APLIKASI TURUNAN
A. Garis Singgung pada Kurva 1. Gradien Garis Singgung
Perhatikan grafik di atas!
x2 = x1 + ∆x ⇔ ∆x = x2 – x1
y2 = y1 + ∆y ⇔ ∆y= y2 – y1 ⇔ ∆y= f(x2) – f(x1)
Garis yang menghubungkan titik A dan titik B dinamakan garis sekan AB atau garis tali busur AB. Gradien garis sekan AB adalah:
mAB = x y
∆
∆
=
1 2
1
2) ( )
( x x
x f x f
−
−
=
1 1
1 1
) (
) ( ) (
x x x
x f x x f
−
∆ +
−
∆ +
= x
x f x x f
∆
−
∆
+ ) ( )
( 1 1
Jika titik A bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati titik B maka Δx semakin mengecil atau dapat dikatakan Δx → 0. Bila titik A dan titik B berhimpit maka garis sekan AB akan menjadi garis singgung kurva di titik B dengan gradien:
m =
x x f x x f
x ∆
−
∆ +
→
∆
) ( )
lim ( 1 1
0 (jika limitnya ada)
Dalam pembahasan turunan sebagai limit fungsi, gradien garis singgung disebut sebagai turunan fungsi pada titik singgungnya, sehingga dapat:
2. Persamaan Garis Singgung
Dalam pembahasan tentang gradien garis singgung pada kurva disebutkan bahwa gradien garis singgung merupakan turunan kurva di titik singgungnya, sehingga persamaan garis sinngung pada kurva y = f(x) di titik A (x1,y1) adalah:
Contoh 1:
Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A.
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Alternatif penyelesaian:
∆ y
∆ x
•
•
•
• A(x1, y1)
garis sekan garis sekan
garis sekan
garis tangen /garis singgung B(x2, y
2)
X Y
x1 x
2
y1
y2
y = f(x)
m = f’(x
1)
y – y
1 = m (x – x
1) Gambar 1
y = x2 – 3x + 4 y’ = 2x – 3
a. Gradien garis singgung di titik A (3,4) x = 3 disubtitusikan m = y’ maka m = 2x – 3
= 2(3) – 3
= 6 – 3
= 3
b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 3(x – 3) y – 4 = 3x – 9
y = 3x – 5 atau 3x – y – 5 = 0 atau 3x – y = 5
Jadi persamaan garis singgung pada kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) adalah y = 3x – 5 atau 3x – y – 5 = 0 atau 3x – y = 5
Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus garis x – 2y + 3 = 0!
Alternatif penyelesaian:
Garis yang diketahui
≡
x – 2y + 3 = 0 dan dicari gradiennya x – 2y + 3 = 0⇔2y = x + 3
⇔ y = 2 1 x +
2
3 , sehingga gradien garis yang diketahui m1 = 2 1
Gradien garis singgung m = y’ dan garis singgung tegak lurus garis yang diketahui maka m.m1 = -1 sehingga gradien garis singgung adalah m = - 2.
Kurva
≡
x2 – y + 2x – 3 = 0 maka y = x² + 2x – 3 dan dicari turunan kurvanya yaitu y’ = 2x + 2.y’ = 2x + 2 dan gradien garis singgung m = - 2 maka 2x + 2 = - 2 atau x = - 2.
Untuk x = - 2 maka y = 4 – 4 – 3 = - 3 sehingga titik singgungnya (- 2,- 3).
Persamaan garis singgung di titik (- 2,- 3) dan bergradien - 2 adalah:
y + 3 = - 2(x + 2)
⇔y + 3 = - 2x - 4
⇔y = - 2x – 7 atau 2x + y = - 7 atau 2x + y + 7 = 0
Jadi persamaan garis singgung pada kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus garis x – 2y + 3 = 0 adalah y = - 2x – 7 atau 2x + y = - 7 atau 2x + y + 7 = 0
Contoh 3:
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x - 2x2 di titik dengan absis 1!
Alternatif penyelesaian:
Dicari ordinat titik singgung dengan cara absis x = 1 disubtitusikan ke y = x - 2x2 sehingga diperoleh y = 1 – 2 atau y = -1. Jadi titik singgungnya (1,-1).
Dicari turunan fungsi y = x - 2x2 yaitu y’ = 1 – 4x.
