Persamaan Garis Singgung. Disusun Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Persamaan Garis Singgung

Disusun Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

www.matikzone.wordpress.com

April 2012

Download juga Galeri Soal Lingkaran, 71 soal beserta penyelesaiannya dan 235 soal latihan. Gratis tanpa mbayar… Hanya di www.matikzone.co.cc

Persamaan Garis Singgung LINGKARAN Email : matikzone@gmail.com

Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only)

Hak Cipta Dilindungi Undang- undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa

www.matikzone.wordpress.com

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Sebuah Lingkaran (PGSL)

No. Bahasan Persamaan Garis Singgung

1. PGSL melalui titik PADA lingkaran _L: 2 2 2 r y x + = PGSL: x1x+ y1y=r2 L:

(

x−a

) (

2 + y−b

)

2 =r2 PGSL:

(

x1−a

)(

x−a

) (

+ y1−b

)(

y−b

)

=r2 L: x2 + y2 +Ax+By +C =0 PGSL:

(

)

(

)

0 2 2 1 1 1 1 + + + + y + y +C= B x x A y y x x

2. PGSL dengan gradien m diketahui _L: 2 2 2 r y x + = PGSL: y=mx±r 1 m+ 2 L:

(

x−a

) (

2 + y−b

)

2 =r2 PGSL: y−b=m

(

x−a

)

±r 1 m+ 2 L: 2 + 2 + + + =0 C By Ax y x PGSL: 2 2 2 1 4 4 2 1 2 1 m C B A A x m B y ± + − ⋅ +      + = +

3. PGSL melalui sebuah titik di LUAR lingkaran

Dengan mencari persamaan garis polar/kutub (PGP). Langkah2:

ü Tentukan PGP, dengan rumus seperti rumus PGSL melalui titik pada lingkaran.

ü Tentukan titik singgung A dan B (subtitusi PGP dalam y = mx + c ke persamaan lingkaran).

ü Tentukan PGSL menggunakan PGSL melalui titik pada lingkaran.

Dengan mencari gradien PGSL, kemudian gunakan rumus persamaan garis jika diketahui gradien dan titik yang dilaluinya.

Setidaknya ada 5 cara yang bisa kita pakai, meski dalam soal tertentu akan mengalami masalah di tengah jalan. Lihat contoh soal.

(

x1, y1

)

T Garis polar/kutub g1 g2 A B P g1 L g2 gs T(x1, y1)

www.matikzone.wordpress.com

Persamaan Garis Singgung Persekutuan 2 Lingkaran (PGSP)

No Keadaan 2 Lingkaran

Banyak

PGSP Cara menentukan PGSP

Dalam Luar Dalam Luar

1

Saling Asing Luar

2 2

Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:

    + + + + r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P Dengan: L1: Pusat P , jari-jari R L2: Pusat Q, jari-jari r (contoh soal no 8)

Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:

    − − − − r R ry Ry r R rx Rx S Q P , Q P (contoh soal no 9)

Jika jari-jari lingkaran sama mk m gs = mPQ (contoh soal no 10) 2 Bersinggungan Luar 1 2 Cara 1: 0 2 1− = ≡L L PGS Cara 2: Menentukan titik singgung, kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran. (contoh soal no 11) -- Sda -- 3 Berpotongan 0 2 - -- Sda -- 4 Bersinggungan Dalam 0 1 - Cara 1: 0 2 1− = ≡L L PGS Cara 2:

Menentukan titik singgung, kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.

5 Saling Asing Dalam 0 0 - - S E

www.matikzone.wordpress.com

Soal-Soal:

1. _{Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran} 2 + 2 =₁₃ y

x di titik T(2, -3).

Jawab:

Persamaan garis singgung di titik (2, -3) pada lingkaran 2 + 2 =13

y x adalah: 0 13 3 2 13 ) 3 ( 2x+ − y= ⇒ x− y− =

Jadi persamaan garis singgungnya 2x−3y−13=0

2. _{Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran}

(

₋₁

) (

2 _{+ −3}

)

2 ₌₂₅

y

x di titik T(1, -2).

