SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK ZAENAL ARIFIN

(1)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA

DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU

PROSES POISSON PERIODIK

ZAENAL ARIFIN

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensias Suatu Proses Poisson Periodik adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis.

Bogor, Juli 2008 Zaenal Arifin

(3)

ABSTRACT

ZAENAL ARIFIN. Asymptotic Distribution of Estimators for the First and Second Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI

We can find stochastic process in our daily activities in various sectors. Stochastic process can be distinguished into discrete time stochastic process and continuous time stochastic process. A specific form of continuous time stochastic process is a periodic Poisson process. A periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. This process, for example, can be used to model the arrival process of customers in a service centre with period one day. In this process, the intensity function at s expresses the rate of the process at time s.

This thesis studies estimation of the first and second derivatives of intensity function of a periodic Poisson process using general kernel function. To formulate estimators for the first and second derivatives of the intensity function of a periodic Poisson process first we need an estimator for the intensity function itself. Then, we study statistical properties of the estimators for the first and second derivatives of the intensity function. Finally, we establish asymptotic normality of those estimators.

Keywords : stochastic process, periodic Poisson process, intensity function, kernel function, asymptotic normality.

(4)

RINGKASAN

ZAENAL ARIFIN. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.

Proses stokastik merupakan salah satu bentuk permasalahan yang berhubungan dengan kaidah-kaidah peluang, karena tidak bisa diketahui secara pasti mengenai perilaku yang akan terjadi. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan pula penduga bagi turunan fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan menggunakan fungsi kernel umum. Selain itu dibahas pula sifat-sifat statistikanya, dan akhirnya ditentukan sebaran normal asimtotiknya jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.

Untuk merumuskan penduga turunan pertama dan kedua, terlebih dahulu ditentukan penduga bagi fungsi intensitas lokal pada titik s dari proses

Poisson periodik dengan periode (diketahui) yang diamati pada interval 0, n yang dirumuskan sebagai:

, 0 0 1 n n K k n n x s k s K N dx n h h .

Dari penduga di atas, kemudian diturunkan penduga bagi s yang dirumuskan sebagai: , , , ˆ ˆ ˆ 2 n K n n K n n K n s h s h s h .

Selanjutnya dari penduga di atas, diturunkan lagi penduga bagi s yang dirumuskan sebagai: , , , , 2 ˆ ₂ ˆ ₂ ₂ˆ ˆ 4 n K n n K n n K n K n s h s h s s h .

Pada ketiga penduga di atas, h_n disebut bandwidth. Pengkajian yang dilakukan mencakup sifat-sifat statistika serta sebaran asimtotik dari penduga

,

ˆ

n K s dan ˆn K, s . Dari hasil pengkajian yang dilakukan diperoleh : 1 2 2 2 3 , 1 1 1 ˆ (i). ( ) . 6 2 n K n n n E s s s h s h x K x dx o h

(5)

1 2 , 3 3 1 1 ˆ (ii). . 2 n K n n Var s s K x dx o nh nh 1 (4) 2 (4) 2 2 2 , 1 1 1 ˆ (iii). ( ) . 3 2 n K n n n n n E s s s h s h x K x dx o h 1 2 , 5 5 1 3 1 ˆ (iv). ( ) ( ) . 8 n K n n Var s s K x dx o nh nh (v). Jika 7 _{1, untuk} n nh n , maka 3 2 , ˆ d _, n n K nh s s Normal

untuk n , dengan 1 2 1 1 1 ( ) 6 s 2 s x K x dx

dan 1 2 2 1 . 2 s K x dx Jika 7 _{0, untuk} n nh n , maka 3 2 , ˆ d _0, _. n n K nh s s Normal

(vi). Jika nh_n9 1, untuk n , maka

5 2 , ˆ d _, n n K nh s s Normal

untuk n , dengan 1 (4) (4) 2 1 1 1 ( ) 3 n s 2 n s x K x dx dan 1 2 2 1 3 ( ) ( ) . 8 s K x dx

Jika nh_n9 0, untuk n , maka

5 2 , ˆ d _0, _. n n K nh s s Normal

Kata kunci : proses stokastik, proses Poisson periodik, fungsi intensitas, fungsi kernel, normalitas asimtotik.

(6)

©Hak cipta milik IPB, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

(7)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA

DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU

PROSES POISSON PERIODIK

ZAENAL ARIFIN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(8)

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik

Nama : Zaenal Arifin

NIM : G551060191

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. Ir. Retno Budiarti, MS.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.

(9)

(10)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan hidayah-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa dilimpahkan kepada Rasullullah Muhammad SAW yang menjadi tauladan bagi umatnya dan senantiasa kita nantikan syafa’atnya di dunia sampai akherat.

Ucapan terima kasih atas dorongan dan pengorbanan penulis sampaikan kepada istri tercinta Hanifah serta permohonan maaf atas kurangnya perhatian dan kasih sayang kepada ananda Zuhairina Arifatul Husna dan Gilang Perdana Isnaini. Selanjutnya ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada :

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan kepada penulis.

2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya.

3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa

kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor.

4. Teman-teman mahasiswa S-2 Matematika Terapan IPB angkatan tahun 2006.

5. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis mengharap kritik dan saran demi kemajuan penulisan selanjutnya.

Bogor, Juli 2008 Penulis,

(11)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pati pada tanggal 10 Oktober 1967 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara, anak dari pasangan H. Mansyur dan Hj. Rukiyati. Pada pertengahan tahun 1994, penulis menikah dengan Hanifah dan telah dikaruniai dua orang anak bernama Zuhairina Arifatul Husna dan Gilang Perdana Isnaini.

