TURUNAN FUNGSI
3
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi
Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah
f ’ (c) = h c f h c f h ) ( ) ( lim 0 − + →
asalkan limit ini ada.
Contoh 1
Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah
f ’ (2) = h f h f h ) 2 ( ) 2 ( lim 0 − + → = h h h h ) 4 2 . 2 2 . 3 ( 4 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 lim 2 2 0 + + − + + + + → = h h h h h ) 4 4 12 ( 4 2 4 ) 4 4 ( 3 lim 2 0 + + − + + + + + → = h h h h h 2 3 12 lim 2 0 + + → = h h h h ) 2 3 12 ( lim 0 + + → = lim(12 3 2) 0 + + → h h = 14
Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka
f ’ (x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + →
Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y ’, atau
dx dy , atau f ’ (x), atau dx x df( ) Turunan Fungsi 38
Contoh 2
Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah
f ’ (x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h x x h x h x h ) 4 2 3 ( 4 ) ( 2 ) ( 3 lim 2 2 0 + + − + + + + → = h x x h x h xh x h ) 4 2 3 ( 4 2 2 ) 2 ( 3 lim 2 2 2 0 + + − + + + + + → = h h h xh h 2 3 6 lim 2 0 + + → = h h x h h ) 2 3 6 ( lim 0 + + → = lim(6 3 2) 0 + + → x h h = 6x + 2
3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat
1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0. Bukti: f ’(x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h k k h − →0 lim = 0
2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1. Bukti: f ’(x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h x h x h − + → ) ( lim 0 = h h h 0 lim → = 1.
3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1. Bukti: f ’(x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h x h x n n h − + → ) ( lim 0
= h x h nxh h x n n h nx xn n n n n n h − + + + − + + − − − → 1 2 2 1 0 ... 2 ) 1 ( lim = h h nxh h x n n nx h n n n n h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + − + − → 1 2 2 1 0 ... 2 ) 1 ( lim = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + − + − → 1 2 2 1 0 2 ... ) 1 ( lim n n n n h x h nxh h n n nx = 1 0 lim − → n h nx = nxn−1 Contoh 3
Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4
3.3 Sifat-sifat Turunan
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi-fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:
1. Jika y = ku maka y ’ = k(u’ ) 2. Jika y = u + v maka y ’ = u ’ + v ’ 3. Jika y = u – v maka y ’ = u ’ – v ’ 4. Jika y = u v maka y ’ = u ’ v + u v ’ 5. Jika y = v u maka y ’ = ' 2 ' v uv v u − Contoh 4 1. Jika f(x) = 3x5, maka f ’(x) = 3.5x4 = 15x4 2. Jika f(x) = 3x5 + 2x, maka f ’(x) = 15x4 + 2 3. Jika f(x) = 3x5 – 2x, maka f ’(x) = 15x4 – 2 4. Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka f ’(x) = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4 5. Jika f(x) = 7 4 2 3 5 + + x x x , maka f ’(x) = 2 5 4 ) 7 4 ( 4 ) 2 3 ( ) 7 4 )( 2 15 ( + + − + + x x x x x Turunan Fungsi 40
6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x –n dengan – n = p, sehingga f(x) = n
x
1
. Dengan menggunakan turunan y =
v u diperoleh f ’(x) = 2 1 ) ( . 1 . 0 n n n x nx x − − = n n x nx 2 1 − − = −nxn−1x−2n = −nx−n−1 = pxp−1
3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)
Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom
berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai.
dx du du dy dx dy = Aturan Rantai
Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan
dengan y = f(g(x)) = (f og)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di
u = g(x) maka y = (f og)(x) terdiferensialkan di x dan
y ’ = (f og) ’ (x) = f ’(g(x)) g’(x)
atau
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x) yakni y = (f og oh)(x) maka dx dv dv du du dy dx dy =
Contoh 5 Tentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 Penyelesaian: Misalkan u = 3x4 + 7x – 8 → dx du =12x3 + 7 y = u9 → du dy = 9u8. dx du du dy dx dy = = 9u8(12x3 + 7) = 9(3x4 + 7x – 8)8(12x3 + 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f –1 sehingga x = f –1(y). Dengan
menggunakan aturan rantai pada x = f –1(y) diperoleh
dx dy dy y df dx dx −1( ) = ⇔ 1 = dx dy dy dx ⇔ dy dx = dx dy 1
3.6 Turunan Fungsi Implisit
Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai
fungsí dalam x.
Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0 2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 Contoh 6
1. Tentukan
dx dy
dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0
Penyelesaian:
Apabila kedua ruas y – 2x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
dx dy – 6x2 = 0 ⇔ dx dy = 6x2 2. Tentukan dx dy
dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0
Penyelesaian:
Apabila kedua ruas 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
6x2y + 2x3 dx dy – 7 dx dy – 2x = 0 ⇔ dx dy (2x3 – 7) = 2x – 6x2y ⇔ dx dy = 7 2 6 2 3 2 − − x y x x
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh
jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’
baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f .
Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai 2 2 dx y d dx dy dx d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
Notasi lain adalah f ’’(x) = D2f(x)
Contoh 7
Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x). Penyelesaian:
f ’(x) = 12x3 + 7
untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x): f ’’(x) = (12x3 +7) dx d = 36x2 Contoh 8 Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).
Penyelesaian: f ’(x) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ) 2 3 ( x5 x dx d (4x + 7) + (3x5 + 2x) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ) 7 4 ( x dx d = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4 f ’’(x) = dx d [(15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4] = dx d [(15x4 + 2) (4x + 7)] + dx d [(3x5 + 2x)4] = ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ) 7 4 ( ) 2 15 ( ) 7 4 ( ) 2 15 ( 4 4 x dx d x x x dx d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 ) 2 3 ( 4 ) 2 3 ( 5 5 dx d x x x x dx d = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4 + (3x5 + 2x).0 = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ Hiperbolik Fungsi al Eksponensi Fungsi Logaritma Fungsi Siklometri Fungsi ri Trigonomet Fungsi Transenden Fungsi Irrasional Fungsi Rasional Fungsi Aljabar Fungsi Fungsi
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.
3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional
Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Contoh 9
Tentukan turunan y = n
x dengan n bilangan bulat positif
Penyelesaian: y = n x ⇔ x = y n sehingga dy dx = ny n–1 dx dy = dy dx 1 = 1n−1 ny = n y n − 1 1 =
( )
n n x n − 1 1 =( )
n n x n − 1 1 1 =1x1n−1 n Contoh 10 Tentukan turunan y = x3 +4x Penyelesaian: y = x3 +4x =(
)
2 1 4 3 x x +Dengan aturan rantai diperoleh: y ’ =
(
4) (
3 4)
2 1 3 2 2 1 + + x − x x = x x x 4 2 4 3 3 2 + +3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Jika f(x) = cos x, maka
f ’(x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h x h x h cos ) cos( lim 0 − + → = h x h x h x h cos sin sin cos cos lim 0 − − → = h h x h x h sin sin ) 1 (cos cos lim 0 − − → = h h x h ) 1 (cos cos lim 0 − → – h h x h sin sin lim 0 → = x h cos lim 0 → h h h ) 1 (cos lim 0 − → – limh→0sinx h h h sin lim 0 → = cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x
jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x Jadi,
Analog:
jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri.
Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.
y = arc sin x → x = sin y → 1
x y 1−x2 dy dx = cos y dx dy = y cos 1 cos y = 1−x2 = 2 1 1 x −
jika y = arc sin x, maka y ’ =
2 1 1 x − Jadi, Turunan Fungsi 46
Analog:
jika y = arc cos x, maka y ’ = –
2 1
1
x
−
jika y = arc tg x, maka y ’ = 2 1
1
x
+ jika y = arc ctg x, maka y ’ = – 2
1 1
x
+ jika y = arc sec x, maka y ’ =
1 1
2 −
x x
jika y = arc cosec x, maka y ’ = –
1 1
2 −
x x
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma
Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.
