Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini?
Sumber: www.google.co.id Gamba
Gamba Gamba
Gambar r r r 8888.1 .1 .1 .1 lingkaran menyinggung suatu daerah datarlingkaran menyinggung suatu daerah datarlingkaran menyinggung suatu daerah datarlingkaran menyinggung suatu daerah datar
Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien , persamaan garis singgung melalui titik
, pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik , di luar lingkaran.
KEGIATAN BELAJAR 8
Garis Singgung Lingkaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran.
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Masalah Masalah Masalah Masalah 8888.1.1.1.1
Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini.
Gamba Gamba Gamba
Gambar r r r 8888.2 lingkaran dengan pusat .2 lingkaran dengan pusat .2 lingkaran dengan pusat .2 lingkaran dengan pusat , jarijarijarijari----jari jari jari jari dandandandan Menyinggung
Menyinggung Menyinggung Menyinggung garisgarisgarisgaris
Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut?
AA
AA.... Menentukan Persamaan Garis Singgung LingkaranMenentukan Persamaan Garis Singgung LingkaranMenentukan Persamaan Garis Singgung LingkaranMenentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di Berpusat di Berpusat di Berpusat di , dan dan dan dan
, bergradien bergradien bergradien bergradien ....
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan , bergradien lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.
Gamba GambaGamba
Gambar 8r 8r 8r 8.3 lingkaran dengan pusat .3 lingkaran dengan pusat .3 lingkaran dengan pusat .3 lingkaran dengan pusat , jarijarijari----jari jarijari jari jari dan sebuah garis di dan sebuah garis di dan sebuah garis di dan sebuah garis di luarnya
luarnya luarnya luarnya
Kegiatan Kegiatan Kegiatan
Kegiatan 8888.1. Gradien garis singgung diketahui d.1. Gradien garis singgung diketahui d.1. Gradien garis singgung diketahui d.1. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0)an lingkaran berpusat di (0,0)an lingkaran berpusat di (0,0)an lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya:
1. potonglah antara lingkaran + = dan garis = + sebagai berikut.
2. + =
= + dipotongkan
3. Subsitusikan garis = + ke persamaan lingkaran + = sehingga diperoleh:
+ + =
+ + 2 + =
1 + + 2 + − = 0
4. Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .
Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12) mempunyai nilai:
• Diskriminan % positif atau % > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong lingkaran + = pada dua titik.
• % < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis
= + tidak memotong lingkaran + = atau garis =
berada di luar lingkaran.
• % = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis =
+ menyinggung lingkaran + = pada suatu titik.
5. Agar garis = + menyinggung lingkaran + = , maka ambil
% = 0, yaitu:
2− 41 + − = 0 4− 4+ 4− 4+ 4= 0
−4+ 4+ 4= 0
−4− − = 0
− 1 + = 0
= ±*1 +
Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran + = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu:
+ = , + *- + . / 0 + = , − *- + .
Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung lingkaran − + − = dengan gradien . Geser titik pusat lingkaran 10, 0 ke titik , .
…(12)
…(13)
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Akibatnya persamaan garis singgung = + √1 + bergeser menjadi
− = − + √1 + atau = − + − √1 + )
Dan persamaan garis singgung = − √1 + bergeser menjadi
− = − − √1 + atau = − + − √1 + .
Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran
− + − = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis
= + memiliki dua buah garis singgung yaitu:
+ − = , − + *- + . / 0 + − = , − − *- + . B
B B
B.... Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ,-, +- Pada Pada Pada Pada Lingkaran yang berpusat di
Lingkaran yang berpusat di Lingkaran yang berpusat di
Lingkaran yang berpusat di , dan dan dan , dan
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan , yang melalui titik , lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.
Kegiatan Kegiatan Kegiatan
Kegiatan 8888.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada .2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada .2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada .2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0)
lingkaran berpusat di (0,0) lingkaran berpusat di (0,0) lingkaran berpusat di (0,0)
1. Misalkan persamaan lingkaran + = dan titik 3, dan 4, yang terletak pada lingkaran.
2. Sehingga persamaan garis BC adalah + − +-
+.− +- = , − ,-
,.− ,- 5657 + − +-= +.− +-
,.− ,-, − ,-
3. Karena titik 3, dan 4, berada pada lingkaran maka berlaku persamaan berikut
+ = dan + =
Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan
− + − = 0 → − = −
atau
− = −−
− + = −− +
+.9+-
,.9,- = −+,.:,-
.:+-
4. Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh:
y − y = <?=9<>
=9?>x − x
A − A- = −B.+ B-
A.+ A-B − B-
…(14)
…(15)
…(16)
…(17)
5. Apabila titik 4, bergerak mendekati titik 3, , sehingga titik 4, dan 3, berimpit, dan garis 34 akan menjadi garis singgung lingkaran di titik 3, , akibatnya = dan = .