Jawab:

Titik (1, -2) pada lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−3

)

2 =25 karena

( ) (

1−1 2 + −2−3

)

2 =0+25=25

Persamaan garis singgung di titik (1, -2) pada lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−3

)

2 =25 adalah:

( )(

) (

)(

)

2 25 15 5 25 3 3 2 1 1 1 − = = + − = − − − + − − y y y x

Jadi persamaan garis singgungnya y =−2

3. Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran x2 +y2 +6x−4y−45=0_. Jawab:

Titik (4, -1) pada lingkaran x2 + y2 +6x−4y−45=0 _karena

( )

1 6.4 4

( )

1 45 16 1 24 4 45 45 45 0

42 + − 2 + − − − = + + + − = − =

Persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran 2 + 2 +6 −4 −45=0

y x y x adalah:

( )

(

)

(

)

0 31 3 7 0 45 2 2 3 12 4 0 45 1 2 4 4 2 6 1 4 = − − = − − + + + − = − + + − − + + + − + y x y x y x y x y x

Jadi persamaan garis singgungnya 7x−3y−31=0

4. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 + 2 =₂₅ y

x _{dengan gradien 2.}

Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran x2 +y2 =25 _{dengan gradien m = 2 adalah:} 5 5 2 2 1 5 2 2 ± = + ± = x x y

www.matikzone.wordpress.com 5. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x+2y−4=0 pada lingkaran

(

x−4

) (

2 + y−2

)

2 =5. Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − = _{dengan gradien m adalah:}

(

)

2 1 m r a x m b y− = − ± + Cara 1:

Misalkan gradient garis singgung adalah m dan gradient garis ₁ x+2y−4=0 _adalah m . ₂

Garis 2 1 4 2 1 0 4 2 − = ⇒ = − + ⇒ ₂ =− + y y x m x

Garis dengan gradient _{m dan tegak lurus dengan 1} x+2y−4=0 _{mempunyai hubungan:}

m . 1 m = – 1 2 1 m . 2 1 − = – 1 m = 2 ₁

Jadi persamaan garis singgung:

(

)

(

)

5 6 2 5 5 8 2 2 2 1 5 4 2 2 1 2 2 ± − = ⇒ ± − = − ⇒ + ± − = − ⇒ + ± − = − x y x y x y m r a x m b y

Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y =2x−1 _dan y=2x−11

6. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 + 2 +₄ +₁₀ +₂₁=₀ y

x y

x _{yang sejajar dengan}

garis −6x+2y−17=0. Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran x2 +y2 +Ax+By+C =0 _{dengan gradien m adalah:}

2 1 2 1 2 1 m r A x m B y ± +      + = + atau 2 2 2 1 4 4 2 1 2 1 m C B A A x m B y ± + − ⋅ +      + = +

Misalkan gradient garis singgung adalah m dan gradient garis ₁ −6x+2y−17=0 _adalah m . ₂

Garis 3 2 17 3 0 17 2 6 + − = ⇒ = + ⇒ ₂ = − x y y x m

Garis dengan gradient _{m dan sejajar dengan 1} −6x+2y−17=0 _{mempunyai hubungan:}

m = 1 m = 3 2

Jadi persamaan garis singgung:

(

)

5 4 1 3 10 8 6 3 5 3 1 21 25 4 2 3 5 1 4 4 2 1 2 1 2 2 2 2 ± + = ⇒ ⋅ ± + + − = ⇒ + − + ± + = + ⇒ + ⋅ − + ±       + = + x y x y x y m C B A A x m B y

www.matikzone.wordpress.com 7. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 + 2 =₄

y

x yang melalui titik T(3, 2).

Jawab: Cara 1:

Persamaan garis polar lingkaran x2 + y2 =4 yang melalui titik T(3, 2) adalah

2 2 3 4 2 3x+ y= ⇒ y=− x+

Subtitusi ke persamaan llingkaran

13 24 0 0 6 4 13 0 6 4 13 0 4 4 6 4 9 4 2 2 3 2 2 2 2 2 = = ⇒ =       ₋ ⇒ = − ⇒ = − + − + ⇒ =      _{− +} + x atau x x x x x x x x x x

Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran):

Untuk .0 2 2

( )

0, 2 2 3 0 y T₁ x= ⇒ =− + = ⇒ Untuk       ₋ ⇒ − = + − = + − = ⇒ = 13 10 , 13 24 13 10 13 26 13 36 2 13 24 . 2 3 13 24 2 T y x

Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran.

