1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f′ ( 0 ) = …. a. 2 b. 2 c. d. e.
2. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f’(x) = …. a. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
b. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) c. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) d. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) e. –3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
3. Turunan pertama dari f(x) = sin4 ( 3x² – 2 ) adalah f’(x) = …. a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 )
b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 ) d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 ) e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 )
4. Turunan dari f ( x ) = adalah f’ ( x ) = ….
a. –
b. –
c. –
d. ( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x )
e. ( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x )
5. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …. a. f’ ( x ) = cos x . sin 2x
b. f’ ( x ) = cos x . sin 2x c. f’ ( x ) = –3 sin x . cos x d. f’ ( x ) = 3 sin x . cos x e. f’ ( x ) = –3 cos2 x
6. Jika f ( x ) = , maka ( f ( sin x ) ) = … a. b. c. d. e. 7. Jika f ( x ) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’ ( x ) = …. a. 4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 ) b. 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 ) c. ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 ) d. ( 2x – 1 ) ( 6x + 11 ) e. ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 )
8. Turunan pertama dari fungsi f ( x ) = ( 6x – 3 )³ ( 2x – 1 ) adalah f’ ( x ). Nilai dari f’ ( 1 ) = …. a. 18 b. 24 c. 54 d. 162 e. 216
9. Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan f ( x ) = adalah f’ ( x ), maka f’ ( x ) = …. a. b. c. d. e.
10. Diketahui f ( x ) = , Jika f’ ( x ) adalah turunan pertama dari f ( x ), maka nilai f’ ( 2 ) = …. a. 0,1 b. 1,6 c. 2,5 d. 5,0 e. 7,0
11. Diketahui f ( x ) = , Nilai f’ ( 4 ) = …. a. b. c. d. 1 e. 4 12. Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …. a. ( 2, 5 ) b. ( 2, ) c. ( 2, ) d. ( , 2 ) e. ( , 2 )
13. Persamaan garis singgung pada kurva y = –2x2 + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah … a. 2x + y + 15 = 0 b. 2x + y – 15 = 0 c. 2x – y – 15 = 0 d. 4x – 2y + 29 = 0 e. 4x + 2y + 29 = 0
14. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1, 0 ) adalah …. a. y = x – 1
b. y = –x + 1 c. y = 2x – 2
d. y = –2x + 1 e. y = 3x – 3
15. Persamaan garis singgung kurva y = x di titik yang berabsis 2 adalah …. a. y = 3x – 2
b. y = 3x + 2 c. y = 3x – 1
d. y = –3x + 2 e. y = –3x + 1
16. Persamaan garis singgung kurva y = di titik dengan absis 3 adalah … a. x – 12y + 21 = 0
b. x – 12y + 23 = 0 c. x – 12y + 27 = 0
d. x – 12y + 34 = 0 e. x – 12y + 38 = 0
17. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + ) ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah ….
a. Rp. 200.000,00 b. Rp. 400.000,00 c. Rp. 560.000,00
d. Rp. 600.000,00 e. Rp. 800.000,00
18. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800 + ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.
a. b. 40 c. 60 d. 100 e. 120 f. 150
19. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f ( t ) = ( s dalam meter dan t dalam detik ). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/s.
a.
b.
c. d. 3 e. 5
20. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x – x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah ….
a. 120 b. 130 c. 140
d. 150 e. 160
21. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.
a. 6 b. 8 c. 10
d. 12 e. 16
22. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm.
23. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah ….
