KALKULUS TPB

BUNDEL SOAL TPB. S U L U C L A C SOAL-SOAL TPB 2002-2009 SEMERU COLLECTION.

DAFTAR ISI UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 1 ......................................................................... - 5 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 .............................................................................. - 6 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ................................................................... - 7 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 10 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 11 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 13 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 14 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 17 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 18 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 21 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 22 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 25 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 26 UJIAN TENGAH SEMESTER 2 KALKULUS 1 ....................................................................... - 29 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2002/2003 ............................................................................ - 30 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2002/2003 ................................................................. - 31 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 34 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 35 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 40 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 41 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 45 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 46 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 49 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 50 Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 53 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 54 UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 1 .............................................................................. - 58 Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 .................................................................................. - 59 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ....................................................................... - 60 Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 .................................................................................. - 64 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ....................................................................... - 65 Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 .................................................................................. - 70 -.

Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ....................................................................... - 71 Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 .................................................................................. - 75 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ....................................................................... - 76 Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 .................................................................................. - 79 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ....................................................................... - 81 Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 .................................................................................. - 85 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ....................................................................... - 86 UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 2 ....................................................................... - 89 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ............................................................................ - 90 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 94 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 95 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 97 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 .......................................................................... - 102 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................... - 103 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 .......................................................................... - 107 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................... - 108 Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 .......................................................................... - 112 Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................... - 113 Ujian Tengah Semester 2 KALKULUS 2 .................................................................................. - 116 Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ........................................................ - 117 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ............................................. - 118 Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ........................................................ - 125 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ............................................. - 126 Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ........................................................ - 125 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ............................................. - 132 Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ........................................................ - 136 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ............................................. - 137 Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ........................................................ - 141 Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ............................................. - 142 UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 2 ............................................................................ - 144 Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ................................................................................ - 145 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ..................................................................... - 146 Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ................................................................................ - 150 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ..................................................................... - 151 -.

Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ................................................................................ - 159 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ..................................................................... - 160 Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ................................................................................ - 166 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ..................................................................... - 167 Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ................................................................................ - 172 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ..................................................................... - 173 Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ................................................................................ - 178 Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ..................................................................... - 178 -.

UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 1.

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2003/2004. 1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
 || . 2. Hitung  


   3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva
    
  7 pada titik 1,2 4. Diberikan persamaan 
  √
 1 dan 
 
 . Tentukan : a. Daerah asal  b. 
 5. Diketahui sebuah bangun bujursangkar yang titik sudutnya berada pada lingkaran dengan jari-jari r. Jika jari-jari lingkaran bertambah dengan laju 2 cm/detik, tentukan laju pertambahan luas bujur sangkar pada saat jari-jari lingkaran  5 cm. .

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2003/2004. 1. Untuk menyelesaikan persamaan perlu Anda ketahui definisi tanda mutlak yaitu: " 
,
% "$ |
 "|  #
 " $  #
 ",
& "
" Syaratnya adalah
' 1. Lalu dengan definisi harga mutlak seperti di atas diperoleh 1 
,
% 1$ |
 1|  #
 1,
& 1 Maka pertidaksamaan tersebut dibagi menjadi 2 daerah yaitu: i. Untuk daerah
% 1 maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2
 1
2 0
 1

1 
  2 0 1


  2 0 1

 
 2 0
1 
 2
 1 0
1 Penyelesaiannya adalah: )1, $1 * )2, $∞$, tetapi diminta untuk daerah
% 1 maka penyelesaiannya adalah )1,$1. ii.. -1 1 2 Untuk daerah
& 1 maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2

1 2 0

1

 1  2 0
1
 
 2 0
1. Karena
 
 2 definit positif maka penyelesaiannya adalah1, ∞. Maka  himpunan penyelesaian dari
 || adalah )1,$1 * 1, ∞.. 2. Dengan teorema apit yaitu andaikan f, g dan h adalah fungsi yang memenuhi 
 , 
 , -
 untuk semua x yang dekat dengan c, kecuali di c, jika lim 1 
  lim 1 -
  2 maka lim 1 
  2. Diketahui bahwa nilai 1 , sin
, 1, untuk
5 6, maka berlaku juga untuk  1 , sin , 1, untuk
5 6  708. Lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan
 maka . diperoleh 
 ,
 sin  ,
 . Maka untuk menghitung lim


 sin  pilih . .


  
 dan -
 
 yang memenuhi 
 , 
 , -
. Karena lim


  lim


  0 dan lim

-
  lim


  0, maka berdasarkan  teorema apit lim


 sin  0.  3. Untuk menentukan persamaan garis singgung titik 1,2 maka tentukan terlebih dahulu gradien (diperoleh dari turunan pertama terhadap x) garis singgung pada titik 1,2. Diketahui kurva
    
  7 maka akan dicari turunan pertama dari kurva tersebut titik 1,2, dengan menggunakan diferensial implisit diperoleh: 9 9 0 
2
 2 9
9
9 2
   2 
9
Gradien titik 1,2 4 9 . $ : 5 9
, Maka persamaan garis singgungnya adalah 9 "" 


, 

  1,2   

 



,. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 4   2   
 1 5 4. Diketahui 
  √
 1 dan 
 
 , maka: a. 
  √
 1 memiliki daerah asal <=  )1, $∞$ dan daerah hasil >=  )0, $∞$ . sedangkan 
 
 memiliki daerah asal <?  6 dan daerah hasil >?  )0, $∞.$ Untuk menentukan daerah asal  lihat terlebih dahulu gambar di bawah ini:. Maka daerah asalah untuk  adalah >? @ <= yaitu )0, $∞$ @ )1, $∞$ =)1, $∞$. b. Karena >? @ <=  )1$, $∞ ' A, maka fungsi  adalah 
  B
C  
   √
  1. 5. Diketahui DF  2 G /9IJ K. Berapa pertambahan luas bujur sangkar? DE.

r s s. Misal L adalah luas bujur sangkar, lihat gambar. Hubungan antara bujur sangkar dengan lingkaran yaitu:     2   4  , sehingga 2   4  atau dapar ditulis 2    2  . Sehingga laju pertumbuhan luas bujur sangkar saat  5 adalah 9 92 4 L28 4 9J 9J 92 $ :  8 L 5  40 G  /9IJ K 9J ENO.

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2004/2005. ,
1. Tentukan daerah penyelesaian dari  2. Perhatikan gambar berikut ini (gambar) P. F(x) 4 3 2 1 0. 1. 2. 3. 4. 5. x. a. Tentukan semua titik di mana f tidak kontinu b. Tentukan semua titik di mana f tidak terdifferensialkan c. Tentukan semua titik di mana f kontinu d. Tentukan semua titik di mana f terdifferensialkan   di titik R1, PS 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva 
 . 4. a. Hitung lim PT √ U. P. V. Q. tanpa menggunakan teorema L’Hopital. b. Diketahui segiempat Q dengan titik-titik sudut 
, 0, 
, 0, 0,1 9" 0, 1. Jika diberikan suatu segiempat lain: R dengan titik-titik sudutnya terletak pada WXYZYZ[? \ titik tengah sisi-sisi segiempat Q, hitunglah lim

WXYZYZ[? ]. 5. Sebuah lintasan lari yang panjangnya 1 km terdiri dari dua sisi yang sejajar yang dihubungkan dengan dua buh setengah lingkaran pada ujung-ujungnya. Cari luas daerah fungsi yang dibatasi oleh lintasan lari tersebut sebagai fungsi dari diameter tersebut tentukan pula domainnya..

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2004/2005. ,
dengan syarat
' 2 1. Daerah penyelesaiannya adalah  3 ,

2 3 
,0
2 3 

 2 ,0
2  3 
 2
,0
2
  2
 3 0
2 
 3
 1 0
2 P. -1 2 3 P ,
adalah )1$, $2 * )3$, $∞. Jadi himpunan penyelesaian  2. Jawab: a. Dari gambar dapat diketahui bahwa 2  2, sedangkan lim _ 
  lim T 
  3, jadi karena lim _ 
 ' 2 maka disimpulkan bahwa f tidak kontinu di
 2. Lalu 4  2, kita lihat juga bahwa lim `_ 
  1 sedangkan lim `T 
  2. Karena lim `_ 
 ' lim `T 
  4 maka 
 tidak kontinu di
 4. Oleh karena itu 
 tidak kontinu di
 2 dan
 4. b. Karena 
 tidak kontinu di
 2 dan
 4, maka f tidak terdiferensialkan di titik
 2 dan
 4. Lalu 
 tidak terdiferensialkan di
 1 karena membentuk sudut yang tajam, jadi tidak tunggal garis singgungnya di titik
 1. c. Fungsi 
 kontinu jika lim 1 
  G terpenuhi di titik-titik pada selang )0,1a * 1,2 * 2,4 * 4$, $5a. Pada titik batas
 0 cukup kontinu kanan dan pada
 5 cukup kontinu kiri. d. Fungsi 
 terdiferensialkan jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, dan terpenuhi di titik-titik pada selang)0$, $1 * 1,2 * 2,4 * 4$, $5a. 3. Persamaan garis singgung kurva 
 di titik 
 ,   adalah     

 .  dengan aturan mencari turunan Dimana   b 
. Kita cari turunan dari 
 . fungsi 
 .  b 
 . c. d Q QU. yaitu . b 
.  QU . . Q ce dcd e . dU. diperoleh. Nilai  b 
 di titik 
 ,    R1, PS adalah  b 1  V  . Maka gradient garis . . singgung di titik R1, PS adalah  V, maka persaman garis singgungnya adalah .    V 
 1  V
 V.  P. . . . .

