BAB 2: Turunan Fungsi

(1)

BAB 2 BAB 2

Turunan Fungsi Turunan Fungsi

Sumber: flickr.com/©Antti

(2)

Turunan Fungsi

Tafsiran Geometris dari Turunan

Fungsi Naik dan Fungsi

Turun

Titik dan Nilai Stasioner

Aplikasi Turunan

PETA KONSE

P

(3)

A. TURUNAN FUNGSI

Pengertian Turunan Fungsi Pengertian Turunan Fungsi

• Jika untuk memiliki nilai, maka dikatakan bahwa mempunyai turunan dalam interval .

• Proses mencari dari disebut penurunan atau pendiferensialan.

Notasi lain untuk Turunan

0

:

( ) ( )

'( ) lim

h

f x h f x

f x ^ h

 



Definisi turunan secara matematis

' atau dy atau df x( )

y dx dx

(4)

CONTOH CONTOH

Tentukan hasil dari . Penyelesaian:

       

   

 

2

2 2

2 2 2

2

0 0

0

( ) 4 3

( ) 4 3 4 3

2 4 4 3 4 3

2 4

( ) 2 4

lim lim

lim 2 4

2 4

h h

h

f x x x

f x h f x x h x h x x

x xh h x h x x

xh h h

f x h f x

df x xh h h

dx h h

x h x

 



  

         

        

  

   

 

  

 

(5)

1. Tentukan turunan untuk fungsi . 2. Tentukan hasil dari untuk fungsi . 3. Tentukan nilai dari untuk fungsi .

•

Asah Kemampuan Asah Kemampuan

Untuk latihan lebih banyak, buka BUKU ERLANGGA hal. 23

(6)

Rumus Turunan Fungsi Rumus Turunan Fungsi

FUNGSI BENTUK FUNGSI RUMUS TURUNAN

Aljabar

Khusus

; konstanta ; konstanta

Komposisi terdiferensialkan di dan terdiferensialkan di

FUNGSI BENTUK FUNGSI RUMUS TURUNAN

Aljabar

Khusus

Komposisi

(7)

Carilah turunan dari setiap fungsi berikut.

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

 

3 2 10

a. ( ) 6 b. ( ) 2

c. ( ) 3 12 2

f x

f x x

f x x x



  

3 3

3 1 4

a. '( ) 0

b. ( ) 2 2

'( ) 2( 3) 6

f x

f x x

x

f x x x



  



 

   

 

2

10 9 2 9

( ) 3 12 2

'( ) 6 12

( ) ( )

'( ) 10 ( ) '( )

10 3 12 2 (6 12)

u x x x

u x x

f x u x

f x u x u x

x x x

  

 



   

c. Cara 1:

Misal:

2 10

9

2 9

3 12 2;

6 12; 10

10 (6 12) 10(3 12 2) (6 12)

u x x y u

du dy

x u

dx du

dy dy du

u x dx du dx

x x x

   

  

   

   

Cara 2:

Misal:

(8)

1. Tentukan turunan untuk fungsi .

2. Tentukan nilai dari hasil di titik yang diberikan dari fungsi berikut: ; .

3. Tentukan turunan fungsi komposisi

•

(9)

Turunan Hasil Operasi Fungsi Turunan Hasil Operasi Fungsi

FUNGSI RUMUS TURUNAN

(10)

CONTOH CONTOH

Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut.

Penyelesaian:



²

 

²



2

a. ( ) 3 2 5

3 2

b. ( )

2 5

f x x x x

x x

f x x

   

 

 

2

a. Misalkan : ( ) 3 '( ) 2

( ) 2 5

'( ) 2 2 u x x

u x x

v x x x v x x

 



  

 



²

 

²



^ ^

3 2 3 2

3 2

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )

2 2 5 3 2 2

2 4 10 2 2 6 6

4 6 4 6

f x u x v x u x v x

x x x x x

x x x x x x

x x x

 

     

      

   

b. Misalkan : ( ) 2 3 2 '( ) 2 3

( ) 2 5 '( ) 2

u x x x u x x

v x x v x

  

 



2

2 2

2

'( ) ( ) ( ) '( )

'( ) ( ( ))

(2 3)(2 5) ( 3 2)(2)

(2 5)

4 10 6 15 2 6 4

(2 5)

2 10 11

(2 5)

u x v x u x v x

f x v x

x x x x

x

x x x x x

x

x x

x

 

    

 

     

 

 

 

(11)

Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut.

