + ∆𝑥 ) = 1 − ∆𝑥 − ∆𝑥 + ∆𝑥²

= 1 − 2∆𝑥 + ∆𝑥²

LATIHAN SOAL :

Kerjakan semua soal dibawah ini di buku catatan kalian, kemudian cocokkan dengan kunci jawabannya.

1) Tentukan gradien garis singgung kurva 𝒚 = 𝟐𝒙^𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟓 di titik ( 𝟐 , 𝟗) Jawaban : 𝒎_𝒈𝒔= 𝟏𝟏

2) Gradien garis singgung kurva 𝒚 = 𝒙^𝟑− 𝟐𝒙 di titik (1 , -1) Jawaban : 𝒎_𝒈𝒔= 𝟏

3) Persamaan garis singgung kurva 𝒚 = 𝒙^𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟓 di titik (-1 , 8) adalah … Jawaban : 𝒚 + 𝟒𝒙 − 𝟒 = 𝟎

4) Persamaan garis singgung kurva 𝒚 = 𝟑𝒙^𝟑− 𝟓 di titik (-2 , 7) adalah … Jawaban : 𝒚 + +𝟏𝟐𝒙 = −𝟏𝟕