Dicari gradien garis singgung di titik (1,-1) dengan mensubtitusikan x = 1 ke m = y’ = 1 – 4x sehingga diperoleh m = 1 – 4 atau m = - 3.
Persamaan garis singgung di titik (1,- 1) dan bergradien - 3 adalah:
y + 1 = - 3(x - 1)
⇔y + 1 = - 3x + 3
⇔y = - 3x + 2 atau 3x + y = 2 atau 3x + y – 2 = 0
Jadi persamaan garis singgung pada kurva y = x - 2x2 di titik dengan absis 1 adalah y = -3x + 2.
Latihan Soal
1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:
a. y = x2 – 6x di titik (-1,7) b. y = sin 2x di titik 2)
2 ,1 (π2
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x2 – 2x – 3 di titik (3,1)
b. y = x² – 4x + 3 di titik (1,0) c. x2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,-2) d. y = x3 + 4x2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) e. y = x2 + 4x + 1 di titik (2, 13) f. y = x 2x di titik dengan absis 2 g. y = 3 5+x di titik dengan absis 3
h. y = (2 - x)(2x + 1) di titik dengan ordinat 8
3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3, tentukan :
a. Titik singgung
b. Persamaan garis singgung
4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0!
5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = –2x2 + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0!
6. Garis g tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6.
Tentukan ordinat titik singgung garis g pada kurva tersebut!
B. Fungsi Naik dan Fungsi Turun 1. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Dari gambar di atas dapat kita definisikan fungsi naik dan turun sebagai berikut:
a. Fungsi f(x) dikatakan naik jika untuk setiap x1, x2
∈
S, x1 < x2 makaf(x1) < f(x2)b. Fungsi f(x) dikatakan turun jika untuk setiap x1, x2
∈
S, x1 < x2 makaf(x1) > f(x2) :Contoh 4:
Tunjukkan grafik fungsi f(x) = 2x3 , x
∈
R dan x > 0 adalah fungsi naik!f(x1)
0
f(x2)
X Y
x1 x
2
f(x1)
f(x2)
x1 x
2
X Y
Gambar 2 0 Gambar 3
Alternatif penyelesaian:
f(x) = 2x3 , x
∈
R dan x > 0. Ambil sembarang x1, x2∈
R dengan 0 < x1 < x2x = x1 maka f(x1) = 2x13 x = x2 maka f(x2) = 2x23
Karena 0 < x1 < x2 maka 2x13 < 2x23 Karena 2x13 < 2x23 maka f(x1) < f(x2)
Dengan demikian untuk setiap x1, x2
∈
S, x1 < x2 makaf(x1) < f(x2).Jadi dapat disimpulkan f(x) = 2x3 adalah fungsi naik.
2. Aplikasi Turunan dalam Permasalahan Fungsi Naik dan Fungsi Turun Perhatikan grafik di bawah ini!
Pada konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Pada persamaan garis singgung, gradien adalah tangen sudut garis tersebut dengan sumbu x positif sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik singgungnya.
Dari gambar di atas nampak bahwa:
a. Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi naik maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu X positif di kuadran I. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah positif atau m = f '(x) > 0.
b. Jika garis singgung menyinggung di grafik fungsi turun maka garis singgung akan membentuk sudut terhadap sumbu X positif di kuadran IV. Hal ini menyebabkan besar gradien adalah negatif atau m = f '(x) < 0.
y = x4 – 2x2
Garis singgung
Garis singgung
X Y
Garis singgung Garis singgung
Gambar 4
Kesimpulan:
a. Fungsi f(x) disebut fungsi naik jika f’(x) > 0 b. Fungsi f(x) disebut fungsi turun jika f’(x) < 0 Contoh 5:
Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan : a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
Alternatif penyelesaian:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
Dicari turunan dari f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4, yaitu f’(x) = 3x2 + 18x + 15 a. Syarat fungsi naik
f’(x) > 0
3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0
Pembuat nol fungsi f’(x) x = -1 atau x = -5
Uji tanda interval:
Untuk x = 0 disubtitusikan ke (x+1) (x+5) = 5 (+) Untuk x = -2 disubtitusikan ke (x+1) (x+5) = -3 (-) Untuk x = -6 disubtitusikan ke (x+1) (x+5) = 5 (+) Jadi fungsi naik pada interval x < - 5 atau x > -1 b. Syarat fungsi turun
f’(x) < 0
3x2 + 18x + 15 < 0 x2 + 6x + 5 < 0 (x+1) (x+5) < 0
Pembuat nol fungsi f’(x) x = -1 atau x = -5
Jadi fungsi turun pada interval -5 < x < -1 Latihan Soal
1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x) = x2 – 6x b. f(x) =
3
1 x3 + 4x2 – 20x + 2 c. f(x) = (x2 -1)(x + 1)
2. Tentukan interval agar grafik fungsi:
a. f(x) = x3 + 6x2 - 36x + 20 turun b. f(x) = x3 + 9x2 + 15x – 2 naik c. f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1 naik d. f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 turun
3. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.
