Garis Singgung Pada HiPerbola

D. Garis

Singgung Pada

HiPerbola

1'erdapat tiga macam garis singgung pada hiperbola, singgung yang diketahui, garis singgung dengan gradien singgung dari suatu

titik di

luar hiperbola.

1.

Garis

singgung dengan koefisien

arah

m

Misal

diketahuri garis g;

y =

^{mx+ ru} ilan hiperbola

+ ^- *=

^1.

^Titik

^potong garis g dan

^0'b'

hiperbola

itu

dapat ditentukan dari persarna;ur berikut.

\ _+=l

22

^{c) brx,} -a.y,

⁼

^(trb, a" b'

*

^b2 x2

-

^{a'7mx + n)2 = a262}

persiu,aan

,.:,,3;;'I,;ji,, [;J" ,;#;::-is ^g

^akan menvinggung hiperbola

jika

diskrintinan persrunaan kuadl'at

ini

sanra dengan nol, yakni

D=4aom)rt: +4(b) -u'm')(cin2 +a'b')=0 <* n'-ct'm' ^+b2 =0

Dengan mensubtitusikan

nilai n ini

ke persamaan garis g, diperoleh persarnaan garis singgung dimaksud, yaitu

!=mx* ^am

⁾²

Perhatikan bahwa garis singgung

ini

hanya akan ada

jika

a2 m2

-

^{b2 >}

⁰

yang berarti

hh aa

hiperbola

('. fL -lv

^-.

^Pl=

^{= 1 dengan koefisien arah rn} adalah sebagai berikut.

Lt' b'

y-P=m(x-d)t"t7Z:b'

2,

Persamaan

Garis

Singgung dengan

Titil.

Singgung

Tertentu

Dengan cara serupa mencari persamarln garis singgung dengan

titik

singgung tertentu pacia ellips, dapat clitunjukkan bahwa persanlaan garis singgung pada hiperbola

* - 4

= t

a2

^b2

dengan

titik

singgung

'I(x, ,!,) T{xr,y,)adalah

sebagai berikut.

xrx !r!'

^,

a'

-=l^b2

yaitu

garis singgung dengan

titik

yang telah ditentukan, dan ^garis

Q n=Y,[u'm'-O'

Geometri Analitik Bidang 58

Dapat ditunjukkan pula bahwa persamaan garis singgung. pada

hiperbola

(' _-

?) .*(v

-

F)'

₌

_I

dengan

titik

singgung 7(x, _, y,

)

adalah sebagai berikut.

o' b'

gr:-d)(x=) _{_(y, - 0)0,-} 0)

_{_ ,}

^z --;l-- -

'

3.

Persamaan

Garis

Singgung yang

Melalui Titik di Luar Hiperbola

Misal

cliketahui

hiperbola +-t.=1

^dan

titik l(x,..y,) di luar

parabola

itu.

Akan

a" b'

ditentukan persamaan garis singgung pada hiperbola

itu dari titik T. Misal titik A(x',y')

adalah

titik

singgungnya. Persamaan garis singgung ciengan

titik

singgung

A

pada iriperbola itu adalah

+- _a' 1+=r . ^...(i)

b2

Karena

A(x',!')

terletak pada hiperbola, maka dipenuhi

x'2

-!'' =r ...(2)

7-7-'

Titik

^{7^(x,} , y, ₎ terletak pada garis singgung, sehingga dipenuhi

,'r,

_{_} ^y' _Z-,

-1 ^,...

a, b2 =1,... ..".,(3)

Dari

persarnaan-persamaan

(1), (2), dan (3) dapat ditentukan

persamaan garis singgung yang dimaksud.

E. Garis Kutub

Misal dikeuhui titik lr (x',!') dan Ar(r",y")

masing-masing adalah

titik

singgung 12 ,,2

pada hiperbola i -+=1.

^sedangkau

^T(x1,),t)

adalah suatu

titik di luar

hiperbola.

a' ^b'

Persamaan

garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung Ar(x',!')

adalah

+ ^!-:+

^{=1 ,} Garis singgung

ini

melalui

titik r(x,,y,)

, sehingga dipenuhi

o' ^b'

{+- _a' /-!,

_bz

=r , ^{... (i)}

Persamaan

garis

singgung pada hiperbola dengan

titik singgung Az(x",!")

adalah

* ^=1.

