PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

(1)

Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung hiperbola bergradien , persamaan garis singgung melalui titik , pada hiperbola, dan persamaan garis singgung melalui titik

, di luar hiperbola. Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini.

AA

AA.... Menentukan Persamaan Garis Singgung Menentukan Persamaan Garis Singgung Menentukan Persamaan Garis Singgung Menentukan Persamaan Garis Singgung HipHipHiperbolaHiperbolaerbola yangerbola yangyangyang berpuncak di berpuncak di berpuncak di berpuncak di

, dan dan dan dan , dengan gradien dengan gradien dengan gradien .... dengan gradien

Menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di 0,0

dan , dengan gradien sama seperti menentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien tertentu. Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien tertentu, lakukanlah kegiatan 15.1 dan perhatikan Gambar 15.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.

KEGIATAN BELAJAR 15

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis Polar

2. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singgung Dan Garis Polar

(2)

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

Gamba GambaGamba

Gambar 15.1r 15.1r 15.1 Hiperbola yang berpusat di r 15.1Hiperbola yang berpusat di Hiperbola yang berpusat di Hiperbola yang berpusat di , dan garis singgungdan garis singgungdan garis singgung dan garis singgung

Kegiatan Kegiatan Kegiatan

Kegiatan 15.15.15.15.1.1.1. Gradien garis singgung diketahui dan hiperbola yang berpusat di 1.

0,0.

Langkah-langkahnya:

1. potonglah antara persamaan hiperbola 1 dan persamaan garis

sebagai berikut.

1

! dipotongkan

2. Subsitusikan garis ke persamaan hiperbola 1 sehingga diperoleh:

1

2

2 0

2 0 ….(1)

3. Persamaan (1) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .

Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai:

• Diskriminan - positif atau - . 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong hiperbola 1 pada dua titik.

• - / 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis

tidak memotong hiperbola 1 atau garis berada di luar hiperbola.

(3)

• - 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis

menyinggung hiperbola 1 pada suatu titik.

4. Agar garis menyinggung hiperbola 1, maka ambil - 0, yaitu:

2 0

2 4 0 4¹ 4 4 ¹ 4¹ 4¹ 0

4 4 ¹ 4¹ 0

0

±3

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola 1 dengan gradien atau sejajar dengan garis adalah:

4 5 ± 36⁷ ⁷ 8⁷

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung hiperbola ^9: ^9; 1 dengan gradien . Geser titik pusat hiperbola 0, 0 ke titik , . Akibatnya persamaan garis singgung ± √ bergeser menjadi ± √ .

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola ^9: ^9; 1 dengan gradien atau yang sejajar dengan garis adalah:

4 5 ± 36⁷ ⁷ 8⁷

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung pada hiperbola 1dengan gradien adalah

4 5 ± 38⁷ ⁷ 6⁷

Dan persamaan garis singgung hiperbola ^9; ^9: 1 dengan gradien adalah

4 5 ± 38⁷ ⁷ 6⁷

Masalah 15.1 Masalah 15.1 Masalah 15.1 Masalah 15.1

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 9 16 144 dengan gredien 4!

46 46 46 46

47 47 47 47

48 4848 48

4949 4949

(4)

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola 9 16 144 menjadi,

16

9 1 Dengan 16 → ±4, 9 → ±3 dan

A

A 16 9 25 → A ±5

Persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat 0, 0 dengan gradien

4 adalah,

± 3

4 ± 3164 9

4 ± √256 9

4 ± √247

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola adalah 4 √247 dan 4

√247

Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.

