1. Persamaan lingkaran berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, -1) adalah...
Pembahasan:
Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 3) dan melalui titik (5, -1)adalah:
r = √25 r = 5
sehingga persamaan lingkarannya:
jawaban: A
2. Persamaan garis singgung lingkaran di titik (7, 1) adalah...
a. 3x – 4y – 41 = 0 b. 4x + 3y – 55 = 0 c. 4x – 5y – 53 = 0 d. 4x + 3y – 31 = 0 e. 4x – 3y – 40 = 0 Pembahasan:
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (x1, y1) dicari dengan rumus:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) + ½ . 4 (y1 + y) - 12 = 0 7.x + 1.y – 3 (7 + x) + 2 (1 + y) - 12 = 0
7x + y – 21 – 3x + 2 + 2y – 12 = 0 4x + 3y – 31 = 0
Jawaban: D
3. Lingkaran memotong garis y = 1. Persamaan garis singgung di titik potong lingkaran dan garis y = 1 adalah ...
a. x = 2 dan x = 4 b. x = 3 dan x = 1 c. x = 1 dan x = 5 d. x = 2 dan x = 3 e. x = 3 dan x = 4 pembahasan:
Lingkaran memotong garis y = 1 di titik:
x = 2 dan x = 4
jadi, titik potongnya (2, 1) dan (4, 1) persamaan lingkarannya menjadi:
persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (2, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0 2.x + 1.y – 3 (2 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
2x + y – 6 – 3x – 1 – y + 9 = 0 -x + 2 = 0
x = 2
persamaan garis singgung terhadap lingkaran L melalui titik (4, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0
x1.x + y1.y – ½ . 6 (x1 + x) - ½ . 2 (y1 + y) + 9 = 0 4.x + 1.y – 3 (4 + x) - 1 (1 + y) + 9 = 0
4x + y – 12 – 3x – 1 – y + 9 = 0 x - 4 = 0
x = 4 jawaban: A
4. persamaan lingkaran dengan pusat (3 , -2) dan menyinggung sumbu Y adalah ...
Pembahasan:
Rumus persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) adalah:
Karena, garis menyinggung sumbu y, maka jari-jari = x = 3 (karena pusatnya (3, -2), sehingga:
jawaban: D
5. Jarak antara titik pusat lingkaran dari sumbu y adalah ...
a. 3 b. 2,5 c. 2 d. 1,5 e. 1
Pembahasan:
Lingkaran dengan persamaan memiliki titik pusat ( -a, -b), maka:
( - ½ .(-4) , - ½ . (0)) = (2, 0)
Karena, titik pusatnya (2, 0) maka jarak lingkaran ke sumbu y = x = 2 Jawaban: C
6. Lingkaran menyinggung garis x = 4 di titik ...
a. (4, 6) b. (4, -6) c. (4, 4) d. (4, 1) e. (4, -1) Pembahasan:
Lingkaran menyinggung garis x = 4 maka:
(y + 1) (y + 1) = 0 y = -1
jadi, lingkaran menyinggung di titik ( 4, -1) jawaban: E
7. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran dan
menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan ...
Pembahasan:
Lingkaran dengan persamaan memiliki titik pusat ( -a, -b), maka:
( - ½ . (-4), - ½ . 6) = ( 2, -3)
Sehingga persamaan garis yang berpusat di (2, -3) adalah:
Panjang jari-jari (r) lingkaran adalah jarak titik pusat (2, -3) ke garis 3x – 4y + 7 = 0, maka:
jadi, persamaan lingkarannya menjadi:
Jawaban: A
8. Diketahui lingkaran mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut adalah ...
a. (-5, -3) b. (-5, 3) c. (6, -5) d. (-6, -5) e. (3, -5) Pembahasan:
Rumus jari-jari adalah: maka:
p = ± 3
sehingga persamaannya menjadi:
Titik pusatnya = (- ½ .6 , - ½ .10) = (-3, -5)
Titik pusatnya = (- ½ .(-6) , - ½ .10) = (3, -5) Jawaban: E
9. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada
lingkaran adalah ...
a. 3x + 4y – 19 = 0 b. 3x - 4y – 19 = 0 c. 4x - 3y + 19 = 0 d. x + 7y – 26 = 0 e. x - 7y – 26 = 0 pembahasan:
persamaan garis singgung terhadap lingkaran melalui titik (5, 1) adalah:
x1.x + y1.y + a(x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0 5.x + 1.y + ½ .(-4) (5 + x) + ½ .6 (1 + y) - 12 = 0 5x + y + -2 (5 + x) + 3 (1 + y) - 12 = 0
5x + y – 10 – 2x + 3 + 3y – 12 = 0 3x + 4y - 19 = 0
Jawaban: A
10. lingkaran dengan persamaan melalui titik (5, -1). Jari- jarinya adalah...
