Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

2012, Nop 2014

Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Misalkan:

𝑷 = 𝑷(𝒙_𝑷, 𝒚_𝑷) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏 𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸, 𝒚𝑸) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐 𝑹 = Jari-jari 𝑳_𝟏

𝒓 = jaari-jari 𝑳𝟐

𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam 𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar

GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM

PBE

 ~ QDE , karena PBEQDE900 dan PEBQED yang berakibat

DQE BPE  . Diperoleh atau PE QE R r r R QD PB QE PE : :    . (E membagi PQ dengan perbandingan PE : QE = R : r)

Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥_𝐸, 𝑦_𝐸) = _

         r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR

A B S D C Q P R r R r P Q A B C D E

PBS

 ~ QCS , karena PBSQCS900 dan PSBQSC yang mengakibatkan

CQS BPS  . Diperoleh R r r r R QS PQ r R QS PQ r R QC PB QS QS PQ _{      }  _ ; 1

Titik S adalah perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ:QS (Rr):r; Rr ), maka







_



_



_



_







































R r



y r Ry y y r Ry y r R y r y r R Ry r r R y r y r R y dan r R rx Rx x rx Rx x r R rx x r R Rx r r R rx x r R x diperoleh r r R ry y r R r r R rx x r R Q y x Q P Q S P Q S P S Q P S Q P Q S P Q S P S Q P S Q P S P S Q Q                                                    : , ,

Jadi, koordinat titik S adalah





_

          r R ry Ry r R rx Rx S y x S _S, _S Q P, Q P

Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:

Lingkaran: (𝑥 − 𝑥_𝑃)2+ (𝑦 − 𝑦_𝑃)2= 𝑅2,

Persamaan garis polar: (𝑥1− 𝑥𝑃)(𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦1− 𝑦𝑃)(𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2

Lingkaran: x2y2AxByC0,

Persamaan garis polar: 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +

𝐴 2(𝑥1+ 𝑥) + 𝐵 2(𝑦1+ 𝑦) + 𝐶 = 0



x1, y1



T Polar g1 g2 A B P

1. Tentukan persamaan garis polarnya 2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk

mendapatkan koordinat titik A dan B. 3. Gunakan persamaan garis singgung melalui

titik pada lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya. Persamaanya sama dengan persamaan garis polar.

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r.

Jika R = r diperoleh gradient garis singgung

𝑚

_𝑔

= 𝑚

_𝑃𝑄

=

𝑦𝑄−𝑦𝑃

𝑥𝑄−𝑥𝑃

Dengan persamaan garis singgung:

𝑦 − 𝑦_𝑃 = 𝑚_𝑔(𝑥 − 𝑥_𝑃) ± 𝑅√1 + 𝑚_𝑔2 atau

𝑦 − 𝑦_𝑄 = 𝑚_𝑔(𝑥 − 𝑥_𝑄) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔2

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙_𝑷= 𝒙_𝑸.

Persamaan garis singgung sekutu

luarnya adalah:

𝑥 = 𝑥_𝑃+ 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥_𝑃 − 𝑅

DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN

          r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P dan _          r R ry Ry r R rx Rx

S Q P, Q P adalah titik singgung sekutu dua lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:

P Q g1 g2 r R= r P Q R r R P Q r R P Q

Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam

Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:

(𝑥_𝐸 − 𝑥_𝑃) (𝑥 − 𝑥_𝑃) + (𝑦_𝐸− 𝑦_𝑃) (𝑦 − 𝑦_𝑃) = 𝑅2 _or (𝑥_𝐸− 𝑥_𝑄)(𝑥 − 𝑥_𝑄) + (𝑦_𝐸 − 𝑦_𝑄)(𝑦 − 𝑦_𝑄) = 𝑟2

Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:

(𝑥_𝑆− 𝑥_𝑃) (𝑥 − 𝑥_𝑃) + (𝑦_𝑆− 𝑦_𝑃) (𝑦 − 𝑦_𝑃) = 𝑅2 _or (𝑥𝑆− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2

CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN: Soal 1:

Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L₁ 



x2

 

2 y3



2 16 dan



12

 

2 3



2 4 2  x  y  L . Pembahasan:



2

 

2 3



2 16 1 x  y 

L berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4



12

 

2 3



2 4

2  x  y 

L berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran



  

PQ r R dan PQ r R r R r R PQ                         2 2 4 6 2 4 10 100 3 3 2 12 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.