     

   

 

2 3

2

2 3 3 2

1 4

2 3

4 4

2 1

f x x x x

f x x x

f x x

x f x x

x

   

 



 

 a.

b.

c.

d.

(12)

• Turunan pertama:

• Turunan kedua:

• dan seterusnya

•

Turunan Tingkat Tinggi Turunan Tingkat Tinggi

𝒚^′= 𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝒚= {𝒅} over {𝒅𝒙} left ({𝒅𝒙} over {𝒅𝒙} right ) = {{𝒅} ^ {𝟐} 𝒚} over {𝒅 {𝒙} ^ {𝟐}

CONTOH CONTOH

Tentukan dari .

•

Penyelesaian:

2

2 2 3

3

' 9 2 1

" 18 2

''' 18

y dy x x

dx

y d y x

dx y d y

dx

   

  

 

(13)

Tentukan dan dari fungsi berikut.

a.

b.

c.

•

(14)

Turunan Fungsi Implisit Turunan Fungsi Implisit

y sebagai fungsi x secara implisit adalah jika persamaan f(x, y) = 0 pada interval terbatas dari variabel tertentu.

Langkah mencari turunan y’:

1. Ubah persamaan f(x, y) = 0 dalam bentuk y = f(x), kemudian diferensialkan terhadap .

2. Dengan menganggap y sebagai fungsi dalam x, fungsi yang diketahui terhadap x dan tentukan y’dari hubungan yang diperoleh (diferensiasi implisit).

(15)

Tentukan y’ dari fungsi xy + x – 2y – 1 = 0.

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

( 2 1) (0)

( ) ( ) (2 ) (1) (0)

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 0

1 2 0

( 2) 1

1 2

d d

xy x y

dx dx

d d d d d

xy x y

dx dx dx dx dx

d d d d

x y y x x y

dx dx dx dx

dy dy

x y

dx dx

x dy y

dx

dy y

dx x

   

    

   

   

  



(16)

Tentukan y’ = dari fungsi implisit berikut.

•

2 2

2 4

3 0

a.

b.

c.

x xy y

x y

x xy y

  

 

  

(17)

Untuk latihan lebih banyak, buka BUKU ERLANGGA

“Uji Kompetensi Diri” hal. 33

(18)

B. TAFSIRAN GEOMETRIS DARI TURUNAN

Gradien dan Persamaan Garis Singgung Gradien dan Persamaan Garis Singgung

Gradien garis singgung di titik (garis singgung pada kurva) dinotasikan dengan .

• 𝑂

𝑃

𝑄 h

𝒙 𝒙 + h

𝑓 (𝒙) 𝑓 (𝒙+h)

𝑌

𝑋

0

( ) ( )

lim '( )

h

f x h f x

m h

f x



  



(19)

Garis normal

Garis singgung

𝒚=𝑓 (𝒙) _𝐴₍_𝒙

1, 𝒚₁)

𝐵

^𝐷

𝐶 𝑋

𝒚₁ Persamaan garis normal

dengan gradien dan melalui titik :

Persamaan singgung di titik:

Garis Normal Garis Normal

1 1 1 1 1

( ) atau 1 ( )

y y m x x y y x x

      m 

1 ( 1)

y y  m x x

(20)

Garis normal

Garis singgung

𝑓 ( 𝒙)= 𝒚 𝐴(𝒙₁, 𝒚₁)

𝐵

^𝒚^𝐷¹

𝐶 𝑋

Perhatikan pada gambar tersebut.

• Gradien garis singgung

• Panjang garis tangen adalah jarak titik singgung ke titik potong garis singgung dengan sumbu , yaitu |AB|.

• Panjang garis subtangen adalah

• Panjang garis subnormal adalah Garis Normal

Garis Normal

(21)

CONTOH CONTOH

Diketahui sebuah fungsi Tentukan persamaan garis singgung, persamaan garis normal, panjang garis tangen, panjang garis subtangen dan panjang garis subnormal pada .

