UJIAN TENGAH SEMESTER 2 (MA1122) KALKULUS 1

UJIAN TENGAH SEMESTER 2

(MA1122) KALKULUS 1

Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003

1. Sebuah pagar dengan tinggi 2 meter berdiri sejajar dengan dinding sebuah gedung sejauh 1 4^{r meter dari gedung tersebut (lihat gambar). Berapa panjang tangga yang} dapat melintasi pagar dari permukaan tanah untuk mencapai dinding tersebut?

2. Cari persamaan kurva yang melalui 2,1, jika kemiringan garis singgungnya di setiap

titik adalah 2 kali kemiringan garis singgung pada kurva
  2 di titik dengan absis

yang sama.

3. Diketahui : 
  · √1  J_^  9J

a. Tunjukkan bahwa f mempunyai invers b. Hitunglah b0

4. Diketahui D suatu daerah tertutup yang dibatasi oleh   √
 1 ,   0 ,
 3.

Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu-x . Buatlah terlebih dahulu sketsa daerah D

5. Tentukan :

a. Turunan dari   ^_Q

b. Tentukan D}

D ^{dari persamaan implisit} I}   2

gedung

pagar

tangga ¼

Solusi Ujian Tengah Semester 1

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003

1. Lihat gambar terlebih dahulu

Panjang tangga adalah gi  gh  hi maka dari gambar diperoleh sin ¸  _po^ ² gh _{¡¢£ ¹}^ dan cos ¸  `r

oq ² hi _{` ´µ¡¹</sub><sup></sup> . Sehingga gi <sub>¡¢£ ¹</sub><sup></sup> <sub>` ´µ¡ ¹}^  ¸.

Yang ingin dicari adalah panjang tangga terpendek, oleh karena itu harus

meminimumkan fungsi ¸, yaitu turunan pertamanya sama dengan nol b¸  0.

Diperoleh ¸ _{¡¢£ ¹}^ _{` ´µ¡ ¹</sub><sup></sup>  2sin ¸ 4 cos ¸ b¸ <sup> ´µ¡¹</sup><sub>…Z[U¹</sub> <sub>` 1º}^{¡¢£ ¹}_U 0 ­1º… Q…Z[  ` 1º…U…Z[U¹  0 8G P
 P
 0 P
 8G P
J"P
 8 tan
 2

Sehingga diperoleh juga sin ¸ _√O^ dan cos ¸ _√O^, oleh karena itu panjang tangganya adalah gi  _{¡¢£ ¹}^ _{` ´µ¡¹}^  ^U

ì

_`^• √¨

^O_`√5.

2. Misal persamaan kurva yang dimaksud adalah 
, kemiringan garis singgung yang

menyinggung kurva tersebut adalah D

D
  b
  . Diketahui kurva
  2

ekivalen dengan  ^_. Lalu kemiringannya adalah D}

D _^_U. gedung pagar _tangga ¼ α ^A B C 2m α 1 2 √5

Diketahui bahwa kemiringan kurva 
 dua kali kemiringan garis yang menyinggung

kurva
  2, maka b
  2 R_^US  _^`_U. Dari informasi b
 kita dapat

memperoleh 
  · b
 9
 · _^{`</sup>U9
<sup>`}_ G.

Diketahui kurva tersebut melalui 2, 1, sehingga 2  _^`  G  1, maka

diperoleh G  1.

Sehingga diperoleh kurva yang dimaksud yaitu 
 ^`_ 1

3. a. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan fungsi ada:

i. b
 & 0 maka f monoton naik

ii. b
 % 0 maka f monoton turun

Lalu untuk melihat kemonotonan selanjutnya kita turunkan 
  · √1  J_^  9J. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa


 _D^D · J9J_’^ , sehingga

b
 _D^D · √1  J_^  9J √1 
  

Karena √1 
   & 0 maka b
 & 0 artinya f monoton naik (monoton murni). Maka 
  · √1  J_^  9J mempunyai invers.