Kita peroleh                         3 , 3 26 6 18 , 6 52 2 4 3 . 2 3 . 4 , 2 4 2 . 2 12 . 4 E E E 0 14 4 3x y  0 38 4 3x y  1 L L2 and

Cara 1: menggunakan 𝑳_𝟏.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:





2





2 1 4 2 3 1 m y m x m R x x m y y _P   _P        

Garis singgung melalui titik 

     3 , 3 26 E , sehingga





9 400 16 16 3 20 1 4 1 4 3 20 0 1 4 2 3 26 3 3 1 4 2 3 2 2 2 2 2 2 m m m m m m m m m x m y                    _         4 3 16 9 9 16 144 256 400 144 144 2 2 2 2 2             m m m m m m 0 14 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3                    y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3                       y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 0 14 4 3 2 1           y x g y x g Cara 2: menggunakan 𝑳_𝟐.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:



_{x x}



_{r 1 m}2 _{y 3 m}



_{x 12}



_{2 1 m}2

m y

y _Q   _Q        

Garis singgung melalui titik 

     3 , 3 26 E , sehingga

Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:





2 2 2 2 2 2 2 2 100 36 36 9 100 4 4 3 10 1 2 1 2 3 10 0 1 2 12 3 26 3 3 1 2 12 3 m m m m m m m m m m m x m y                         _         4 3 16 9 9 16 36 64 2 2 2          m m m m 0 14 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3                    y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3                       y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 0 14 4 3 2 1           y x g y x g Soal 2:

Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar dari L₁ 



x5

 

2 y6



2 16 dan



15

 

2 4



2 4 2  x  y  L . Pembahasan: 1 L 2 L 23 5   x y 2  y 0 149 12 5x y 

Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:



5

 

2 6



2 16

1 x  y 

L , berpusat di P(5, 6) dan jari-jari R = 4



15

 

2 4



2 4

2  x  y 

L , berpusat di Q(15, 4) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran



 



PQ r R dan PQ r R r R r R PQ                          2 2 4 6 2 4 104 4 100 6 4 5 15 2 2

Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar

Kita dapatkan titik



25, 2



2 4 , 2 0 5 2 4 6 . 2 4 . 4 , 2 4 5 . 2 15 . 4 S S S                 

Cara 1: menggunakan garais polar pada L1

Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah: (𝑥𝐸− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2





 









 





23 5 0 92 4 20 0 16 24 4 100 20 16 6 6 2 5 5 25 2 1 1                           x y y x y x y x r b y b y a x a x Subtitusi ke L1



 





 









5 13 85 0 5 85 13 0 425 150 13 0 850 300 26 0 16 841 290 25 25 10 16 29 5 5 16 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2                                 x atau x x x x x x x x x x x x x y x

Subtitusi x ke persamaan garis polar.



5, 2



2 23 25 23 5 5 5 13 126 , 13 85 13 126 13 299 13 425 23 13 85 5 13 85 2 1 T y x T y x                                 13 126 , 13 85 1

























0 149 12 5 0 596 48 20 0 208 288 48 100 20 0 208 6 48 5 20 0 16 6 13 48 5 13 20 16 6 6 13 126 5 5 13 85 13 126 , 13 85 1                                    _         _        y x y x y x y x y x y x T









 







 



2 8 4 0 16 24 4 0 16 6 4 5 0 16 6 6 2 5 5 5 2 , 5 1                         y y y y x y x T

Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y2 dan 5x12y1490

Cara 2: menentukan gradien dan L1.

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:





2





2 1 4 5 6 1 m y m x m R x x m y y _P   _P        

Garis singgung melalui titik S



25, 2



, sehingga













12 5 24 10 0 0 10 24 0 10 24 1 10 25 1 1 5 1 1 5 1 1 4 20 4 1 4 5 25 6 2 1 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2                                            m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m x m y





2 0 2 25 0 2 0           y y x y m Untuk





0 149 12 5 125 5 24 12 12 125 12 5 2 25 12 5 2 12 5                      y x x y x y x y m Untuk

Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Hubungan 2 Lingkaran

Banyak Garis Singgung

Cara Menentukan Persamaan

D L Garis Singgung Sekutu Dalam Garis Singgung Sekutu Luar

P Q > R + r

Saling Asing Luar

2 2

 Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.           r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P cat: L1: pusat P , jari-jari R L2: pusat Q, jari-jari r  Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran.           r R ry Ry r R rx Rx S Q P, Q P

Jika R = r, gunakan persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya P Q P Q PQ gs x x y y m m    

Jika R = r dan 𝑥𝑃= 𝑥𝑄, maka

persamaannya adalah 𝑥 = 𝑥𝑝± 𝑅 P Q = R + r Bersinggungan Luar 1 2  Tentukan titik E

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

atau

𝐿1− 𝐿2 = 0

-- Sama dengan atas --

| R – r | < P Q < R + r Berpotongan

0 2 - -- Sama dengan atas --

P Q = | R – r | Bersinggungan Dalam 0 1 -  Tentukan titik S

 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran atau 𝐿1− 𝐿2 = 0 P Q < | R – r |

Saling Asing Dalam

0 0 - -

S E