Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

2012, Nop 2014

Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Misalkan:

𝑷 = 𝑷(𝒙𝑷, 𝒚𝑷) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏 𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸, 𝒚𝑸) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐 𝑹 = Jari-jari 𝑳_𝟏

𝒓 = jaari-jari 𝑳_𝟐

𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam

𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar

GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM

PBE

 _~ QDE, karena PBEQDE900 dan PEBQED yang berakibat

DQE BPE

 . Diperoleh atau PE QE R r

r R QD

PB QE

PE

: : 



 . (E membagi PQ dengan

perbandingan PE : QE = R : r)

Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥_𝐸, 𝑦_𝐸) = _

  

 

  



r R

ry Ry r

R rx Rx

E Q P, Q P

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR

A

B

S D

C Q P

R

r

R r

P Q

A

B

C D

PBS

 _~ QCS, karena PBSQCS900 dan PSBQSC yang mengakibatkan

CQS BPS

 . Diperoleh R r

r r R QS PQ r

R QS

PQ r

R QC

PB QS

QS

PQ _{      }  _

;

1

Titik S adalah perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ:QS (Rr):r; Rr ), maka



























































R r



y r Ry y

y r Ry y r R

y r y r R Ry r

r R

y r y r R y dan

r R

rx Rx x

rx Rx x r R

rx x r R Rx r

r R

rx x r R x diperoleh

r r R

ry y r R r

r R

rx x r R Q y x Q

P Q S

P Q S

P S Q

P S Q

P Q S

P Q S

P S Q

P S Q

P S P

S Q

Q

   

   

   

 

   

   

   

   

 

   

   

 

 

  

   

:

, ,

Jadi, koordinat titik S adalah





_

  

 

  

 

r R

ry Ry r

R rx Rx S y x

S _S, _S Q P, Q P

Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:

Lingkaran: (𝑥 − 𝑥_𝑃)2+ (𝑦 − 𝑦_𝑃)2= 𝑅2,

Persamaan garis polar: (𝑥₁− 𝑥_𝑃)(𝑥 − 𝑥_𝑃) + (𝑦₁− 𝑦_𝑃)(𝑦 − 𝑦_𝑃) = 𝑅2

Lingkaran: x2y2AxByC0, Persamaan garis polar: 𝑥₁𝑥 + 𝑦₁𝑦 +𝐴

2(𝑥1+ 𝑥) + 𝐵

2(𝑦1+ 𝑦) + 𝐶 = 0



x1, y1



T

Polar g1

g2

A

B P

1. Tentukan persamaan garis polarnya 2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk

mendapatkan koordinat titik A dan B. 3. Gunakan persamaan garis singgung melalui

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r.

Jika R = r diperoleh gradient garis singgung

𝑚

𝑔

= 𝑚

𝑃𝑄

=

𝑦_𝑥𝑄_𝑄−𝑥−𝑦_𝑃𝑃

Dengan persamaan garis singgung:

𝑦 − 𝑦𝑃 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑃) ± 𝑅√1 + 𝑚𝑔2

atau

𝑦 − 𝑦𝑄 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑄) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔2

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙_𝑷= 𝒙_𝑸.

Persamaan garis singgung sekutu

luarnya adalah:

𝑥 = 𝑥𝑃+ 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑅

DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN

   

 

  



r R

ry Ry

r R

rx Rx

E Q P, Q P dan _

  

 

  



r R

ry Ry

r R

rx Rx

S Q P, Q P adalah titik singgung sekutu dua

lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:

P

Q g1

g2

r

R= r

P

Q R

r R

P Q

r R

P Q

Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam

Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:

(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝐸− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2

Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:

(𝑥𝑆− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝑆− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2

CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN:

Soal 1:

Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L1 



x2

 

2 y3



2 16 dan



12

 

2 3



2 4

2  x  y 

L .

Pembahasan:



2

 

2 3



2 16

1 x  y 

L berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4



12

 

2 3



2 4

2  x  y 

L berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran



  

PQ r R dan PQ r R r

R r R PQ

  

      

   

   

 

   

2 2 4

6 2 4

10 100 3

3 2

12 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.

Kita peroleh 

  

      

      

 

  



3 , 3 26 6

18 , 6 52 2

4 3 . 2 3 . 4 , 2 4

2 . 2 12 . 4

E E

E

0 14 4

3x y 

0 38 4

3x y 

1

L L2

Cara 1: menggunakan 𝑳_𝟏.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:





2





2

1 4 2 3

1 m y m x m

R x x m y

y _P   _P        

Garis singgung melalui titik 

  

 

3 , 3 26

E , sehingga





9 400 16

16

3 20 1

4

1 4 3 20 0

1 4 2 3 26 3

3 1

4 2 3

2 2

2

2

2 2

m m

m m

m m

m m

m x

m y

 



   

  



     

  _ 

 

    

4 3 16

9 9 16

144 256

400 144

144

2 2 2

2 2

  

 

 

 

 



m m m m

m m

0 14 4 3

4 26 4 3 3

3 26 4

3 3 4

3

   

   

   