B B B

B.... Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik 5D, 4D Pada Pada Pada Pada Hiperbola

Hiperbola Hiperbola

Hiperbola yang berpuyang berpuyang berpuyang berpusatsatsat di satdi di , dan di dan dan , .... dan

Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di

0,0 dan , yang melalui titik , , lakukanlah kegiatan 15.2 dan perhatikan Gambar 15.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 15 Gambar 15Gambar 15

Gambar 15.2. .2. .2. Hiperbola.2. HiperbolaHiperbola melalui titik singgungHiperbolamelalui titik singgungmelalui titik singgungmelalui titik singgung

(5)

Kegiatan Kegiatan Kegiatan

Kegiatan 15.215.215.215.2.... Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada hiperbola yang berpusat di 0,0.

1. Misalkan persamaan hiperbola 1 dan titik E, dan F, yang terletak pada hiperbola.

2. Sehingga persamaan garis EF adalah

4 4D 47 4D

57 5D5 5D 4 4D 5 5D … … D

3. Karena titik E, dan F, berada pada hiperbola maka berlaku persamaan berikut:

1 HI 2

1 HI 3

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi persamaan (3) dan (2) menghasilkan,

0

8⁷5₇ 5D

6⁷47 4D … . K

4. Subsitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) sehingga diperoleh:

y y m x x O OD 8⁷5₇ 5D

6⁷47 4D P P^D … . Q

5. Apabila titik F, bergerak mendekati titik E, , sehingga titik F, dan E, berimpit, dan garis R akan menjadi garis singgung hiperbola di titik E, , akibatnya dan .

Sehingga persamaan (5) menjadi:

y y

x x y y 2

2x x kalikan semuanya dengan

(6)

Berdasarkan persamaan (2) diperoleh,

1

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik E, pada hiperbola

1 adalah:

5D5 6⁷ 4D4

8⁷ D

Apabila hiperbola 1 pusatnya kita translasikan sejauh W

X kita dapatkan persamaan hiperbola ^9: ^9; 1. Demikian pula persamaan garis singgung di suatu titik , pada hiperbola ^9: ^9; 1 adalah

5_D 5

6⁷ 4 84_D 8

8⁷ D

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung hiperbola 1 melalui titik E, adalah

4D4 6⁷ 5D5

8⁷ D

Dan persamaan garis singgung elips ^9; ^9: 1 melalui titik E, adalah

4 84D 8

6⁷ 5D 5

8⁷ D

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 2 3 8 6 7 0 di titik 4, 3!

Penyelesaian.

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

50 50 50 50

51 5151 51

535353 53 52 52 52 52

(7)

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola 2 3 8 6 7 0 ke bentuk baku persamaan hiperbola adalah

5 ⁷

6⁷ 4 ⁷ 8⁷ D 2 3 8 6 7 0

2 8 3 6 7 0 2 4 3 2 7 2 2 8 3 1 3 7 2 2 3 1 12

2

6 1 4 1

Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik 4, 3 adalah

1

6 2

6 2 1

4 1

2 1

2 1 2 4 1 2

2 3 0

Jadi, persamaan gari singgung hiperbola yang melalui titik 4, 3 adalah 2 3 0

CC

CC.... Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik Z5D, 4D di Luar Hiperboladi Luar Hiperboladi Luar Hiperboladi Luar Hiperbola Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik E, di luar hiperbola, maka diskusikan kegiatan 15.3 dengan memperhatikan Gambar 15.3 di bawah ini.

Kegiatan 15.3 Menentukan Titik Kegiatan 15.3 Menentukan Titik Kegiatan 15.3 Menentukan Titik

Kegiatan 15.3 Menentukan Titik Z5D, 4D dan Garis Polardan Garis Polardan Garis Polardan Garis Polar

Jika titik , terletak di luar hiperbola yang berpusat di 0, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 15.3 di bawah ini:

(8)

Gambar 15.3 Gambar 15.3 Gambar 15.3

Gambar 15.3 Titik di Luar Titik di Luar Titik di Luar Titik di Luar HiperbolaHiperbolaHiperbola Hiperbola

Persamaan garis singgung yang melalui titik E, tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Langkah-langkahnya:

1. Titik E, berada di luar hiperbola 1.

2. Dari titik E dapat dibuat 2 buah garis singgung hiperbola yaitu [ dan R.

Garis [ menyinggung hiperbola di F, ; garis R menyinggung hiperbola di \], ]. Jadi, titik E merupakan titik potong garis singgung [ dan R.