•

Persamaan garis singgung pada

kurva:

Penyelesaian:

Persamaan garis normal:

2

1 1 1

( ) 2 1

'( ) 2 2

1 2(1) 2 4

1 2(1) 1 2 Gradien garis singgung di titik

adalah

nilai untuk

f x x x

m f x x

x m

y x y

  

  

 

  

     

1 ( 1)

2 4( 1)

4 2

y y m x x

y x

  

 

1 1

1 ( )

2 1 ( 1) 4

4 9

y y x x

m

y x

y x

   

 

(22)

Panjang garis subtangen:

Panjang garis subnormal:

Titik potong garis singgung

dengan sumbu X, y = 0 Titik potong garis normal dengan sumbu X, y = 0

Panjang garis tangen (t) adalah jarak titik (1,2) dan sehingga:

| 1 | | 2 4 | 8

y m  



1 7

6 y

m 

4 2

0 4 2

1 2

y x

x x

 



 

⁴ ⁹

4 0 9

9 y x

x x

 

  1 

2 ,0

 

  

  ^



^{9, 0}



1 , 0 2

 

 

 

 

2

1 2 1 1

1 2 0 4 17

2 4 2

t         

(23)

1. Untuk fungsi , tentukan persamaan garis singgung, persamaan garis normal, panjang garis tangen, panjang garis subtangen, dan panjang garis subnormal terhadap garis .

2. Diberikan suatu fungsi dengan persamaan . Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva melalui titik (9, 12).

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva yang melalui titik (0, 0) dan tentukan juga masing-masing garis normalnya.

4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabola pada titik ptongnya dengan sumbu Y.

•

(24)

Fungsi Naik dan Fungsi Turun Fungsi Naik dan Fungsi Turun

𝑎 ^𝒙

¹

𝑂 ^𝒙

^𝟐

𝑏 𝑌

𝑋

𝑓 ( 𝒙 )

Grafik fungsi yang kontinu pada interval (interval I)

Grafik naik pada nterval dan dan berlaku

dan .

Fungsi naik pada interval I jika untuk setiap bilangan

dan pada dan berlaku . Fungsi naik pada interval I

jika untuk setiap bilangan dan pada dan berlaku .

(25)

Grafik fungsi yang kontinu pada interval (interval I)

Grafik turun pada interval dan dan berlaku

.

Fungsi turun pada interval I jika untuk setiap bilangan

dan pada dan berlaku . Fungsi turun pada interval I

jika untuk setiap bilangan dan pada dan berlaku .

𝑎 ^𝒙

¹

𝑂 ^𝒙

^𝟐

𝑏 𝑌

𝑋

𝑓 ( 𝒙 )

Fungsi Naik dan Fungsi Turun Fungsi Naik dan Fungsi Turun

(26)

𝑓 ^′( 𝒙 ) >0 𝑓 ^′ ( 𝒙) <0

𝑋

Fungsi monoton naik pada Interval jika untuk setiap pada

Fungsi monoton turun pada Interval jika untuk setiap pada Misalkan kontinu pada interval I dan dapat diferensialkan untuk setiap pada interval I, berlaku:

(27)

Jadi, grafik fungsi naik pada interval atau dan grafik fungsi turun pada interval .

•

Tentukan interval nilai x yang memenuhi agar grafik fungsi f(x) naik dan f(x) turun

naik dan turun

•

CONTOH 1 CONTOH 1

Penyelesaian:

3 2

2

( ) 2 3 12 7

'( ) 6 6 12

f x x x x

f x x x

   

  

   

2

' 0

6 6 12 0

2 1 0

1 2

fungsi naik jika

atau

f x f x

x x



  

   

   

   

2

' 0

6 6 12 0

2 1 0

1 2

fungsi f x naik jika f x

x x

x



  

   

   

(28)

selalu bernilai positif untuk setiap nilai atau artinya selalu naik (monoton naik)

•

CONTOH 2 CONTOH 2

Tunjukkan bahwa selalu naik untuk semua bilangan real.

•

Penyelesaian:

3 2

( ) 4 5

'( ) 3 4

f x x x

f x x

  

 

(29)

1. Tentukan interval nilai yang memenuhi agar fungsi selalu naik dan turun.

2. Tunjukkan bahwa fungsi tidak pernah naik.

3. Tentukan batas-batas nilai yang memenuhi agar selalu naik.

4. Tentukan interval nilai x yang memenuhi agar fungsi selalu naik dan turun.

(30)

Titik dan Nilai Stasioner Titik dan Nilai Stasioner

𝑓 ^′( 𝒙 ) >0 𝑓 ^′( 𝒙) <0

𝑋

c

𝑐

Titik stasioner merupakan titik tempat fungsi berhenti naik atau turun untuk sementara

pada saat dan merupakan nilai stasioner

(31)

fungsi yang kontinu pada interval (interval I)

Nilai maksimum atau minimum global adalah nilai maksimum atau minimum yang dicapai pada keseluruhan interval.