     



y x

x y

x y

m Untuk

0 38 4 3

4 26 4 3 3

3 26 4

3 3 4

3

   

    

   

      

 

y x

x y

x y

m Untuk

0 38 4 3

0 14 4 3

2 1

    

    

y x g

y x g

Cara 2: menggunakan 𝑳𝟐.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:



_{x x}



_{r 1 m}2 _{y 3 m}



_{x 12}



_{2 1 m}2

m y

y _Q   _Q        

Garis singgung melalui titik 

  

 

3 , 3 26

E , sehingga





2 2

2 2

2

2 2 2

100 36

36

9 100 4

4

3 10 1

2

1 2 3 10 0

1 2 12 3 26 3

3 1

2 12 3

m m

m m

m m

m m

m m

m x

m y

 



  

    

    

     

  _ 

 

    

4 3 16

9 9 16

36 64

2 2 2

  

 

 

 

m m m m

0 14 4 3

4 26 4 3 3

3 26 4

3 3 4

3

   

   

   

     



y x

x y

x y

m Untuk

0 38 4 3

4 26 4 3 3

3 26 4

3 3 4

3

   

    

   

      

 

y x

x y

x y

m Untuk

0 38 4 3

0 14 4 3

2 1

    

    

y x g

y x g

Soal 2:

Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar dari L₁ 



x5

 

2 y6



2 16 dan



15

 

2 4



2 4

2  x  y 

L .

Pembahasan:

1 L

2 L

23 5 

 x

y

2



y

0 149 12

5x y 



5

 

2 6



2 16

1 x  y 

L , berpusat di P(5, 6) dan jari-jari R = 4



15

 

2 4



2 4

2  x  y 

L , berpusat di Q(15, 4) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran



 



PQ r R dan PQ r R r R r R PQ                          2 2 4 6 2 4 104 4 100 6 4 5

15 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar

Kita dapatkan titik



25, 2



2 4 , 2 0 5 2 4 6 . 2 4 . 4 , 2 4 5 . 2 15 . 4 S S

S 

               

Cara 1: menggunakan garais polar pada L1

Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah:

(𝑥𝐸− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2





 









 





23 5 0 92 4 20 0 16 24 4 100 20 16 6 6 2 5 5 25 2 1 1                           x y y x y x y x r b y b y a x a x

Subtitusi ke L1



 





 









5 13 85 0 5 85 13 0 425 150 13 0 850 300 26 0 16 841 290 25 25 10 16 29 5 5 16 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2                                 x atau x x x x x x x x x x x x x y x

Subtitusi x ke persamaan garis polar.



5, 2



2 23 25 23 5 5 5 13 126 , 13 85 13 126 13 299 13 425 23 13 85 5 13 85 2 1 T y x T y x                                 13 126 , 13 85 1

























0 149 12 5 0 596 48 20 0 208 288 48 100 20 0 208 6 48 5 20 0 16 6 13 48 5 13 20 16 6 6 13 126 5 5 13 85 13 126 , 13 85 1                                    _         _        y x y x y x y x y x y x T









 







 



2 8 4 0 16 24 4 0 16 6 4 5 0 16 6 6 2 5 5 5 2 , 5 1                         y y y y x y x T

Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y2 dan 5x12y1490

Cara 2: menentukan gradien dan L1.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:





₁ 2 ₆



₅



_{4 1} 2

m x m y m R x x m y

y _P   _P        

Garis singgung melalui titik S



25, 2



, sehingga













12 5 24 10 0 0 10 24 0 10 24 1 10 25 1 1 5 1 1 5 1 1 4 20 4 1 4 5 25 6 2 1 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2                                            m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m x m y





2 0 2 25 0 2 0           y y x y m Untuk





0 149 12 5 125 5 24 12 12 125 12 5 2 25 12 5 2 12 5                      y x x y x y x y m Untuk

Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Hubungan 2 Lingkaran

Banyak Garis Singgung

Cara Menentukan Persamaan

D L Garis Singgung Sekutu Dalam Garis Singgung Sekutu Luar

P

Q

>

R

+

r

Saling Asing Luar

2 2

 Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

   

 

  



r R

ry Ry r R

rx Rx

E Q P, Q P

cat:

L1: pusat P , jari-jari R

L2: pusat Q, jari-jari r

 Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

   

 

  



r R

ry Ry

r R

rx Rx

S Q P, Q P

Jika R = r, gunakan persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya

P Q

P Q PQ gs

x x

y y m m

   

Jika R = r dan 𝑥_𝑃= 𝑥_𝑄, maka persamaannya adalah

𝑥 = 𝑥𝑝± 𝑅

P

Q

=

R

+

r

Bersinggungan Luar

1 2

 Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿₁− 𝐿₂ = 0

-- Sama dengan atas --

| R

–

r

|

<

P

Q

<

R

+

r

Berpotongan

0 2 - -- Sama dengan atas --

P

Q

=

|

R

–

r

|

Bersinggungan Dalam

0 1 -

 Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿1− 𝐿2 = 0

P

Q

<

|

R

–

r

|

Saling Asing Dalam

0 0 - -

S E