Penulis menempuh pendidikan dasar dan menengah di Pati hingga tahun 1987. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa Yogyakarta dan lulus tahun 1991. Kesempatan untuk melanjutkan ke program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2006. Beasiswa pendidikan pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia.

Penulis bekerja sebagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Winong Kabupaten Pati sejak tahun 1995.

(12)

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR LAMPIRAN ... xi BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Tujuan ... ... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1. Proses Poisson Periodik ... 3

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 6

BAB III PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK ... 8

3.1. Perumusan Penduga bagi s dan s ... 8

3.2. Review Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s ... 10

3.3. Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s ... 14

3.4. Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s ... 19

BAB IV SEBARAN ASIMTOTIK ... 25

4.1. Review Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_, s ... 25

4.2. Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_, s ... 27

4.3. Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_, s ... 31

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 35

DAFTAR PUSTAKA ... 37

(13)

DAFTAR LAMPIRAN

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik, misalnya , proses kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya). Proses stokastik merupakan salah satu bentuk permasalahan yang berhubungan dengan kaidah-kaidah peluang, karena tidak bisa diketahui secara pasti mengenai perilaku yang akan terjadi.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Dalam tulisan ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan pula penduga bagi turunan fungsi intensitas tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan menggunakan fungsi kernel umum. Selain itu dibahas pula sifat-sifat statistikanya, dan akhirnya ditentukan sebaran normal asimtotiknya jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.

(15)

2

Tujuan penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :

(i) Mempelajari perumusan penduga turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu prosses Poisson periodik dengan fungsi kernel umum.

(ii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari nilai harapan penduga. (iii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari ragam penduga. (iv) Menentukan sebaran asimtotik dari penduga yang dikaji.

(16)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Proses Poisson Periodik

Definisi 1 (Proses Stokastik)

Proses Stokastik X X t t, T adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S.

(Ross 2003) Jadi untuk setiap t pada himpunan indeks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan X(t) sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Definisi 2 (Proses Stokastik Waktu Kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

(Ross 2003)

Definisi 3 (Inkremen Bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X t , t T disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua t₀ t₁ t₂ ... t_n peubah acak

1 0 , 2 1 ,..., n n1

X t X t X t X t X t X t adalah bebas.

(Ross 2003)

Dengan kata lain, sutu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 4 (Inkremen Stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X t , t T disebut memiliki

(17)

4

semua nilai t.

(Ross 2003)

Dengan kata lain, suatu poses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stationer jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan real tak negatif, yaitu

0, .

Definisi 5 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik N t , t 0 disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat berikut :

i. N t 0 untuk semua t 0, .

ii. Nilai N(t) adalah integer.

iii. Jika s tmaka N s N t , , s t 0, .

iv. Untuk s < t maka N(t) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi

pada selang s t, .

(Ross 2003)

Definisi 6 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan N t , t 0 disebut proses Poisson dengan laju , 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut.

i. N(0) = 0.

(18)

5

iii. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t .

Jadi untuk semua t, s > 0,

, 0,1, 2,... ! k t e t P N t s N s k k k

(Ross 2003)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen

yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh E N t t.

Definisi 7 (Proses Poisson Tak Homogen)

Suatu proses Poisson N t t, 0 disebut proses Poisson tak homogen jika laju pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu (t).

(Ross 2003)

Definisi 8 (Fungsi Intensitas)

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen N t t, 0 , yaitu t disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

Definisi 9 (Fungsi Periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika

(s + kt) = (s)

untuk semua s dan k dengan menyatakan himpunan bilangan bulat.

Konstanta terkecil t yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 10 (Proses Poisson Periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(19)

6

Definisi 11 (Intensitas Lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s adalah (s), yaitu nilai fungsi di s.

(Dudley 1989)

Definisi 12 (Intensitas Global)

Misalkan N 0,n adalah proses Poisson pada interval 0,n Fungsi intensitas . global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai

0, lim

n

EN n n

jika limit di atas ada.

(Mangku 2001)

2.2. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas dari proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Dalam hal ini fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu selang dengan panjang menuju tak hingga.

Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah menaksir rata-rata terjadinya kejadian proses Poisson tersebut dalam selang waktu di sekitar s. Secara matematis, misalnya

0 dan 0,

n

h N t menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada 0, t ,

maka intensitas lokal di sekitar titik s dapat dihampiri oleh 1 ,

2h_n N s h sn hn .

Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah menaksir rata-rata terjadinya kejadian

proses Poisson tersebut dalam selang waktu 0, n . Sacara matematis, intensitas

global pada 0, n dapat dinyatakan 1N 0,n

(20)

7

Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas dari suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik oleh Helmers dan Zitikis (1999). Dengan pendugaan tipe kernel, kekonsistenan penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003), lihat juga Mangku (2006a) untuk kasus yang relatif sederhana dimana periode dari fungsi intensitasnya diasumsikan diketahui. Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat (nearest neighbor estimation) telah dikaji pada Mangku (1999).

Pada proses Poisson periodik, pendugaan fungsi intensitas dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu : periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingakan situasi dimana periodenya diketahui. Meskipun demikian, sifat-sifat statistika untuk penduga tersebut dengan pendekatan tipe kernel telah dirumuskan oleh Helmers et al. (2005). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan tren linear dikaji pada Helmers dan Mangku (2007) maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya telah dibuktikan pada Helmers et al. (2007). Kekonsistenan pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dengan menggunakan fungsi kernel seragam dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dikaji pada Herniwati (2007). Sedangkan kekonsistenan serta sifat-sifat statistika pendugaan turunan pertama dan turunan kedua dengan menggunakan fungsi kernel umum dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik telah dikaji pada Syamsuri (2007).

