Persamaan Lingkaran Dan Garis Singgung Lingkaran

(1)

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran

Tujuan Pembelajaran Kompetensi Dasar : Kompetensi Dasar :

- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan - Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.

masalah.

Standar Kompetensi : Standar Kompetensi :

Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat : Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat : - merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b). - merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).

- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui. - menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui. - menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu. - menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.

- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. - menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. - menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui. Pengertian Irisan Kerucut

Pengertian Irisan Kerucut

Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.

dan Rene Descartes. Materi

Materi A. Persa

A. Persamaan Lingmaan Lingkarankaran

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r 1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r

(2)

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran.

Titik P’

Titik P’ adalah proyeksi titik P pada

adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga

sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga

siku-siku-siku di P’.

siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka

OP =√OP’)2+(PP’)2

Substitusi OP = r,

OP’= x dan PP’ = y

r = √x2+y2

r2 = x2 + y2 r2 = x2 + y2 x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2

Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :

semua titik, sehingga :

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah : Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah : x2+y2 = r2

x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r 2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

(3)

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis

g adalah P’, sehingga ΔAP’P

g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segiti

adalah segiti

ga siku-ga siku-siku di dengan AP’ = x –

siku di dengan AP’ = x – a, PP’

a, PP’

= y

= y –

–

b dan AP = r (jari-jari lingkaran).b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :

AP = √(AP’)2 + (

AP = √(AP’)2 + (PP’)2

PP’)2

r2 = √(x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2b)2 r2 = (x

r2 = (x –

–

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2b)2 (x

(x –

–

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x

–

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2 berlakub)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :

untuk semua titik, sehingga :

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah : Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah : (x

(x –

–

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2b)2 = r2

B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Bentuk baku persamaan lingkaran :

Bentuk baku persamaan lingkaran :

● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari

-jari r :-jari r :

L ≡ x2+y2 = r2

● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari

-jari r :-jari r :

L ≡ (x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya : Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya : Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah

Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah

L ≡ (x –

1)2 + (y1)2 + (y –

–

2)2 = 162)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :

dan pangkat turun, diperoleh :

L ≡ (x –

1)2 + (y1)2 + (y –

–

2)2 = 162)2 = 16

L ≡ (x2 –

(4)

L ≡ x2 + y2 –

2x2x

–

4y4y

–

11 = 1611 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan : Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real) atau

atau

Ax2 + Ay2 + Bx +

Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C,

Cy + D = 0 (A, B, C, D bilang

D bilangan bulat A ≠

an bulat A ≠ 00

2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran 2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran

Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah

lingkaran diketahui adalah

L ≡ x2 + y

2 + Ax + By2 + Ax + By

–

C = 0C = 0

L ≡ (x2 + Ax + A2) –

A2 + (y2 + By + B2)A2 + (y2 + By + B2)

–

B2 + CB2 + C 4 4 4 4 4 4 4 4

L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2

- C- C 4 4 4 4 4 4 4 4

Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan : Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :

● Pusat lingkaran di (

-A)-A) B

B

● Jari

--

jari lingka

jari lingkaran r = √A2 + B

ran r = √A2 + B22

- C- C 4 4

4 4

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada 1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

(5)

● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari

-jari r -jari r Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut : Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut : 1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1 1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1 x1

x1

2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya 2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya mg = -1 = -1 = -x1

mg = -1 = -1 = -x1 Mop y1 y1

Mop y1 y1

3. Persamaan garis singgung g : 3. Persamaan garis singgung g : y y

–

y1 = mg (xy1 = mg (x

–

x1)x1) y y

–

y1 = x1 (xy1 = x1 (x

–

x1)x1) y1 y1 y1y

y1y

–

y12 = - x1x + x12y12 = - x1x + x12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = r2

x1x + y1y = r2 Jadi,

Jadi,

persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1,

y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :

y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus : x1x + y1y = r2

x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari

(6)

Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b

1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b x1 - a

x1 - a

2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g 2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah adalah mg = -1 = - x1 - a mg = -1 = - x1 - a Map - y1 - b Map - y1 - b

3. Persamaan garis singgung g adalah : 3. Persamaan garis singgung g adalah : y y –

–

y1 = mg (xy1 = mg (x –

–

x1)x1) y y –

–

y1 = - x1 - ay1 = - x1 - a - y1 - a - y1 - a (y

(y

–

y1) (y1y1) (y1

–

b) =b) =

–

(x1(x1

–

a) (xa) (x

–

x1)x1) y1y

y1y –

–

y12y12 –

–

by + b y1 =by + b y1 = –

–

(x1x(x1x –

–

axax –

–

x12 + ax1)x12 + ax1) x1x

(7)

x1x

x1x –

–

ax + ax1 + y1yax + ax1 + y1y –

–

by + b y1 = x12 + y12 ...(*)by + b y1 = x12 + y12 ...(*)

Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2, makab)2 = r2, maka berlaku :

berlaku : (x1

(x1 –

–

a)2 + (y1 –a)2 + (y1

–

b)2 = r2b)2 = r2 x12

x12

–

2ax1 + a2 + y122ax1 + a2 + y12

–

2by1 + b2 = r22by1 + b2 = r2 x12 + y12 = 2ax1

x12 + y12 = 2ax1

–

a2 + 2by1a2 + 2by1 –

–

b2 + r2b2 + r2 substitusi x12 + y12 = 2ax1

substitusi x12 + y12 = 2ax1

–

a2 + 2by1a2 + 2by1 –

–

b2 + r2 ke (*), diperoleh :b2 + r2 ke (*), diperoleh : x1x

x1x –

–

ax + ax1 + y1yax + ax1 + y1y –

–

by + b y1 = 2ax1by + b y1 = 2ax1 –

–

a2 + 2by1a2 + 2by1 –

–

b2 + r2b2 + r2 (x1x

(x1x –

–

ax + ax1ax + ax1 –

–

2ax1 + a2) + (y1y2ax1 + a2) + (y1y –

–

by + b y1by + b y1 –

–

2by12by1 –

–

b2) = r2b2) = r2 (x1x

(x1x –

–

axax –

–

ax1 + a2) + (y1yax1 + a2) + (y1y

–

byby –

–

b y1 + b2) = r2b y1 + b2) = r2 (x1

(x1 –

–

a) (x –a) (x

–

a) + (y1a) + (y1 –

–

b) (yb) (y –

–

b) = r2b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1

yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1

–

a) (xa) (x –

–

a) + (y1a) + (y1 –

–

b) (yb) (y –

–

b) = r2b) = r2 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui

● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari

-jari r -jari r

1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n 1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n 2. Substitusi y =

2. Substitusi y =

mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :

x2 + (mx + n)2 = r2 x2 + (mx + n)2 = r2 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2 (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2

–

r2) = 0r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2

–

r2) = 0 adalahr2) = 0 adalah D = (2mn)2 D = (2mn)2 –

–

4(1+ m2) (n24(1+ m2) (n2 –

–

r2)r2) D = 4 m2n2 D = 4 m2n2 –

–

4(m2n24(m2n2 –

–

m2r2 + n2m2r2 + n2 –

–

r2)r2) D = 4 m2n2 D = 4 m2n2 –

–

4 m2n2 + 4m2r24 m2n2 + 4m2r2 –

–

4n2 + 4r24n2 + 4r2 D = 4 (m2r2 D = 4 (m2r2 –

–

n2 + r2)n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. 3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. 4 (m2r2 4 (m2r2 –

–

n2 + r2) = 0n2 + r2) = 0 m2r2 m2r2 –

–

n2 + r2 = 0n2 + r2 = 0 n2 = r2 (1 + m2) n2 = r2 (1 + m2)

n = ± r √1 + m2

Substitus

Substitusi n = i n = ± r ± r

√1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r

√1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan

gradien m adalah

y = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari

-jari r -jari r

1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n 1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n

