3.1 Pengertian Turunan Fungsi - Kalkulus Bagian 3

TURUNAN FUNGSI

3

3.1 Pengertian Turunan Fungsi

Definisi

Turunan fungsi f adalah fungsi f _’ yang nilainya di c adalah asalkan limit ini ada.

Contoh 1

Contoh 2

3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

=

3.3 Sifat-sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v

6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x–n dengan – n = p, sehingga f(x) = _n

x

1

. Dengan menggunakan turunan y =

v u

diperoleh

f ’(x) = ₂ 1

) (

. 1 . 0

n n n

x nx

x − −

= _n

n

x nx

2 1 −

−

= −nxn−1x−2n

= −nx−n−1

= pxp−1

3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)

Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai.

dx du du dy dx dy ₌

Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f og)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di

u = g(x) maka y = (fog)(x) terdiferensialkan di x dan

y ’ = (fog)’ (x) = f ’(g(x)) g’(x) atau

Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.

Jika y = f(u)

u = g(v)

v = h(x) yakni y = (fog oh)(x) maka

dx dv dv du du dy dx dy

Contoh 5

Tentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9

Penyelesaian:

Misalkan u = 3x4 + 7x – 8 →

dx du

=12x3 + 7

y = u9 →

du dy

= 9u8.

dx du du dy dx dy ₌

= 9u8(12x3 + 7)

= 9(3x4 + 7x – 8)8(12x3 + 7)

3.5 Turunan Fungsi Invers

Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f –1 sehingga x = f –1(y). Dengan menggunakan aturan rantai pada x = f –1(y) diperoleh

dx dy dy

y df dx

dx −1( )

=

⇔ 1 =

dx dy dy dx

⇔

dy dx

= dx dy 1

3.6 Turunan Fungsi Implisit

Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí dalam x.

Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0 2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0

Contoh 6

1. Tentukan

dx dy

dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0

Penyelesaian:

Apabila kedua ruas y – 2x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:

dx dy

– 6x2 = 0 ⇔

dx dy

= 6x2

2. Tentukan

dx dy

dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0

Penyelesaian:

Apabila kedua ruas 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh: 6x2y + 2x3

dx dy

– 7

dx dy

– 2x = 0

⇔ dx dy

(2x3 – 7) = 2x – 6x2y ⇔

dx dy

=

7 2

6 2

3 2

− − x

y x x

3.7 Turunan Tingkat Tinggi

Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’

baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai

2 2

dx y d dx dy dx

d ₌

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

Notasi lain adalah f ’’(x) = D2f(x)

Contoh 7

Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f _’’(x).

Penyelesaian:

f ’(x) = 12x3 + 7

untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x):

f ’’(x) = (12x3 +7)

dx d

= 36x2

Contoh 8

Penyelesaian:

3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden

⎪

3.8.1 Turunan Fungsi Rasional

Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.

3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional

Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional

Contoh 9

3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri

jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x

Jadi,

Analog:

jika f(x) = sin x, maka f _’(x) = cos x

jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2x

jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2x

jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x

jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x

3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri

Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri.

Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.

y = arc sin x → x = sin y → 1

x

y

1−x2

dy dx

= cos y

dx dy

=

y

cos 1

cos y = 1−x2 =

2 1

1

x

−

jika y = arc sin x, maka y ’ =

2 1

1

x

−

Jadi,

Analog:

3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma

=

x x h h

x

h

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

→

1 ln lim

0

=

x x h

h

h x

h

0 0

lim 1 ln lim

→

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

Mengingat (1) limln ( ) = ln dan (2)

0 f x

h→ limh→0 f(x) _x e

h h x

h ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

→ 1

lim 0

Sehingga diperoleh:

f ’(x) =

x x h

h

h x

h

0 0

lim 1 ln lim

→

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

=

x x h

h

h x

h

0 0

lim 1 lim ln

→

→ ⎟_⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

=

x e

ln

=

x

1

jika f(x) = ln x, maka f ’(x) =

x

1 Jadi,

Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.

y = a log x ⇔y =

a x

ln ln

=

a

ln 1

ln x

Sehingga y ’ =

a

ln 1

x

1

=

a xln

1

jika y = a log x , maka y ’ =

a xln

1 Jadi,

3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial

Akan dicari turunan y = ax sebagai berikut.

y = ax ⇔ ln y = ln ax ⇔ ln y = x ln a ⇔x =

a y

ln ln

⇔x =

a

ln 1

ln y

Sehingga

dy dx

=

a

ln 1

y

1

Diperoleh

dx dy

= y ln a. = ax ln a

jika y = ax , maka y ’ = ax ln a

Jadi,

Khususnya untuk a = e, jika y = ex , maka y ’ = ex ln e

= ex

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik

Definisi

sinh x = 2

x x

e

e − −

coth x =

x

tanh 1

= _{x x}

x x

e e

e e

− −

− +

cosh x = 2

x x

e

e + −

sech x =

x

cosh 1

= _{x x}

e

e + −

2

tanh x =

x x

cosh sinh

= _{x x}

x x

e e

e e

− −

+ −

csch x =

x

sinh 1

= _{x x}

e

e − −

2

Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh )

( ' x

f = _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ − −

2

x x

e e dx

d

= 2

)

( x

x e

e − − −

= 2

x x

e

e + −

= cosh x.

Jadi, _{jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x}

3.9 Turunan Fungsi Parameter

Apabila disajikan persamaan berbentuk:

x = f(t)

y = g(t)

maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari

dx dy

dengan cara sebagai berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi

y = g(t) = g(h(x))

Diperoleh

Carilah

dx dy

untuk yang berikut

1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7) 5. y =

Dengan aturan rantai tentukan

dx dy

untuk yang berikut 8. y = (2 – 9x)15

Tentukan turunan fungsí implisit berikut

21. x2 + y2= 9 26. 4x3 + 11xy2 – 2y3= 0 22. 4x2 + 9y2= 36 27. xy + 3y = 10x

23. xy = 4 28. xy + sin y = x2 24. xy2 – x + 16 = 0 29. cos (xy) = y2 + 2x

Tentukan

dx dy

untuk fungís parameter berikut

31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9) x = sin t y = (t2 + 7)3 32. y = 2 – 9t2 35. x = e (2t – 9)

x = arc sin (t – 1) y = cosec t

33. x = ln (2 – 9t) 36. y = sec (t – 1) y = sin t x = tg (t – 1)