4. a. lim PT √ U. P. V.  limT. P.  P fPQP. b. Lihat gambar berikut.  limT. fPP.  P fPQP.  limT. fP.  P fQP. . fPP. fPQP. 0. Panjang gh  hi  i<  g<  √
  1. Panjang gj  jh  h2  ik  k<   <l  lg   √
  1. Dari gambar dapat dilihat perbandingan. mn. mo sm. pm. . . pq. po ot. po. j2 . pq. jh  √ U. po ot. lj . po. . Q . r √
 .  1  1 dan. r √
 . 1
. 

`√ Q. `√

Q. gj  √ U. Q. Dari hasil in diperoleh keliling segiempat Q yaitu segiempat ghi< yaitu 4√
  1 dan keliling R yang merupakan segiempat j2kl yaitu 2  2
,  Q.

Q WXYZYZ[? \    limT sehinggalim

T U U WXYZYZ[? ]. 5. Lihat gambar berikut ½d. Maka panjang lintasan j2  2k  kl  lj  1 K. Andaikan lingkaran berjari-jari d maka panjang dua K lingkaran adalah 2k N setengah  lj adalah 2 u wD  v9  v9. Lalu panjang lintasan j2  kl adalah  .  Sehingga luas daerah di dalam (dibatasi) lintasan lari tersebut adalah . 9  v9 2  2Lu v R 9S  R  S 9  M `  Untuk domainnya, kita lihat bahwa: a. Agar terbentuk lintasan berupa lingakaran (setengah lingkaran) maka diameter harus lebih besar . ½d. . . . wD. dari nol atau 9 & 0 b. Panjang lintasan yang bukan setengah lingkaran atau lintasan KL dan MN harus leih  wD & 0, sehingga diperoleh 9 % besar dari nol, yaitu . c. Luas daerah harus lebih besar dari nol yaitu. diperoleh 0 % 9 % . . w. w . . 9  v9 & 0, sehingga  `. Dari ketiga syarat diatas diperoleh domain fungsinya yaitu: 9 & 0 @ R9 % S @ w. R0 % 9 % S  0 % 9 % w. . w. . .

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2005/2006. 1. Tentukan nilai x yang memenuhi kesamaan |
 3| 
 3. || ada. 2. Periksa apakah lim  U  PQ P. . Tentukan semua nilai x sehingga 
 , 2. 3. Diberikan fungsi 
  Q 4. Sepeda motor A dan B melaju menuju persimpangan I yang tegak lurus (lihat gambar), A menuju dari arah barat dengan kecepatan 25, sedangkan B menuju dari arah selatan dengan kecepatan 22,5. Jika x merupakan sudut antara IAB, berapa besar perubahan x pada saat berjarak 0,4 dan 0,3 dari persimpangan I (jangan lupa gambar) utara. x I. A. θ y B. 5. Persamaan 2
 
     8 menyatakan fungsi   
 secara implicit a. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik 1,3 b. Misalkan ", y merupakan titik yang terletak pada kurva. Taksir nilai b di sekitar 3 dan jika "  1,1.

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2005/2006. 1. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa |
 3|  z.
 3,
 3 $ maka 
 3,
% 3. Untuk daerah
% 3, 
 3 
 3 2
 6
 3 Karena persamaan di atas berlaku untuk daerah
% 3 maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan di atas. Untuk daerah
 3,
3 
3 Maka persamaan ini akan terpenuhi untuk semua x pada daerah
 3. i.. ii.. Jadi nilai x yang memenuhi |
 3| 
 3 adalah selang )3$, $∞ ||. ada adalah 2. Syarat agar lim  U  PQ |
 2| |
 2|  limT  lim_   
 3
 2  
 3
 2
 2,
 2 $ Diketahui dari definisi harga mutlak |
 2|  z maka 
 2,
% 2 |
 2| 1 
 2 
 2  1  lim_  lim_  lim_  lim_    
 1   
 1
 2  
 3
 2  
 3
 2 Dan 
 2 
 2 |
 2| 1 1  limT  limT  limT  limT    
 1   
 1
 2  
 3
 2  
 3
 2 Karena |
 2| |
 2| ' limT  lim_   
 3
 2  
 3
 2 ||. Maka lim   U PQ tidak ada. 3. Diketahui 
  Q maka 
 tidak terdefinisi di
 1, penyelesaiannya adalah P. Q P. ,2. P. 2,0. Q PQ. Q P. Q . Q. ,0. ,0. ,0. t -2. -1. 0 ½ 1.

Lihat penyelesaiannya melalui grafik berikut -1 ½  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ∞, 1 * | $ , $∞  4. Perhatikan gambar di bawah ini, misalkan pengendara motor yang berjalan dari arah barat, adalah sepanjang sumbu-x dan dari arah selatan adalah sepanjang sumbu-y. D} D Diketahu bahwa  25 dan  22,5 DF. DF. utara. x. I A. x. y. B. Gambar tersebut menunjukkan bahwa tan x  , lalu kedua ruas diturunkan  menghasilkan: D } D tan x  R S }. DF. D€ D. DF D€. D€ DF. D€ DF. D€ DF. D€ DF. D€ DF. D€ DF. DF . „ ‚  } ƒ ƒ U „ ‚  } ƒ ƒ U. tan x . IG  x . . „ ‚  } ƒ ƒ  U X1 U € „ ‚  } ƒ ƒ U „ ‚  } ƒ ƒ U. G  x. . „ ‚  } ƒ ƒ  U Q} U. . . . . „ ‚  } ƒ ƒ U. †. . f U Q}. U.  U Q}U. . ‡ U. ,O

,`O

,P

,`U Q

,PU. 6. 5. a. Persamaan garis singgung kurva 
 di titik 
 ,   adalah    . 

 . D} Dimana   b 
  . Maka gradient garis singgung di titik 1,3 dari D persamaan 2
 
     8 dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara D D implisit yaitu: 2
 
      8 D D}. 4
  
D  2 D  0. 2 
. D} D. D}.    4
. D.

D}. D . b..  }, gradient garis singgung di titik 1,3 adalah  $D ˆ }`. D}. ,P.  uP  P`u.  . Maka persamaan garis singgungnya adalah   3   O 
 1   O
 O. . . ‰ O. Aproksimasi dapat dilakukan dengan persamaan 
 ∆
 ‹ 
   b 
∆
.. Karena "  1,1  1  0,1 maka ∆
 0,1 dengan 1  3 dan  b 1   , maka O penyelesaiannya adalah: . y  1,1  1  0,1 ‹ 1   b 10,1  y  1,1 ‹ 3  R S 0,1  3  0,02  2,98 O.

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2006/2007. 1. (a) (Nilai 16) Cari himpunan terbesar dari : 1 , √
  1 , 2. (b) (Nilai 16) Tunjukan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: ||.  U Q. ,  adalah semua bilangan real. . 2. (Nilai 16) Diketahui fungsi
 
 6 3 %
$ 
   √
 3 
 3
% 3. (a) Hitung lim P 
 (b) Akan dibentuk fungsi g sehingga 
  
 kecuali di
 3. Berapakah 3 harus didefinisikan agar fungsi g kontinu di titik  3 ? 3. (Nilai 16) Diberikan titik Ž0,0, g1,0, h0,2. Jika 
,  adalah titik pada grafik  
  1, hitung limT. 

. " ∆Žh " ∆Žg. 4. (Nilai 16) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
    P   
P di titik 1,1. 5. (Nilai 16) Tentukan pesawat terbang ke arah barat dengan laju 500km/jam dan melintasi tepat di atas menara kontrol pada pukul 12.00 tengah hari. Pesawat lainnya terbang kea rah utara pada ketinggian yang sama dengan laju 600 km/jam melintasi tepat di atas menar kontrol yang sama pada pukul 13.00. Seberapa cepat jarak antara kedua pesawat tersebut berubah pada pukul 14.00?.