Garis singgung

ini

melalui

titik I(xpy,),

sehingga dipenuhi

b'

rttrr

₊

Y"!t -1 ()\

a' ^b'

xu2

o'

Geometri Analitik Bidang 59

Dari (1)

drur

(2)

tarnpak bahwa koordinat-koordinat

titik .4r(x',!') 7* Ar(x",y")

nremenuhi persamaan

+-/,+=1. ^{Hal ini berarti} titik-titik A,(x',y') dar Ar(x",y")

dt)

terletak

pada

garis I+- _{++=1. Garis ini}

_disebut

garis kutub titik I(x,,y,)

^terhadap

AD

:l

hiperbola

+ ^- l-

^{= 1 . Dapat} diperlihatkan bahwa

jika

_T pada hiperbola, maka garis kutub

AD

itu

merupakan garis singgung. Jika

T di

luar

hiperbol4

maka garis kutub

itu

akan memtong hiperbola. Sedangkan

jika titik l- di

dalam hiperbola, maka garis kutub

itu

tidak memotong hiperbola.

F. Hiperbola

Sekawan

Perhatikan suatu garis lengkung dengan persarnaan

*-*= _{(t' b'} -l

^atau

*-*= _{ht u'} ^{l. f itik}

potong

garis _-i

=

//,.r

tcrhadap garis lengkung tersebut diperoleh dengan mensr"rbtitnsikan

)'=n':y t* _-t;- ]. =*l,yaitusebagai

^berikut.

d' h'

! +- _u' ^1q3firv2

b-

€) brxl

-

^tt2 7') =

*u'h'

--u ill x =-q

^o

ub tlb=

- ^u'm'

keberadaan

titik

potong garis

y =mx

^{dangaris lengkung}

{ -*=-l

tersebuttergantung

,t' b' nilai

62

-d2rn'

^.

o

^Jika b2

- u'nt'

^>

⁰

^atau

^*!- . *.

^D

,

maka terdapat dua

titik

potong yang berlainan.

ua

o Jika br -a'm' <0, ^{yang berarti} *r!- atau *.-!, tidak

mempu,ryai

titik

aa

potong atau

titik

potongnya khayal (imajiner).

o Jika

b 2

*

_tt2

m:

₌

0

atau

,,

₌

!,

_maka

titik-titik

potongnya di jauh tak hingga.

(l

GeomehiAnalitik Bidang 66

Jikax=t4,makay=r*.Jadi,titikpotonggariS!=mx

y

b: - u'nt'

tf

b' - ^u'm'

Garis lengkung

+ -*=*l

^merupakan hiperbola yang memotong sumbu

Y di titik a' h'

(0,

t b) ^dan tidak memotong sumbu X. Dalam hal ini. sumbu X ^s.bagai

^sunrbu

imajinernya.

Persamaan susunan

asimtut hiperbola ini adalah 4 ^- *: ^g.

^{Dengan kara}

ct- h'

lain,

asimtut-asimtutnya adalah

y=Lr _aa ^dan _, =-Lr.

^Fokus

^{hiperbola ini}

^{adalah adalah}

4(0,c) dan ^Fr(0,-c). Garis-garis

arahnya

adalah y =b2 cc ^{dan y} =-b2.

^Sedangkan

eksenterisitasnya adalah e =

I

b

Hiperbola-hiperbola

* - 1=

^{1 dan}

* - *= -1

^pada

^stntu

^susunan sumbu disebut

,2

h2

-'

o2

^b2

hiperbola sekawan. Perhatikan gambar berikut.

Gambar VI.

⁴

Jika

pada suatu

hiperbola ,,,,h { -4=1, a:,}.

nraka persamaan hiperbola

itu

adalah

*2

* y2

₌

12.

^Hiperbola yang clemikian clisebut hiperhola

sontosisi

iitau sering.iuga disebut

hiperbola orthogonal, karena asimtut-asimtutnya saling tegak lurus. .lika

lingkaran merupakan keadaan khtrsus

dari ellips, maka hiperbola orthogonai

merupakan keadaan khusus dari hiperbola.

Geometri Analitik Bidang 61 7'(:, . }, )