bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.

Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f c '( ) didefinisikan sebagai:

( ) ( ) '( ) lim f x f c

f c −

= ( ) ( )

'( ) lim

x c

f x f c

f c

^→

x c

= −

−

bila limitnya ada.

Dengan penggantian x = + c h , jika x → ⇔ → c h 0 dan x − = c h , turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:

0

( ) ( )

'( ) lim

h

f c h f c

f c

^→

h

+ −

=

Hitunglah '(2)f jika ( )f x = 2x Jawab

( ) 2 f x = x

(i) ( ) ( )

'( ) lim

x c

f x f c

f c ^→ x c

= −

−

2 ( 2)

( ) (2) 2 2(2) x

f x −f x − −

2 2 2

2 ( 2)

( ) (2) 2 2(2)

'(2) lim lim lim

2 2

x x x

f x f x x

f ^→ x ^→ x ^→

− − −

= = =

− − x −2 lim 2² 2

= x→ = (ii)

0

( ) ( )

'( ) lim

h

f c h f c

f c ^→ h

+ −

=

^{0 0 0}

0

(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4

'(2) lim lim lim

lim 2

h h h

h

f h f h h

f h h h

h

→ → →

→

+ − + − + −

= = =

= h lim 2⁰ 2

= h→ =

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di c, ditulis f c

₋^'

( ) didefinisikan sebagai:

'

( ) ( )

( ) lim

x c

f x f c f c

^{− → −}

x c

= −

− atau

^'

0

( ) ( )

( ) lim

h

f c h f c

f c

^{− → −}

h

+ −

=

bila limitnya ada

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f di c, ditulis f c

₊^'

( ) didefinisikan sebagai:

'

( ) ( )

( ) lim

x c

f x f c f c

^{+ → +}

x c

= −

− atau

^'

0

( ) ( )

( ) lim

h

f c h f c

f c

^{+ → +}

h

+ −

=

bila limitnya ada

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c.

Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya

jika f c

₋^'

( ) = f c

₊^'

( )

Selidiki apakah ; 0

( ) ; 0

x x

f x x

x x

 ≥

= =   − < mempunyai turunan di x = 0 ! Jawab

• Turunan kiri fungsi f di ^{x = 0} adalah sebagai berikut:

'

f x ( ) − f (0) − − x 0

'

0 0 0

( ) (0) 0

(0) lim lim lim ( 1) 1

0

x x x

f x f x

f

^{− → −}

x

^{→ −}

x

^{→ −}

− − −

= = = − = −

−

• Turunan kanan fungsi f di x = adalah sebagai berikut: 0

'

0 0 0

( ) (0) 0

(0) lim lim lim (1) 1

0

x x x

f x f x

f

^{+ → +}

x

^{→ −}

x

^{→ −}

− −

= = = =

−

' '

(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0

f

₋

≠ f

₊

⇒ f x x =

• Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c.

• Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak mempunyai turunan di c.

mempunyai turunan di c.

• Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan.

• Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu

f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh

contoh berikut.

Tunjukkan bahwa 1, 1 ( ) | 1|

1, 1

x x

f x x

x x

− ≥

= − =    − + < kontinu di x = 1

tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab :

1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

•

1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

• f(1) = 0

• lim ( )

1

lim (

1

1) 0

x ₋

f x

x ₋

x

→

=

→

− + =

1 1

lim ( ) lim 1 0

x ₊

f x

x ₊

x

→

=

→

− =

lim ( )

1

0

x

f x

→

=

• Jadi

lim

1

1

x

f(x) f( )

→

=

• Jadi ( ) | f x = x − kontinu di x = 1 1|

2. Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau f

₋^'

(1) = f

₊^'

(1) ?

•

^'

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | ( 1)

(1) lim lim lim 1

1 1 1

x x x

f x f x x

f^{− →−} x ^→− x ^→− x

− − − − −

= = = = −

− − −

•

^'(1) lim f x^{( )} f⁽¹⁾ lim ^| x ^{1| | 0 |} lim x ¹ 1.

f − − − −

= = = =

•

^'

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | 1

(1) lim lim lim 1.