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. 1.. (a). Tahun 2006/2007. Pertama penyelesaian untuk selang 1 % √
  1 1 % √
  1 1 %
  1 ‘
 & 0 Maka himpunan penyelesaiannya adalah
% 0 *
& 0 Lalu penyelesaian untuk selang √
  1 % 2 √
  1 % 2
  1 % 4
 % 3 √3 %
% √3 Maka himpunan penyelesaian untuk untuk pertidaksamaan 1 , √
  1 , 2 adalah 
% 0 *
& 0 @ B√3 %
% √3C  √3 %
% √3,
' 0. Dengan definisi harga mutlak diperoleh |
|  #. (b). ||.
,
 0 $ 
,
% 0. Maka penyelesaian untuk  U Q ,  dibagi menjadi dua bagian yaitu:. i.. . Untuk
 0 maka.  U Q.  ,0  . .  U Q.  U   U Q. B U QC.   U. Q. ||.  U Q. . , menjadi  U Q ,   . . . ,0. , 0 karena 2
  1 definit positif maka penyelesaian hanya. 2

  1 , 0 atau
  2
 1  0 ‘ 
 1  0. Artinya untuk nilai
 0 berlaku persamaan 
 1  0. ii.. ||. Untuk
% 0 maka  U .  U Q. . ,0 .  U Q.  U   U Q. . B U QC.  U Q. Q. ,  menjadi  U Q ,  . . . ,0. , 0 karena 2
  1 definit positif maka penyelesaian hanya. 2

  1 , 0 atau
  2
 1  0 ‘ 
 1  0. Artinya untuk nilai
% 0 berlaku persamaan 
 1  0.

Oleh karena itu terbukti bahwa himpunan penyelesaian untuk bilangan real.. 2. a.. lim P 
  lim P_ 
  lim PT 
 Untuk limit dari kiri berlaku: lim P_.  U ‰ √P.  lim_  P. QP √P. Untuk limit dari kanan berlaku: limT sin
 3  0. ||.  U Q. ,  adalah .  lim_ 
 2√
 3  0  P.  P. b.. Jadi lim P 
  0. Agar fungsi g kontinu di
 3 maka melalui definisi kekontinuan yaitu:. lim 1 
  G. Sehingga berlaku 3  lim P_ 3  0. Maka 3  0..  U ‰ √P.  limT sin
  P. 3. Lihat gambar berikut ini y. P(x,y ). B(0,2). x. O(0,0). A(1,0). Maka luas lim

T. Yc’ ∆“o”. Yc’ ∆“p” •. lim

T Yc’ ∆“p”  limT U• Yc’ ∆“o”. adalah. uu“o. 

Uu}u“p.  limT • 

U. •  U U  Q .  limT •. . 

U  U Q . 0. 4. Persamaan garis singgung kurva 
 di titik 
 ,   adalah     

 . D} Dimana   b 
  D . Maka gradient garis singgung di titik 1,1 dari persamaan
    P   
P dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara implisit yaitu: D D 
    P    
P  D D}  D}   2
  3 D  D D D} 2
  3   1  3
 D. D . D}.  3
.  .

. D}. D} , gradient garis singgung di titik 1,1 adalah  $D ˆ. P U } U. }QP} U  D  P.U U. ..QP.U . ,. .  `  . Maka persamaan garis singgungnya adalah   1   
 1  . .
  5. Misal menara control adalah titik asal 0,0 pesawat yang kea rah barat pesawat J dan pesawat yang kea rah utara adalah pesawat K dan jarak antara keduanya adalah R. D} D Dengan  500 dan  600 . . DF. DF. utara. x. menara. J. barat. y. R. K. Dari gambar diperoleh hubungan >  
    . Kecepatan perubahan posisi kedua pesawat adalah. 2> D\ DF. D\ DF. D\ DF. .  2
. . D DF.  2. ‚ „ Q} ƒ ƒ. D} DF. \. ‚ „ Q} ƒ ƒ f U Q}U. . . . . Pada pukul 14.00 jarak pesawat J dari menara control adalah
 –J  500 u 2  1000K , sedangkan pada pukul 14.00 jarak pesawat K dari menara control adalah   –J  600 u 1  600K , maka kedua pesawat berubah secepat: D\ DF. ‚ „ Q} ƒ ƒ f U Q}U. . .





.O



Q.‰



.‰



√





U Q‰



U. . OP‰

. √

‰.

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2007/2008. 1. (a) Gambarkan grafik dari 
 
 2 dan 
  √
dalam saru sistem koordinat?. (b) Carilah semua bilangan real x yang memenuhi
 2 % √
. 2. Hitunglah. (a) lim


` G  R S  . (b) lim — ˜Q  U QQP. Rdengan demikian  b 1   ‰S dan 
  3. Diketahui -
  Pš P` (a) Tentukan fungsi g sehingga -   (b) Hitunglah -b 0 4. Diberikan dua fungsi yang dapat diturunkan dua kali, memenuhi   
 1 dan w  R S  √2, tentukan Q™. ‰. (a)  b R ‰ S w. ™. . (b)  bb R ‰ S 5. Sebuah perusahaan penyewaan mobil mengenakan tarif sebesar Rp. 200 ribu per hari untuk 200 km pertama. Untuk setiap kelebihan 100 km atau bagiannya dikenakan tambahan Rp. 180 ribu. Sebagai contoh jika seseorangsejauh 388 km, maka orang tersebut harus membayar Rp. 200 ribu + 2 x Rp. 180 ribu. Gambarkan grafik fungsi harga sewa mobil untuk satu hari sebagai fungsi dari jarak. Apakah fungsi tersebut kontinu pada daerah definisinya? Jika tidak, tentukan titik-titik dimana fungsi tersebut tidak kontinu. 6. Sebuah palung sepanjang 12 meter dengan penampang berbentuk segitiga samakaki terbalik mempunyai kedalaman 4 meter dan lebar 6 meter. Jika air mengalir ke dalam palung dengan laju 9 P /jam, berapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air 2 meter? w.

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1 1.. (a). Tahun 2007/2008. Gambar kurvanya:. 2. 1. -1. -2. (b).
 2 % √
.
 2  √
% 0.
 √
 2 % 0. B√
 1CB√
 2C % 0. adalah. 2. (a). sehingga berlaku 1 % √
% 2 karena √
 0, maka nilai yang memenuhi 0 % √
% 2 menyebabkan 0 %
% 4.. lim


` G  RS  lim


` †1    RS‡  lim


` 
`   RS  . lim


`  R
 sin R SS . . . . . Diketahui bahwa 1 , sin  , 1, lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan
 maka . diperoleh 
 ,
 sin  ,
 . Karena lim


  lim


  0, maka. lim


 sin  0 . . . (Teorema . diperolehlim


`  R
 sin RSS  0  0  0. . Apit).. Sehingga.

y lim — ˜Q  lim — ˜  U QQP. sehingga. menjadi: lim — ˜. 3. (a). -  . Diketahui -
 .  U QQP  U . Q™ P`. (dibagi pangkat tertinggi yaitu
 ).  U QQP  U .  . •. Q Q U „ „.  lim — Ÿ. ˜. •  U „. B?C. Q

Q



.  √1  1. ™.  B
C  P?š maka 
 
 1. (b) Diketahui bahwa -b 
   b B
Cb 
   b 
 1 u 1 (karena b 
  1) maka -b 0   b 0  1   b 1  .  ‰. 4. Diketahui  
 1 dan  R‰ S  √2 . w. maka    ¡¢£  yang dapat ditulis 
  ¤ . adalah 
 . . √¡¢£ .  sin
 . . • U. . √¡¢£ . dan yang memenuhi  R‰ S  √2 w. a.  b R S? Untuk menjawabnya kita harus turunkan fungsi 
  ‰ w.  b 
    sin
 w  b R‰ S. b.. .    Rsin ‰ S . w  bb R ‰ S ? b 
. Untuk  .  bb 
  sin
. . w.   sin
. . bb 
. w  bb R ‰ S. . P. ` P.  sin
. . `. cos
; sehingga.    U. cos  w ‰. ¨ U. ¨. cos
.. 5. Gambar berikut. . kita.   √P  •  U  R S U. harus. √¡¢£ .    √8 . √P .  sin
U. •. . √‰ . turunkan. fungsi. cos
 R sin
U S  sin
.  . cos
  sin
U . w w U Rsin ‰ S cos ‰ ` P.  .   U √P  R S  . menjawabnya.    U. ¨  U. .   U. . . . •. •. w U Rsin ‰ S  .  .  ` √32 `   √2  ` √2  ` √2  P. P. . V. .  `. √2.