Nilai maksimum atau minimum lokal atau relatif adalah nilai maksimum atau minimum yang dicapai pada interval tertentu.

𝑎 𝑏 𝑋

𝑓 ( 𝒙 )

Y

𝑂

(32)

Misalkan kontinu pada interval . Fungsi dikatakan mempunyai:

a. Nilai maksimum lokal jika terdapat interval yang sedemikian sehingga adalah nilai maksimum atau minimum pada interval .

b. Nilai maksimum lokal jika terdapat interval yang sedemikian sehingga adalah nilai maksimum atau minimum pada interval .

c. Nilai stationer lokal jika berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

𝑎 𝑏 𝑋

𝑓 (𝒙)

Y

𝑂

fungsi yang kontinu pada interval (interval I)

(33)

Uji Turunan Pertama Uji Turunan Pertama

Misalkan kontinu pada interval tertutup yang memiliki titik stasioner .

Jika untuk semua dalam interval dan untuk semua

dalam , maka merupakan titik balik maksimum dengan adalah nilai balik maksimum.

𝑓 ^′ ( 𝒙 ) >0 𝑓 ^′ ( 𝒙 ) <0

𝑓 ^′( 𝒙)=0

(34)

Jika untuk

semua dalam interval dan untuk semua dalam interval , maka adalah titik balik

minimum dan adalah nilai balik minimum.

𝑓 ^′( 𝒙)=0

𝑓 ^′ ( 𝒙 ) >0 𝑓 ^′ ( 𝒙 ) <0

(35)

Jika bertanda sama pada kedua belah sisi , maka adalah titik belok dan adalah nilai belok.

𝑓 ^′ ( 𝒙 ) >0

𝑓 ^′( 𝒙)=0

𝑓 ^′ ( 𝒙 ) <0 Uji Turunan Pertama

Uji Turunan Pertama

(36)

Misalkan didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Titik adalah titik kritis pada salah satu titik berikut.

maks

min Y

O X

Titik-titik ujung

1. Titik ujung interval I

Y

O X

Titik singular

3. Titik singular () tidak ada maks

min Y

O X

Titik stasioner

2. Titik stasioner ()= 0)

(37)

CONTOH CONTOH

Tentukan nilai stasioner dari .

•

Untuk , (turun) Untuk , (naik)

Jadi, merupakan nilai balik minimum.

3

−

+¿

Penyelesaian:

'( ) 2 6

'( ) 0

2 6 0

3 Titik Kritis:

f x x

x

 



  

 

(38)

dan ada pada setiap titik pada interval terbuka yang memuat dan .

adalah nilai balik maksimum

adalah nilai balik minimum

Tidak semua uji turunan kedua dapat berhasil

Uji Turunan Kedua Uji Turunan Kedua

(39)

Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan nilai stasioner fungsi

.

•

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

2

'( ) 2 3

"( ) 2 2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

Titik Kritis:

atau

f x x x

f x x

f x

x x

  

 



  

  

  

3 2

1,

"( 1) 2( 1) 2 4 0

( 1) 1 ( 1) ( 1) 3( 1) 4 3

17 2

3 5 3 3,

"(3) 2(3) 2 4 0

(3) 1 (3) 3 3(3) 4 3

5 Untuk

Nilai balik maksimum:

Untuk

Nilai balik minimum:

x f

f

x f

f

 

      

       

 



   

   

 

(40)

Tentukan nilai stasioner dari fungsi

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

Sebelum menentukan nilai stasioner, tentukan terlebih dahulu titik-titik kritis fungsi tersebut.

Dari hasil pada 1) dan 2) diperoleh:

Nilai balik maksimum adalah 1, yaitu pada Nilai balik minimum adalah –4, yaitu pada

 

1.

1 2.

1 2 1

, 1.

2 2

2, 2 4.

Pada ujung-ujung Interval,

yaitu pada dan

Untuk diperoleh

x x

x f

  

     

   

 

² ³ ^{3 ,}² ¹ ²

f x   x  x   2 x

     

   

2

2. ' 0.