1 1 1

x x x

f x f x x

f⁺ = ^→+ x = ^→+ x = ^→+ x =

− − −

Karena f

₋^'

(1) ≠ f

₊^'

(1) maka f x ( ) | = x − 1|

tidak diferensiabel di x = 1

Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan

a.

2

, 1

( ) 2 3 , 1

x x

f x x x

 ≤

=  

− >

 ; x = 1

a. ( )

2 3 , 1

f x  x x

− >

 ; x = 1

b.

2

, 0

( ) sin 1 , 0

x x x

f x x x

 + <

=  

+ ≥

 ; x = 0

c.

2

2

, jika 0

( ) ,0 1 ; 0 dan 1

1 , jika 1

x x

f x x x x x

x x

 ≤

=   < < = =

 + ≥



Turunan y = f x ( ) terhadap x dinotasikan dengan y atau ' '( )

f x . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan ( )

y = f x terhadap x di antaranya dalah:

dy d , ( ),

_x

,

_x

( ) dy d f x D y D f x

dx dx .

Notasi dy

dx dikenal sebagai notasi Leibniz.

Turunan Fungsi Konstan

Misalkan f x( ) = , dimana k

k

adalah sembarang konsatanta Riil maka '( ) 0

f x =

0 0 0 0

( ) ( ) 0

'( ) lim lim lim lim 0 0

h h h h

f x h f x k k

f x

^→

h

^→

h

^→

h

^→

+ − −

= = = = =

Contoh Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. f x = ( ) 2 b.

f x = ( ) 15

c.

f x = ( ) 22

Jawab

a.

f x ( ) = ⇒ 2 f x '( ) = 0

b.

f x ( ) 15 = ⇒ f x '( ) = 0

c. f x( ) = 22 ⇒ f x'( ) = 0

Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil

Misalkan

f x ( ) = kx

ⁿ

dimana , k n ∈

maka

f x '( ) = ( nk x )

ⁿ⁻¹ Contoh

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

a.

f x ( ) = 2 x

³ b.

f x ( ) 15 = x

⁻³ c.

f x ( ) = 5 x

¹⁴ Jawab

a.

f x ( ) = 2 x

³

⇒ f x '( ) = (3)(2) x

^{3 1−}

= 6 x

²

b.

f x ( ) 15 = x

⁻³

⇒ f x '( ) = − ( 3)(15) x

^{− −3 1}

= − 45 x

⁻⁴

c. ¹⁴

1

^{1 14}

5

³⁴

( ) 5 '( ) (5)

4 4

f x = x ⇒ f x =     x

⁻

= x

⁻

 

Turunan Kelipatan Fungsi

Misalkan ^{f x ( ) = k u x} [ ^{( )} ]

ⁿ

^dimana u x merupakan ^{( )} fungsi dari x maka ^{f x '( ) = ( )( ) ( ) n k u x} [ ]

ⁿ⁻¹

^{u x '( )}

Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. f x ( ) = 2(3 x − 4)

³

b. f x ( ) 15(4 = x + 1)

⁻³

a. f x ( ) = 2(3 x − 4)

³

3 1 2

2

'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)' 6(3 4) (3)

18(3 4)

f x x x

x x

= −

−

−

= −

= −

²

18(3 = x − 4) b. f x ( ) 15(4 = x + 1)

⁻³

3 1 4

4

'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)' ( 45)(4 1) (4)

180(4 1)

f x x x

x x

− −

−

−

= − + +

= − +

= − +

Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:

(i) f x ( ) = sin x ⇒ f x '( ) = cos x

(ii) f x ( ) = sin( ( )) u x ⇒ f x '( ) = cos x u x ⋅ '( ) (iii) f x ( ) = cos x ⇒ f x '( ) = − sin x

(iii) f x ( ) = cos x ⇒ f x '( ) = − sin x

(iv) f x ( ) = cos( ( )) u x ⇒ f x '( ) = − sin x u x ⋅ '( ) (v) f x ( ) = tan x ⇒ f x '( ) = sec