2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 = r2,b)2 = r2, diperoleh :

(8)

(x

(x –

–

a)2 + (mx + na)2 + (mx + n –

–

b)2 = r2b)2 = r2 x2

x2 –

–

2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx

–

2bmx2bmx –

–

2bn2bn –

–

r2 = 0r2 = 0 (1 + m2)x2

(1 + m2)x2 –

–

2(a2(a –

–

mn + bm)x + (a2 + n2 + b2mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 –

–

2bn2bn –

–

r2)= 0r2)= 0 Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah D = {

D = {

–

2(a2(a –

–

mn + bm)}2 –mn + bm)}2

–

4 (1 + m2)(a2 + n2 + b24 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 –

–

2bn2bn –

–

r2)r2) D = 4(a

D = 4(a –

–

mn + bm) 2mn + bm) 2 –

–

4(1 + m2)(a2 + n2 + b24(1 + m2)(a2 + n2 + b2 –

–

2bn2bn –

–

r2)r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0 3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0 4(a

4(a –

–

mn + bm) 2mn + bm) 2 –

–

4(1 + m2)(a2 + n2 + b24(1 + m2)(a2 + n2 + b2 –

–

2bn2bn –

–

r2) = 0r2) = 0 (a

(a –

–

mn + bm) 2 –mn + bm) 2

–

(1 + m2)(a2 + n2 + b2(1 + m2)(a2 + n2 + b2

–

2bn2bn –

–

r2) = 0r2) = 0 a2 + m2n2 + b2m2

a2 + m2n2 + b2m2

–

2amn + 2abm2amn + 2abm –

–

2bm2n2bm2n –

–

a2a2 –

–

n2n2 –

–

b2 + 2bn + r2b2 + 2bn + r2

–

a2m2a2m2 –

–

m2n2

m2n2 –

–

b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0

–

2amn + 2abm2amn + 2abm –

–

n2n2 –

–

b2 + 2bn + r2b2 + 2bn + r2 –

–

a2m2 + m2r2 = 0a2m2 + m2r2 = 0 2amn

2amn –

–

2abm + n2 + b22abm + n2 + b2 –

–

2bn2bn –

–

r2 + a2m2r2 + a2m2 –

–

m2r2 = 0m2r2 = 0 (n2 + a2m2 + b2 + 2amn

(n2 + a2m2 + b2 + 2amn

–

–2bn

2bn –

–

2abm)2abm) –

–

r2 (1+ m2) = 0r2 (1+ m2) = 0 (n + am (n + am –

–

b)2 = r2 (1+ m2)b)2 = r2 (1+ m2) (n + am (n + am –

– b) = r √1 + m2

b) = r √1 + m2

n = ( n = (

–am + b) ± r√

–am + b) ± r√1 + m2

1 + m2

4. Substitusi n = (

–

–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh

am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx + (

y = mx + (

–am + b) ±

–am + b) ± r √1 + m2

r √1 + m2

(y

(y –

–

b) = m(xb) = m(x –

– a) ± r √1 + m2

a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x –

a)2 + (ya)2 + (y –

–

b)2 =b)2 = r2 dengan gradien m adalah

r2 dengan gradien m adalah (y

(y –

–

b) = m(xb) = m(x –

– a) ± r√1 + m2

a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran

Lingkaran

Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1.

Langkah 1.

Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y

adalah y –

–

y1 = m(xy1 = m(x –

–

x1) atau y = mxx1) atau y = mx –

–

mx1 + y1mx1 + y1 Langkah 2.

Langkah 2. Substitus

Substitusikan y = ikan y = mxmx –

–

mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperolehmx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

kuadrat gabuangan itu dihitung. Langkah 3.

Langkah 3.

Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.

= 0 diperoleh nilai-nilai m.

Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx

–

mx1 + y1,mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta. sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

(9)

Contoh :

Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)

3,5)

Penyelesaian : Penyelesaian :

Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah

r = √(

--

3)2 + 52 = √34

r2 = 34 r2 = 34 Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2 Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 34 x2 + y2 = 34

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah

adalah

L ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)

3,5)

(10)

Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25 Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25 Persamaan lingkarannya :

Persamaan lingkarannya : (x

(x

–

2)2 + (y2)2 + (y

–

4)2 = 254)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 3. Tentukan pusat dan

jari-3. Tentukan pusat dan jari-

jari ling

jari lingkaran L ≡ x2 +

karan L ≡ x2 + y2 + 4x –

y2 + 4x –

10y + 13 = 010y + 13 = 0 Penyelesaian :

Penyelesaian :

L ≡ x2 + y2 + 4x –

10y + 13 = 010y + 13 = 0

L ≡ (x + 4x)2

+ (y2+ (y2

–

10y) = - 1310y) = - 13

L ≡ (x2 + 4x + 4) –

4 + (y2 + 4x4 + (y2 + 4x

–

10y + 25)10y + 25)

–

25 = - 1325 = - 13

L ≡ (x + 2)2 + (y

L ≡ (x + 2)2 + (y ––

5)2 = 165)2 = 16

Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 +

4x

–

10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 410y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4 Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui

titik (-3,2)

Penyelesaian : Penyelesaian : Titik (3,2); x1 =

-Titik (-3,2); x1 = -

3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13

Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13

Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13 -3x + 2y = 13

-3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x –

3)2 + (y + 1)2 = 253)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)

yang melalui titik (7,2) Penyelesaian :

Penyelesaian :

Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x –

3)2 + (y + 1)2 = 253)2 + (y + 1)2 = 25 Persamaan garis singgungnya : (7

Persamaan garis singgungnya : (7

–

3)(x3)(x

–

3) + (2 + 1)(y +1) = 253) + (2 + 1)(y +1) = 25 4x

4x

–

12 + 3y12 + 3y

–

34 = 2534 = 25 4x + 3y

4x + 3y

–

34 = 034 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x –

3)2 + (y + 1)2 = 25 yang3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y

melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y

–

34 = 034 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika

diketahui mempunyai gradien 3.

diketahui mempunyai gradien 3. Penyelesaian :

Penyelesaian :

Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari

-jari r = 4, mempunyai-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.

gradien m = 3.

Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2

y = 3x ± 4√10

y = 3x + 4√10 atau 3x –

y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10

4√10

Jadi, persamaan garis singgung pada ling

karan L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien

m = 3 adalah

y = 3x + 4√10 dan 3x –

y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x –

1)2 + (y + 2)2 = 9 yang1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12

(11)

Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x

–

1) ±1) ±

3√(1 + (5/12)2

(y + 2) = 5/12(x (y + 2) = 5/12(x

–

1) ± 39/121) ± 39/12 12y + 24 = 5x 12y + 24 = 5x

–

5 ± 395 ± 39 5x 5x

–

12y12y

–

29 ± 39 = 029 ± 39 = 0 5x

5x

–

12y12y

–

10 = 0 dan 5x10 = 0 dan 5x

–

12y12y

–

68 = 068 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x –

1)2 + (y + 2)2 = 9 yang1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah

mempunyai gradien m = 5/12 adalah 5x

5x

–

12y12y

–

10 = 0 dan 5x10 = 0 dan 5x

–

12y12y

–

68 = 068 = 0

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS

SINGGUNG LINGKARAN

{ Desember 24, 2009 @

{ Desember 24, 2009 @ 12:00 pm12:00 pm } · } · {{ UncategorizedUncategorized }}

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

LINGKARAN

1.

1. Persamaan lingkaranPersamaan lingkaran 1.

1. DefenisiDefenisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.

tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.

Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari. Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari. Beberapa formula menentukan jarak

Beberapa formula menentukan jarak

1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh 1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh

2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh 2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

1.

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari rPersamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari: Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari: Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4 b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

b. Pusat di 0 (0,0) dan r = 1.

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari rPersamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

(12)

Contoh: Contoh:

1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini 1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini Pusat (4, 3) dan jari-jari=6

Pusat (4, 3) dan jari-jari=6

Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36 Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36 Persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran (x-4)2+(y-3)2 = 36 (x-4)2+(y-3)2 = 36

2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini 2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)

Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)

Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7) Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7) Persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25 3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25 Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x

_–

a )2 + ( ya )2 + ( y

_–

b )2 = r2b )2 = r2 Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x

Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x

–

a )2 + ( ya )2 + ( y

–

b )2 = r2 dilakukanb )2 = r2 dilakukan

dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:

nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut: 1. P (c, d ) didalam lingkaran L 1. P (c, d ) didalam lingkaran L 2. P (c, d ) pada lingkaran L 2. P (c, d ) pada lingkaran L 3. P (c, d ) diluar lingkaran L 3. P (c, d ) diluar lingkaran L Contoh 01 : Contoh 01 :

Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.

terhadap lingkaran yang disebut. a. P(1, 1) dan lingkaran a. P(1, 1) dan lingkaran Jawaban; Jawaban; P(1, 1) dan P(1, 1) dan

Jadi titik P (1, 1) terlatak Jadi titik P (1, 1) terlatak Contoh 02:

Contoh 02:

Tentukan batas-batas nilai a agar Tentukan batas-batas nilai a agar

a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

1.

1. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARANBENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN 1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran 1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran

Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3

4) dan berjari-jari = 3 Jawaban:

Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0 Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0 2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

(13)

1) T(p, q) didalam lingkaran 1) T(p, q) didalam lingkaran 2) T(p, q) pada lingakaran L 2) T(p, q) pada lingakaran L 3) T(p, q) diluas lingkaran 3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K

_–

3.23.2

_–

10 > 010 > 0 = K2 + 4 K = K2 + 4 K

–

12 > 012 > 0 = ( k + 6 ) ( K = ( k + 6 ) ( K

_–

2 ) > 02 ) > 0 = k < -6 atau K > 2 = k < -6 atau K > 2

3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r 3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0

i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0 ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan

ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan - Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r

- Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r

_–

APAP

- Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A - Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran

kepusat lingkaran

iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan - Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP

- Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP

_–

rr - Jarak terjauh = AC = =

- Jarak terjauh = AC = = 1.

1. Kedudukan garis terhadap lingkaranKedudukan garis terhadap lingkaran

Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2

berdasarkan diskriminasi D = b2

–

4 ac4 ac

i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran

ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran

iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2

y=3x+2

Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0 Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0 Hasil test diskriminan D = 132

Hasil test diskriminan D = 132

_–

14 x 10 x 314 x 10 x 3 = 169 = 169

_–

120120 = 49 > 0 = 49 > 0 Kesimpulan: Kesimpulan:

Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan. Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan. 2.

2. Persamaan garis singgung lingkaranPersamaan garis singgung lingkaran

(1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, (1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L

Y1) pada lingkaran L

a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r X1X + Y1Y= r2

X1X + Y1Y= r2 Contoh:

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2) Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2) Jawaban:

Jawaban:

Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x

_–

2y2y

_–

5 = 05 = 0 b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r (x1

(14)

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)

3, 1)

Jawaban: Persamaan garis singgung Jawaban: Persamaan garis singgung ( -3 -1) (x ( -3 -1) (x

–

1) + ( a1) + ( a

–

4 )( y4 )( y

–

4 ) = 254 ) = 25 -4 ( x -4 ( x

_–

1) -3 (y1) -3 (y

_–

4) -25 = 04) -25 = 0 -4x + 4 -3x + 12 -4x + 4 -3x + 12

_–

25 = 025 = 0 -4x -4x

_–

3 y3 y

_–

9 = 09 = 0 4x + 3y + 9 = 0 4x + 3y + 9 = 0

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0

+ 3y + 9 = 0

c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0 c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

1.

1. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m) i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).

tertentu (m).

Dengan mensubtitusikan x menjadi (x

_–

a) dan y menjadi ( ya) dan y menjadi ( y

_–

b) pada persamaan garisb) pada persamaan garis singgung di peroleh

singgung di peroleh 1.

1. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaranPersamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran Persamaan lingkaran Persamaan lingkaran 1) X2 + y2 = r2 1) X2 + y2 = r2 2) (x 2) (x

_–

a)2 + (ya)2 + (y

_–

b)2 = r2b)2 = r2 3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0 3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0 Persamaan garis polar

Persamaan garis polar 1. x1 x + y1 y = r2 1. x1 x + y1 y = r2 2. (x1 2. (x1

–

a) (xa) (x

–

a) + (y1-b) ( ya) + (y1-b) ( y

–

b) = r2b) = r2 3. 3. 2.

2. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut

sebagai berikut

i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya

ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya iii. L2 didalam L1 = syaratnya

iii. L2 didalam L1 = syaratnya

iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+ 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+ Jawab: Jawab: Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+ Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+ +3 +3

(15)

atau atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)

titik berikut ini A (2, 4) Jawab:

Jawab:

Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16

42 r2 = 4 + 16 r2 = 20

r2 = 20

3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut. 3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut. a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)

a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16) Jawaban: Jawaban: PB = 4PA PB2 =16PA2 PB = 4PA PB2 =16PA2 (0 (0

_–

x)2 + (16x)2 + (16

_–

y)2 = 16y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap 4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan

lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40 Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40 (-1)2 + 62 = 3 < 40

(-1)2 + 62 = 3 < 40

5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini. 5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini. a. (x + 3)2 + (y a. (x + 3)2 + (y

_–

2)2 = 92)2 = 9 b. (x + 4)2 + (y b. (x + 4)2 + (y

–

5)2 = 245)2 = 24 Jawaban: Jawaban: a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3 a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3 b. Pusat B (-4, -5) dan r = = b. Pusat B (-4, -5) dan r = =

6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang 6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)

menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1) Jawaban:

Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 Jawaban:

Jawaban:

P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12 2+3=12 2 =12-3 2+3=12 2 =12-3 2 =9 2 =9 2 =32 2 =32 = ±3 jadi a = 3

= ±3 jadi a = 3

_–

4 = -1 dan4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, 8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

1)

Persamaan lingkaran Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran 9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran Jawaban:

Jawaban:

Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti: Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti: Kr = 32 + n2 + 15

Kr = 32 + n2 + 15

_–

13 n + 6 = 013 n + 6 = 0 = 9 + n2 + 15

(16)

= n2 = n2

–

13 n + 30 = 013 n + 30 = 0 = (n = (n

_–

10) (n10) (n

_–

3) = 03) = 0 = n = 10 atau n = 3 = n = 10 atau n = 3

10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran 10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran Jawaban: Jawaban: Hasil subsitusi: Hasil subsitusi: x2 + 2 x x2 + 2 x

_–

15 = 015 = 0 = (x = (x

_–

5) (x5) (x

_–

3) = 03) = 0 = x1 = -5 atau x2 = 3 = x1 = -5 atau x2 = 3 Penemuan nilai y Penemuan nilai y X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10 X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10 X2 = 3; Y = 2 (3) = 6 X2 = 3; Y = 2 (3) = 6

Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6) Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5) 11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5) Jawaban:

Jawaban:

Persamaan garis singgung Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9) 12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9) Jawaban:

Jawaban:

Persamaan garis singgung Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah 13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1) 13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1) Jawaban:

Jawaban:

Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung