matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran

(1)

matematika

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.

1. Memahami defi nisi garis singgung lingkaran.

2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.

3. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik di luar lingkaran.

4. Dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradien garisnya.

A. Defi nisi Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang menyinggung suatu lingkaran. Sementara itu, titik potong antara garis singgung lingkaran dan lingkaran disebut titik singgung.

Titik singgung terletak pada lingkaran sehingga jarak antara titik singgung dan titik pusat lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

P r

A

l

XI

K e a l s

KTSP &

K-13

(2)

2

Garis l adalah garis singgung lingkaran P. Sementara A adalah titik singgung garis l terhadap lingkaran P. Jarak titik pusat lingkaran P ke titik A sama dengan jari-jari (r).

B. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Sebelum kamu belajar tentang persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran, mari ingat kembali tentang bentuk persamaan lingkaran berikut.

Persamaan lingkaran berpusat di P (0, 0) adalah x² + y² = r².

Persamaan lingkaran berpusat di P (a, b) adalah (x –a)² + (y – b)² = r² atau x² + y² + Ax + By + C = 0.

Setelah kamu mengingat kembali bentuk persamaan tersebut, mari perhatikan lingkaran berikut.

y

r x l A(x₁, y₁) P(0, 0)

Misalkan garis l menyinggung lingkaran x² + y² = r² di titik A(x₁, y₁).

Jarak dari titik P ke A adalah jari-jari lingkaran yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

PA = =r

(

0−x₁

) (

²+ 0−y₁

)

²

Gradien garis PA dapat dinyatakan dengan m y

PA x1 1

= . Oleh karena garis PA ⊥ garis l, maka berlaku:

m m

y x m

m x

y

m x

y

PA l

1 1

l

l 1

1

l 1

1

= 1

=

× −

⇔ × −

⇔ − ×

⇔ −

(3)

3

Dengan demikian, persamaan garis l dapat ditentukan sebagai berikut.

y y m x x

y y x

y x x

y y y x x x

yy y

− l −

⇔ − − −

⇔ −

1 1

1 1 1 1

1 12

=

( )

( ) ( )

−−

⇔

xx x xx yy x y

1 12

1 1 12

12

+

+ = +

Substitusikan r²=x₁²+y₁² ke persamaan tersebut sehingga diperoleh:

⇔ xx₁+yy₁= r²

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik A(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² = r² adalah sebagai berikut.

xx₁ + yy₁ = r²

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung yang melalui titik A(x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²adalah sebagai berikut.

(x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²

Dengan menguraikan bentuk (x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r², persamaan garis singgung yang melalui titik A(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 adalah sebagai berikut.

x x y y A₁ + ₁ + x x+ ¹ B y y¹ C

2 + +

2 + = 0

















(4)

4 Contoh Soal 1

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik H(1, 2) pada lingkaran (x + 2)² + (y – 6)² = 25!

Pembahasan:

Tentukan dahulu letak titik terhadap lingkaran.

Dengan mensubstitusikan titik H(1, 2) ke persamaan lingkaran, diperoleh:

(1 + 2)²+ (2 – 6)² = 25

⇔ 9 + 16 = 25

⇔ 25 = 25

SUPER, Solusi Quipper

Cara mudah mengingat rumus persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r².

Pahami bahwa x² + y² = r²ekuivalen dengan xx + yy = r². Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, kamu cukup mengganti salah satu x menjadi x₁ dan y menjadi y₁. Dengan demikian, diperoleh rumus persamaan garis singgung berikut.

xx₁ + yy₁ = r²

Begitu juga dengan persamaan garis singgung lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r².

Pahami bahwa (x – a)² + (y – b)² = r² ekuivalen dengan (x – a) (x – a) + (y – b) (y – b) = r². Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, kamu cukup mengganti salah satu x menjadi x₁ dan y menjadi y₁. Dengan demikian, diperoleh rumus persamaan garis singgung berikut.