²

x

(vi) f x ( ) = tan( ( )) u x ⇒ f x '( ) = sec ( ( ))

²

u x ⋅ u x '( )

Tentukan rumus fungsi berikut:

a. f x ( ) = sin(5 ) x

b. f x ( ) = sin( x ² + 2 ) x c. f x ( ) = cos( 1 5 x )

d. f x ( ) = cos(2 x ³ − x ² + 4 ) x e. f x ( ) = tan(2 ) x

f. f x ( ) = tan( x ³ − 3 ) x ²

a. f x ( ) = sin(5 ) x

'( ) cos(5 ) (5 ) ' cos 5 5 5 cos(5 )

f x = x ⋅ x = x ⋅ = x

b. f x ( ) = sin( x

²

+ 2 ) x

2 2

'( ) cos( 2 ) ( 2 ) ' f x = x

²

+ x ⋅ x

²

+ x

2

2

'( ) cos( 2 ) ( 2 ) ' cos( 2 ) (2 2) (2 2) cos( 2 )

f x x x x x

x x x

x x x

= + ⋅ +

= + ⋅ +

= + +

c. f x ( ) = cos( 1 5 x )

1 1 1 1 1 1

'( ) sin( 5 ) ( 5 ) ' sin( 5 ) ( 5 ) 5 sin( 5 )

f x = − x ⋅ x == − x ⋅ = − x

d. f x( ) = cos(2x³ − x² + 4 )x

3 2 3 2

3 2 2

2 3 2

'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'

sin(2 4 ) (6 2 4)

(6 2 4)sin(2 4 )

f x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

= − − + ⋅ − +

= − − + ⋅ − +

= − − + − +

e. f x( ) = tan(2 )x e. f x( ) = tan(2 )x

2 2

2

'( ) sec (2 ) (2 )' sec (2 ) 2 2 sec (2 )

f x x x

x x

= ⋅

= ⋅

=

f. f x( ) = tan(x³ −3 )x²

2 3 2 3 2

2 3 2 2

2 2 3 2

'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'

sec ( 3 ) (3 6 ) (3 6 )sec ( 3 )

f x x x x x

x x x x

x x x x

= − ⋅ −

= − ⋅ −

= − −

Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi , , , f ( ( ) 0)

f + g f − g fg g g x ≠ terdiferensialkan pada selang I dengan aturan sebagai berikut:

sebagai berikut:

a. ( f + g )'( ) x = f x '( ) + g x '( ) b. ( f − g )'( ) x = f x '( ) − g x '( )

c. ( )'( ) fg x = f x g x '( ) ( ) + f x g x ( ) '( ) d.

'

2

'( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( ( ))

f f x g x f x g x

g x g x

  −

  =

 

a. ( u + v )' = + u ' v ' b. ( u − v )' = − u ' v ' c. ( )' uv = u v ' + uv ' d.

'

2

' '

u u v uv

v v

  = −

   

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!

a. f x( ) = 2 (x x³ +5)⁵ b.

4 3

( ) 5

(2 1) f x x

= x

− Jawab

Jawab

a. f x( ) = 2 (x x³ +5)⁵

Misalkan u = 2x³ dan v = (x +5)⁵ ' 6 2

u = x dan v' = 5(x + 5)⁴

2 5 3 4

2 5 3 4

( )' ' '

(6 )( 5) (2 )(5( 5) ) 6 ( 5) 10 ( 5)

uv u v uv

x x x x

x x x x

= +

= + + +

= + + +

2 5 3 4

'( ) 6 ( 5) 10 ( 5) f x = x x + + x x +

b.