(21)

BAB III

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK

3.1. Perumusan Penduga bagi s dan s

Untuk merumuskan penduga bagi s dan s terlebih dahulu perlu

dirumuskan penduga bagi s sebagai berikut. Misalkan N adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas ? yang diamati pada suatu interval [0,n]. Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus periode t dari fungsi intensitas ? yang diketahui. Karena N adalah suatu proses Poisson periodik yang memiliki fungsi intensitas ? dengan periode t > 0, dimana t diketahui, maka berlaku

s k s (1)

untuk semua s dan k , dengan menyatakan himpunan bilangan bulat.

Misalkan h_n adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu

0

n

h jika n . (2)

Kita perhatikan keadaan terburuk, yaitu kita hanya memiliki sebuah realisasi dari proses Poisson N yang diamati pada selang [0,n]. Karena ?adalah fungsi periodik

dengan periode t, maka masalah untuk menduga ? pada titik s dengan s ,

dapat direduksi menjadi masalah menduga ? pada titik s dengan s 0, . Penduga dari fungsi intensitas ? pada titik s 0, , yaitu ˆ_{n K}_, s dapat didefinisikan sebagai : , 0 0 1 ˆ n n K k n n x s k s K N dx n h h (3)

dimana K: 0, yang memenuhi sifat-sifat berikut :

(K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang (K.2) K terbatas

(22)

9

Ide di balik perumusan dari penduga ˆ_{n K}_, s dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi s di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu pada interval [s h s_n, h , untuk _n]

0

n

h . Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai : 1

,

2h_n N s h sn hn . (4)

Karena fungsi adalah periodik, dengan periode , maka untuk menduga nilai

fungsi s dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s k , dengan s k 0,n . Sehingga untuk setiap k , nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai :

1

, 0,

2h_n N s k h sn k hn n . (5)

Banyaknya k sehingga s k 0,n adalah mendekati n. Jadi nilai rata-rata dari

semua rataan di atas untuk semua k sehingga s k 0,n , adalah

0 1,1 0 ₀ 1 0 0 1 , 0, 2 1 1 , ( ) 2 1 ( ) n n k n n n n k n n k n n N s k h s k h n h s n I s k h s k h N dx n h x s k K N dx n h h dimana ₁ 1 _1,1 2

K I . Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi

kernel umum K yang memenuhi (K.1) – (K.3). Dengan menggunakan fungsi kernel umum K, kita peroleh penduga seperti yang diberikan pada persamaan (3).

Jika ˆ_{n K}_, s adalah penduga bagi s , maka penduga bagi s dapat

dirumuskan sebagai berikut :

, , , ˆ ˆ ˆ _. 2 n K n n K n n K n s h s h s h (6)

(23)

10

Penduga di atas diperoleh diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup kecil, maka

( )

2

s h s h s

h

Jika ˆ_{n K}_, s adalah penduga bagi s , maka penduga bagi s dapat dirumuskan sebagai berikut :

, , , , 2 ˆ ₂ ˆ ₂ ₂ˆ ˆ _. 4 n K n n K n n K n K n s h s h s s h (7)

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h > 0 yang cukup kecil,

maka ( ) 2 ₂ 2 2 . 2 4 s h s h s h s h s s h h

3.2. Review Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s

Teorema 1. (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆ_{n K}_, )

Misalkan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan

terintegralkan lokal. Misalkan pula h_n 0 untuk n , fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2) dan (K.3). Jika nh_n4 dan memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

1 1 2 2 (4) 4 4 4 , 1 1 1 1 ˆ _{( )} _{( )} ₍ ₎ 2 24 n K n n n E s s s h x K x dx s h x K x dx o h (8) jika n .

Bukti : (Lihat juga Mangku 2006b)

, 0 0 1 ˆ ₍ ₎ n n K k n n x s k s K N dx n h h

(24)

11 , 0 0 0 0 0 0 0 1 ˆ ₍ ₎ 1 1 0, 1 0, 1 0, n n K k n n n k n n k nR n k nR n k nR n x s k E s K EN dx n h h x s k K x dx n h h x s k K x I x n dx n h h x K x s k I x s k n dx n h h x K x s I x s k n dx n h h nh 0 0, . k n R n x K x s I x s k n dx h Perhatikan bahwa 0 0, 1, 1 k n n I s k n .

Maka ruas kanan persamaan (9) menjadi

1 1 1 . n R n n R n x n K x s dx nh h x K x s dx h h n Misalkan n x y

h atau x yh , maka n dx h dy . Sehingga ruas kanan persamaan n

(10) menjadi 1 1 1 1 1 1 n n n n R R n K y yh s h dy K x xh s dx h n n K x xh s dx n jika n .

Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu

(4) 2 2 3 3 4 4 4 1! 2! 3! 4! n n n n n n s s s s s xh s xh x h x h x h o h

maka persamaan (11) menjadi

(10) (9)

(25)

12 (4) 1 2 2 3 3 4 4 , 1 4 ˆ 1! 2! 3! 4! 1 n K n n n n n s s s s E s K x s xh x h x h x h dx o h n 2 1 1 1 2 1 1 1 3 1 (4) 4 1 3 4 4 1 1 2 1 6 24 n n n n n s h s K x dx s h xK x dx x K x dx s h s h x K x dx x K x dx o h n

jika n .