Rp 74. 560. 38. 20. 50. 40. 30. 20. km. Tidak kontinu pada daerah definisinya, dan tidak kontinu pada titik 200 km, 300 km, 400 km.. 6. Diketahui volume air mengalir lajunya 9 P /jam dan panjang palung 12 meter, selanjutnya perhatikan gambar berikut: 12 6. 4. Volume palungnya ©  ª. . -. Dengan kesebangunan segitiga diperoleh  . Y. «. ` P. sehingga   -, jadi volumenya ©   ª. . -   . 12. ` -. -   - .Oleh karena itu ` P. . . P. V. volume saat ini adalah fungsi dari tinggi, yaitu ©-  - . Lakukan diferensial . terhadap waktu sehingga diperoleh. D¬ DF.  9-. D« DF. V. . Diketahui bahwa. D¬ DF.  9 P /jam. Pertanyaan berapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air 2 meter?. 6. l 4. h. 9  9.2. 9  18 D« DF. . V. ­. D«. DF D«. DF. .  . IJI /®".

Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2008/2009. 1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertaksamaan |
|  |2 
|  3 % 0. 2. (a) Jika diketahui |
  4| % 2
 3 hitunglah lim P 
. (b) Hitunglah lim — P . 3. Sketsalah suatu grafik fungsi yang memenuhi semua syarat berikut: (a) Daerah asal (definisi) adalah )0$, $∞. (b) 0  1  2  0. (c) lim _ 
  ∞. (d) lim — 
  1. (e) f kontinu kanan di
 1 dan
 2. (f) f tak kontinu kiri di
 1. √` U QP. 4. Jika diketahui ¯3  dan ¯ b 3  1, tentukan ° b 1, bila °
  Q . P 5. Tinggi sebuah tangki berbentuk kerucut tegak terbalik adalah 16 dm dan jari-jari atasnya 4 dm. Tangki tersebut diisi air dengan laju 2 9 P per menit. Tentukan laju pertambahan jari-jari permukaan air dalam tangki pada saat tinggi air tersebut 10 dm. w. 4. 16. Z[B±PC.

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1 1. Diketahui |
|  |2 
|  3 % 0 Dari definisi harga mutlak. Tahun 2008/2009. diketahui bahwa |
|  #. 2 
, 2 
 0 $ 2 
,
, 2$ # 2 
, 2 
% 0
 2,
& 2 Untuk selang
% 0 penyelesaiannya: 
 2 
 3 % 0 2
 1 % 0 z.
,
 0 $ dan |2 
|  
,
% 0. 2
& 1 ²
&   . Untuk selang 0 ,
, 2 penyelesaiannya:
 2 
 3 % 0 ² 1 % 0 Untuk selang
& 2 penyelesaiannya:

23%0 2
 5 % 0 2
% 5
% O. Maka himpunan penyelesaiannya adalah: . 2. (a).  . ,
, O. Diketahui |
  4| % 2
 3 , penyelesaiannya dari lim P 
?. Bentuk |
  4| % 2
 3 dapat ditulis dengan 2
 3 % 
  4 % 2
 3 lalu beri limit pada ketiga ruas lim2
 3  % lim
  4 % lim2
 3   P.  P.  P. 0 % lim
  4 % 0, berdasarkan teorema apit, diperoleh  P. lim
  4  0, sehingga lim
  4..  P. (b). lim —. √` U QP. P.  P. ?.. Untuk menyelesaikan permasalahan maka bagi dengan pangkat tertinggi, yaitu pangkat satu. lim —. „_f³„U T „ „ U„_  „.  lim —. . f³„U T „ „    „.

 lim —.  lim —. ³„U T „ „U    „. ˜. ˜`Q    „.   „. . √`

. 

. . √`. . .  . .  . 3. Sketsanya: f(x). 0. x. 2. 1. 4. Diketahui ¯3  dan ¯ b 3  1 serta °
  Q , maka° b 1? P Untuk menyelesaiakan masalah ini harus diturunkan terlebih dahulu fungsi °
  Z[B±PC. w. Z[B±PC. °. Q b 
. , yaitu:. . ° b 1 . ° b 1  b 1. ´µ¡B±PC .±e P.P Z[B±PC.. QU ´µ¡B±PC .±e P.P Z[B±PC.. QU ¶ ¶ ´µ¡R S ..P Z[R S.     U   • • •  √P ..P √P U U U U.   ° ` 5. Lihat gambar berikut:. `. . • BP√PC U. `.  B3  √3C  ­. Dari gambar disamping dapat diketahui bahwa: E. «. . `. ‰. maka.  -.  `.

Volume kerucut: ©  P v  - karena  ` - maka:. ©  P v R` -S  . . ©  `­ v- P ² . Karena. 2 D« DF. P. `­. . D¬ DF. .`­. DF.  `­ v- DF. D«. P.  29 P ªI I J sehingga:. v-. Pw.«U. D¬. . . D« DF. . (maka laju pertambahan jari-jari saat -  10) .`­. Pw.

U.  Ow. , maka laju pertambahan jari-jari DF  ` DF  ` Ow.  Ow. ­. DE.  D«.  ­. .

UJIAN TENGAH SEMESTER 2 (MA1122) KALKULUS 1.

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2002/2003. 1. Sebuah pagar dengan tinggi 2 meter berdiri sejajar dengan dinding sebuah gedung sejauh 1r4 meter dari gedung tersebut (lihat gambar). Berapa panjang tangga yang dapat melintasi pagar dari permukaan tanah untuk mencapai dinding tersebut? gedung. pagar. tangga. ¼. 2. Cari persamaan kurva yang melalui 2,1, jika kemiringan garis singgungnya di setiap titik adalah 2 kali kemiringan garis singgung pada kurva
  2 di titik dengan absis yang sama.   3. Diketahui : 
  · √1  J  9J. a. Tunjukkan bahwa f mempunyai invers. b. Hitunglah   b 0. 4. Diketahui D suatu daerah tertutup yang dibatasi oleh   √
 1 ,   0 ,
 3. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu-x . Buatlah terlebih dahulu sketsa daerah D. 5. Tentukan :. a. Turunan dari    Q. b. Tentukan. D} D. . dari persamaan implisit I }    2.

Solusi Ujian Tengah Semester 1 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2002/2003. 1. Lihat gambar terlebih dahulu. gedung. B. C pagar. tangga. 2m A. α ¼. Panjang tangga adalah gi  gh  hi maka dari gambar diperoleh sin ¸  po ² r. . dan cos ¸  oq` ² hi  ` ´µ¡ ¹. Sehingga gi  ¡¢£ ¹  ` ´µ¡ ¹  ¸. gh  ¡¢£ ¹ Yang ingin dicari adalah panjang tangga terpendek, oleh karena itu harus meminimumkan fungsi ¸, yaitu turunan pertamanya sama dengan nol  b ¸  0. Diperoleh    2sin ¸  4 cos ¸  ¸  . . b ¸. ` ´µ¡ ¹ ¡¢£ ¹ ¡¢£ ¹  ´µ¡ ¹. . Z[U ¹ ­1º   Q Z[  . . ` 1º U . 0 8G
 P
 0 P
 8G P
J"P
 8 tan
 2 ` 1º U  Z[U ¹ P. 0. . . √5. 2. α. 1. Sehingga diperoleh juga sin ¸ . adalah gi  ¡¢£ ¹  ` ´µ¡ ¹ . . . . . U √¨. . dan cos ¸ . √O . . • √¨. `.  √5. ` O. . √O. , oleh karena itu panjang tangganya. 2. Misal persamaan kurva yang dimaksud adalah 
, kemiringan garis singgung yang D 
   b 
  . Diketahui kurva
  2 menyinggung kurva tersebut adalah D. ekivalen dengan   . Lalu kemiringannya adalah D    U.  . D}. .

Diketahui bahwa kemiringan kurva 
 dua kali kemiringan garis yang menyinggung `  kurva
  2, maka  b 
  2 R U S    U . Dari informasi  b 
 kita dapat . memperoleh 
  ·  b 
 9
 ·  U 9
   G.  `. `. Diketahui kurva tersebut melalui 2, 1, sehingga 2   G  1, maka  diperoleh G  1. ` Sehingga diperoleh kurva yang dimaksud yaitu 
   1 `. . 3. a. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan fungsi ada: i.  b 
 & 0 maka f monoton naik ii.  b 
 % 0 maka f monoton turun. Lalu untuk melihat kemonotonan selanjutnya kita turunkan 
  · √1  J  9J. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa D  
  ·’ J9J, sehingga  . D.  b 
  D · √1  J  9J  √1 
 D.  .  . Karena √1 
 & 0 maka  b 
 & 0 artinya f monoton naik (monoton murni). Maka   
  · √1  J  9J mempunyai invers.  . b. Diketahui bahwa jika   
 dengan syarat  b 
 ' 0 maka   b   =e . . Untuk mencari   b 0, informasi yang sudah didapat adalah  b 
  √1 
 dan     0 yaitu · √1  J  9J  0 maka x yang memenuhi adalah
 1. Sehingga  .   b 0 . . = e . .  . . √QU. . .  . √. .. 4. X= (3,2). Y = f1 
. daerah D (-1,0). y=0.