PGS 1: 2 4 2 4 2 0 = ⇒ = ⇒ = + y y y x PGS 2: 0 26 5 12 52 10 24 4 13 10 13 24 = − − ⇒ = − ⇒ = − y x y x y x

Jadi persamaan garis singgungnya y =2 _dan 12x−5y−26=0

Cara 2:

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =r2 _{dengan gradien m adalah} y =mx±r 1 m+ 2 Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2

Maka

(

)

(

)

(

)

5 12 0 0 12 5 0 12 5 4 4 4 12 9 1 4 4 12 9 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − = − + = + − + = + − + ± = + − + ± = + − + ± = + − m atau m m m m m m m m m m m m m m mx m mx m r mx x m

www.matikzone.wordpress.com Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = m (x – 3) + 2 (bukan ke y =mx±r 1 m+ 2 ): Untuk m=0⇒ y =0

(

x−3

)

+2=0+2=2 ⇒ y=2 Untuk

(

)

12 5 26 0 5 26 5 12 2 3 5 12 5 12 _{⇒ = − + ⇒ = − ⇒ − − =} = y x y x x y m

Jadi persamaan garis singgungnya y =2 _dan 12x−5y−26=0

Cara 3:

Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =r2 _{dengan gradien m adalah} 2

1 m

r mx

y = ± +

Garis singgung lingkaran x2 + y2 =4 melalui titik T(3, 2) maka:

(

)

5 12 0 0 12 5 0 12 5 4 4 9 12 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 = = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = + − ⇒ + ± = − ⇒ + ± = ⇒ + ± = m atau m m m m m m m m m m m m m r mx y

Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2 Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan y

Untuk m=0⇒ y =0

(

x−3

)

+2=0+2=2 ⇒ y=2 Untuk

(

)

12 5 26 0 5 26 5 12 2 3 5 12 5 12 = − − ⇒ − = ⇒ + − = ⇒ = y x y x x y m

Jadi persamaan garis singgungnya y =2 _dan 12x−5y−26=0

Cara 4:

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik (x1, y1) adalah

y – y1 = m (x – x1), dengan:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 r a x r a x b y r a x b y m − − − − + − ± − − =

Lingkaran x2 + y2 =4 mempunyai pusat P(0, 0) dan berjari-jari 2 melalui titik T(3, 2) mempunyai PGSL y – 2 = m (x – 3), dengan:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

5 6 6 4 9 9 2 6 2 0 3 2 0 3 0 2 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 ± = − ± = − − − − + − ± − − = m

Jadi persamaan garis singgungnya

(

3

)

5 6 6 2= ± − − x y , yaitu

(

3

)

2 . 0 2= − ⇒ = − x y y _dan

(

3

)

12 5 26 0 5 12 2= − ⇒ − − = − x x y y

www.matikzone.wordpress.com Cara 5:

Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(3, 2) adalah

(

3

)

2

(

3

)

2= − ⇒ = + −

− m x y m x y

Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran x2 +y2 =4

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

) (

4 6

) (

12 9

)

0 0 4 9 6 12 4 4 0 4 9 6 3 4 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + − + + ⇒ = − + − + − + + ⇒ = − + − + − + + ⇒ = − + + m m x m m x m m x m x m m mx x x x m x m x x m x

Syarat menyinggung adalah D = 0

(

) (

)(

)

(

)

5 12 0 0 12 5 0 12 5 0 48 20 0 36 48 36 48 36 48 16 0 9 12 1 4 6 4 0 2 2 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 = = ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ = − + − + + − ⇒ = + − + − − ⇒ = m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m m m D Untuk m=0 ⇒ y =2+0.