b. Diketahui bahwa jika   
 dengan syarat b
 ' 0 maka b _=e^_. Untuk mencari b0, informasi yang sudah didapat adalah b
  √1 
  

dan

  0 yaitu · √1  J_^  9J  0 maka x yang memenuhi adalah
 1. Sehingga b0 _=e^_  _√Q^ _U  _√^ . 4. (3,2) (-1,0) X = y = 0 Y = f1 
 daerah D

Untuk menghitung volumenya dengan metode cincin

∆©  vB√
 1C^∆
©  v · B√
 1C_^{P }9
©  v · 
 19
_^P ©  v. $R^_

Sˆ  P  v R^V_ 3 ^_ 1S  8v

5. a. Untuk mencari turunan dari ln^_Q , perhatikan terlebih dahulu jika   ln 


maka D}

D _=^ b
. Dari persamaan   ^_Q, misal 
 ^_Q maka

b
 ^Q_QU _Q^ _U Maka D} D  „_•^ „T•  QU _Q^  _U^_

b. Diketahui I}   2, maka ^D}_D dapat diperoleh dari D DI}  _D^D 2 I}
I} D} D^D}_D 0 I} 
I} 1^D}_D 0 
I} 1^D}_D I} D} D _X^}X_„‚^„‚_Q ∆x y ∆x

Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005

1. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan
P  2
  3  0 di titik 1,2.

2. Sebuah kolam panjangnya 40 meter, lebarnya 20 meter, kedalaman berubah dari 0 meter sampai 5 meter dengan alas berupa persegi panjang (lihat gambar). Jika air dipompakan ke dalam kolam dengan laju 40 P_{/ menit, seberapa cepat permukaan air} naik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter.

3. Tentukan n1ilai maksimum dan nilai minimum dari 
  3
 P⁄  3
O P⁄ _{, pada} selang 1 ,
,^_­.

4. Diketahui daerah tertutup R yang dibatasi oleh grafik  
 3, sumbu x, garis
 1,

dan garis
 5

a. Gambarkan daerah R.

b. Nyatakan luas daerah R dalam integral tertentu dan hitunglah integralnya. 5. Suatu benda bergerak pada sumbu x dengan kecepatan pada saat t adalah –J  2J

14J  5 m/detik, dengan posisi awal di
 1000 meter.

a. Tentukan posisi benda saat J  3.

b. Pada saat J  3, tentukan apakah benda sedang menjauhi atau mendekati titik
 0. Jelaskan alasannya.

6. Diketahui daerah R dibatasi grafik   I_{, sumbu y, sumbu x, dan garis}
 1

a. Gambarkan daerah R.

b. Jika daerah R diputar terhadap garis   1, tentukan volumebenda putarnya.

7. Diketahui fungsi 
  · √1  J_^ P9J, dengan
5 )0, $∞$

a. Hitunglah b


b. Berikan alasan mengapa f mempunyai invers c. Hitung b0

5 m

20 m

Solusi Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005

1. Persamaan garis singgung kurva 
 di titik 
_, _ adalah   _  

_.

Dimana  b
  ^D}_D adalah gradient garis singgungnya. Selanjutnya mencari terlebih dahulu gradient lengkungan, yaitu

D D
P 2
  3  _D^D 0 3
  R2 4
^D}_DS  2^D}_D 0 3
 2 4
^D}_D 2^D}_D  0 2  4
^D}_D 2 3
 D} D ^}_}`}^UPU

Selanjutnya substitusi 1,2 ke ^D}_D, sehingga diperoleh  $^D}_Dˆ_, ^._{.`..</sub><sup>UP.U</sup> <sup>O</sup><sub>`}. Sehingga persamaan garis singgung dari lengkungan
P  2
  3  0 di mana 
,   1,2 adalah   2  ^O_{`</sub>
 1  <sup>O</sup><sub>`}
^P_`

2. Perhatikan gambar berikut

5 m

20 m

h

x

dari gambar akan diperoleh «

_`^O ²
 8-

Volume kolam: ©  ^_
. -. 20  10
-  80- _{dan diketahui bahwa air dipompakan} dengan laju 40 P_{/ menit, artinya} ^D¬

DF  40.