4 3

( ) 5

(2 1) f x x

= x

−

Misalkanu = 5x⁴ dan v = (2x −1)³ ' 20 3

u = x dan v' = 6(2x −1)²

' ' '

u u v −uv

 

( )

'

2

3 3 4 2

3 2

3 3 4 2

6

' '

(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )

(2 1)

20 (2 1) 30 (2 1)

(2 1) u u v uv

v v

x x x x

x

x x x x

x

  = −

  

− − −

=

−

− − −

= −

3 3 4 2

6

20 (2 1) 30 (2 1)

'( ) (2 1)

x x x x

f x x

− − −

= −

Misalkan y = f u ( ) dan u = g x ( ) . JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi

[ ]

( )( ) ( )

y = f o g x = f g x ditentukan sebagai berikut:

[ ]

( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du f g x f g x g x

dx du dx

= ⋅ = ⋅

o dx du dx

Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dv dx = du dv dx ⋅ ⋅

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai!

a. y = (3x + 5)⁵

b. y = (2x⁴ + 3x³ − 4 x² +1)³

c. y = 2 x² − 4 x + 1 d.

4 3

sin(2 3 )

y = x + x

a. y = (3 x + 5)

⁵

5 4

dy 5

y u u

= ⇒ du = dan 3 5 du 3

u x

= + ⇒ dx = dy dy du

4 4

4

5 3 15

15(3 5) dy dy du dx du dx

u u

x

= ⋅

= ⋅

=

= +

b. y = (2 x

⁴

+ 3 x

³

− 4 x

²

+ 1)

³

3 2

dy 3

y u u

= ⇒ du =

4 3 2 3 2

2 3 4 1 du 8 9 8

u = 2 x

⁴

+ 3 x

³

− 4 x

²

+ ⇒ 1 du = 8 x

³

+ 9 x

²

− 8 x

u x x x x x x

= + − + ⇒ dx = + −

2 3 2

3 2 2

3 2 4 3 2 2

3 (8 9 8 ) (24 27 24 )

(24 27 24 )(2 3 4 1)

dy dy du dx du dx

u x x x

x x x u

x x x x x x

= ⋅

= ⋅ + −

= + −

= + − + − +

c. ^{y = 2 x}

²

^{− 4 x + 1}

1 1

2

1

2

1

2 2

y u u dy u

du u

= = ⇒ = =

2

2

4 1 du 4 4

u x x x

= − + ⇒ dx = −

dy dy du

2

2

1 (4 4)

2

4( 1)

2 2 4 1

2( 1)

2 4 1

dy dy du dx du dx

u x

x

x x

x

x x

= ⋅

= ⋅ −

= −

− +

= −

− +

d.

y = sin(2 x

⁴

+ 3 ) x

³

sin dy cos

y u u

= ⇒ du =

dan

2

⁴

3

³

du 8

³

27

²

u x x x x

= + ⇒ dx = +

dy dy du dx = du dx ⋅

3 2

4 3 3 2

sin (8 27 )

sin(2 3 )(8 27 ) dx du dx

u x x

x x x x

= ⋅ +

= + +

Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi.

Jika y = f x( ) maka

• Turunan pertama : ^' dy df '( )

y f x

dx dx

= = =

2 2

d y d f

= = =

• Turunan kedua : '' d y²₂ d f²₂ ''( )

y f x

dx dx

= = =

• Turunan ketiga : '' ' d y³₃ d f³₃ '''( )

y f x

dx dx

= = =

• Turunan keempat : ^{(4 )} d y⁴₄ d f⁴₄ ⁽⁴⁾( )

y f x

dx dx

= = =

. .

. .

. .

• Turunan ke-n : ^{( ) ( )}( )

n n

n n

n n

d y d f

y f x

dx dx

= = =

Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini!

a. y = 2 x

⁶

+ 5 x

³

b. y = sin x

Jawab:

Jawab:

a. y = 2 x

⁶

+ 5 x

³

5 2

4 3

(4) 2

' 12 15

'' 60 30

''' 240 30 720

y x x

y x x

y x

y x

= +

= +

= +

=

b. y = sin x

( 4 )

' cos '' sin ''' cos

sin

y x

y x

y x

y x

=

= −

= −

=

1. Tentukan dy

dx jika:

a. y = −2x³ + 4x² − + x 5 b. y = 4x⁻³ − 2x⁻² + x⁻¹

c. y = (2x² −3 )(x x⁴ −3x³ + x)

2 2 1

1

x x

y x

= − +

− d. 1 sin

cos y x

x

= −

2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama  dy 

  dari:

2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dy dx

 

 

  dari:

a. ^{y =}

(

^{2x −3}

)

¹⁰

b. y = x² −3x + 1 c.

1 2

1 y x

x

 + 

=  −  d. y = sin³ x

e. ^{y = cos 4}

(

^{x2 − x}

)

f. ^{y = sin 32}

(

^{x2 −2x}

)

Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Turunan

1. Diketahui 1 ( )

f x = , '(3) ....x f = a. 1

− 9 b. 1

9

d. 1

− 6

e. Tidak ada jawab yang benar 9

c. 1 6

2. Turunan pertama dari 2 1₂

y = −x x adalah ….

a. 2₂ 1₃

y x x

′ = − +

b. 2₂ 2₃ y′ = x + x c. 2₂ 1₃

y x x

′ = − −

d. 2₂ 2₃

y x x

′ = − +

e. 2₂ 2₃ y′ = x − x

3. Misalkan

^{y =(x2 +2)(x3 +1)}

. Turunan pertama dari

y

adalah ….

a. y ′ = 5 x

⁴

+ 6 x

²

+ 2 x b. y ′ = 5 x

⁴

+ 3 x

²

+ 1 c. y ′ = 5 x

⁴

+ 2 x + 2

d. y ′ = 5 x

⁴

+ 6 x

²

+ 2 e. y ′ = 5 x

⁴

+ 6 x + 2

dy x − 1

4. Nilai dy

dx dari 1

1 y x

x

= −

+ adalah ….

a. 2

₂

( 1) dy

dx = x +

b. 1

₂

( 1) dy

dx = x +

c. 2 2

₂

( 1) dy x dx x

= +

+

d. 2

₂

( 1)

dy x

dx = x +

e. 2 1

₂

( 1) dy x dx x

= −

+

5. Turunan kedua dari y = (4x+7)¹⁰ adalah ….

a. y′′ = (160x+280)⁸ b. y′′ =1440(4x+7)⁸ c. y′′ = 40(4x+7)⁸

d. y′′ = 360(4x+7)⁸

e. y′′ =1440(160x+ 280)⁸

1 d y³

6. Jika 1 y 3

= x

− , berapakah nilai dari

3 3

d y

dy ….

a. 1 ₄

(x 3)

−

−

b. 2 ₄

(x −3)

c. 2 ₄

(x 3)

−

−

d. 6 ₄

(x −3)

e. 6 ₄

(x 3)

−

−

7. Turunan ketiga dari y =sin(3 )x adalah ….

a. y′′′ = −27 cos(3 )x b. y′′′ = −9sin(3 )x c. y′′′ = −27sin(3 )x

d. y′′′ = −9 cos(3 )x e. y′′′ = 27 cos(3 )x c. y′′′ = −27sin(3 )x

8. Misalkan

2 jika 1

( ) 2 1 jika 1

x x

f x x x

 ≤

=  − > , nilai dari f ′(1) adalah ….

a. 0 b. 3 c. 1

d. 2

e. tidak ada

9. Nilai a, b, dan c dari ^{g x( ) = ax2 + bx + c} bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4 adalah ….

a. a = -2 , b = 4, c = 0 b. a = -2 , b = 0, c = 2 c. a = -2 , b = - 7, c = 0 d. a = 2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0 10. Diketahui

2 3 , 1

( )

1 2 , 1

x x x

f x

x x

 − + <

= 

+ ≥

 pernyataan berikut yang benar adalah

….

a. f x differensiabel di ( ) x =1 dan f '(1) = 1 b. f x( ) differensiabel di x =1 dan f '(1) = − 1 c. f x tidak differensiabel di ( ) x =1

d. f x( ) tidak differensiabel di x = −1 e. Tidak ada jawab yang benar