Sehingga persamaan (18) menjadi:
y − y = −x+ x
y+ y x − x y − y = −2x
2yx − x kalikan semuanya dengan
− = − +
+ = +
+ =
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik 3, pada lingkaran
+ = adalah:
,,-+ ++- = .
Perhatikan perubahan persamaan lingkaran + = menjadi:
+ = kita menggunakan kaidah membagi adil.
Kaidah Membagi Adil:
Kaidah Membagi Adil:
Kaidah Membagi Adil:
Kaidah Membagi Adil:
Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik , . Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut:
diubah menjadi
diubah menjadi
− H diubah menjadi − H − H
− 3 diubah menjadi − 3 − 3
diubah menjadi +
diubah menjadi +
Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran 10, 0 ke , seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.
…(18)
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar 8 Gambar 8 Gambar 8
Gambar 8.4 Tranlasi (0,0) ke (a,b).4 Tranlasi (0,0) ke (a,b).4 Tranlasi (0,0) ke (a,b).4 Tranlasi (0,0) ke (a,b)
Maka persamaan garis singgung + = atau
− 0 − 0 + − 0 − 0 = berubah menjadi:
− − + − − =
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran − + − = dengan titik singgung , adalah:
,-− , − + +-− + − = .
Dengan menggunakan Kaidah Membagi AdilKaidah Membagi AdilKaidah Membagi AdilKaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik , pada lingkaran
+ + H + 3 + 4 = 0 adalah:
,-, + +-+ + -.I, + ,- + -.J+ + +- + K =
C C C
C.... Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik ,-, +- di Luar di Luar di Luar di Luar Lingkaran
Lingkaran Lingkaran Lingkaran
Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik , di luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda.
Kegiatan 8 Kegiatan 8 Kegiatan 8
Kegiatan 8.3.3.3.3.... Menentukan Kuasa Titik Menentukan Kuasa Titik Menentukan Kuasa Titik Menentukan Kuasa Titik L,-, +- Terhadap Lingkaran Terhadap Lingkaran Terhadap Lingkaran Terhadap Lingkaran ,.+ +. = .
Jika titik , terletak di luar lingkaran yang berpusat di 10, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:
…(19)
…(20)
Gambar 8 Gambar 8Gambar 8
Gambar 8.5 Titik di Luar Lingkaran.5 Titik di Luar Lingkaran.5 Titik di Luar Lingkaran .5 Titik di Luar Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik M, tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah:
1. Titik M, berada di luar lingkaran + = .
2. Dari titik M dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu N dan O.
Garis N menyinggung lingkaran di PQ, Q; garis O menyinggung lingkaran di R, . Jadi, titik M merupakan titik potong garis singgung O dan N.
3. Tentukan persamaan garis singgung MR dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu + = . Titik M, pada MR, sehingga diperoleh + = . Itu berarti 3, pada garis
+ = ….(1)
4. Tentukan persamaan garis singgung MP dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh Q + Q = . Itu berarti 4Q, Q pada persamaan + = ….(2)
5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis RP (garis penghubung antara titik R dan P) yaitu + = , yang juga di sebut garis kutub atau garis polar dari titik H, terhadap lingkaran +
= adalah
,-, + +-+ = . Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula:
1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik M, terhadap lingkaran
− + − = adalah
,-− , − + +-− + − = .
…(21)
…(22)
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik M, terhadap lingkaran
+ + 2H + 23 + 4 = 0 adalah
,-, + +-+ + I,-+ I, + J+-+ J+ + K =
Kegiatan 8 Kegiatan 8 Kegiatan 8
Kegiatan 8.4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik .4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik .4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik .4. Menentukan persamaan garis singgung dari titik L,-, +- di luar di luar di luar di luar lingkaran baik yang berpusat di
lingkaran baik yang berpusat di lingkaran baik yang berpusat di
lingkaran baik yang berpusat di , maupun yang berpusat di maupun yang berpusat di maupun yang berpusat di maupun yang berpusat di L , diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Membuat garis kutub (polar) dari titik M terhadap lingkaran.
2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran.
3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut.