(x – a) (x₁ – a) + (y – b) (y₁ – b) = r²

Rumus ini dinamakan rumus bagi adil. Secara umum, aturan pada rumus ini adalah sebagai berikut.

x x x

y y y

x

2

1 2

1

diubah menjadi diubah menjadi diubah menjadi +

2 diubah menjadi + 2 diubah menjadi

1

2

1

x x

y y y

x a− x −a x

( ) ( )

⁻⁻

− − −

a

y b y b y b

( )

( ) ( )( )

diubah menjadi

2

1

(5)

5

Oleh karena persamaan benar, maka titik H(1, 2) terletak pada lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)² + (y – 6)² = 25 yang melalui titik (x₁, y₁) = (1, 2) adalah sebagai berikut.

x x y y

x y

x

1+ 2 + 2 + 1 6 6 = 25 1+ 2 + 2 + 2 6 6 = 25 3 + 2

( )( ) ( )( )

( )

− −

⇔ − −

⇔ −− −

⇔ −

4 6 = 25 3 + 6 4y + 24 = 25 3 4 + 5 = 0

y x

x y

( )

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik H(1, 2) pada lingkaran (x + 2)² + (y – 6)² = 25 adalah 3x – 4y + 5 = 0.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 11 12

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

1 2 3 4 5 6

X Y

Persamaan 1: (x + 2)² + (y – 6)² = 25 Persamaan 2: 3x – 4y + 5 = 0

(6)

6 Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik G(–2, 1) pada lingkaran dengan pusat (–5, 2) dan jari-jari 10 !

Pembahasan:

Diketahui:

P(a, b) → (–5, 2) r = 10

Tentukan dahulu persamaan lingkarannya.

(x – a)² + (y – b)² = r²

⇔ (x + 5)² + (y – 2)² = 10

Selanjutnya, tentukan letak titik terhadap lingkaran.

Dengan mensubstitusikan titik G(–2, 1) ke persamaan lingkaran, diperoleh:

(–2 + 5)² + (1 – 2)² = 10

⇔ 3² + (–1)² = 10

⇔ 10 = 10

Oleh karena persamaan benar, maka titik G(–2, 1) terletak pada lingkaran.

Persamaan garis singgung yang melalui titik (x₁, y₁) = (–2, 1) pada lingkaran (x + 5)² + (y – 2)² = 10 adalah sebagai berikut.

x x y y

x y

x

1+ 5 + 5 + 1 2 2 = 10 2 + 5 + 5 + 1 2 2 = 10 3 + 5

( )( ) ( )( )

(

− −

⇔ − − −

⇔

)) (

⁻ ⁻

)

⇔ −

y x y

2 = 10 3 + 7 = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik G(–2, 1) pada lingkaran dengan pusat (–5, 2) dan jari-jari 10 adalah 3x – y + 7 = 0

(7)

7

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 11 12

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

1 2 3 4 5 6

x y

Persamaan 1: (x + 5)² + (y – 2)² = 10 Persamaan 2: 3x – y + 7 = 0

C. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung juga dapat ditentukan melalui suatu titik di luar lingkaran.

Perhatikan lingkaran berikut.

B

P

A(x₁, y₁)

Misalkan titik A(x₁, y₁) terletak di luar lingkaran x² + y² = r². Jarak dari titik A ke titik pusat lingkaran lebih panjang daripada jari-jari lingkaran. Dengan demikian, berlaku x₁² + y₁² > r². Lalu, bagaimana cara menentukan persamaan garis singgungnya? Untuk mengetahuinya, perhatikan langkah-langkah berikut.

(8)

8

1. Tentukan persamaan garis kutub dari titik A(x₁, y₁) yang terletak di luar lingkaran.

Persamaan garis kutub diperoleh dengan cara mensubstitusikan koordinat titik A(x₁, y₁) ke rumus persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.

