Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

10  32  Download (0)

Teks penuh

(1)

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

2012, Nop 2014

Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

(2)

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Misalkan:

𝑷 = 𝑷(𝒙𝑷, 𝒚𝑷) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏 𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸, 𝒚𝑸) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐 𝑹 = Jari-jari 𝑳𝟏

𝒓 = jaari-jari 𝑳𝟐

𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam

𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar

GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM

PBE

~QDE, karena PBEQDE900 dan PEBQED yang berakibat

DQE BPE

 . Diperoleh atau PE QE R r

r R QD

PB QE

PE

: : 

 . (E membagi PQ dengan

perbandingan PE : QE = R : r)

Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥𝐸, 𝑦𝐸) = 

  

 

  

r R

ry Ry r

R rx Rx

E Q P, Q P

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR

A

B

S D

C Q P

R

r

R r

P Q

A

B

C D

(3)

PBS

~QCS, karena PBSQCS900 dan PSBQSC yang mengakibatkan

CQS BPS dan

r diperoleh

r

Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:

Lingkaran: (𝑥 − 𝑥𝑃)2+ (𝑦 − 𝑦𝑃)2= 𝑅2,

1. Tentukan persamaan garis polarnya 2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk

mendapatkan koordinat titik A dan B. 3. Gunakan persamaan garis singgung melalui

(4)

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r.

Jika R = r diperoleh gradient garis singgung

𝑚

𝑔

= 𝑚

𝑃𝑄

=

𝑦𝑥𝑄𝑄−𝑥−𝑦𝑃𝑃

Dengan persamaan garis singgung:

𝑦 − 𝑦𝑃 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑃) ± 𝑅√1 + 𝑚𝑔2

atau

𝑦 − 𝑦𝑄 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑄) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔2

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙𝑷= 𝒙𝑸.

Persamaan garis singgung sekutu

luarnya adalah:

𝑥 = 𝑥𝑃+ 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑅

DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN

   

 

  

r R

ry Ry

r R

rx Rx

E Q P, Q P dan 

  

 

  

r R

ry Ry

r R

rx Rx

S Q P, Q P adalah titik singgung sekutu dua

lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:

P

Q g1

g2

r

R= r

P

Q R

r R

P Q

r R

P Q

Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam

(5)

Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:

(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝐸− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2

Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:

(𝑥𝑆− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝑆− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2

CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN:

Soal 1:

Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L1 

x2

 

2 y3

2 16 dan

12

 

2 3

2 4

2  x  y 

L .

Pembahasan:

2

 

2 3

2 16

1 x  y 

L berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4

12

 

2 3

2 4

2  x  y 

L berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran

  

PQ r R dan PQ r R r

R r R PQ

  

      

   

   

 

   

2 2 4

6 2 4

10 100 3

3 2

12 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.

Kita peroleh 

  

      

      

 

  

3 , 3 26 6

18 , 6 52 2

4 3 . 2 3 . 4 , 2 4

2 . 2 12 . 4

E E

E

0 14 4

3xy 

0 38 4

3xy 

1

L L2

(6)

Cara 1: menggunakan 𝑳𝟏.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

2

2

Garis singgung melalui titik 

E , sehingga

9 400 16

144 256

400 144

144

2 Untuk

0 Untuk

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:

x x

r 1 m2 y 3 m

x 12

2 1 m2

m y

yQ   Q        

Garis singgung melalui titik 

E , sehingga

(7)

100 36

36

9 100 4 Untuk

0 Untuk

Pembahasan:

1 149 12

5xy 

(8)

5

 

2 6

2 16

Hubungan dua lingkaran

 

PQ r R dan PQ

104 4

100 6

4 5

15 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar

Kita dapatkan titik

25, 2

Cara 1: menggunakan garais polar pada L1

Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah:

(𝑥𝐸− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 100 20

Subtitusi ke L1

 

 

425 150

13

0 850 300

26

0 16 841 290

25 atau x

Subtitusi x ke persamaan garis polar.

5, 2

126 , 13 85 13

126 13

299 13

425 23 126 , 13 85

1

(9)

0 149 12

5

0 596 48

20

0 208 288 48

100 20

0 208 6 126 5

5 13 85 13

126 ,

Cara 2: menentukan gradien dan L1.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

1 2 6

5

4 1 2 atau m Untuk

0 149 12

5

125 5

24 12

12 125 12 Untuk

(10)

Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Hubungan 2 Lingkaran

Banyak Garis Singgung

Cara Menentukan Persamaan

D L Garis Singgung Sekutu Dalam Garis Singgung Sekutu Luar

P

Q

>

R

+

r

Saling Asing Luar

2 2

 Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

   

 

  

r R

ry Ry r R

rx Rx

E Q P, Q P

cat:

L1: pusat P , jari-jari R

L2: pusat Q, jari-jari r

 Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.

   

 

  

r R

ry Ry

r R

rx Rx

S Q P, Q P

Jika R = r, gunakan persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya

P Q

P Q PQ gs

x x

y y m m

   

Jika R = r dan 𝑥𝑃= 𝑥𝑄, maka persamaannya adalah

𝑥 = 𝑥𝑝± 𝑅

P

Q

=

R

+

r

Bersinggungan Luar

1 2

 Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿1− 𝐿2 = 0

-- Sama dengan atas --

| R

r

|

<

P

Q

<

R

+

r

Berpotongan

0 2 - -- Sama dengan atas --

P

Q

=

|

R

r

|

Bersinggungan Dalam

0 1 -

 Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿1− 𝐿2 = 0

P

Q

<

|

R

r

|

Saling Asing Dalam

0 0 - -

S E

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...