DD
DD.... Kuasa Lingkaran Kuasa Lingkaran Kuasa Lingkaran Kuasa Lingkaran Masalah 8
Masalah 8 Masalah 8 Masalah 8.2.2.2.2
Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula.
Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya.
Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:
…(23)
Gambar 8 Gambar 8 Gambar 8
Gambar 8.6 titik pada garis .6 titik pada garis .6 titik pada garis sisi lapangan.6 titik pada garis sisi lapangansisi lapangan sisi lapangan
E E E
E.... Kuasa Titik Terhadap LingkaranKuasa Titik Terhadap LingkaranKuasa Titik Terhadap LingkaranKuasa Titik Terhadap Lingkaran Definisi 2.1:
Definisi 2.1:
Definisi 2.1:
Definisi 2.1:
Misalkan persamaan lingkaran S, = + = dan titik T, .
Kuasa titik T, terhadap lingkaran S adalah suatu konstanta dengan
= S, = + − .
Ada tiga jenis kemungkinan nilai , yaitu:
• > 0, berarti titik T, di luar lingkaran S ≡ + =
• = 0, berarti titik T, pada lingkaran S ≡ + =
• < 0, berarti titik T, di dalam lingkaran S ≡ + =
Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini.
Kegiatan Kegiatan Kegiatan
Kegiatan 8888.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran
1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat M, jari-jari , satu titik diluar lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar 8 Gambar 8 Gambar 8
Gambar 8.7 Titik di Luar Lingkaran.7 Titik di Luar Lingkaran.7 Titik di Luar Lingkaran.7 Titik di Luar Lingkaran
2. Pada gambar di atas dapat dilihat melalui titik V dapat ditarik banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran dititik R dan P.
Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa:
|VH||VH| = |V3||V3| = |V4||V4| = |VP|= |VR|= |VM|− . Maka hasil kali ini disebut kuasa titik V terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik V terhadap lingkaran tersebut. Misalkan V, dan persamaan lingkaran adalah + + H + 3 + 4 = 0 dengan pusat M X−H, −3Ydan kuadrat jari-jarinya adalah =ZH+Z3− 4.
Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah
|V4||V4| = |VM| − |VM| +
= |VM|− = [+1
2 H\
+ [+1 2 3\
− = + + H+ 3+ 4
Jadi, kuasa titik V, pada lingkaran adalah + + H + 3 + 4 = 0 adalah + + H+ 3+ 4. Kuasa suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran.
Jika persamaan lingkaran dalam bentuk S ≡ − + − = , maka kuasa titik V, terhadap S adalah:
^ = ,-− .+ +-− .− . …(24)
F FF
F.... Garis KuasaGaris KuasaGaris KuasaGaris Kuasa
Sudut perpotongan dua lingkaran Sudut perpotongan dua lingkaran Sudut perpotongan dua lingkaran
Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgung- garis singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut.
Gambarkan dua lingkaran S dan S yang masing-masing berpusat di 1
dan 1. Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik H dan 3.
Gambar GambarGambar
Gambar 8888.8.8.8.... perpotongan antara dua lingkaran.8 perpotongan antara dua lingkaranperpotongan antara dua lingkaranperpotongan antara dua lingkaran
11 adalah sentral ke dua lingkaran. Garis 1H (atau garis N) adalah garis singgung lingkaran S dan garis 1H (atau garis N) adalah garis singgung lingkaran S. Misalkan _ adalah sudut antara S dan S (yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung 1H dan 1H).
GG
GG.... Titik KuasTitik KuasTitik KuasTitik Kuasaaaa
Misalkan T, T, TQ adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titikkuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini.
Dilambangkan dengan:
T= T= TQ atau `T− T= 0 T− TQ= 0 T− TQ= 0
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Gambar Gambar Gambar
Gambar 8888.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa .9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa
Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.
1. Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik pusat O(0,0) adalah
+ = , + √- + . dandandan + = , − √- + dan .
2. Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik (a,b) adalah
+ − = , − + √- + . dandandandan + − = , − − √- + .
3. Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik , yang berpusat di O(0,0) adalah
,-, + +-+ = .
4. Persamaan garis singgung lingkaran − + − = di titik
, yang berpusat di (a,b) adalah
,-− , − + +-− + − = .
5. Persamaan garis singgung lingkaran + + H + 3 + 4 = 0 di titik
, yang berpusat di (a,b) adalah ,-, + +-+ +-
. I, + ,- +-
. J+ + +- + K =
6. Lingkaran dengan pusat M membagi dua lingkaran M, maka ∆MMH siku- siku, sehingga |L-L.|.= -.− ......