(

x−3

)

⇒ y =2 Untuk

(

3

)

12 5 26 0 5 12 2 2 12 = − − ⇒ − + = ⇒ = y x x y m

Jadi persamaan garis singgungnya y =2 _dan 12x−5y−26=0

Cara 6:

Lingkaran x2 + y2 =4 _{berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari r = 2}

Persamaan garis singgung yang melalui titik T(3, 2) dan bergradien m adalah:

(

)

(

)

(

2 3

)

0 3 2 3 2 1 1 = − + − ⇒ − + = ⇒ − = − ⇒ − = − m y mx m mx y x m y x x m y y

Jari-jari r adalah jarak P(0, 0) dengan garis mx− y+

(

2−3m

)

=0

(

)

( )

(

)

5 12 0 0 12 5 0 12 5 9 12 4 4 4 1 9 12 4 4 1 3 2 2 1 3 2 0 . 1 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 = = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + − = + ⇒ + + − = ⇒ + − = ⇒ − + − + − = m atau m m m m m m m m m m m m m m m m r Diperoleh PGS 1: 0.x−y+

(

2−3.0

)

=0⇒−y+2=0 ⇒ y=2 PGS 2: 0 12 5 26 0 5 26 . 5 12 0 5 12 . 3 2 . 5 12 = − − ⇒ =      − + − ⇒ =       − + − y x y x y x

www.matikzone.wordpress.com Catatan: cara 1 adalah yang paling “aman”, karena cara 2, 3, 4, 5 dan 6 kadang akan menemui masalah di tengah jalan. Silakan untuk mencoba soal berikut: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−2

)

2 =16 _{yang melalui titik T(5, 4). (lihat pada bagian akhir pembahasan)}

8. _{Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam}

(

₂

) (

2 ₃

)

2 ₁₆ 1 ≡ x− + y− = L dan

(

12

) (

2 3

)

2 4 2 ≡ x− + y− = L . Jawab:

Koordinat titik E adalah

    + + + + r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P

(

2

) (

2 3

)

2 16 1 ≡ x− + y− =

L _{mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4}

(

12

) (

2 3

)

2 4

2 ≡ x− + y− =

L mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2

Koordinat titik E adalah 

     =       =       + + + + 3 , 3 26 6 18 , 6 52 2 4 3 . 2 3 . 4 , 2 4 2 . 2 12 . 4 E E E

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:

(

)

2

(

)

2 1 4 2 3 1 m y m x m r x x m y y− _P = − _P ± + ⇒ − = − ± +

Garis singgung melalui titik 

     3 , 3 26 E

(

)

4 3 16 9 9 16 144 256 400 144 144 9 400 16 16 3 20 1 4 1 4 3 20 0 1 4 2 3 26 3 3 1 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ± = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ± ⇒ + ± = ⇒ + ±       ₋ = − ⇒ + ± − = − m m m m m m m m m m m m m m m x m y

www.matikzone.wordpress.com Persamaan garis dengan gradien m dan melalui 

     3 , 3 26 E _adalah:       − = − 3 26 3 m x y 0 14 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 = − − ⇒ − = − ⇒       − = − ⇒ = y x x y x y m Untuk 0 38 4 3 4 26 4 3 3 3 26 4 3 3 4 3 = − + ⇒ + − = − ⇒       − − = − ⇒ − = y x x y x y m Untuk 3₃ 4₄ 14₃₈ 0₀ 2 1 = − + ≡ • = − − ≡ • y x g y x g

9. _{Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran}

(

₅

) (

2 ₆

)

2 ₁₆ 1 ≡ x− + y− = L dan

(

15

) (

2 4

)

2 4 2 ≡ x− + y− = L . Jawab:

Koordinat titik S adalah

    − − − − r R ry Ry r R rx Rx S Q P , Q P

(

5

) (

2 6

)

2 16 1 ≡ x− + y− =

L _{mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4}

(

15

) (

2 4

)

2 4

2 ≡ x− + y− =

L mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2

Koordinat titik S adalah

(

25, 2

)

2 4 , 2 0 5 2 4 6 . 2 4 . 4 , 2 4 5 . 2 15 . 4 S S S =      =       − − − −

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:

(

)

2

(

)

2 1 4 5 6 1 m y m x m r x x m y y− _P = − _P ± + ⇒ − = − ± +

Garis singgung melalui titik S

(

25, 2

)

Jadi, persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2 adalah:

www.matikzone.wordpress.com

(

)

(

)

(

)

12 5 24 10 0 0 10 24 0 10 24 1 10 25 1 1 5 1 1 5 1 1 4 20 4 1 4 5 25 6 2 1 4 5 6 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ + + = + ⇒ + = + ± ⇒ + ± = − ⇒ + ± = − ⇒ + ± − = − ⇒ + ± − = − m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m x m y