3. Tentukan persamaan garis singgung EF dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu ^{^}^{^} 1. Titik E, pada EF, sehingga diperoleh ^{^}^{^} 1. Itu berarti F, pada garis

_^

^{^} 1….(1)

4. Tentukan persamaan garis singgung E\ dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh ^{^}^_^{^}^_ 1. Itu berarti \], ] pada persamaan ^{^}^{^} 1….(2)

5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis F\ (garis penghubung antara titik F dan \) yaitu ^{^}^{^} 1 yang juga di sebut garis polar dari titik E, terhadap hiperbola ^{^}^{^} 1 adalah

5D5 6⁷ 4D4

8⁷ D

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula:

1. Persamaan garis polar dari titik E, terhadap hiperbola

1 adalah

54 54 54 54

(9)

5D5 6⁷ 4D4

8⁷ D

9:

^9; 1 adalah

5_D 5

6⁷ 4_D 4 D

8⁷ D

1 adalah

4D4 6⁷ 5D5

8⁷ D

4. Persamaan garis polar dari titik E, terhadap hiperbola ^9;

9:

1 adalah

4_D949

6⁷ ⁵^D⁹⁵⁹₈7 D

Menentukan persamaan garis singgung dari titik , di luar hiperbola baik yang berpusat di 0, 0 maupun yang berpusat di , .

diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membuat garis polar dari titik E terhadap hiperbola.

2. Mencari koordinat titik potong garis polar dengan hiperbola.

3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan hiperbola tersebut.

Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik E1, 2 di luar hiperbola

12

3 1 Penyelesaian

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Perhatikan hasil temuan di bawah ini.

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu,

1 12 2

3 1 3 24 36

8 12

12 8 . . 1

Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan hiperbola 55 55 55 55

5757 5757

56 5656 56

(10)

12

3 1 sehingga diperoleh,

12 8 12

3 1

12 8 4 12 144 192 64 4 12 0

60 192 132 0 5 16 11 0

5 11 1 0

11

5 atau 1

Substitusikan nilai _` atau 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai ^a_` atau 4. Sehingga titik singgung hiperbola adalah W^a_` ,_`X dan 4, 1.

Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan persamaan garis singgung hiperbola _] 1 dengan titik W^a_` ,_`X adalah:

1

285 12

115 3 1

28

5 44

5 12

28 44 60 7 11 15 7 11 15 0

Dan persamaan garis singgung hiperbola _] 1 dengan titik 4, 1 adalah:

1 412

3 1

3 3 1

3

(11)

1. Persamaan garis singgung pada hiperbola 1 dengan gradien adalah:

4 5 ± 36⁷ ⁷ 8⁷

2. Persamaan garis singgung pada hiperbola ^9: ^9; 1 dengan gradien adalah:

4 5 ± 36⁷ ⁷ 8⁷

3. Persamaan garis singgung pada hiperbola 1 dengan gradien adalah:

4 5 ± 38⁷ ⁷ 6⁷

4. Persamaan garis singgung pada elips ^9; ^9: 1 dengan gradien adalah:

4 5 ± 38⁷ ⁷ 6⁷

5. Persamaan garis singgung yang melalui titik E, pada hiperbola

1 adalah:

5D5 6⁷ 4D4

8⁷ D

9:

^9; 1 adalah:

5_D 5

6⁷ 4 4_D

8⁷ D

1 adalah:

4D4 6⁷ 5D5

8⁷ D

9;

^9: 1 adalah:

4D 4

6⁷ 5D 5

8⁷ D

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

KEGIATAN BELAJAR 15

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Rangkuman

Rangkuman

Rangkuman

Rangkuman