f ’(x) = h x f h x f h ) ( ) ( lim 0 − + → = h x h x h ln ) ln( lim 0 − + → = h x h x h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → ln lim 0 = h x h h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 1 ln lim 0 = x x h x h h . 1 ln lim 0 ⎝ → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ + = x x h h x h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 1 ln lim 0
= x x h h x h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 1 ln lim 0 = x x h h h x h 0 0 lim 1 ln lim → → ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
Mengingat (1) limln ( ) = ln dan (2)
0 f x h→ limh→0 f(x) x e h h x h ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 1 lim 0 Sehingga diperoleh: f ’(x) = x x h h h x h 0 0 lim 1 ln lim → → ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x x h h h x h 0 0 lim 1 lim ln → → ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = x e ln = x 1 jika f(x) = ln x, maka f ’(x) = x 1 Jadi,
Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.
y = a log x ⇔ y = a x ln ln = a ln 1 ln x Sehingga y ’ = a ln 1 x 1 = a x ln 1 Turunan Fungsi 48
jika y = a log x , maka y ’ =
a x ln
1 Jadi,
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial
Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut.
y = a x ⇔ ln y = ln a x ⇔ ln y = x ln a ⇔ x = a y ln ln ⇔ x = a ln 1 ln y Sehingga dy dx = a ln 1 y 1 Diperoleh dx dy = y ln a. = a x ln a jika y = a x , maka y ’ = a x ln a Jadi,
Khususnya untuk a = e, jika y = e x , maka y ’ = e x ln e = e x
jika y = e x , maka y ’ = e x Jadi,
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik Definisi sinh x = 2 x x e e − − coth x = x tanh 1 = x x x x e e e e − − − + cosh x = 2 x x e e + − sech x = x cosh 1 = x x e e + − 2 tanh x = x x cosh sinh = x x x x e e e e − − + − csch x = x sinh 1 = x x e e − − 2
Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh ) ( ' x f = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 2 x x e e dx d = 2 ) ( x x e e − − − = 2 x x e e + − = cosh x.
Jadi, jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk:
x = f(t) y = g(t)
maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari
dx dy
dengan cara sebagai berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi
y = g(t)
= g(h(x))
Diperoleh dx dy = dt dy dx dt atau dx dy = dt dy dt dx 1 dx dy = dt dx dt dy sehingga SOAL Carilah dx dy
untuk yang berikut
1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7) 5. y = 9 3 4 1 2 − x+ x 2. y = (x3 + 3x2)(4x2 + 2) 6. y = 1 1 + − x x 3. y = 1 3 1 2 + x 7. y = 2 1 1 3 2 2 + + − x x x 4. y = 1 5 2 2 − x
Dengan aturan rantai tentukan
dx dy
untuk yang berikut 8. y = (2 – 9x)15 9. y = (5x2 + 2x – 8)5 15. y = sin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 5 2 1 3 x x 10. y = 2 9 ) 9 3 4 ( 1 + − x x 16. y = cos ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 4 1 2 x x 11. y = sin (3x2 + 11x) 17. y = arcsin (3x4 – 11x) 12. y = cos (3x4 – 11x) 18. y = arctg (3x4 – 11x)8 13. y = sin3 x 19. y = ln (5x2 + 2x – 8) 14. y = 4 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x x 20. y = e (2 – 9x)
Tentukan turunan fungsí implisit berikut
21. x2 + y2= 9 26. 4x3 + 11xy2 – 2y3= 0 22. 4x2 + 9y2= 36 27. xy + 3y = 10x
23. x y = 4 28. xy + sin y = x2
24. xy2 – x + 16 = 0 29. cos (xy) = y2 + 2x 25. x3 – 3x2y+ 19xy = 0 30. 6x – 2xy + xy3 = y2
Tentukan
dx dy
untuk fungís parameter berikut
31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9)
x = sin t y = (t2 + 7)3 32. y = 2 – 9t2 35. x = e (2t – 9) x = arc sin (t – 1) y = cosec t 33. x = ln (2 – 9t) 36. y = sec (t – 1) y = sin t x = tg (t – 1)