Dengan asumsi (K.1) dan (K.3) maka

1 1

1

K x dx . Karena kernel K simetrik,

maka 1 1 0 xK x dx dan 1 3 1 0

x K x dx sehingga persamaan (12) menjadi

(4) 4 1 1 2 2 4 4 , 1 1 1 1 ˆ 2 24 n n K n n s h E s s s h x K x dx x K x dx o h n

jika n . Karena nh_n4 , maka 1 o h_n4

n . Akhirnya diperoleh

persamaan (8).¦

Teorema 2. (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Misalkan pula h_n 0 untuk n , fungsi kernel K memenuhi asumsi (K.1), (K.2) dan (K.3), maka

1 2 , 1 ( ) 1 ˆ _{( )} n K n n s Var s K x dx o nh nh (13)

jika n , asalkan s adalah titik Lebesgue bagi .

Ragam dari ˆ_{n K}_, s adalah

(26)

13 2 , 2 0 0 1 ˆ ₍ ₎ _. n n K k n n x s k Var s Var K N dx n h h

Untuk n yang cukup besar, maka interval s k h s_n, k h_n dan

,

n n

s j h s j h tidak overlap untuk setiap k j. Ini berimplikasi bahwa

n x s k K N dx h dan _n x s j K N dx

h saling bebas untuk setiap

k j . Sehingga 2 2 , 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 ˆ . n n K k n n n k n n n k n n x s k Var s K VarN dx n h h x s k K EN dx n h h x s k K x dx n h h

Karena adalah periodik, maka

2 2 , 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 ˆ _0, 0, 0, 0, . n K k n R n k n R n k n R n k n R n x Var s K x s k I x s k n dx n h h x K x s I x s k n dx n h h x K x s s I x s k n dx n h h s x K I x s k n dx n h h Perhatikan bahwa 0 0, 1, 1 . k n n I x s k n Akibatnya persamaan (15) menjadi 2 2 , 2 2 2 2 2 2 ˆ ₁ 1 . n K n R n n R n x n Var s K x s s dx n h h s x n K dx n h h (14) (15) (16)

(27)

14

Karena kernel K terbatas dan terdefinisi pada [-1,1] dan s adalah titik Lebegue

dari , maka suku pertama persamaan di atas adalah o n1 h_n 1 , jika n . Sehingga ruas kanan persamaan (16) menjadi

2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 n n n n s n K x dx o n h nh s K x dx o nh nh jika n . ¦

3.3. Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s

Teorema 3 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0, nh_n4 untuk n , fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3) dan memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

1 2 2 2 3 , 1 1 1 ˆ _{( )} ₍ ₎ 6 2 n K n n n E s s s h s h x K x dx o h jika n . Bukti : , , , , , ˆ ˆ ˆ 2 1 _ˆ _ˆ . 2 n K n n K n n K n n K n n K n n s h s h E s E h E s h E s h h

Kita ingat kembali persamaan (8), yaitu

1 1 2 2 (4) 4 4 4 , 1 1 1 1 ˆ _{( )} _{( )} ₍ ₎ 2 24 n K n n n E s s s h x K x dx s h x K x dx o h maka (17) (19) (18)

(28)

15 1 2 2 , 1 1 (4) 4 4 4 1 1 ˆ _{( )} 2 1

( ) ( ) 24 n K n n n n n n n E s h s h s h h x K x dx s h h x K x dx o h jika n . 1 2 2 , 1 1 (4) 4 4 4 1 1 ˆ _{( )} 2 1

( ) ( ) 24 n K n n n n n n n E s h s h s h h x K x dx s h h x K x dx o h

jika n .

Dengan deret Taylor, kita peroleh

(4) 2 3 4 4 1! 2! 3! 4! n n n n n n n s s s s s h s h h h h o h

(22) (4) 2 2 1! 2! n n n n n s s s h s h h o h

(23) 4 4 1 n s h s o

(24) (4) 2 3 4 4 1! 2! 3! 4! n n n n n n n s s s s s h s h h h h o h

(25) (4) 2 2 1! 2! n n n n n s s s h s h h o h

(26) 4 4 1 . n s h s o

(27)

Dengan mensubtitusikan persamaan (22), (23), dan (24) ke persamaan (20) maka persamaan (20) menjadi 2 3 (4) 4 4 , 1 ( 4) 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 ˆ 2 6 24 1 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) . 24 n n K n n n n n n n n n n n n n E s h s s h s h s h s h o h s s h s h o h h x K x dx s o h x K x dx o h

Dengan mensubtitusikan persamaan (25), (26), dan (27) ke persamaan (21) maka persamaan (21) menjadi

(28) (20)

(29)

16 2 3 (4) 4 4 , 1 (4) 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 ˆ 2 6 24 1 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) . 24 n n K n n n n n n n n n n n n n E s h s s h s h s h s h o h s s h s h o h h x K x dx s o h x K x dx o h

Dengan mensubstitusikan persamaan (28) dan (29) ke dalam persamaan (19) maka ruas kanan persamaan (19) menjadi

1 3 3 2 4 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 ( ) 2 3 1 1 ( ) . 6 2 n n n n n n n n s h s h s h x K x dx o h h s s h s h x K x dx o h ¦

Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3) dan memiliki turunan pertama berhingga pada s, maka

1 2 , 3 3 1 1 ˆ 2 n K n n Var s s K x dx o nh nh (30) jika n . Bukti : , ˆ n K

Var s dapat ditentukan sebagai berikut,

, , ' , ˆ ˆ ˆ 2 n K n n K n n K n s h s h Var s Var h , , , , 2 1 _ˆ _ˆ _ˆ _ˆ 2 , .