4. Diketahui grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 ≤ x ≤ 5.
Tentukan nilai a, b, dan (a + b)!
-5 -1
O O
(+) (+) (-)
-5 -1
O O
(+) (+) (-)
C. Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Jenis-Jenisnya 1. Pengertian Titik Stasioner dan Nilai Stasioner
Grafik fungsi dapat naik kemudian turun sehingga fungsi tersebut memiliki nilai maksimum pada interval tertentu. Sebuah fungsi dapat pula turun kemudian naik kembali sehingga fungsi memiliki nilai minimum pada interval tertentu.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Dari gambar di atas nampak bahwa garis singgung merupakan garis horisontal sehingga gradiennya = 0 (nol). Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik singgungnya. Garis singgung tersebut menyinggung kurva di titik puncak/optimal, di absis x = x1, x = x2, x = x3, dan x = x4. Sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu daerah jika m = f '(x) = 0. Titik yang memenuhi f '(x) = 0 disebut titik stasioner..
Dari uraian di atas dapatlah disimpulkan bahwa:
a. Titik stasioner atau titik ekstrim suatu fungsi adalah titik pada kurva f(x) di mana gradien garis singgung kurva di titik tersebut bernilai nol atau f’(x) = 0
b. Nilai stasioner atau nilai ekstrim suatu fungsi adalah nilai fungsi f di titik stasioner itu
2. Jenis - Jenis Stasioner
Untuk mencari jenis-jenis stasioner maka terlebih dahulu akan dibahas tentang turunan kedua suatu fungsi. Turunan kedua suatu fungsi f(x) adalah hasil turunan pertama fungsi f(x) yang diturunkan lagi.
Notasi dari turunan kedua adalah: y”, f”(x), 2
2
dx y
d , atau 2
2
dx f
d .
Contoh 6:
Tentukan turunan kedua dari fungsi f(x) = x4 - 2x2 + 4x – 5!
Alternatif penyelesaian:
f(x) = x4 - 2x2 + 4x – 5 f’(x) = 4x3 - 4x + 4 f”(x) = 12x2 - 4
Jadi turunan kedua dari fungsi f(x) = x4 - 2x2 + 4x – 5 adalah f”(x) = 12x2 - 4
Telah dijelaskan bahwa sebuah fungsi akan mencapai optimal (maksimum/minimum) pada suatu daerah jika m = f '(x) = 0. Karena f'(x1) = 0, f’(x2) = 0, f'(x3) = 0 dan f'(x4) = 0, maka kurva turunan pertama fungsi melalui sumbu x di titik (x1, 0), (x2, 0), (x3, 0) dan (x4, 0) sebagaimana digambarkan pada gambar 6 di bawah ini.
Gambar 5 B(x2,y2)
A(x1,y
1)
C(x3,y
3)
D(x4,y4)
Bila gradien garis singgung pada kurva f(x) adalah turunan pertama dari titik singgungnya, maka gradien garis singgung pada kurva turunan pertama fungsi f(x) adalah turunan kedua di titik singgungnya.
a. Persamaan garis singgung pada kurva y’ = f’(x) dengan gradien f”(x1) di titik (x1, 0) akan memotong sumbu X di kuadran IV sehingga f”(x1) < 0
b. Persamaan garis singgung pada kurva y’ = f’(x) dengan gradien f”(x2) di titik (x2, 0) akan memotong sumbu X di kuadran I sehingga f”(x2) > 0
c. Persamaan garis singgung pada kurva y’ = f’(x) dengan gradien f”(x3) di titik (x3, 0) akan memotong sumbu X di kuadran IV sehingga f”(x3) < 0
d. Persamaan garis singgung pada kurva y’ = f’(x) dengan gradien f”(x4) di titik (x4, 0) akan memotong sumbu X di kuadran I sehingga f”(x4) > 0
.