a. –12 b. –4 c. –2
d. 2 e. 4
24. Grafik fungsi f ( x ) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …. a. –21
b. –9 c. 9
d. 21 e. 24
25. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval …. a. x < 0 atau x > 1
b. x > 1 c. x < 1
d. x < 0 e. 0 < x < 1
26. Nilai maksimum fungsi f ( x ) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2 adalah …. a. 25
b. 27 c. 29
d. 31 e. 33
27. Nilai maksimum dari y = – pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah …. a. b. c. 10 d. 8 e. 6
***
PEMBAHASAN: 1. Jawab: C f’ ( x ) = 2 sin ( 2x + ) [ 2 cos ( 2x + ) ] = 4 sin ( 2x + ) cos ( 2x + ) = 2 sin ( 4x + ) f’ ( 0 ) = 2 sin ( 4.0 + ) = 2 . = 2. Jawab: E f’ ( x ) = 3 sin2 ( 3 – 2x ) [ –2 . cos ( 3 – 2x ) ] = –6 sin2 ( 3 – 2x ) cos ( 3 – 2x ) = –3 sin ( 3 – 2x ) sin ( 6 – 4x ) 3. Jawab: B f’ ( x ) = 4 sin3 ( 3x2 – 2 ) [ 6x . cos ( 3x2 – 2 ) ] = 24x sin3 ( 3x2 – 2 ) cos ( 3x2 – 2 ) = 12x sin2 ( 3x2 – 2 ) sin ( 6x2 – 4 ) 4. Jawab: D f ( x ) = f’ ( x ) = [ – ( 6x + 5 ) sin ( 3x2 + 5x ) ] = ( 6x + 5 ) Catatan: cos ( 3x2 + 5x ) . cosn ( 3x2 + 5x ) = ( 3x2 + 5x ) Sehingga: n = – 1 =
f’ ( x ) = ( 6x + 5 ) -= ( 6x + 5 ) . tan ( 3x2 + 5x ) 5. Jawab: A f’ ( x ) = 3 cos2 x [ – sin x] = –3 cos2 x . sin x = cos x . sin 2x 6. Jawab: E f ( x ) = f’ ( x ) = – [ 2 sin x . cos x ] = 7. Jawab: E U = ( 2x – 1 )² U’ = 2 ( 2x – 1 ) . 2 = 4 ( 2x – 1 ) V = x + 2 V’ = 1 f’ ( x ) = U’ . V + U . V’ = 4 ( 2x – 1 ) ( x + 2 ) + ( 2x – 1 )² . 1 = ( 2x – 1 ) [ 4 ( x + 2 ) + ( 2x – 1 ) ] = ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 ) 8. Jawab: E U = ( 6x – 3 )³ = 27 ( 2x – 1 )3 U’ = 81 ( 2x – 1 )2 ( 2 ) = 162 ( 2x – 1 ) V = 2x – 1 V’ = 2 f’ ( x ) = U’ . V + U . V’ = 162 ( 2x – 1 ) ( 2x – 1 ) + 27 ( 2x – 1 )3 . 2 = ( 2x – 1 )2 [ 162 + 54 ( 2x – 1 ) ] = 108 ( x + 1 ) ( 2x – 1 )2
f’ ( 1 ) = 108 ( x + 1 ) ( 2x – 1 )2 = 108 ( 1 + 1 ) ( 2 . 1 – 1 )2 = 216 9. Jawab: A f ( x ) = f’ ( x ) = – [ 6x ] = 3x . – = 10. Jawab: B f ( x ) = f’ ( x ) = – [ 8x ] = 4x . – = f’ ( 2 ) = = = 1,6 11. Jawab: A U = 2x + 4 U’ = 2 V = 1 + V’ = – f’ ( x ) = –
= – – = – = – = – = 12. Jawab: B Persamaan garis: 5x + 4y = 20
Mengubah persamaan garis untuk kemudian di subsitusi: 4y = 20 – 5x
y = –
y = 5 – x
Subsitusikan ke dalam rumus luas: ( Luas persegi panjang = p . l ) L = x . y
= x ( 5 – x )
= 5x – x2
Agar luas maksimum, maka L’ = 0: L’ = 5 – x = 0
x = –5 x = 2
Mencari nilai y: y = 5 – ( 2 )
= 5 – =
13. Jawab: B
Mencari gradien garis singgung: mgsg = y’ = –4x + 6
Mencari gradien garis lain yang tegak lurus garis singgung: x – 2y + 13 = 0 a = 1 ; b = –2
m = – = –
– = mgsg = –2
Mencari titik yang dilalui garis singgung: mgsg = –4x + 6 = –2
–4x = –8 x = 2
y = –2 ( 2 )2 + 6 ( 2 ) + 7 = 11
Persamaan garis singgung bergradien –2 dan melalui ( 2, 11 ): y – 11 = –2 ( x – 2 )
y – 11 = –2x + 4 2x + y – 15 = 0
14. Jawab: –
Mencari gradien garis singgung: m = y’ = 2x – 4
x = 1 m = 2 ( 1 ) – 4 = –2
Persamaan garis singgung yang bergradien –2 dan melalui titik ( 1, 0 ): y – b = m ( x – a )
y – 0 = –2 ( x – 1 ) y = –2x + 2
15. Jawab: A
y =
Mencari gradien garis singgung Turunan pertama dari y: y’ = m =