' 6 6 1 0

0 1

0, 0 0.

1, 1 1.

Pada titik stasioner,

atau Untuk diperoleh

Untuk diperoleh f x

f x x x x x

x x

x f



     

  

 

1 2

2 atau

x   x 

2 x 

(41)

Langkah menggambar grafik fungsi

1. Mencari titik-titik potong dengan sumbu koordinat.

2. Mencari titik stasioner (titik balik maksimum atau minimum).

3. Menentukan interval grafik fungsi naik dan grafik fungsi turun.

4. Menggambar grafik berdasarkan data yang diperoleh di langkah sebelumnya.

Menggambar Grafik (Pengayaan) Menggambar Grafik (Pengayaan)

(42)

Gambar grafik fungsi .

+¿

⁻

+¿

0 𝟐

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

Titik potong dengan sb. X (y = 0)

Titik potong dengan sb. Y (x = 0)

Titik stasioner f '(x) = 0

Fungsi naik dan turun:

• Fungsi naik jika f '(x) > 0 → x < 0 atau x > 2

• Fungsi turun jika f '(x) > 0 → 0 < x < 2

Titik balik:

• Untuk x = 0 → f(0) = 0 , titik balik maksimum (0, 0)

• Untuk x = 2 → f(2) = 4 , titik balik maksimum (0, 4)

3 2

2

3 0

( 3 ) 0

0 atau 3

Titik potong (0, 0)dan (3, 0)

x x

x x x

x x

 

  

  



3 2

0 3(0) 0

Titik potong (0, 0) y   



'( ) 3 2 6 0 3 ( 2) 0

0 atau 2

f x x x

x x

x x

  

 

 

(43)

Sketsa grafik:

CONTOH CONTOH

𝑂

− 4

₍_𝟐_,−₄₎

2 (3,0)

X Y

𝒚=𝒙³−3 𝒙^𝟐

dan

(44)

1. Untuk fungsi tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya (maksimum atau minimum).

2. Sketsalah grafik fungsi .

3. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi .

4. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi pada interval .

•

(45)

Langkah membuat model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

1. Misalkan nilai yang ditanyakan dalam suatu variabel . 2. Buatlah fungsi yang ditanya dan fungsi yang diketahui.

3. Substitusikan fungsi yang diketahui ke dalam fungsi yang akan ditentukan nilai ekstrimnya.

4. Dengan menggunakan pembahasan nilai ekstrim, selesaikan nilai ekstrim dari fungsi yang diperoleh, kemudian tafsirkan.

• C. APLIKASI TURUNAN FUNGSI

(46)

Penyelesaian:

Model pada Bidang Teknik Model pada Bidang Teknik

CONTOH CONTOH

Kotak persegi panjang terbuat dari karton dengan panjang 24 inci dan lebar 9 inci. Pada keempat pojoknya dipotong empat persegi identik dan dilipat ke atas sisi-sisinya.

Tentukan ukuran kotak yang terjadi agar volumenya maksimum.

inci

2 3

0 4,5

(9 2 )(24 2 ) 216 66 4

Masalah: Memaksimumkan pada

kotak

V x

V x x x

x x

 

  

  

(47)

2

0 216 132 12 0

12(9 )(2 ) 0

2 9

0 0

2 200 ( )

4,5 0

5 Agar volume maksimum maka

titik kritis:

kotak mempunyai volume maksimum saat panjang = 20 inci, lebar = inci, tinggi =

dV dx

dV x x

dx

x x

x atau x

x V

x V maks

x V

x



   

   

  

  



 2 inci

(48)

Selembar kertas karton dengan luas 2 . Kertas tersebut akan dicetak untuk dijadikan sebuah poster. Lebar bagian atas dan bawah kertas yang tidak terkena cetakan masing-masing adalah 21 cm, sedangkan lebar bagian samping kiri dan kanan masing- masing adalah 14 cm. Tentukan:

a. ukuran kertas yang tercetak agar luasnya maksimum dan b. luas maksimumnya.