Dari volume kolam yang merupakan fungsi dari tingginya diperoleh D¬

DF  160- ^D«_DF, oleh karena itu:

40  160- ^D«_DF ²^D«_DF  _`«^

Pertanyaannya adalah seberapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter, maka:

$D«

DFˆ_«NP  _`.P^ _^ IJI ªI I J

3. Diketahui fungsi 
  3
 P⁄  3
O P⁄ _{, dicari nilai maksimum dan nilai minimum} pada selang 1 ,
,^_­. Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik kritis. Titik kritis yaitu:

i. Titik ujung pada selang. Pada soal ini titik ujung selang terjadi pada
 1 dan
^_­, maka 1  31 P⁄  31O P⁄  6 dan  R^_­S  3 R^_­S^{ P⁄}  3 R^_­S^{O P⁄}  ^_P.

ii. Titik stasioner, yaitu titik yang mana b
  0. Dari soal diperoleh b
  2
 P⁄  5
 P⁄ _dimana
' 0. Sehingga diperoleh 2
 P⁄  5
 P⁄  0 ²
^_O. Tetapi
^_O tidak memenuhi karena berada di luar selang yang diminta. iii. Titik singular, yaitu titik dimana b
 tidak terdefinisi, karena b
 tidak

terdefinisi di
' 0 dan titik
 0 merupakan titik singular. Maka 0  30 P⁄  30O P⁄  0.

Sehingga disimpulkan bahwa fungsi 
  3
 P⁄  3
O P⁄ _{mencapai maksimum di} titik
 1 di mana 1  6 dan mencapai titik minimum di
 0 di mana 0  0.

h 5

x

4. Daerah dibatasi oleh grafik  
 3, sumbu x, garis
 1, dan garis
 5

a.

b. 2>  · 
9
 · 
 39
_^O _^O

 · 
 39
_^P · 
 39
_P^O (pada selang 1 ,
, 3 fungsi bernilai

negatif karena berada dibawah sumbu-x.

 · 3 
9
_^P · 
 39
_P^O  $3
^_
ˆ  P  $^_
 3
ˆ P O  R3.3 ^_. 3S  R3.1 ^_. 1S  R^_. 5 3.5S  R^_. 3 3.3S  4

5. Diketahui bahwa benda bergerak dengan kecepatan –J  3J 14J  5 m/detik,

dengan posisi awal di
 100 meter.

a. Posisi benda dapat dihitung dari nilai
J  · –J9J.
J  · 3J 14J  5 9J

J  JP  7J 5J  G (subtitusi
 0)

0  0P 7. 0 5.0  G  100 diperoleh G  100. Maka posisi benda

setiap saat t adalah
J  JP 7J  5J  100. Maka posisi benda pada saat J  3 adalah
3  3P 7. 3  5.3  100  49 meter.

b. Kecepatan pada saat J  3 adalah –3  3. 3 14.3  5  20,

kecepatannya bernilai negative atau gradiennya juga negative atau monoton turun. Artinya mendekati
 0

6. a.

2

3

1 5

1 1 + I Y = -1 1 -3 x = 1 Daerah D y = I

b. ∆©  v1  I 1∆
, maka volumenya: ©  v · 1  I^  19
 v · 1  I^  I 19
 v · I^   I9
 v $R^_I ISˆ    v |R^_I IS  R^_ 1S¼  v R^P_^_I IS 7. Diketahui 
  · √1  J_^ P9J dengan
5 )0, $∞$

a. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I yaitu: 
 _D^D · J9J_’^ maka

b
 _D^D · √1  J_^ P9J  √1 
P

b. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan fungsi ada:

i. b
 & 0 maka f monoton naik

ii. b
 % 0 maka f monoton turun

Dari hasil a. diketahui bahwa b
  √1 
P & 0 untuk selang )0, $∞$ yang

artinya f monoton naik (juga monoton murni) maka f mempunyai invers pada selang )0, $∞$.

c. Bahwa jika   
 dengan syarat b
 ' 0 maka b _=e^_. Untuk mencari b0, informasi yang sudah didapat adalah b
  √1 
P _dan

  0 yaitu · √1  J_^  9J  0 maka x yang memenuhi adalah
 1. Sehingga b0 _=e^__√Q^   _√ ^ .

Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006

1. Misalkan 
 
|
  3|, 0 ,
, 3.

a. Tentukan semua titik kritis dari f.

b. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f. 2. Diketahui lim_[—∑ R— _`[QPZ^[ S^{ P}_[

ZN ^{adalah suatu limit jumlah Riemann untuk fungsi}

f. Dengan memisalkan ∆
^P_[ dan
_Z  ∆

a. Tuliskan limit jumlah Riemann di atas sebagai suatu integral tentu b. Hitung integral tentu yang Anda dapatkan di bagian 2a

3. Hitunglah · 2
 |
 1| 9
_^P

4. Diketahui D adalah yang dibatasi oleh grafik
  _dan
   2

a. Tentukan titik potong kedua grafik di atas.

b. Gambarkan daerah D

c. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika diputar mengelilingi garis

 4.

5. a. Tentukan D}

D ^dari  
¡¢£  b. Tentukan ·_X„^XQO^„ 9

Solusi Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006

1. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai definisi harga mutlak, yaitu

|
 "|  #
 "
_{ "} $  #" 
,
% "
_{ ",
 "}$,

Dari definisi diperoleh bahwa fungsi 
 
|
  3| dapat ditulis

• 
 
3 
  3

P _untuk 0 ,
% √3

• 
 

 3 
P 3
untuk √3 ,
, 3

a. Titik kritis

i.Titik ujung selang, yaitu:
 0 dan
 3

ii.Titik stasoiner, yaitu b
  0

Untuk 0 ,
% √3 , b
  3  3
  0, diperoleh
 1 dan
 1,

karena
 1 berada di luar selang, maka
 1 titik stasionernya.

Untuk √3 ,
, 3, b
  3
 3  0, diperoleh
 1 dan
 1,

tetapi
 1 dan
 1 kedua-duanya berada di luar selang.

Jadi titik stasionernya adalah
 1

iii.Titik singular, yaitu titik dimana b
, yaitu di titik
 √3 karena turunan

dari kanan tidak sama dengan turunan dari kiri. Turunan dari kanan:

lim_√PT==B√PC √P lim_√PT P  √P lim_√PTBUPC √P lim_√PTB√PCBQ√PC √P lim_√PT
B
 √3C  6

Turunan dari kiri

lim_√P_==B√PC √P lim_√P_P   √P lim_√P_BP^UC √P lim_√P_B√PCB√PQC √P lim_√P_
B
 √3C  6

b. Cek dari titik kritisnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum. i.Untuk
 0, 0  0

ii.Untuk
 3, 3  3P 3.3  18

iii.Untuk
 1, 1  3.1  1P  2

iv.Untuk
 √3, B√3C  0

2. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral tentu terlebih dahulu yaitu: lim_[—∑ 
— ¿∆
 · 
9
¾ _’^À

ZN ^{di mana} ∆
^À’_[ . a. lim_[—∑ R— _{`[QPZ</sub><sup>[</sup> S<sup> P</sup><sub>[</sub> ZN  lim<sub>[—</sub>∑ Á<sub>`Q}^  ÂZÃ^_[^P — ZN  lim_[—∑ R— _{`QZ∆</sub><sup></sup> S<sup></sup>∆
ZN  lim<sub>[—</sub>∑ R<sub>`Q}^ ÄS^∆
— ZN  lim_[—∑ 
— ¿∆
_¾ ZN

Diketahui 
¿  R_{¾ `Q</sub><sup></sup> <sub>Ä</sub>S<sup></sup>  <sub>`Q}^_ÄU sehingga 
 _`Q^ _U. Karena
_Z  ∆

maka untuk  0 diperoleh
  "  0 dan untuk   diperoleh
_[  y  ∆
 _[^P  3. Sehingga dari definisi integral tentu diperoleh lim_[—∑ R— _`[QPZ^[ S^{ P}_[

ZN  ·^P_`Q^ U9
.

