Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran
oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
2012, Nop 2014
Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran
Misalkan:
𝑷 = 𝑷(𝒙𝑷, 𝒚𝑷) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏 𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸, 𝒚𝑸) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐 𝑹 = Jari-jari 𝑳𝟏
𝒓 = jaari-jari 𝑳𝟐
𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam 𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar
GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM
PBE
~ QDE , karena PBEQDE900 dan PEBQED yang berakibat
DQE BPE . Diperoleh atau PE QE R r r R QD PB QE PE : : . (E membagi PQ dengan perbandingan PE : QE = R : r)
Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥𝐸, 𝑦𝐸) =
r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P
GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR
A B S D C Q P R r R r P Q A B C D E
PBS
~ QCS , karena PBSQCS900 dan PSBQSC yang mengakibatkan
CQS BPS . Diperoleh R r r r R QS PQ r R QS PQ r R QC PB QS QS PQ ; 1
Titik S adalah perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ:QS (Rr):r; Rr ), maka
R r
y r Ry y y r Ry y r R y r y r R Ry r r R y r y r R y dan r R rx Rx x rx Rx x r R rx x r R Rx r r R rx x r R x diperoleh r r R ry y r R r r R rx x r R Q y x Q P Q S P Q S P S Q P S Q P Q S P Q S P S Q P S Q P S P S Q Q : , ,Jadi, koordinat titik S adalah
r R ry Ry r R rx Rx S y x S S, S Q P, Q P
Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:
Lingkaran: (𝑥 − 𝑥𝑃)2+ (𝑦 − 𝑦𝑃)2= 𝑅2,
Persamaan garis polar: (𝑥1− 𝑥𝑃)(𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦1− 𝑦𝑃)(𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2
Lingkaran: x2y2AxByC0,
Persamaan garis polar: 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 +
𝐴 2(𝑥1+ 𝑥) + 𝐵 2(𝑦1+ 𝑦) + 𝐶 = 0
x1, y1
T Polar g1 g2 A B P1. Tentukan persamaan garis polarnya 2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk
mendapatkan koordinat titik A dan B. 3. Gunakan persamaan garis singgung melalui
titik pada lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya. Persamaanya sama dengan persamaan garis polar.
GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r.
Jika R = r diperoleh gradient garis singgung
𝑚
𝑔= 𝑚
𝑃𝑄=
𝑦𝑄−𝑦𝑃𝑥𝑄−𝑥𝑃
Dengan persamaan garis singgung:
𝑦 − 𝑦𝑃 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑃) ± 𝑅√1 + 𝑚𝑔2 atau
𝑦 − 𝑦𝑄 = 𝑚𝑔(𝑥 − 𝑥𝑄) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔2
GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙𝑷= 𝒙𝑸.
Persamaan garis singgung sekutu
luarnya adalah:
𝑥 = 𝑥𝑃+ 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑅
DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN
r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P dan r R ry Ry r R rx Rx
S Q P, Q P adalah titik singgung sekutu dua lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:
P Q g1 g2 r R= r P Q R r R P Q r R P Q
Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam
Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:
(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝐸− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2
Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:
(𝑥𝑆− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2 or (𝑥𝑆− 𝑥𝑄)(𝑥 − 𝑥𝑄) + (𝑦𝑆− 𝑦𝑄)(𝑦 − 𝑦𝑄) = 𝑟2
CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN: Soal 1:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L1
x2
2 y3
2 16 dan
12
2 3
2 4 2 x y L . Pembahasan:
2
2 3
2 16 1 x y L berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4
12
2 3
2 42 x y
L berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
PQ r R dan PQ r R r R r R PQ 2 2 4 6 2 4 10 100 3 3 2 12 2 2Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.
Kita peroleh 3 , 3 26 6 18 , 6 52 2 4 3 . 2 3 . 4 , 2 4 2 . 2 12 . 4 E E E 0 14 4 3x y 0 38 4 3x y 1 L L2 and
Cara 1: menggunakan 𝑳𝟏.
Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:
2
2 1 4 2 3 1 m y m x m R x x m y y P P Garis singgung melalui titik
3 , 3 26 E , sehingga
9 400 16 16 3 20 1 4 1 4 3 20 0 1 4 2 3 26 3 3 1 4 2 3 2 2 2 2 2 2 m m m m m m m m m x m y 4 3 16 9 9 16 144 256 400 144 144 2 2 2 2 2 m m m m m m 0 14 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 0 14 4 3 2 1 y x g y x g Cara 2: menggunakan 𝑳𝟐.Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:
x x
r 1 m2 y 3 m
x 12
2 1 m2m y
y Q Q
Garis singgung melalui titik
3 , 3 26 E , sehingga
Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:
2 2 2 2 2 2 2 2 100 36 36 9 100 4 4 3 10 1 2 1 2 3 10 0 1 2 12 3 26 3 3 1 2 12 3 m m m m m m m m m m m x m y 4 3 16 9 9 16 36 64 2 2 2 m m m m 0 14 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 0 14 4 3 2 1 y x g y x g Soal 2:Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar dari L1
x5
2 y6
2 16 dan
15
2 4
2 4 2 x y L . Pembahasan: 1 L 2 L 23 5 x y 2 y 0 149 12 5x y Persamaan garis singgung sekutu dalamnya adalah:
5
2 6
2 161 x y
L , berpusat di P(5, 6) dan jari-jari R = 4
15
2 4
2 42 x y
L , berpusat di Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
PQ r R dan PQ r R r R r R PQ 2 2 4 6 2 4 104 4 100 6 4 5 15 2 2Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar
Kita dapatkan titik
25, 2
2 4 , 2 0 5 2 4 6 . 2 4 . 4 , 2 4 5 . 2 15 . 4 S S S
Cara 1: menggunakan garais polar pada L1
Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah: (𝑥𝐸− 𝑥𝑃) (𝑥 − 𝑥𝑃) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃) (𝑦 − 𝑦𝑃) = 𝑅2
23 5 0 92 4 20 0 16 24 4 100 20 16 6 6 2 5 5 25 2 1 1 x y y x y x y x r b y b y a x a x Subtitusi ke L1
5 13 85 0 5 85 13 0 425 150 13 0 850 300 26 0 16 841 290 25 25 10 16 29 5 5 16 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2 x atau x x x x x x x x x x x x x y xSubtitusi x ke persamaan garis polar.
5, 2
2 23 25 23 5 5 5 13 126 , 13 85 13 126 13 299 13 425 23 13 85 5 13 85 2 1 T y x T y x 13 126 , 13 85 1
0 149 12 5 0 596 48 20 0 208 288 48 100 20 0 208 6 48 5 20 0 16 6 13 48 5 13 20 16 6 6 13 126 5 5 13 85 13 126 , 13 85 1 y x y x y x y x y x y x T
2 8 4 0 16 24 4 0 16 6 4 5 0 16 6 6 2 5 5 5 2 , 5 1 y y y y x y x TJadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y2 dan 5x12y1490
Cara 2: menentukan gradien dan L1.
Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:
2
2 1 4 5 6 1 m y m x m R x x m y y P P Garis singgung melalui titik S
25, 2
, sehingga
12 5 24 10 0 0 10 24 0 10 24 1 10 25 1 1 5 1 1 5 1 1 4 20 4 1 4 5 25 6 2 1 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2 m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m x m y
2 0 2 25 0 2 0 y y x y m Untuk
0 149 12 5 125 5 24 12 12 125 12 5 2 25 12 5 2 12 5 y x x y x y x y m UntukGaris Singgung Sekutu 2 Lingkaran
Hubungan 2 Lingkaran
Banyak Garis Singgung
Cara Menentukan Persamaan
D L Garis Singgung Sekutu Dalam Garis Singgung Sekutu Luar
P Q > R + r
Saling Asing Luar
2 2
Tentukan titik E
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran. r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P cat: L1: pusat P , jari-jari R L2: pusat Q, jari-jari r Tentukan titik S
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran. r R ry Ry r R rx Rx S Q P, Q P
Jika R = r, gunakan persamaan garis singgung yang diketahui gradiennya P Q P Q PQ gs x x y y m m
Jika R = r dan 𝑥𝑃= 𝑥𝑄, maka
persamaannya adalah 𝑥 = 𝑥𝑝± 𝑅 P Q = R + r Bersinggungan Luar 1 2 Tentukan titik E
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran
atau
𝐿1− 𝐿2 = 0
-- Sama dengan atas --
| R – r | < P Q < R + r Berpotongan
0 2 - -- Sama dengan atas --
P Q = | R – r | Bersinggungan Dalam 0 1 - Tentukan titik S
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran atau 𝐿1− 𝐿2 = 0 P Q < | R – r |
Saling Asing Dalam
0 0 - -
S E