4h_n Var n K s hn Var n K s hn Cov n K s hn n K s hn

Ingat bahwa _, 0 0 1 ˆ ₍ ₎ n n K k n n x s k s K N dx n h h . Sehingga mengakibatkan (29)

(30)

17 , 0 0 1 ˆ ₍ ₎ n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h , dan , 0 0 1 ˆ ₍ _). n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h Karena 1 _{[ 1,1]} 2

K I , dan dari h_n 0, untuk n yang besar, maka selang

, 2 _n

s k s k h dan selang s k 2 ,h s_n k tidak saling tumpang tindih

(tidak overlap). Sehingga n ( )

n x s k h K N dx h dan ( ) n n x s k h K N dx

h saling bebas. Dengan demikian

, , ˆ _, ˆ ₀ n K n n K n Cov s h s h , maka , 2 , , 1 ˆ ˆ ˆ _. 4 n K n K n n K n n

Var s Var s h Var s h

h (31)

Kemudian ingat kembali pernyataan

1 2 1 1 ˆ n n s Var s K x dx o nh nh ,

jika n . Pernyataan ini mengakibatkan

1 2 , 1 1 ˆ n n K n n n s h Var s h K x dx o nh nh , jika n , dan 1 2 , 1 1 ˆ n n K n n n s h Var s h K x dx o nh nh , jika n . Dengan

demikian persamaan (31) menjadi

1 1 2 2 , 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ˆ 4 1 1 . 4 n n n K n n n n n n n n n n s h s h Var s K x dx o K x dx o h nh nh nh nh s h s h K x dx o h nh nh

1 , 1 . n n s h s o s h s o

Sehingga ruas kanan persamaan (32) menjadi

(31)

18 1 2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 1 2 1 1 1 4 1 2 1 4 1 . 2 n n n n n n n s o K x dx o h nh nh s K x dx o o nh nh s K x dx o nh nh ¦

Berdasarkan definisi serta menggunakan Teorema 3 dan Teorema 4 maka

diperoleh Mean Squared Error (MSE) dari ˆ_{n K}_, yang diberikan corollary berikut ini.

Corollary 1 : (Aproksimasi asimtotik untuk MSE ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0 dan nh_n4 untuk n , fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2) dan (K.3) serta memiliki turunan ke empat berhingga pada s, maka

2 1 2 2 2 , 1 1 2 5 3 3 1 1 1 ˆ _{( )} 6 2 1 2 ( ) 4 n K n n n n n MSE s s h s h x K x dx s K x dx o h o nh nh jika n . 3.4. Sifat-sifat Statistika ˆ_{n K}_, s

Teorema 5 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0, nh_n4 untuk n , fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3) dan memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

(32)

19 1 (4) 2 (4) 2 2 2 , 1 1 1 ˆ _{( )} 3 2 n K n n n n n E s s s h s h x K x dx o h (34) jika n . Bukti : , , , , 2 , , , 2 ˆ ₂ ˆ ₂ ₂ˆ ˆ 4 1 _ˆ _ˆ _ˆ 2 2 2 . 4 n K n n K n n K n K n n K n n K n n K n s h s h s E s E h E s h E s h E s h

Kita ingat kembali persamaan (8), yaitu

1 1 2 2 (4) 4 4 4 , 1 1 1 1 ˆ _{( )} _{( )} 2 24 n K n n n E s s s h x K x dx s h x K x dx o h maka 1 2 2 , 1 1 (4) 4 4 4 1 1 ˆ ₂ ₂ ₂ _{( )} 2 1

2 ( ) , 24 n K n n n n n n n E s h s h s h h x K x dx s h h x K x dx o h jika n . 1 2 2 , 1 1 (4) 4 4 4 1 1 ˆ ₂ ₂ ₂ _{( )} 2 1

2 ( ) , 24 n K n n n n n n n E s h s h s h h x K x dx s h h x K x dx o h jika n .

(4) 2 3 4 4 2 2 4 8 16 1! 2! n 3! n 4! n n n n n s s s s s h s h h h h o h

(38) (4) 2 2 2 2 4 1! 2! n n n n n s s s h s h h o h

(39) 4 4 2 _n 1 s h s o

(40) (4) 2 3 4 4 2 2 4 8 16 1! 2! 3! 4! n n n n n n n s s s s h s h h h h o h

(41) (4) 2 2 2 2 4 1! 2! n n n n n s s s h s h h o h

(42) (35) (36) (37)

(33)

20 4 4 2 _n 1 . s h s o

(43)

Dengan mensubtitusikan persamaan (38), (39), dan (40) ke persamaan (36) maka persamaan (36) menjadi 2 3 (4) 4 4 , 1 (4) 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 4 2 ˆ ₂ ₂ ₂ 3 3 1 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) . 24 n K n n n n n n n n n n n n n n E s h s s h s h s h s h o h s s h s h o h h x K x dx s o h x K x dx o h

Dengan mensubtitusikan persamaan (41), (42), dan (43) ke persamaan (37) maka persamaan (37) menjadi 2 3 (4) 4 4 , 1 (4) 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 4 2 ˆ ₂ ₂ ₂ 3 3 1 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) . 24 n n K n n n n n n n n n n n n n E s h s s h s h s h s h o h s s h s h o h h x K x dx s o h x K x dx o h