a. √7 b. 3 c. 4 d. 2√6 e. 9
Pembahasan:
Lingkaran melalui (5, -1) maka:
25 + 1 – 20 – 2 + c = 0 4 + c = 0
c = -4
sehingga jari-jari lingkarannya:
r = 3 jawaban: B
11. Lingkaran mempunyai jari-jari 3 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut sama dengan ...
a. (-2, 3) b. (2, -3) c. (2, 3) d. (3, -2) e. (-3, 2) Pembahasan:
p = ± 2
sehingga persamaannya menjadi:
Pusatnya: (- ½ .4, - ½ .6) = (-2, -3)
Pusatnya: (- ½ . (-4), - ½ . 6) = ( 2, -3) Jawaban: B
12. Persamaan garis singgung pada lingkaran yang tegak lurus garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah ...
a. 12x + 5y – 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 b. 12x + 5y + 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 c. 5x + 12y + 41 = 0 dan 5x + 12y + 37 = 0 d. 5x + 12y - 41 = 0 dan 5x + 12y - 37 = 0 e. 12x - 5y – 41 = 0 dan 12x - 5y - 37 = 0 Pembahasan:
Pusat lingkaran: ( - ½ .(-2), - ½ .4) = ( 1, -2)
r = 3
garis 5x – 12y + 15 = 0 memiliki gradien m = -a/b = -5/-12 = 5/12 karena garis yang ditanyakan adalah garis yang tegak lurus, maka gradiennya menjadi: -12/5
persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b) ; berjari-jari r; dan bergradien m adalah:
Karena pusat lingkarannya (1, -2); r = 3, dan m = -12/5 , maka:
(y + 2) = -12/5 (x – 1) ± 3 .13/5 (kalikan 5) 5 (y + 2) = 5 .-12/5 (x – 1) ± 5.3 .13/5 5y + 10 = -12 (x – 1) ± 15 . 13/5 5y + 10 = -12x + 12 ± 39
12x + 5y – 2 ± 39 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya:
12x + 5y – 2 + 39 = 0 ==> 12x + 5y + 37 = 0, dan
12x + 5y – 2 - 39 = 0 ==> 12x + 5y – 41 = 0 Jawaban: A
13. Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB dengan A (-2, 2) dan B (2, -2) adalah ...
Pembahasan:
Jari-jari = ½ diameter
r = ½ √32 r = ½.4 √2 r = 2√2
pusat lingkaran:
persamaan lingkarannya:
jawaban: C
14. Garis x + y = 2 menyinggung lingkaran untuk q = ...
a. -8 b. 4 c. 6 d. 8 e. 16
Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ .(-6), - ½ (-2)) = (3, 1)
Jarak titik pusat (3,1) lingkaran dengan dengan garis x + y = 2 atau x + y – 2 = 0adalah r, maka:
2 = 10 – q q = 8 jawaban: D
15. Jika lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) menyinggung garis y = 1 – x maka nilai c sama dengan ...
a. 0 b. 4 c. 5 d. 9 e. 13
Pembahasan:
Garis garis y = 1 – x menyinggung lingkaran, maka:
Syarat menyinggung adalah D = 0, maka:
0 – 4. 2. (-5 + c) = 0 40 – 8c = 0
8c = 40 c = 5
Jawaban: C
16. Persamaan garis singgung melalui titik (0, 5) pada lingkaran adalah ...
a. 2x + y = 10 dan -2x + y = 10 b. x + 2y = 10 dan x - 2y = -10 c. x + 2y = 10 dan x - 2y = 10 d. x + y = -10 dan 2x - y = 10 e. x + 2y = -10 dan x - 2y = -10 Pembahasan:
Kita subtitusikan titik (0, 5) dalam :
karena nilainya lebih besar, maka titik (0, 5) berada di luar lingkaran.
Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) adalah:
y – y1 = m (x – x1) y – 5 = m (x – 0) y = mx + 5
kita subtitusikan y = mx + 5 pada persamaan :
Karena y = mx + 5 menyinggung lingkaran, maka D = 0
m = ± ½
jika m = ½ maka:
y = mx + 5 = ½ x + 5
2y = x + 10 atau x – 2y = 10
jika m = - ½ maka:
y = mx + 5 = - ½ x + 5 2y = -x + 10 atau x + 2y = 10 Jawaban: B
17. Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran haruslah ...
a. a = -6 atau a = 1 b. a = -5 atau a = 2 c. a = -1 atau a = 1 d. a = -6 atau a = 2 e. a = 6 atau a = -2 Pembahasan:
Garis y = x + a menyinggung lingkaran, maka:
Syarat menyinggung, D = 0
(-a – 6) (a – 2) = 0 a = -6 atau a = 2 jawaban: D
18. Salah satu persamaan garis singgung yang ditarik dari titik A (0, 10) ke lingkaran yang persamaannya
adalah ...
a. y = 10x + 3 b. y = 10x - 3 c. y = 3x - 10 d. y = -3x - 10 e. y = -3x +10 pembahasan:
memiliki titik pusat (0, 0) dan jari-jari √10 Persamaan garis singgung bergradien m adalah:
Garis singgungnya melalui titik (0, 10), maka:
m = ± 3
Persamaan garis singgungnya menjadi:
jika m = 3
y – y1 = m (x – x1) y – 10 = 3 (x – 0) y = 3x + 10
jika m = -3 y – y1 = m (x – x1) y – 10 = -3 (x – 0) y = -3x + 10 Jawaban: E
19. titik pusat lingkaran L yang berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu y di titik (0, 6) maka persamaan L adalah ..