∆x. y. ∆x. Untuk menghitung volumenya dengan metode cincin . ∆©  vB√
 1C ∆
. ©  v ·B√
 1C 9
P. ©  v ·
 19
P. ©  v. $R
 
Sˆ. P. .  v R  3    1S  8v. . . V. 5. a. Untuk mencari turunan dari ln Q , perhatikan terlebih dahulu jika   ln 
. maka. D} D.  b 
 . .  =  b 
. Dari persamaan    Q, misal 
  Q maka . Q QU. Maka D  D}. . „_• „T•.  QU .  QU.  Q   U . . . . b. Diketahui I }    2, maka D dapat diperoleh dari D. D. I }   . D. D. 2. I } 
I } D  D  0 D}. D}. I }  
I }  1 D  0. 
I }  1 D} D. . D} D. }X „‚. X „‚ Q. D}.  I }. D}. .

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2004/2005. 1. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan
P  2
      3  0 di titik 1,2. 2. Sebuah kolam panjangnya 40 meter, lebarnya 20 meter, kedalaman berubah dari 0 meter sampai 5 meter dengan alas berupa persegi panjang (lihat gambar). Jika air dipompakan ke dalam kolam dengan laju 40 P / menit, seberapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter. 40 m 20 m. 5m. 3. Tentukan n1ilai maksimum dan nilai minimum dari 
  3
⁄P  3
O⁄P , pada  selang 1 ,
, . ­ 4. Diketahui daerah tertutup R yang dibatasi oleh grafik  
 3, sumbu x, garis
 1, dan garis
 5 a. Gambarkan daerah R. b. Nyatakan luas daerah R dalam integral tertentu dan hitunglah integralnya. 5. Suatu benda bergerak pada sumbu x dengan kecepatan pada saat t adalah –J  2J   14J  5 m/detik, dengan posisi awal di
 1000 meter. a. Tentukan posisi benda saat J  3. b. Pada saat J  3, tentukan apakah benda sedang menjauhi atau mendekati titik
 0. Jelaskan alasannya. 6. Diketahui daerah R dibatasi grafik   I  , sumbu y, sumbu x, dan garis
 1 a. Gambarkan daerah R. b. Jika daerah R diputar terhadap garis   1, tentukan volumebenda putarnya.  7. Diketahui fungsi 
  · √1  J P 9J, dengan
5 )0, $∞$ a. Hitunglah  b 
 b. Berikan alasan mengapa f mempunyai invers c. Hitung   b 0.

Solusi Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2004/2005. 1. Persamaan garis singgung kurva 
 di titik 
 ,   adalah     

 . D} adalah gradient garis singgungnya. Selanjutnya mencari Dimana   b 
  D terlebih dahulu gradient lengkungan, yaitu D D 
P  2
      3  0 D. D D}. 3
 R2  4
 D S  2 D  0 . D}. . 3
  2   4
 D  2 D  0. 2  4
 D} D. . D} D. } U P U }`}. D}. D}.  2   3
. Selanjutnya substitusi 1,2 ke. D} D. , sehingga diperoleh  $ ˆ D}. D ,  . . .U P.U .`...  . O `. Sehingga persamaan garis singgung dari lengkungan
 2
    3  0 di mana P O O 
,   1,2 adalah   2   
 1  
 ` ` ` 2. Perhatikan gambar berikut P. 40 m 20 m. 5m. h. x.

40. x 5 h. dari gambar akan diperoleh   `

²
 8«. O. Volume kolam: © 
. -. 20  10
-  80- dan diketahui bahwa air dipompakan  . dengan laju 40 P / menit, artinya. D¬ DF.  40..  160- DF , Dari volume kolam yang merupakan fungsi dari tingginya diperoleh DF oleh karena itu:  D« D« 40  160- DF ² DF  `« Pertanyaannya adalah seberapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter, maka:   D« $ ˆ  IJI ªI I J  DF «NP. `.P. D«. D¬. . 3. Diketahui fungsi 
  3
⁄P  3
O⁄P , dicari nilai maksimum dan nilai minimum  pada selang 1 ,
, ­. Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik kritis. Titik kritis yaitu: i. Titik ujung pada selang. Pada soal ini titik ujung selang terjadi pada
 1 dan  ⁄P.
 , maka 1  31⁄P  31O⁄P  6 dan  R­S  3 R­S . ­  O⁄P. ii.. iii.. . .  . 3 R­S P Titik stasioner, yaitu titik yang mana  b 
  0. Dari soal diperoleh  b 
  2
⁄P  5
⁄P dimana
' 0. Sehingga diperoleh 2
⁄P  5
⁄P  0 ²  
 . Tetapi
 O tidak memenuhi karena berada di luar selang yang diminta. O Titik singular, yaitu titik dimana  b 
 tidak terdefinisi, karena  b 
 tidak terdefinisi di
' 0 dan titik
 0 merupakan titik singular. Maka 0  30⁄P  30O⁄P  0. . Sehingga disimpulkan bahwa fungsi 
  3
⁄P  3
O⁄P mencapai maksimum di titik
 1 di mana 1  6 dan mencapai titik minimum di
 0 di mana 0  0..

4. Daerah dibatasi oleh grafik  
 3, sumbu x, garis
 1, dan garis
 5 a. O O b. 2>  · 
9
 · 
 39
. y=x-3. 2. 1. 5. 3.  · 
 39
 ·P 
 39
(pada selang 1 ,
, 3 fungsi bernilai negatif karena berada dibawah sumbu-x. P O  · 3 
9
 ·P 
 39
P. O.  $3
 
 ˆ  $
  3
ˆ . P.  . . O P.  R3.3   . 3 S  R3.1   . 1 S  R . 5  3.5S  R . 3  3.3S  4 5. Diketahui bahwa benda bergerak dengan kecepatan –J  3J   14J  5 m/detik, dengan posisi awal di
 100 meter. a. Posisi benda dapat dihitung dari nilai
J  · –J9J.
J  · 3J   14J  5 9J
J  J P  7J   5J  G (subtitusi
 0)
0  0P  7. 0  5.0  G  100 diperoleh G  100. Maka posisi benda setiap saat t adalah
J  J P  7J   5J  100. Maka posisi benda pada saat J  3 adalah
3  3P  7. 3  5.3  100  49 meter. b. Kecepatan pada saat J  3 adalah –3  3. 3  14.3  5  20, kecepatannya bernilai negative atau gradiennya juga negative atau monoton turun. Artinya mendekati
 0 6. a. . . . .

y = I . x=1. Daerah D. 1. Y = -1. -3. 1 + I . 1.

b. ∆©  v1  I    1 ∆
, maka volumenya: ©  v ·

1  I    1 9
.  v ·

1  I   I   1 9
.    v ·

I   I  9
 v $R  I   I  Sˆ. .

.  v |R  I   I  S  R   1S¼  v R   I   I  S P. . . 7. Diketahui 
  · √1  J P 9J dengan
5 )0, $∞$ . . a. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I yaitu: 
 . D  · J9J D ’. maka.  J P 9J  √1 
P  b 
  b. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan fungsi ada:  b 
 & 0 maka f monoton naik i.  b 
 % 0 maka f monoton turun ii.  · √1 D  D. Dari hasil a. diketahui bahwa  b 
  √1 
P & 0 untuk selang )0, $∞$ yang artinya f monoton naik (juga monoton murni) maka f mempunyai invers pada selang )0, $∞.$. c. Bahwa jika   
 dengan syarat  b 
 ' 0 maka   b   =e . Untuk . mencari   b 0, informasi yang sudah didapat adalah  b 
  √1 
P dan     0 yaitu · √1  J  9J  0 maka x yang memenuhi adalah
 1. Sehingga.   b 0 . . = e .  √Q    . . √. ..

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2005/2006. 1. Misalkan 
 
|
  3|, 0 ,
, 3. a. Tentukan semua titik kritis dari f. b. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f. 2. Diketahui lim[ — ∑— ZN R`[QPZ S [. P. [. adalah suatu limit jumlah Riemann untuk fungsi. f. Dengan memisalkan ∆
 dan
Z  ∆
[ a. Tuliskan limit jumlah Riemann di atas sebagai suatu integral tentu b. Hitung integral tentu yang Anda dapatkan di bagian 2a P 3. Hitunglah ·2
 |
 1| 9
4. Diketahui D adalah yang dibatasi oleh grafik
   dan
   2 a. Tentukan titik potong kedua grafik di atas. b. Gambarkan daerah D c. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika diputar mengelilingi garis
 4. D} 5. a. Tentukan dari  
¡¢£  D. b. Tentukan ·. X„. X „ QO. 9
. P.