Dengan mensubstistusikan persamaan (44) dan (45) ke dalam persamaan (35) maka ruas kanan dari persamaan (35) menjadi

1 2 (4) 4 (4) 4 2 4 2 1 1 (4) 2 (4) 2 2 2 1 1 4 4 2 ( ) 4 3 1 1 ( ) . 3 2 n n n n n n n n n n n n s h s h s h x K x dx o h h s s h s h x K x dx o h ¦

Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0, fungsi kernel K memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3) dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka

1 2 , 5 5 1 3 1 ˆ _{( )} _{( )} 8 n K n n Var s s K x dx o nh nh (46) jika n . (44) (45)

(34)

21

Bukti :

,

ˆ

n K

Var s dapat ditentukan sebagai berikut :

, , , , 2 , , , 4 ˆ ₂ ˆ ₂ ₂ˆ ˆ 4 1 _ˆ _ˆ _ˆ 2 2 2 16 n K n n K n n K n K n n K n n K n n K n s h s h s Var s Var h Var s h s h s h , , , 4 , , , , , , 1 _ˆ _ˆ _ˆ 2 2 4 16 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 , 2 4 2 , ˆ ˆ 4 2 , . n K n n K n n K n n K n n K n n K n n K n K n n K

Var s h Var s h Var s h

Cov s h s h Cov s h s

Cov s h s

Kita lihat kembali persamaan (3), yaitu

, 0 0 1 ˆ n n K k n n x s k s K N dx

n h h . Pernyataan ini mengakibatkan

, 0 0 2 1 ˆ ₂ n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h dan , 0 0 2 1 ˆ ₂ _. n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h

Dari h_n 0 dan untuk n yang cukup besar maka selang s k h s_n, k h_n ,

, 3

n n

s k h s k h , s k 3 ,h s_n k h_n tidak saling tumpang tindih

(tidak overlap). Ini berimplikasi dengan

n x s k K N dx h , 2 _n n x s j h K N dx h , dan 2 _n n x s l h K N dx h saling bebas. Dengan demikian , , ˆ ₂ _, ˆ ₂ ₀ n K n n K n

Cov s h s h , Cov ˆ_{n K}_, s 2h_n , ˆ_{n K}_, s 0, dan

, , ˆ ₂ _, ˆ _0. n K n n K Cov s h s Sehingga (35) menjadi (47)

(35)

22 , 4 , , , 1 ˆ ˆ ₂ ˆ ₂ ₄ ˆ _. 16 n K n K n n K n n K n

Var s Var s h Var s h Var s

h

Selanjutnya kita lihat kembali persamaan (13), yaitu

1 2 , 1 ( ) 1 ˆ _{( )} _. n K n n s Var s K x dx o nh nh

Pernyataan ini mengakibatkan

1 2 , 1 ( 2 ) 1 ˆ ₂ _{( )} n K n n n s h Var s h K x dx o nh nh , jika n , dan 1 2 , 1 ( 2 ) 1 ˆ ₂ _{( )} n K n n n s h Var s h K x dx o nh nh , jika n .

Dengan mensubstitikan ke (48) diperoleh

1 1 1 2 2 2 , 4 1 1 1 1 2 4 5 1 1 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ˆ _{( )} _{( )} ₄ _{( )} 16 1 1 ( 2 ) ( 2 ) 4 ( ) 1 ( ) . 16 n K n n n n n n n n s h s h s Var s K x dx K x dx K x dx h nh nh nh o nh s h s h s K x dx o h nh nh

Dengan deret Taylor, kita peroleh 1 , 1 . n n s h s o s h s o

Sehingga ruas kanan persamaan 49 menjadi

1 2 4 5 1 1 2 5 5 1 ( ) ( ) 4 ( ) 1 ( ) 16 3 1 ( ) ( ) . 8 n n n n n s s s K x dx o h nh nh s K x dx o nh nh ¦

Berdasarkan definisi serta menggunakan Teorema 5 dan Teorema 6 maka

diperoleh Mean Squared Error (MSE) dari ˆ_{n K}_. yang diberikan corollary berikut ini.

(48)

(36)

23

Corollary 2 : (Aproksimasi asimtotik untuk MSE ˆ_{n K}_, )

terintegralkan lokal. Jika h_n 0 dan nh_n4 untuk n , fungsi kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2) dan (K.3) serta memiliki turunan ke empat berhingga pada s, maka

2 1 ( 4 ) 2 ( 4 ) 2 2 , 1 1 2 4 5 5 1 1 1 ˆ _{( )} 3 2 3 1

( ) ( ) 8 n n K n n n n n n MSE s s h s h x K x dx s K x dx o h o nh nh jika n . (50)

(37)

BAB IV

SEBARAN ASIMTOTIK

4.1. Review Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_,

Teorema 7 (Normalitas Asimtotik untuk ˆ_{n K}_, )

Andaikan fungsi intensitas adalah periodik (dengan periode ) dan

terintegralkan lokal, dan mempunyai turunan keempat berhingga 4 pada s. Misalkan kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3). Misalkan

pula h_n 0 dan nh_n4 , untuk n .