Pembahasan:
Ketika y = 6, maka y = 2x, maka x = 3
Sehingg pusat lingkarannya adalah (3, 6) dengan jari-jari = r = x = 3 Maka, persamaan lingkarannya menjadi:
Jawaban: E
20. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran dan
menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan ...
Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ .(-4), - ½ .6) = (2, -3)
Lingkaran menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 maka jari-jarinya adalah:
r = 5
persamaan lingkarannya adalah:
Jawaban: A
21. Jika A (1, 3), B (7, -5) maka persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB adalah ...
Pembahasan:
Titik pusat:
Panjang jari-jari sama dengan jarak A ke B atau B ke titik pusat:
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (4, -1) dan jari-jari 5 adalah:
Jawaban: A
22. Diketahui suatu lingkaran dengan pusat berada pada kurva y = √x dan melalui titik asal O (0, 0). Jika absis titik pusat lingkaran terseut adalah a, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah ...
a. y = -x b. y = -x√a c. y = -ax d. y = -2x√2 e. y = -2ax Pembahasan:
x = a, maka y = √x = √a sehingga titik pusatnya adalah (a, √a) persamaan lingkarannya:
Lingkaran melalui titik O (0, 0), maka:
sehingga diperoleh
persamaan garis singgung lingkaran dan melalui O (0, 0) adalah:
Jawaban: B
23. lingkaran yang pusatnya berimpitan dengan pusat dan berjari-jari 5, memotong sumbu x dan sumbu y positif di titik (a, 0) dan (0, b). Nilai ab
= ...
a. 10√6 – 15 b. 10√5 - 15 c. 8√6 - 10 d. 8√5 - 10 e. 15/2 √6-10 Pembahasan:
Pusat lingkaran = (- ½ . (-2), - ½ . 6) = (1, -3)
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, -3) dan jari-jari 5 adalah:
Lingkaran memotong sumbu x positif, maka y = 0
x – 1 = √16 x – 1 = 4 x = 5 a = 5
lingkaran memotong sumbu y positif, maka x = 0
y + 3 = √24 y = √24 – 3 b = √24 – 3
jadi, nilai ab = 5 (√24 – 3) = 5 (√4.6 – 3) = 10√6 - 15 Jawaban: A
24. Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah ...
a. √3 b. 3 c. √13 d. 3√3 e. √37 Pembahasan:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
Lingkaran melalui A (5, 0), maka:
25 + 5A + C = 0 atau, 5A + C = -25 ... (i)
Lingkaran melalui B (0, 5), maka:
25 + 5B + C = 0 5B + C = -25 ... (ii)
Lingkaran melalui C (-1, 0), maka:
1 – A + C = 0 -A + C = -1 ... (iii) Eliminasi (i) dan (iii)
A = -4
Subtitusikan A = -4, pada persamaan –A + C = -1 -(-4) + C = -1
C = -5
Subtitusikan C = -5 pada persamaan 5B + C = -25 5B + (-5) = -25
5B = -20 B = -4
Sehingga persamaan lingkarannya menjadi:
Jari-jarinya:
r = √13 Jawaban: C
25. Salah satu garis singgung yang bersudut 120 derajat terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter di titik (7, 6) dan (1, -2) adalah ...
a. y = -x√3 + 4√3 + 12
b. y = -x√3 - 4√3 + 8 c. y = -x√3 + 4√3 + 8 d. y = -x√3 - 4√3 - 8 e y = -x√3 + 4√3 + 22 Pembahasan:
Jari-jari:
Titik pusat:
Persamaan lingkarannya:
Persamaan garis singgung lingkaran:
...(i)
Perhatikan gambar garis singgung yang dimaksud:
Berdasarkan gambar di atas, gradien garis yang dimaksud adalah y/x = - √3 /1 = - √3 Maka persamaan garis singgungnya (i) menjadi:
y = - x√3 + 4 √3 ± 5√4 + 2 y = - x√3 + 4 √3 ± 10 + 2 y = - x√3 + 4 √3 ± 10 + 2
y = - x√3 + 4 √3 + 10 + 2 = - x√3 + 4 √3 + 12
y = - x√3 + 4 √3 - 10 + 2 = - x√3 + 4 √3 - 8 Jawaban: A