•

(49)

Model pada Laju yang Berkaitan Model pada Laju yang Berkaitan

Misal: jarak

kecepatan percepatan

waktu (variabel)

laju perubahan terhadap laju perubahan y terhadap

x v a

t

v y dx x t

dt

a dy t

dt



  

 

(50)

Kecepatan () = = 3 Percepatan () = = a. t = 3

m/detik

Suatu benda bergerak menempuh jarak s meter dalam waktu t detik dengan persamaan , Hitunglah:

a. kecepatan benda setelah 3 detik,

b. percepatan benda setelah 2 detik, dan

c. waktu (t) yang diperlukan agar kecepatannya sama dengan nol.

CONTOH CONTOH

Penyelesaian:

b. t = 2 6 m/

c.

 



Jadi, waktu (t) yang diperlukan agar kecepatannya nol adalah 1 detik.

(51)

Jarak yang ditempuh sebuah benda yang bergerak memenuhi persamaan

a. Tentukan laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t.

b. Tentukan nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15 m/detik.

•

(52)

Model pada Bidang Ekonomi Model pada Bidang Ekonomi

O X

C

∆X ∆C

x x + ∆x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) dengan:

biaya total total laba pendapatan

fungsi harga persatuan barang P x R x C x xp x C x

C x P x R x p x

   



Fungsi total laba :

Biaya Marginal = Harga Marginal =

Pendapatan Marginal = Keuntungan Marginal =

dC dx

dp dx

dR dx dC

dx

(53)

CONTOH CONTOH

Andaikan biaya total produksi memenuhi persamaan

rupiah. Tentukan biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal.

Tentukan pula biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal jika banyak barang yang diproduksi adalah 1.000 satuan.

•

Penyelesaian:

1 3

2 3

( ) 8.300 3, 25 40 3, 25 40

3 Biaya rata-rata:

Biaya marginal:

C x x x

x x

dC x

dx



 



 

(54)

Hal ini berarti rata-rata biaya per satuan untuk memproduksi 1.000 satuan barang pertama adalah Rp11,95; sedangkan untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1.000 hanya

memerlukan Rp3,38.

1 3

2 2

3 3

1.000

( ) 8.300 3, 25 40

8.300 3, 25(1.000) 40(1.000)

11,95 1.000

40 40

3, 25 3, 25 1.000 3,38

3 3

Pada x

C x x x

x x

dC x

dx

 



 



 

 

    

(55)

Perusahaan memproduksi satuan barang dengan biaya total yang dirumuskan dengan

dengan C dalam ribuan rupiah dan x ribuan unit yang diproduksi.

Tentukan:

a. banyak barang yang dapat diproduksi agar biaya marginal minimum,

b. biaya marginal tersebut,

c. banyak barang yang diproduksi agar biaya rata-ratanya minimum, dan

d. biaya rata-rata tersebut.

•

(56)

BAB 2: Turunan Fungsi

BAB 2 BAB 2

Turunan Fungsi Turunan Fungsi

PETA KONSE

P

A. TURUNAN FUNGSI

       

   

 

•

 

 

 

 

1. Tentukan turunan untuk fungsi .

2. Tentukan nilai dari hasil di titik yang diberikan dari fungsi berikut: ; .

3. Tentukan turunan fungsi komposisi

•



 





 



Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut.

     

   

 

 

•

𝒚= {𝒅} over {𝒅𝒙} left ({𝒅𝒙} over {𝒅𝒙} right ) = {{𝒅} ^ {𝟐} 𝒚} over {𝒅 {𝒙} ^ {𝟐}

•

Tentukan dan dari fungsi berikut.

a.

b.

c.

•

Tentukan y’ = dari fungsi implisit berikut.

•

2 4

3 0

a.

b.

c.

x xy y

x y

x xy y

  

 

  

Untuk latihan lebih banyak, buka BUKU ERLANGGA

“Uji Kompetensi Diri” hal. 33

B. TAFSIRAN GEOMETRIS DARI TURUNAN

•

𝑂

𝑃

𝑄 h

𝒙 𝒙 + h

𝑌

𝑋

𝐵

𝐶 𝑋

𝐵

𝐶 𝑋

•

 





 

•

𝑎 𝒙

𝑂 𝒙

𝑏 𝑌

𝑋

𝑓 ( 𝒙 )

𝑎 𝒙

𝑂 𝒙

𝑏 𝑌

𝑋

𝑓 ( 𝒙 )

𝑎 ^𝒙

𝑂 ^𝒙

𝑎 ^𝒙

𝑂 ^𝒙