Solusi Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2005/2006. 1. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai definisi harga mutlak, yaitu " 
,
% "$ |
 "|  #
 " $  # ,
 ",
 "
" Dari definisi diperoleh bahwa fungsi 
 
|
  3| dapat ditulis • 
 
3 
   3

P untuk 0 ,
% √3 • 
 

  3 
P  3
untuk √3 ,
, 3 a. Titik kritis i.Titik ujung selang, yaitu:
 0 dan
 3 ii.Titik stasoiner, yaitu  b 
  0 Untuk 0 ,
% √3 ,  b 
  3  3
  0, diperoleh
 1 dan
 1, karena
 1 berada di luar selang, maka
 1 titik stasionernya. Untuk √3 ,
, 3,  b 
  3
  3  0, diperoleh
 1 dan
 1, tetapi
 1 dan
 1 kedua-duanya berada di luar selang. Jadi titik stasionernya adalah
 1 iii.Titik singular, yaitu titik dimana  b 
, yaitu di titik
 √3 karena turunan dari kanan tidak sama dengan turunan dari kiri. Turunan dari kanan:. lim √PT. lim √PT. lim √PT. lim √PT. ==B√PC. √P    P 

. √P B U PC. √P B√PCBQ√PC. √P. lim √PT
B
 √3C  6 Turunan dari kiri. lim √P_. lim √P_. ==B√PC. √P P   

. lim √P_. lim √P_. √P BP U C. √P B√PCB√PQC. √P. lim √P_ 
B
 √3C  6 b. Cek dari titik kritisnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum. i.Untuk
 0, 0  0 ii.Untuk
 3, 3  3P  3.3  18 iii.Untuk
 1, 1  3.1  1P  2 iv.Untuk
 √3, B√3C  0. Jadi titik maksimum adalah 18 dan minimumnya adalah 0..

2. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral À À’ . tentu terlebih dahulu yaitu: lim[ — ∑— ¿¾ ∆
 ·’ 
9
di mana ∆
 ZN 
. a. lim[ — ∑— ZN R`[QPZ S [. P. [.  lim[ — ∑— ZN Á. .   `Q Z Â. Ã. . . [. P. [.  lim ∑— ZN R`QZ∆ S ∆
. [ —. .  lim ∑— ZN R`Q S ∆
. [ —. Ä.  lim ∑— ¿¾ ∆
ZN 
[ —. . S  `Q U sehingga 
  `QU . Karena
Z  ∆
Diketahui 
¿¾   R `Q . Ä. . . Ä. maka untuk  0 diperoleh


 "  0 dan untuk   diperoleh
[  y  P ∆
  [  3. Sehingga dari definisi integral tentu diperoleh. lim[ — ∑— ZN R P. b. Hitung ·

. [. `[QPZ. S.  9
. `QU. P. [.  ·

. P.  9
. `QU. Dengan memakai permisalan   4 
² 9  9
dan. pada saat
 0 Å   4 dan
 3 Å   7, maka P š  š`      š   9   $ ˆ    R S    9
 · ·

`QU. ` cU. `. š. c `. `. ­. š. P. ­. 3. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai definisi harga mutlak, yaitu " 
,
% "$ |
 "|  #
 " $  # ,
 ",
& "
" P untuk soal ini yaitu ·2
 |
 1| 9
, maka 1 
,
% 1$ |
 1|  #
 1 $  #
1
&1
1 Sehingga P  P ·2
 |
 1| 9
 ·2
 1 
 9
 ·2

 1 9
 ·
 1 9
 ·3
 1 9
. $ 
 
ˆ . . . P.  $
 
ˆ P. P.  P.  R  1S  R  1S  R . 9  3S  R  1S  2  12  2  12 4. a. Titik potong kedua grafik:
     2     2  0   2  1  0   2 atau   1 saat   2 maka
 4 , diperoleh 4,2 saat   1 maka
 1, diperoleh 1, 1 . . P.

b.. x=y+2. x = y2. 2. (4,2). -1. f(x). 2. x= 4. -1. x. RL. RD. ∆. c. Disini >n  4    dan >t  4    2 . ∆©  v R4      B4    2C S ∆, maka volumenya adalah.

. · v R4      B4    2C S 9 .  · v `  9   4  129 .  v $RO  O  3   2   12Sˆ. . . . 5. Diketahui  
¡¢£  dan hitung ·. a.. D} D. dari  
¡¢£ .  
¡¢£  ln   ln
¡¢£  ln   sin
ln
D D ln   sin
ln
 D  D}. } D D}. D D}. D. D. . X„. X „ QO. 

­ O. 9
. v.  Rcos
ln
  sin
S .   Rcos
ln
 sin
S . . 
¡¢£  Rcos
ln
 sin
S . . b. · X „ QO 9
misal   I   5 ² 9  I  9
maka X„. · X „ QO 9
 · c 9  ln   i  lnI   5  i X„. .

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2006/2007. (Nilai 16) Sebuah bak air yang alasnya persegi (bujursangkar) akan dibangun untuk menampung 12.000 P air. Penutup bidang atas bak terbuat dari logam A, sementara sisi bidang bak yang lainnya terbuat dari logam B. Jika harga logam A per  dua kali lipat harga logam B per  , tentukan ukuran bak air agar biaya pembuatannya minimum. 2. (Nilai 16) Misalkan f fungsi kontinu dengan daerah asal bilangan real dan daerah hasil interval )0, $∞.$ Diketahui grafik  b sebagai berikut: 1.. f'(x). 1 x. 1. 4. 3. 2. -1. a. Tentukan selang kemonotonan dari grafik f. b. Tentukan titik-titik ekstrim lokal dari f. c. Tentukan selang kecekungan dari grafik f dan titik di mana terjadi perubahan kecekungan. d. Bila diketahui 0  1, 1  0, 3  2 sketsalah grafik f. 3. (Nilai 16) Dengan menggunakan definisi integral tentu (limit jumlah Riemann), hitung  [[Q PZ ·2
 v 9
. Petunjuk: Gunakan
Z  2  dan diketahui ∑[ZN  [. . 4. (Nilai 20) Diketahui ¯
  cos
 . Tentukan fungsi f dan suatu konstanta a agar  . untuk setiap x berlaku ¯
  ·’ J9J 5. (Nilai 16) Misalkan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh   √
,   
 2 dan sumbu-x. a. Gambarkan daerah R. b. Hitung luas daerah R. 6. (Nilai 16) Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh
  dan
 f. Tiap penampang yang tegak lurus sumbu-y berupa setengah lingkaran dengan garis tengah yang melintasi daerah R. Tentukan volume benda tersebut. .

Solusi Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2006/2007. 1. Misal panjang sisi bak tersebut adalah s dan tingginya adalah t, Maka volume bak tersebut adalah ©   J dan luas bahan adalah 2  2   4 J. Misal harga untuk bahan bak tersebut dimisalkan dengan H, maka harga bahan total adalah ÆFºF  





dan Æp  2Æo Æp   Æo 4 J  Æp  . Diketahui ©   J  12000 ² J  U . sehingga ÆFºF  2Æo   Æo 4. 





U.  Æp   3Æo  . `­





. Æo artinya ÆFºF adalah. Æo  3Æo   48000  Æo . fungsi dari s atau dapat ditulis ÆFºF    3Æo   Untuk mencari ukuran supaya harga pembuatannya minimum maka harus dicari ÆFºF b    0. ÆFºF b    6Æo  48000  Æo  0 ² 6Æo  48000  Æo , ' 0 6 P  48000 P  8000 











 20 IJI sehingga J  U  J  `



 30 IJI Sehingga supaya pembuatan bak minimum maka panjang sisinya  20 IJI dan tingginya J  30 IJI 2. Yang diketahui adalah grafik  b a. Untuk melihat selang kemonotonan dari fungsi, terlihat bahwa  b 
 & 0 pada selang ∞, 0 dan selang 1,3 artinya f monoton naik. Lalu terlihat bahwa  b 
 % 0 pada selang 1,1 dan selang 3, ∞ artinya f monoton turun. b. Titik ekstrim terjadi saat titik stasioner  b 
  0 pada
 1 dan
 3.Juga terjadi pada titik singular yaitu  b 
 tidak ada, yaitu saat
 0 c. Cekung atas: ∞, 0, 0,2 dan 4, ∞. Cekung bawah: 2,4. Terjadi perubahan kecekungan atau titik belok yaitu pada
 2 dan
 4. d. `­





. f(x). 1. 0. 1. 2. 3. 4. x.

3. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral À À’ . tentu terlebih dahulu yaitu: lim[ — ∑[ZN 
¿¾ ∆
 ·’ 
9
di mana ∆
 [. Panjang selang adalah ∆
.  [ P.  [ dimana P. " 


 2 ;
  2  [ ;.
  2  2. [ ; …,
Z  2  [ ; …,
[  y  2   [  1. Sehingga P. ¿¾ ∆
·2
 v9
 lim[ — ∑— ZN 
. P. P.  lim[ — ∑[ZN R2 R2  [S  vS [ P. P.  lim[ — ∑[ZN R4   vS [.  lim[ — ∑[ZN R. . ‰. [ ­. . [ . P.  vS P. [. [U.  lim[ — R∑[ZN R S  ∑[ZN R [U S  ∑[ZN R[ vSS.  lim[ — R.  [. [ ­. ­.   [U ∑[ZN  [ vS.  lim[ — R12  [U. ­ [[Q.  lim[ — R12  9. . B[U Q[C [U. P. P.  3vS.  3vS.  lim[ — R12  9  9 [  3vS  12  9  0  3v  3  3v 4. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa D  D  
  ·’ J9J, oleh karena itu 
  ¯ b 
  ·’ J9J. Selain itu didapat b 
. D D. . D.  D Rcos
 S   sin
. Oleh karena itu berlaku    ¯
  cos
  ·’ J9J  ·’  sin
9J  $cos
|’  cos
 cos " .. ¯. . . Maka diperoleh cos "   ² "  . w ‰. "J" "  . w ‰. 5. Diketahui daerah R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh   √
,   
 2 dan sumbu-x a). y = -x + 2 y = √
. ∆y.

a) Sebelum mencari luas kita harus tahu titik perpotongannya terlebih dahulu yaitu: √
 
 2
 √
 2  0 B√
 2CB√
 1C  0 √
 1  0 √
 1 ²
 1 dan   1  2  ·

B2      C9.  $2      P  P ˆ  R2    PS  0  ‰ . . . š. . .

. 6. Diketahui Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh
  dan
 f z. 1. y. partis. R 1 x. x – x2. ∆. y=x. y = x2. Partisinya memiliki diameter yaitu

 , maka volume partisinya (berbentuk tabung   tapi setengah lingkaran) adalah Ʃ   R` v

  S ∆, maka volumenya adalah:. ·

 R` v

  S 9
 .  ·

v
`  2
P 
 9
 ­. .          ­ v $R O    O Sˆ  ­ v R O    O S  `

v . ¨. ³.  .

. ¨. ³.  .

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2007/2008. 1. Sebuah fungsi kontinu f dengan periode v mempunyai sifat-sifat: w • 0  0,  R S  2 , dan 0 , 
 , 2 . •  b 
 & 0 untuk 0 ,
, dan  b 
 % 0 untuk  ,
, v  •  bb 
 % 0 untuk 0 ,
, v w a. Tentukan selang kemonotonan dari f pada interval | , 2v¼ w. w. b. Tentukan selang kecekungan dari f pada interval |. c. Gambarkan grafik f pada interval |. w . , 2v¼. 2. Tentukan solusi dari persamaan differensial. D} DF.  w. . , 2v¼.  3√2J  1;  RS  1 . 3. Tentukan fungsi kontinu 
 jika diketahui ·

 J9J  P
P . U. . 4. Diberikan fungsi ganjil 
 dan fungsi genap 
 dengan ·

|
| 9
 3 dan ·

|
| 9
 2. Tentukan: . . a. ·|
  
| 9
. b. ·| P 

| 9
5. Sebuah partikel bergerak pada sumbu x. Posisi mula-mula berada di titik nol dan grafik kecepatannya, –J adalah fungsi yang terdefinisikan dan grafiknya diberikan oleh gambar di samping. Gunakan informasi yang diberikan untuk menjawab pertanyaanpertanyaan berikut dan beri penjelasan: a. Tenttukan posisi partikel pada saat J  3. b. Selama 9 detik pertama, tentukan saat partikel paling jauh dari titik asal. c. Kapan percepatan partikel bernilai 0? d. Tentukan selang waktu di mana partikel bergerak mendekati titik asal. . v. (3,3). (5,2). (1,1). t (6,0). (9,0). 6. Alas sebuah benda pejal adalah lingkaran
     4. Irisan penampang benda tersebut dangan bidang yang tegak lurus sumbu-x berbentuk segitiga sama sisi. Tentukan volume benda tersebut..

Solusi Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2007/2008. 1. Dari informasi yang diberikan a. Karena merupakan fungsi kontinu dengan periode v, maka pada interval Pw w w | , 2v¼, f monoton naik pada selang |0, ¼ dan |v,  ¼. Sedangkan f monoton . turun pada selang |. w . . , 0¼, |  , v¼ dan |  , 2v¼ Pw. w. b. Fungsi f cekung bawah pada selang | , 0¼, )0, va dan )v, 2va  c. Sketsa kurva w. 2. 0. -π/2. 2. Diketahui. D}. DF . π. π/2. 3π/2. 2π.  3√2J  1;  RS  1. Untuk mencari solusinya misalkan   . √2J  1 ²   2J  1 ² 2 9  29J ²  9  9J. Sehingga: 9  3√2J  1 9J (diintegralkan kedua ruas) · 9  · 3√2J  1 9J · 9  3 · √2J  1 9J · 9  3 ·  . 9   3 ·  9   P  i P. J  B√2J  1C  i dimana  RS  1 maka P.  RS  Á˜2.   1à  i  1 . . . P. 0  i  1 ² i  1, sehingga solusinya adalah J  B√2J  1C  1. 3. Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untuk menentukan turunan fungsi komposit   
  B
C yaitu: b 
   b B
Cb 
. Misalkan   
 
 ² b 
  2
maka.

D. D. B·

 J9JC  D RP
P S c. . b  2
. D. . 
 . 2
 2
. 
  
² 
  √
. Jadi 
  √
fungsi kontinu yang dimaksud.. 4. Diberikan fungsi ganjil 
 dan fungsi genap 
 dengan ·

|
| 9
 3 dan ·

|
| 9
 2. . . a. ·|
  
| 9
.  ·|
| 9
 · 
9
(karena harga mutlak fungsi ganjil adalah fungsi genap)   2 ·

|
| 9
 2 ·


9
 2.3  2.2  6  4  2 . . b. ·| P 

| 9
, karena  P 
 fungsi ganjil dan 
 fungsi genap, maka hasil kali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil juga, oleh karena itu  ·| P 

| 9
 0 5. Diketahui: . v. (3,3). (5,2). (1,1). t (6,0). (9,0). a. Posisi partikel pada saat
 3? Persamaan garis yang melewati 1,1 dan 3,3 adalah –J  J, maka pososi benda adalah: 
J  · –J9J  · J9J   J   i, diberitahu bahwa
0  0, maka
0  0  0  i ² i  0  Sehingga
J  J   b. Pada detik ke-6 karena kecapatan selama 6 detik pertama adalah positif, sehingga partikel bergerak menjauhi titik asal. Tetapi setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal. c. Percepatan nol terjadi saat titik balik kurva kecepatan, yaitu di sekitar J  4 dan J  7. d. Setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal. 6. Lihat gambar berikut ini.

f12  3
. 2f4 
 ∆x. Partisi mempunyai sisi 2√4 
 dan tingginya adalah √12  3
 , maka volume dari partisi tersebut adalah:. ∆©   2√4 
 . √12  3
 ∆
 √4 
 . √12  3
 ∆
 √34 
 ∆
, maka volume benda adalah: . · √34 
 9
.   √3 $R4
 P
P Sˆ.   √3 $R4
 P
P Sˆ. . . . .  √3 †R4.2  P 2P S  R42  P 2P S‡  . . P P. √3.

Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2008/2009. ||. . Tentukan fungsi turunan pertama dan turunan kedua fungsi f, 1. Diketahui 
   kemudian gambarkan grafik fungsi f. 2. Diketahui segitiga sama kaki ABC (lihat gambar) dengan panjang gh  12 dan i<  3. Titik P terletak pada garis CD. Tentukan panjang DP sehingga jumlah kuadrat jarak dari titik-titik sudut segitiga ABC ke titik P maksimum. (Petunjuk: misalkan panjang <  J.) C P 3. D. A ` B√ C. 3. (a) Hitunglah ·. √.  . B. 12. 9
.. (b) Hitunglah ° b 2 jika diketahui °
  · √J  cos vJ 9J. 4. Misalkan D daerah di kuadran I dan II yang dibatasi oleh kurva-kurva  
 1,  
  1, dan sumbu x a) Gambarkan daerah D dan tentukan luas D b) Hitunglah isi benda putar yang terjadi bila derah D diputar mengelilingi garis   1 5. Di sebuah SPBU, terdapat tangki bahan bakar berbentuk tabung (lihat gambar) yang dipendam 3 satuan panjang dari permukaan tanah. Panjang tangki tersebut 6 satuan panjang dan jari-jarinya1 satuan panjang. Pada awalnya, tangki tersebut penuh berisi pertamax dengan berat jenis Ç. Misalkan W menyatakan kerja yang dilakukan berdasarkan gaya berat untuk mengeluarkan setengah isi tangki bagian atas ke permukaan tanah. Rumuskan W dalam bentuk integral tentu tanpa dihitung. U. 3. 1. 6.