2. Substitusikan persamaan garis kutub ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat.

3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.

4. Substitusikan akar-akar persamaan kuadrat ke persamaan garis kutub sehingga diperoleh koordinat titik potong garis kutub pada lingkaran.

5. Substitusikan koordinat titik potong garis kutub ke rumus persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran. Dengan demikian, didapatlah persamaan garis singgung lingkaran yang dimaksud.

Agar lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²+ y² = 20 yang melalui titik E(–10,10) ! Pembahasan:

Dengan mensubstitusikan titik E(–10,10) ke persamaan lingkaran, diperoleh:

x² + y² = (–10)² + 10²

= 100 + 100

= 200 > 20

Oleh karena x₁² + y₁² > r², maka titik E terletak di luar lingkaran.

Selanjutnya, tentukan persamaan garis kutub dari titik E(–10,10).

xx₁ + yy₁ = r²

⇔ –10x + 10y = 20

⇔ y = x + 2

Substitusikan y = x + 2 ke persamaan lingkaran x²+ y² = 20.

x²+ y² = 20

⇔ x²+ (x + 2)²= 20

⇔ x²+ x²+ 4x + 4= 20

⇔ 2x²+ 4x– 16 = 0

(9)

9

⇔ x²+ 2x– 8 = 0

⇔ (x– 2) (x+ 4) =0

⇔ x= 2 atau x = –4

Substitusikan x = 2 dan x = –4 ke persamaan garis kutub.

Untuk x = 2:

y = x + 2

⇔ y= 2 + 2

⇔ y= 4

Koordinat titik potong garis kutub: (2, 4) Untuk x = –4:

y = x + 2

⇔ y= (–4) + 2

⇔ y= –2

Koordinat titik potong garis kutub: (–4, –2)

Substitusikan koordinat titik potong tersebut ke rumus xx₁ + yy₁ = 20, sehinga diperoleh:

Untuk (2, 4):

2x + 4y = 20

⇔ x+ 2y = 10 Untuk (–4, –2):

–4x – 2y = 20

⇔ 2x+ y = –10

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x²+ y² = 20 yang melalui titik E(–10,10) adalah x+ 2y = 10 dan 2x+ y = –10.

(10)

10

–8

–10 –9 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

11 12

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2

–4 –3

–5

1 2 3 4 5 6

X Y

Persamaan 1: x² + y² = 20 Persamaan 2: x + 2y = 10 Persamaan 3: 2x + y = –10

Contoh Soal 4

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 4x – 2y – 3 = 0 yang melalui titik (3, 0) adalah ....

A. x – y = –3 D. x + 2y = 3 B. x + y = 3 E. 3x – y = 9 C. 2x + y = 6

Jawaban: B Pembahasan:

(11)

11

Dengan mensubstitusikan titik (3, 0) ke persamaan lingkaran, diperoleh:

x² + y² + 4x – 2y – 3 = (3)² + (0)² + 4(3) – 2(0) – 3

= 9 + 0 + 12 – 0 – 3

= 18 > 0

Oleh karena 18 > 0, maka titik (3, 0) terletak di luar lingkaran.

Selanjutnya, tentukan persamaan garis kutub dari titik (x₁, y₁) = (3, 0).

x x y y x x y y

x x y

1 + 1 + 4 1+ 1

2 2 +

2 3 = 0

3 + 2 3 + 0 + 3 = 0















( ) ( )



− −

⇔ − −

⇔ 33 + 6 + 2 3 = 0 5 + 3 = 0

= 5 + 3

x x y

x y y x

− −

⇔ −

⇔

Substitusikan y = 5x + 3 ke persamaan lingkaran x² + y² + 4x – 2y – 3 = 0.

x x x x

x x x x x

x

2 2

2

+ 5 + 3 + 4 2 5 + 3 3 = 0 + 25 + 30 + 9 + 4 10 6 3 = 0 26 +

( )