Dari keterangan di atas dapatlah ditarik sebuah kesimpulan mengenai jenis-jenis stasioner sebagai berikut:
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga:
a. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut stasioner/kritis
b. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik balik minimum fungsi c. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik balik maksimum fungsi d. Jika f ''(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok fungsi
Contoh 7:
Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x Alternatif penyelesaian:
f(x) = x2 + 2x
Dicari turunan fungsi f(x) = x2 + 2x yaitu f’(x) = 2x + 2
Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 maka 2x + 2 = 0 atau x = - 1
x = -1 disubtitusikan ke f(x) = x2 + 2x maka f(-1) = (-1)2 + 2(-1) atau f(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)
Contoh 8:
Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x Alternatif penyelesaian:
f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x
Dicari turunan fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x yaitu f’(x) = 6x2 – 18x + 12 Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 maka:
Gambar 6 y’ = f’(x)
X
f(x) = x2 + 2x
X Y
Dicari turunan kedua fungsi f(x) = x2 + 2x yaitu f”(x) = 2
Karena f’(x) = 2 maka f”(-1) = 2 > 0 sehingga titik stasioner (-1,-1) merupakan titik balik minimum
Jadi dari fungsi f(x) = x2 + 2x diperoleh sebuah titik stasioner (-1,-1) yang merupakan titik balik minimum
6x2 – 18x + 12 = 0
⇔x2 – 3x + 2 = 0
⇔(x – 2)(x – 1) = 0
⇔x = 2 atau x = 1
Untuk x = 2 maka f(2) = 16 – 36 + 24 = 4 Untuk x = 1 maka f(1) = 2 – 9 + 12 = 5 Jadi diperoleh titik stasioner (2,4) dan (1,5).
Dicari turunan kedua fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x yaitu f”(x) = 12x – 18
Dicari nilai turunan kedua fungsi f(x) di titik stasionernya yaitu f”(2) = 24 – 18 = 6 dan f”(1)
= 12 – 18 = - 6. Karena nilai turunan kedua fungsi f(x) di titik stasioner (2,4) adalah f”(2) = 6
> 0 maka titik stasioner (2,4) merupakan titik balik minimum. Sedangkan nilai turunan kedua fungsi f(x) di titik stasioner (1,5) adalah f”(1) = - 6 < 0 maka titik stasioner (1,5) merupakan titik balik maksimum.
Jadi dari fungsi f(x) = = 2x3 – 9x2 + 12x diperoleh dua titik stasioner yaitu (2,4) yang merupakan titik balik minimum dan (1,5) yang merupakan titik balik maksimum.
3. Nilai maksimum dan minimum di interval tertutup
Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi.
Misal y = f(x) terdefinisi pada selang a < x < b yang memuat c, dan f’(x) dan f”(x) ada untuk setiap titik pada selang a < x < b. Misal f’(c) = 0 maka:
a. Jika f”(c) > 0 maka f(c) merupakan nilai balik minimum (nilai minimum) b. Jika f”(c) < 0 maka f(c) merupakan nilai balik maksimum (nilai maksimum) Contoh 9:
Tentukan nilai maksimum fungsi f(x) = x3 – 12x pada interval –3 ≤ x ≤ 1!
Alternatif penyelesaian:
f(x) = x3 – 12x
Dicari turunan fungsi f(x) = x3 – 12x yaitu f’(x) = 3x2 – 12 Nilai stasioner dicari dari f’(x) = 0 sehingga:
3x2 – 12 = 0
⇔x2 – 4 = 0
⇔(x + 2)(x – 2) = 0
⇔x = - 2 atau x = 2
Karena nilai x pada interval –3 ≤ x ≤ 1 maka x = 2 tidak memenuhi Dicari nilai stasioner di x = - 2 yaitu f(-2) = - 8 + 24 = 16
Jadi nilai stasionernya adalah 16.
f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x Y
X
X y = x3 - 12x
Y
Dicari turunan kedua f(x) = x3 – 12x yaitu f”(x) = 6x dan dicari pula nilai turunan kedua f(x) di x = - 2 yaitu f”(-2) = - 12. Karena f”(-2) = - 12 < 0, maka nilai stasioner f(-2) = 16 merupakan nilai balik maksimum atau nilai maksimum.
Jadi nilai maksimum fungsi f(x) = x3 – 12x pada interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah 16.