(i) jika 5 _{1, untuk}

n nh n , maka 2 , ˆ d _, n n K nh s s Normal (51) untuk n , dengan 1 2 1 1 2 s x K x dx dan 1 2 2 1 . s K x dx

(ii) jika nh_n5 0, untuk n , maka

2 ,

ˆ d _0, _.

n n K

nh s s Normal (52)

Kita tulis ruas kiri pernyataan (51) dan pernyataan (52) menjadi

, , ,

ˆ ˆ ˆ _.

n n K n K n n K

nh s E s nh E s s (53)

Karena itu, untuk membuktikan Teorema ini cukup menunjukkan

2

, ,

ˆ ˆ d _0,

n n K n K

nh s E s Normal (54)

jika n ; jika nh_n5 1, untuk n , maka

1 2 , 1 1 ˆ _{( )} _, 2 n n K nh E s s s x K x dx (55)

jika n ; dan jika 5 _{0, untuk}

n nh n , maka , ˆ _0, n n K nh E s s (56)

(38)

25

jika n .

Kita perhatikan pernyataan (54). Dari ruas kiri pernyataan (54) dapat ditulis

, , , , ˆ ˆ ˆ _. ˆ n K n K n n K n K s E s nh Var s Var s (57)

Maka untuk membuktikan (54), cukup periksa

, , , ˆ ˆ 0,1 , ˆ n K n K d n K s E s Normal Var s (58) dan 1 2 , 1 ˆ _, n n K nh Var s s K x dx (59) jika n .

Untuk membuktikan (58) kita perhatikan bentuk berikut. Misalkan k = 0, 1, 2, ...

0 . n k n x s k X K N dx h

Karena h_n 0 jika n , maka untuk n yang cukup besar, interval

, dan ,

n n n n

s k h s k h s j h s j h tidak berpotongan untuk

semua k j . Ini berimplikasi, untuk semua k j , peubah acak X_k dan X saling _j

bebas. Lebih lanjut lagi X_k , k 0,1, 2,...,adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

0 n k n x s k EX K x dx h

dan ragam 2 0 n k n x s k Var X K x dx h

yang berhingga sebagai akibat kernel K terletak pada interval 1,1 . Karena itu,

bisa kita tulis penduga ˆ_{n K}_, s adalah

, 0 ˆ _, n K k k n s X nh

(39)

26

yang merupakan jumlah peubah acak yang i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh (58).

Untuk membuktikan (59), kita ingat bahwa ruas kiri pernyataan (59) dapat ditulis menjadi

,

ˆ _.

n n K

nh Var s

Berdasarkan Teorema 2 kita dapatkan kuantitas di atas sama dengan

1 1

2 2

1 1

s K x dx o s K x dx o ,

jika n . Sehingga kita dapatkan (59).

Selanjutnya akan dibuktikan (55) dan (56). Dari Teorema 1

, 1 1 2 5 (4) 2 4 5 5 1 1 ˆ 1 1 ( ) ( ) 2 24 n n K n n n n nh E s s s x K x dx nh s h x K x dx nh o nh jika n .

Karena h_n 0 jika n , maka suku ke dua pada ruas kanan (60) adalah

5

n

o nh . Sehingga ruas kanan persamaan (60) menjadi

1 2 5 5 1 1 ( ) . 2 s x K x dx nhn o nhn

Dari asumsi nh_n5 1, untuk n , kita peroleh (55). Juga dari asumsi

5

0, untuk

n

nh n , kita peroleh (56). Dengan demikian Teorema 7

terbukti.¦

4.2. Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_,

terintegralkan lokal, dan mempunyai turunan ketiga berhingga pada s.

Misalkan kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3). Misalkan

pula h_n 0 dan nh_n3 , untuk n

(40)

27

(i) jika nh_n7 1, untuk n , maka

3 2 , ˆ d _, n n K nh s s Normal (61) untuk n , dengan 1 2 1 1 1 ( ) 6 s 2 s x K x dx dan 1 2 2 1 . 2 s K x dx

(ii) jika 7 _{0, untuk}

n nh n , maka 3 2 , ˆ d _0, _. n n K nh s s Normal (62) Bukti :

Ruas kiri pernyataan (61) dan (62) dapat ditulis sebagai

3 3

, , ,

ˆ ˆ ˆ _.

n n K n K n n K

Untuk membuktikan Teorema ini akan ditunjukkan

3 2 , , ˆ ˆ d _(0, _), n n K n K nh s E s Normal (64) jika n .

Jika nh_n7 1, untuk n , maka

1 3 2 , 1 1 1 ˆ _{( )} 6 2 n n K nh E s s s s x K x dx jika n . Jika 7 _{0, untuk} n nh n , maka 3 , ˆ _0, n n K nh E s s (66) jika n .

Kita perhatikan ruas kiri pernyataan (64) dapat kita tulis

, , 3 , , ˆ ˆ ˆ _. ˆ n K n K n n K n K s E s nh Var s Var s (67)

Untuk membuktikan (64), akan diperiksa

(41)

28 , , , ˆ ˆ 0,1 , ˆ n K n K d n K s E s Normal Var s (68) dan 1 3 2 , 1 ˆ _, 2 d n n K nh Var s s K x dx (69) jika n .

Untuk membuktikan (68), kita ingat kembali persamaan (3), yaitu

, 0 0 1 ˆ n n K k n n x s k s K N dx n h h , maka , 0 0 , 0 0 1 ˆ dan 1 ˆ _. n n n K n k n n n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h x s k h s h K N dx n h h

Dari persamaan (6), yaitu

, , , ˆ ˆ ˆ 2 n K n n K n n K n s h s h s h maka diperoleh 0 0 0 , 2 0 0 0 ( ) ( ) ˆ 2 ( ) ( ) . 2 n n n n k n n K n n n n n k n K x s k h N dx K x s k h N dx nh s h K x s k h N dx K x s k h N dx nh Misalkan 0 0 ( ) ( ) n n k n n X K x s k h N dx K x s k h N dx untuk k = 0, 1, 2, ...