⁻

( )

⁻

⇔ − − −

⇔ 224 = 0

26 + 24 = 0

= 0 atau = 24

2 3 26

x x x

x x

⇔

−

( )

Substitusikan x₂ = 0 ke persamaan garis kutub.

y₂ = 5x + 3

⇔ y₂ = 5(0) + 3

⇔ y₂ = 3

Koordinat titik potong garis kutub: (0, 3)

Substitusikan koordinat titik potong tersebut ke rumus x₂x + y₂y + 2(x₂ + x) – (y₂ + y) – 3 = 0 sehingga diperoleh:

x₂x + y₂y + 2(x₂ + x) – (y₂ + y) – 3 = 0

⇔ 0 + 3y + 2(0 + x) – (3 + y) – 3 = 0

⇔ 3y + 2x – 3 – y – 3 = 0

⇔ 2x + 2y – 6 = 0

⇔ 2x + 2y = 6

⇔ x + y = 3

(12)

12

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 4x – 2y – 3 = 0 yang melalui titik (3, 0) adalah x + y = 3.

D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Misalkan y = mx + n dengan m sebagai gradien adalah garis singgung lingkaran x² + y²= r². Substitusikan y = mx + n ke persamaan x² + y²= r² sehingga diperoleh:

x² + y²= r²

⇔ x² + (mx + n)² = r²

⇔ x² + m²x² + 2mnx + n² = r²

⇔ (1 + m²)x² + 2mnx + (n² – r²) = 0

Syarat garis memotong pada satu titik atau menyinggung lingkaran adalah nilai D = 0.

D

b ac

mn m n r

m n n r m n

= 0

4 = 0

2 4 1+ = 0

4 4 + 4 4 + 4

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

⇔ −

⇔ − −

( ) ( )( )

m m r

n r m r

n m r

n r m

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

= 0 4 + 4 + 4 = 0

+ + = 0

= 1+

⇔ −

⇔

( )

22

= 1+ 2

( )

⇔n ±r m

Substitusikan n=±r 1+m² ke persamaan garis y = mx + n sehingga diperoleh:

y mx n

y mx r m

= +

= 1+ ²

⇔ ±

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² dengan gradien m adalah sebagai berikut.

y mx r= ± 1+m²

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dengan graiden m adalah sebagai berikut.

y b− m x a− ±r m

( )

⁼

( )

¹⁺ ²

(13)

13 Contoh Soal 5

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 5)² = 10 yang tegak lurus dengan garis x – 3y + 6 = 0!

Pembahasan:

Misalkan gradien garis x – 3y + 6 = 0 adalah m₁ dan gradien garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 5)² = 10 adalah m₂. Dengan demikian, diperoleh:

x y y x

y x m

−

⇔

⇔ →

3 + 6 = 0 3 = + 6

=1

3 + 2 = 1

1 3

Oleh karena kedua garis ⊥, maka berlaku:

m m m m m

1 2

2

2 2

= 1 1

3 = 1

= 1 3 1

= 3

× −

⇔ × −

⇔ − ×

⇔ −

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 5)² = 10 dengan a = –1, b = 5, r = 10 , dan m₂ = –3 adalah sebagai berikut.

y b m x a r m

y x

− − ±

⇔ − − ± −

⇔ − − − ±

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

= 1+

5 = 3 +1 10 1+ 3

5 = 3 3 10 1

2

++ 9 + 3 = 5 3 10 10 + 3 = 2 10

+ 3 = 2 +10dan + 3 = 2 10 + 3 = 12d

⇔ − ±

⇔ ±

⇔ −

⇔ y x y x

y x y x

y x aan + 3 = 8y x −

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y – 5)² = 10 yang tegak lurus dengan garis x – 3y + 6 = 0 adalah y + 3x = 12 dan y + 3x = –8.