Latihan Soal
1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f(x) = x2 – 6x
b. f(x) = –2x2 – 2x + 13 c. f(x) = 4 2
2 1 4
1x − x d. f(x) = x4 – 8x2 -9 e. f(x) =
4 ) 1
( 2
−
− x
x
2. Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x3 – 24x pada interval –1 ≤ x ≤ 3!
3. Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = x3 - 27x pada interval -1 ≤ x ≤ 4!
4. Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3 pada interval –1 ≤ x ≤ 3!
5. Tentukan nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2!
6. Tentukan nilai maksimum dari y= 100−x2 pada interval –6 ≤ x ≤ 8!
7. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi s (t) = 3t2 – 24t + 5. Tentukan nilai t agar kecepatan mobil maksimum !
8. Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x + 2y = 4, sumbu X, dan sumbu Y. Dari Sebuah titik pada garis itu dibuat garis-garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang. Tentukan luas maksimum daerah persegi panjang yang terbentuk !
9. Diketahui fungsi g(x) = 3
1 x3 – A2 x + 1, A konstanta. Jika f(x) = g(2x – 1) dan f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, maka tentukan nilai maksimum relatif g !
10. Sebuah perusahaan mampu menjual produknya sebanyak (2.000 – 10x) unit tiap bulannya dengan harga jual setiap unitnya adalah x rupiah. Biaya produksi yang dikeluarkan sebesar (25.000 + 400x) rupiah. Tentukan harga jual setiap unit produk tersebut agar diperoleh keuntungan maksimum!
11. Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m + n = - 40. Tentukan nilai minimum dari p = m2 + n2!
12. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (4x2 – 8x + 24) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut.
D. Sketsa Kurva Suatu Fungsi dengan Konsep Turunan
Berdasarkan konsep turunan yang diperoleh di atas, maka kita dapat menggambar kurva suatu fungsi dengan menganalisis titik stasioner, fungsi naik atau turun, titik optimalnya (maksimum atau minimum) dan titik belok.
Adapun langkah-langkah membuat sketsa kurva suatu fungsi adalah:
1. Menentukan nilai pembuat nol fungsi 2. Menentukan titik stasioner
3. Menentukan interval fungsi naik/turun 4. Menentukan titik balik fungsi.
5. Menentukan titik belok
6. Menentukan beberapa titik bantu Contoh 9:
Analisis dan sketsalah kurva fungsi f(x) = x4 – x2! Langkah 1 : Menentukan nilai pembuat nol fungsi f(x) = 0
⇔ x4 – x2 = 0
⇔x2(x2 – 1) = 0
⇔x = 0, x = - 1, dan x = 1
Jadi, kurva melalui sumbu x pada titik (-1,0), (0,0), dan (1,0) Langkah 2 : Menentukan titik stasioner
f’(x) = 0
⇔4x3 – 2x = 0
⇔x(2x2 – 1) = 0
⇔x = 0, x = - 2 2
1 , dan x = 2 2 1 Untuk x = 0 maka nilai f(0) = 0 Untuk x = - 2
2
1 maka nilai f(- 2 2
1 ) =
2 4
2 2 2 1
2
1
−
−
− =
4 1 2 1 4
1 − =−
Untuk x = 2 2
1 maka nilai f( 2 2
1 ) =
2 4
2 2 2 1
2
1
−
=
4 1 2 1 4
1 − = −
Jadi, titik stasioner fungsi adalah (0,0), (- 2 2 1 ,-
4
1 ), atau ( 2 2 1 , -
4 1 ).
Langkah 3 : Menentukan interval fungsi naik/turun Interval pembuat fungsi naik adalah:
f’(x) > 0
⇔4x3 – 2x > 0
⇔ x(2x2 – 1) > 0
Pembuat nol pertidaksamaan: x = 0, x = - 2 2
1 , dan x = 2 2 1
Jadi, fungsi akan naik pada - 2 2
1 < x < 0 atau x > 2 2
1 dan fungsi akan turun pada x < -
2 2
1 atau 0 < x < 2 2
1 .
Langkah 4 : Menentukan titik balik fungsi Menentukan turunan kedua fungsi
f’(x) = 4x3 – 2x f”(x) = 12x2 – 2
Untuk x = 0 maka nilai f”(0) = - 2 < 0 - 0
O O O
(+) (-)
(+) (-)