Mencari nilai gradien subsitusikan x = 2: m = . = 3
Mencari nilai y:
y = = 2 . = 4
Persamaan garis bergradien 3 dan melalui titik ( 2, 4 ): y – b = m ( x – a ) y – 4 = 3 ( x – 2 ) y – 4 = 3x – 6 y = 3x – 2 16. Jawab: A y =
Mencari gradien garis singgung Turunan pertama dari y:
y’ = m = –
Mencari nilai gradien subsitusikan x = 3:
m = –
= –
=
–
Mencari nilai y subsitusikan x = 3: y =
= = 2
Persamaan garis bergradien dan melalui titik ( 3, 2 ): y – b = m ( x – a ) y – 2 = ( x – 3 ) 12y – 24 = x – 3 x – 12y + 21 = 0 17. Jawab: B Biaya total = ( 4x – 160 + ) x = 4x2 – 160x + 2000
Jumlah hari kerja Biaya total’ = 0: Biaya total’ = 8x – 160 = 0
8x = 160 x = 20
Biaya minimum per hari:
Biaya = 4 ( 20 )2 – 160 ( 20 ) + 2000 = 400
18. Jawab: C
Biaya total = ( 4x – 800 + ) x = 4x2 – 800x + 120
Waktu kerja Biaya total’ = 0: Biaya total’ = 8x – 800 = 0
8x = 800 x = 100
19. Jawab: A
s =
Mencari rumus kecepatan Turunan pertama dari s:
s’ = v = . 3
=
Menentukan nilai kecepatan saat t = 8 s:
v = = = 20. Jawab: D Untung = ( 225x – x² ) x = 225x2 – x3
Jumlah barang yang harus diproduksi Untung’ = 0 Untung’ = 450x – 3x2 = 0
– 3x2 = – 450x x = 150
21. Jawab: D
Menentukan rumus luas: Luas = x . x = 432 x2 – 432 = 0
Menentukan rumus volume: Volume = ( x2 – 432 ) x = x3 – 432x
Mencari panjang persegi: Volume’ = 3x2 – 432 = 0
22. Jawab: D
Volume tabung = r2 t = 512 t =
Luas tabung tanpa tutup = 2 r t + r2 = r ( 2t + r )
Menentukan persamaan luas subsitusikan t: Luas = r ( 2 . + r ) = r ( + r ) = + r2 Menentukan jari-jari L’ = 0: L’ = –1024 r–2 + 2 r – = – 2 r = r r3 =
r = = 23. Jawab: B
Mencari gradien garis l:
x + 3y + 12 = 0 a = 1 ; b = 3
m = – = – sehingga ml = 3
Menentukan absis titik singgung: y’ = m = 2x – 1 = 3
Menentukan ordinat titik singgung: y = x² – x – 6 = ( 2 )2 – ( 2 ) – 6 = –4 24. Jawab: A Fungsi turun f’ ( x ) < 0 f’ ( x ) < 0 3x2 + 2ax + b < 0
Mencari nilai a dan b:
x = –1 3 ( –1 )2 + 2a ( –1 ) + b = 0 3 – 2a + b = 0 ; b = 2a – 3 x = 5 3 ( 5 )2 + 2a ( 5 ) + b = 0 75 + 10a + b = 0 ; b = –10a – 75 2a – 3 = –10a – 75 12a = –72 a = –6 b = 2 ( –6 ) – 3 = –15 Sehingga nilai a + b = –6 – 15 = –21 25. Jawab: A Fungsi naik f’ ( x ) > 0 f’ ( x ) > 0 12x2 – 12x > 0 12x ( x – 1 ) > 0
Sehingga fungsi tersebut akan naik pada interval x < 0 atau x > 1 Catatan:
Fungsi hanya turun pada interval –1 < x < 5, artinya saat x = –1 dan x = 5, fungsi akan bernilai 0, sehingga subsitusikan x = –1 dan x = 5 untuk mendapatkan harga a dan b.
26. Jawab: B Nilai maksimum f’ ( x ) = 0 f’ ( x ) = 3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 ( x + 3 ) ( x – 1 ) = 0 Sehingga: x = –3 atau x = 1
Mencari nilai maksimum fungsi pada interval –3 ≤ x ≤ 2:
x = –3 f ( –3 ) = ( –3 )³ + 3 ( –3 )² – 9 ( –3 ) = 27 x = 1 f ( 1 ) = ( 1 )³ + 3 ( 1 )² – 9 ( 1 ) = –5 x = 2 f ( 2 ) = ( 2 )³ + 3 ( 2 )² – 9 ( 2 ) = 2 27. Jawab: D y = – Nilai maksimum f’ ( x ) = 0 f’ ( x ) = – = 0
– = 0 – = 0 100 – x2 = 0 x = 10
Mencari nilai maksimum fungsi pada interval –6 ≤ x ≤ 8: x = –10 f ( x ) = – – = 0
x = –6 f ( x ) = – – = 8 x = 8 f ( x ) = – = 6 x = 10 f ( x ) = – = 0