Solusi Ujian Tengah Semester 2 (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2008/2009.
,
 0 $ , dimana |
|  # , sehingga 
,
% 0  ,
 0 9"
' 1 ||  $ 
    È  ,
%0. 1. Diketahui: 
 .  b 
 . . bb 
. ||. .      U ,
 0 9"
' 1  U U $   QQ   U  U ,
% 0 U U  

   ³    ,
 0 9" ³. .

U . ³. .      , ³ ||.
%0.
'1. $. Gambar kurva diketahui bahwa 
   tidak terdefinisi di
 1, maka
 1.  1 dan lim —   1, adalah asimptot tegaknya. Lalu untuk
 0 lim —  maka   1 dan   1 adalah asimptot datarnya. Untuk
 0 turunan pertamanya negative, maka 
 fungsi turun, Untuk
% 0 turunan pertamanya positif, maka 
 fungsi naik. Untuk 0 ,
% 1 turunan keduanya negative, maka 
 cekung bawah, untuk
& 1 turunan keduanya positif, maka 
 cekung atas, untuk
% 0, selalu positif, maka 
 cekung atas. ||. ||. f(x). 1. 0. -1. 2. Lihat kembali gambarnya. 1. x.

C P 3. D. A. B. 12. Inginnya g  h  i maksimum, maka g<  <  h<  <  i<  < karena diketahui segitiga sama kaki, maka g<  6, <h  6 dan diketahui <  J, sehingga: 6  J   6  J   3  J  72  2J   9  6J  J   3J   6J  81 Misalkan J  3J   6J  81 Supaya J maksimum maka turunan pertama harus sama dengan nol. l  b J  6J  6  0 ² 6J  6 ² J  1 Maka panjang <  J  1. 3. (a) Hitunglah. ` B√ C · √.  . 9
. Misal   √
 1 √
   1 ²
   1 sehingga d
 2  19 saat
 1 maka   0 dan saat
 4 maka   1, Jadi. l. ` B√C · √.  . 9
 ·

.  c . cQ.     2  19  ·

2P 9  $ ` ˆ    0  . .

. (b) Hitunglah ° b 2 jika diketahui °
  · √J  cos vJ 9J. Misalkan  
. maka b  2
, oleh karena itu ° b 
 . D c · √J D . U.  cos vJ 9J  √  cos v . b  √
  cos v
 2
. ° b 2  √2  cos v. 2 2.2  √5. 4  4√5. 4. Gambar:.

f(x). D adalah daerahnya. D 0. -1. 2. x. -1. Cari titik perpotongannya terlebih dahulu yaitu:
  1 
 1
 
 2  0 
 2
 1  0 maka
 2 atau
 1. Luas  ·
 1  
  19
 ·

  29
 $
  P
P  2
ˆ  . . . . Menghitung Volume: ∆©  v)1 
 1  1 
  1 a∆
Ʃ  v)2 
  
  a∆
 ©  v ·
  4
 4 
` 9
 $v RP
P  2
  4
 O
O Sˆ . . . . . 5. Perhatikan gambar berikut   √1 . š. v. O
. . .  V.

4. 4    4  f1 
. 3. 1. ∆.   f1 
.
 f1    Maka usaha yang diperlukan adalah É  ¯
. ∆É  "" u ®" "K  Ç. 2. f1    . 6. ∆ u 4  . É  ·

12Ç4  f1    9 .

UJIAN AKHIR SEMESTER (MA1122) KALKULUS 1.

Ujian Akhir Semester (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2003/2004. 1. Diketahui 
  U , tentukan:   a. Daerah di mana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta jenisnya (bila ada). b. Daerah di mana grafik f cekung ke atas atau cekung ke bawa dan titik baliknya (bila ada). c. Garis-garis asimtot d. Sketsa grafik f . 9J, tentukan Æ b 2 2. Diketahui Æ
  · √QF ³ 3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva  
 dan   4 a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis   1 4. Diberikan 
  
  1Ê£  . Tentukan  b 
 5. Hitung integral-integral berikut a. · √9  I  9
dengan menggunakan substitusi   √9  I  w b. ·


G 
9
.    `. .

Solusi Ujian Akhir Semester (MA1122) Kalkulus 1. Tahun 2003/2004. 1. Diketahui 
  U   a. Untuk memeriksa f naik atau turun perlu diketahui bahwa f naik untuk daerah  b 
 & 0, f turun untuk daerah  b 
 % 0 dan titik ekstrim terjadi pada titik  stasioner yaitu  b 
  0. Untuk soal ini dimana 
  U dengan
' ¤1   maka .  b 
 . . .B U C.  U U.  U  U  U U.   U.  U . U. , lalu dicek  b 
 & 0 dan  b 
 %. 0. Tetapi kita juga harus lebih kreatif karena 
  1 selalu negatif dan 
  1 selalu bernilai positif maka  b 
 selalu bernilai negatif untuk semua
5 6 kecuali di
' 1. Titik ekstrim untuk soal ini dicek melalui  b 
  0, tetapi karena  b 
 selalu bernilai negatif atau  b 
 % 0 maka nilai ekstrim tidak pernah terjadi. b. Untuk memeriksa f cekung atas atau cekung bawah, perlu diketahui bahwa f cekung atas untuk daerah  bb 
 & 0, cekung bawah untuk daerah  bb 
 % 0 dan titik balik jika  bb 
  0 atau jika terjadi perubahan kecekungan . Diketahui  b 
   U.  bb 
 .  U  U. U. maka. B U C B U C.B U C  U ³. . B U CB U C.  U  .   U.    Q‰. Lalu dicek untuk  bb 
 & 0 dan  bb 
 % 0 maka melalui garis bilangan ++++++++++. -1. 0.  . ++++++++++. 1. Diperoleh :  bb 
 & 0 atau cekung atas pada selang ∞, 1 * 0,1 dan.  bb 
 & 0 atau cekung bawah pada selang 1,0 * 1, ∞. Lalu titik. baliknya  bb 
  0 yaitu  bb 
   U    0 (untuk
' ¤1) diperoleh    Q‰.
 0 sebagai titik baliknya. Atau pada saat
 0 terjadi perubahan kecekungan.. c. Garis asimtot: i. Untuk asimtot tegak diperoleh dengan mencari nilai x yang menyebabkan   nilai y menjadi tak hingga yaitu, 
  U  Q penyebut akan  . bernilai nol saat
 1 "J"
 1, maka diperoleh
 1 "J"
 1 sebagai asimtot tegaknya. ii. Untuk asimtot datarnya diperoleh dengan mencari nilai y saat nilai
∞   dan
∞. lim —  U   0 dan lim —  U   0, maka   0 adalah asimtot datarnya. d. Grafiknya.

y. 0. -1. 2. Diketahui Æ
  ·.    `.    `  9J
· √QF ³. . √QF ³. x. 1. 9J maka dapat ditulis sebagai berikut Æ
 . karena x bukan fungsi dari t. Sebelumnya kita harus tahu terlebih. dahulu Teorema Dasar Kalkulus I diketahui bahwa 
  ·’ J9J dapat ditulis D D Ì J9J  BË
C. Ë b 
. · D ’ c  Sehingga Æ
 
·d √QF U 9J. b b –b. Misal 
 
P  4 dan. juga dimana  Ë
. –
  2
, Dengan aturan   –  – , diperoleh c c  D D b 
 9J 
R·d  
. ·d Æ ³. 9JS. . √QF ³ D √QF D c  c  D ·d √QF ³ 9J 
D R·d √QF ³ 9JS misal.  
 c  ·d. . √QF ³. 9J 
. D. D. R·d ’. . √QF ³. 9J  ·’. À ’ ·’ 
9
  ·À 
 9
, maka d  c  D 9J 
R ·’ √QF ³ 9J  ·d D √QF ³.  ·d. c.  ·. √QF ³.    `. Æ b 
  ·. .    `. Maka Æ b 2 . . 9J 
Í. √QF ³. . ˜QBdC. 9J 
†. 9J 
†. √QF ³   `  ·. √QF ³ 9J. d e . e. fQ³. . ³. fQ³.  2 †. . . . c.  ·’. terdapat a yaitu –
 % " % . √QF ³. c. ce . ˜QBcC. B   `C e. ³. fQ   ` ³ P U. Î. . 9JS. . √QF ³. ‡. ‡. fQ   ` ³ P.U . fQ.³. . D. fQ  ` ³. ‡. 9JS. dengan. sifat.

Æ b 2  ·` 3. (a). `. . √QF ³. 9J  2 R. . √QO‰. . . S  2.. √QO‰. . 

. √Oš.