2 , _n dan 2 ,_n

s k h s k s j h s j , juga s k ,s k 2 h_n dan

, 2 _n

(42)

29

untuk semua k j , peubah acak X_k dan X_j saling bebas. Lebih lanjut lagi , 0,1, 2,...,

k

X k adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai

harapan 0 0 n n n n k n n x s k h x s k h EX K x dx K x dx h h dan ragam 2 2 0 0 n n n n k n n x s k h x s k h Var X K x dx K x dx h h

bisa kita tulis penduga ˆ_{n K}_, s adalah

, 2 0 ˆ 2 n K k k n s X nh

yang merupakan jumlah peubah acak yang i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh (68).

Untuk membuktikan (69), kita lihat ruas kiri pernyataan (69) dapat ditulis

3 ,

ˆ _.

n n K

nh Var s

Berdasarkan Teorema 4, kita dapatkan kuantitas di atas sama dengan

1 2 1 1 2 1 1 2

1 2 s K x dx o s K x dx o

jika n . Sehingga didapatkan (69).

Selanjutnya kita buktikan (65) dan (66). Dari Teorema 3,

1 3 7 2 , 1 1 1 ˆ _{( )} _{( )} 6 2 n n K n n nh E s s nh s s x K x dx o h

jika n .

(43)

30

Dari asumsi nh_n7 1, untuk n , kita peroleh (65). Juga dari asumsi

7 _{0, untuk}

n

nh n , kita peroleh (66). Dengan demikian Teorema 8

terbukti.¦

4.3. Sebaran Asimtotik dari ˆ_{n K}_,

terintegralkan lokal, dan mempunyai turunan keempat 4 berhingga pada s. Misalkan kernel K simetrik dan memenuhi asumsi (K.1), (K.2), (K.3). Misalkan

pula h_n 0 dan nh_n2 , untuk n

(i) jika nh_n9 1, untuk n , maka

5 2 , ˆ d _, n n K nh s s Normal (70) untuk n , dengan 1 (4) (4) 2 1 1 1 ( ) 3 n s 2 n s x K x dx dan 1 2 2 4 1 3 ( ) ( ) . 8h_n s K x dx

(ii) jika nh_n9 0, untuk n , maka

5 2 , ˆ d _0, _. n n K nh s s Normal (71) Bukti :

Ruas kiri pernyataan (70) dan (71) dapat ditulis

5 5

, , ,

ˆ ˆ ˆ

n n K n K n n K

Untuk membuktikan teorema ini, cukup ditunjukkan

5 2 , , ˆ ˆ d _0, n n K n K nh s E s Normal , (73) jika n . Jika 9 _{1, untuk} n nh n , maka

(44)

31 1 5 (4) (4) 2 , 1 1 1 ˆ _{( )} 3 2 n n K n n nh E s s s s x K x dx (74) jika n . Jika 9 _{0, untuk} n nh n , maka 5 , ˆ ₀ n n K nh E s s (75) jika n .

Kita perhatikan ruas kiri pernyataan (73) dapat ditulis

, , 5 , , ˆ ˆ ˆ _. ˆ n K n K n n K n K s E s nh Var s Var s (76)

Untuk membuktikan (73), akan diperiksa

, , , ˆ ˆ 0,1 , ˆ n K n K d n K s E s Normal Var s (77) dan 1 5 2 , 1 3 ˆ _{( )} _{( )} 8 d n n K nh Var s s K x dx (78) jika n .

Untuk membuktikan (77), kita ingat kembali persamaan (3), yaitu

, 0 0 1 ˆ _. n n K k n n x s k s K N dx n h h Sehingga diperoleh , 0 0 , 0 ₀ 2 1 ˆ ₂ dan 2 1 ˆ ₂ n n n K n k n n n n n K n k n n x s k h s h K N dx n h h x s k h s h K N dx n h h

Kemudian kita ingat kembali persamaan (7), yaitu

, , , , 2 ˆ ₂ ˆ ₂ ₂ˆ ˆ 4 n K n n K n n K n K n s h s h s s h , sehingga diperoleh

(45)

32 , 3 0 ₀ ₀ 0 2 2 ˆ 4 2 . n n n n n K k n n n n n x s k h x s k h s K N dx K N dx nh h h x s k K N dx h Misalkan 0 0 0 2 2 2 n n n n k n n n n x s k h x s k h X K N dx K N dx h h x s k K N dx h untuk k = 0, 1, 2, ...

, 3 dan , 3 n n n n s k h s k h s j h s j h , 3 , _n _n dan 3 ,_n _n s k h s k h s j h s j h ,juga , n n

s k h s k h dan s j h s_n, j h_n tidak berpotongan untuk

semua k j. Ini berimplikasi, untuk semua k j, peubah acakX_k dan X_j saling bebas. Lebih lanjut lagi X_k , k 0,1, 2,...,adalah barisan peubah acak yang i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

0 0 0 2 2 2 n n n n k n n n n x s k h x s k h EX K x dx K x dx h h x s k K x dx h dan ragam 2 2 0 0 2 0 2 2 2 n n n n k n n n n x s k h x s k h Var X K x dx K x dx h h x s k K x dx h

bisa kita tulis penduga ˆ_{n K}_, s adalah

, 3 0 ˆ 4 n K k k n s X nh