(14)

14

–8

–10 –9 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

11 12

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2

–4 –3

–5

1 2 3 4 5 6

X Y

Persamaan 1: (x +1)² + (y – 5)²= 10 Persamaan 2: y + 3x = 12 Persamaan 3: y + 3x = –8

Contoh Soal 6

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0 yang sejajar dengan garis p: y = 2x + 1!

Pembahasan:

Misalkan gradien garis p: y = 2x + 1 adalah m_p dan gradien garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0 adalah m_gs. Dengan demikian, diperoleh:

y = 2x + 1 → m_p = 2

(15)

15

Oleh karena kedua garis sejajar, maka berlaku:

m_p = m_gs= 2

Selanjutnya, tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0.

Pusat lingkaran (a, b):

a = −1 − −

2 = 1

2 4 = 2

A

( )

b = −1 − −

2 = 1

2 6 = 3

B

( )

Jari-jari lingkaran (r):

r= a +b C

= 2 + 3 10

= 4 + 9 10

= 3

2 2

−

− −

−

( ) ( )

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

y b m x a r m

y x

− − ±

⇔ − ±

⇔ −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= 1+

+ 3 = 2 2 3 1+ 2

+ 3 = 2 4 15

= 2 7

2 2

±± 15

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 10 = 0 yang sejajar dengan garis p: y = 2x + 1 adalah

y b m x a r m

y x

− − ±

⇔ − ±

⇔ −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= 1+

+ 3 = 2 2 3 1+ 2

+ 3 = 2 4 15

= 2 7

2 2

±± 15 .

E. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Membentuk Sudut Tertentu terhadap Suatu Garis

Rumus persamaan garis singgung lingkaran yang membentuk sudut tertentu terhadap suatu garis sama dengan sebelumnya. Akan tetapi, gradien garis singgungnya ditentukan dengan persamaan berikut.

m = tan θ

(16)

16 Contoh Soal 7

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 36 yang membentuk sudut 60^o terhadap sumbu-X positif adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu gradien garis singgungnya.

m_gs = tan 60

= 3

o

Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 36 dengan pusat (0, 0), jari-jari 6, dan m_gs= 3 .

y b m x a r m

y x

− − ±

⇔ − − ±

⇔ ±

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= 1+

0 = 3 0 6 1+ 3

= 3 6 4

= 3 12

2 2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 36 yang membentuk sudut 60^o terhadap sumbu-X positif adalah y= 3 +12 dan = 3x y x−12.

Contoh Soal 8

Persamaan garis singgung lingkaran (x – 2)² + (y – 3)² = 4 yang membentuk sudut arctan 1 dengan garis y = 3x + 10 adalah .... 2

Pembahasan:

Garis y = 3x + 10 memiliki gradien m₁ = 3.

Gradien garis singgung lingkaran yang membentuk sudut arctan 1

2 dengan garis y = 3x + 10 dapat ditentukan melalui ilustrasi berikut.

(17)

17

y = 3 x + 10

m¹= 3

m2 = x arctan ¹

2 = θ

arctan 1 2 = θ

⇔ tan θ = 1 2

⇔ m m

m m

1 2

1+ =1

2

−

⇔ 31+ 3 =1 2

− x x

⇔ 1 + 3x = 6 – 2x

⇔ 5x = 5

⇔ x = 1

Dengan demikian, nilai m₂ = 1.

Persamaan garis singgung lingkaran (x – 2)² + (y – 3)² = 4 dengan pusat (2, 3), jari-jari 2, dan m₂ = 1 adalah sebagai berikut.

y b m x a r m

y x

y x

− − ±

⇔ − − ±

⇔ ±

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= 1+

3 = 1 2 2 1+ 1

3 = 2 2 2

= +1 2

2 2

22

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 2)² + (y – 3)² = 4 yang membentuk sudut arctan 1

2 dengan garis y = 3x + 10 adalah y x= +1+ 2 2 dan = +1 2 2y x − .