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S

(

25, 2

)

_adalah: y−2=m

(

x−25

)

(

)

2 0 2 25 0 2 0 = ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ = y y x y m Untuk

(

)

0 149 12 5 125 5 24 12 12 125 12 5 2 25 12 5 2 12 5 = − + ⇒ + − = − ⇒ + − = − ⇒ − − = − ⇒ − = y x x y x y x y m Untuk

Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:

0 149 12 5 2 + − = = dan x y y

10. _{Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran}

(

₄

) (

2 ₂

)

2 ₅ 1 ≡ x− + y− = L dan 5 5 6 5 12 2 2 2  =      + +       − ≡ x y L . Jawab:

(

4

) (

2 2

)

2 5 1 ≡ x− + y− =

L _{mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R =} 5 5 5 6 5 12 2 2 2  =      + +       − ≡ x y L mempunyai pusat       ₋ 5 6 , 5 12

Q dan jari- jari r = 5 P Q g1 g2 r R= r

www.matikzone.wordpress.com 11.

Untuk R = r, PQ sejajar kedua garis singgung.

2 8 16 5 8 5 16 5 12 4 5 6 2 = = = − + = ∆ ∆ = = x y m m_{gs PQ}

Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2 (garis singgung persekutuan luar)

Persamaan garis singgung L1 dengan gradien 2 adalah:

(

)

1 2 11 2 5 6 2 5 8 2 2 2 1 5 4 2 2 2 − = − = ⇒ ± − = ⇒ ± − + = ⇒ + ± − = − x y atau x y x y x y x y

Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:

1 2 −

= x

y dan y =2x−11.

Tentukan persamaan garis singgung persekutuan antara lingkaran L₁ ≡

(

x−1

) (

2 + y−1

)

2 =9 _dan

(

6

) (

2 1

)

2 4 2 ≡ x− + y− = L . Jawab:

(

1

) (

2 1

)

2 9 1 ≡ x− + y− =

L _{mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3}

(

6

) (

2 1

)

2 4

2 ≡ x− + y− =

L mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2

Terdapat 2 garis singgung persekutuan luar dan 1 garis singgung persekutuan dalam.

Garis singgung persekutuan luar

Titik potong kedua garis singgung:

(

16,1

)

2 3 2 3 , 2 3 2 18 , S S r R ry Ry r R rx Rx S Q P Q P =      − − − − =     − − − −

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:

(

)

2

(

)

2 1 2 6 1 1 m y m x m r x x m y y− _Q = − _Q ± + ⇒ − = − ± +

www.matikzone.wordpress.com

(

)

(

)

24 1 24 1 4 96 4 4 100 1 2 10 1 2 10 0 1 2 6 16 1 1 1 3 6 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ± = ⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ + ± = ⇒ + ± = ⇒ + ± − = − ⇒ + ± − = − m m m m m m m m m m m m x m y

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S

(

16, 1

)

_adalah: y−1=m

(

x−16

)

(

)

24 16 1 24 1 16 24 1 1 24 1 − + = ⇒ − = − ⇒ = x y x y m Untuk

(

)

24 16 1 24 1 16 24 1 1 24 1 + + − = ⇒ − − = − ⇒ − = x y x y m Untuk Jadi ₂₄ 16 1 24 1 − + = x y dan 24 16 1 24 1 + + − = x y

Garis singgung persekutuan dalam Cara 1: 0 2 1− = ≡L L PGS

(

) (

)

(

) (

)

( ) (

)

− = = = − + − + − = − − − = − + − = − + − 4 40 10 5 35 12 1 2 5 6 1 4 1 6 9 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y x y x Cara 2:

Titik singgung kedua lingkaran adalah =

    + + + + r R ry Ry r R rx Rx E Q P, Q P

( )

4,1 2 3 2 3 , 2 3 2 18 E E =      + + + +

E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.

(

)(

) ( )(

)

(

)

4 12 3 9 3 3 9 1 3 9 1 1 1 1 1 4 = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − + − − x x x x y x

Jadi persamaan garis singgung persekutuan L1 dan L2 adalah: ₂₄ 16 1 24 1 _{+ −} = x y , 24 16 1 24 1 + + − = x y _{, dan x = 4}