b. Hitung ·^P_`Q^ U9
. Dengan memakai permisalan   4 
² 9  9
dan

pada saat
 0 Å   4 dan
 3 Å   7, maka

·^P_{`Q</sub><sup></sup> U9
 ·<sub>`}^š_c^U9  ^$_cˆ

` š

 ^_š R^_{`</sub>S <sup></sup><sub>`}^_š ^š`_­  _­^P

3. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai

definisi harga mutlak, yaitu

|
 "|  #
 "
_{ "} $  #" 
,
% "
_{ ",
& "}$,

untuk soal ini yaitu · 2
 |
 1| 9
_^P , maka

|
 1|  #
 1
_{ 1} $  #1 
,
% 1
_{ 1
& 1}$ Sehingga · 2
 |
 1| 9
_^P  · 2
 1 
 9
_^  · 2

 1 9
_^P  · 
 1 9
_^  · 3
 1 9
_^P $ ^_

ˆ    $^P_

ˆ  P  R^_ 1S  R^_ 1S  R^P_. 9  3S  R^P_ 1S  2  12  2  12

4. a. Titik potong kedua grafik:

     2    2  0   2  1  0   2 atau   1

saat   2 maka
 4 , diperoleh 4,2

b.

c. Disini >_n  4   _dan >_t  4    2

∆©  v R4   B4    2C^S ∆, maka volumenya adalah

RL RD ∆ 2 -1 f(x) x x= 4 2 -1 (4,2) x = y + 2 x = y²

· v R4  _^  B4    2C^S 9  · v_^ ` 9 4  129  v $R^_OO 3  2 12Sˆ   ^­_O v

5. Diketahui  
¡¢£  _{dan hitung} ·_X„^XQO^„ 9

a. D} D ^dari  
¡¢£   
¡¢£  ln   ln
¡¢£  ln   sin
ln
D Dln  _D^D sin
ln
  }^D}D Rcos
ln
^_sin
S D} D   Rcos
ln
^_sin
S D} D 
¡¢£ Rcos
ln
^_sin
S b. ·_X„^XQO^„ 9
misal   I 5 ² 9  I9
maka ·_X^X„QO^„ 9
 ·_c^9  ln   i  lnI 5  i

Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007

1. (Nilai 16) Sebuah bak air yang alasnya persegi (bujursangkar) akan dibangun untuk menampung 12.000 P _{air. Penutup bidang atas bak terbuat dari logam A, sementara} sisi bidang bak yang lainnya terbuat dari logam B. Jika harga logam A per  _{dua kali} lipat harga logam B per _{, tentukan ukuran bak air agar biaya pembuatannya} minimum.

2. (Nilai 16) Misalkan f fungsi kontinu dengan daerah asal bilangan real dan daerah hasil interval )0, $∞$. Diketahui grafik b _{sebagai berikut:}

a. Tentukan selang kemonotonan dari grafik f. b. Tentukan titik-titik ekstrim lokal dari f.

c. Tentukan selang kecekungan dari grafik f dan titik di mana terjadi perubahan kecekungan.

d. Bila diketahui 0  1, 1  0, 3  2 sketsalah grafik f.

3. (Nilai 16) Dengan menggunakan definisi integral tentu (limit jumlah Riemann), hitung

· 2
 v 9
_^ . Petunjuk: Gunakan
_Z  2 ^PZ_[ dan diketahui ∑ [

ZN ^[[Q_

4. (Nilai 20) Diketahui ¯
  cos
^_. Tentukan fungsi f dan suatu konstanta a agar untuk setiap x berlaku ¯
  · J9J_’^

5. (Nilai 16) Misalkan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh   √
,   
 2 dan sumbu-x.

a. Gambarkan daerah R.

b. Hitung luas daerah R.

6. (Nilai 16) Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh
  dan
 f.

Tiap penampang yang tegak lurus sumbu-y berupa setengah lingkaran dengan garis tengah yang melintasi daerah R. Tentukan volume benda tersebut.

f'(x)

x 1

-1

Solusi Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007

1. Misal panjang sisi bak tersebut adalah s dan tingginya adalah t, Maka volume bak tersebut adalah ©  J dan luas bahan adalah 2  2  4 J. Misal harga untuk

bahan bak tersebut dimisalkan dengan H, maka harga bahan total adalah Æ_FºF  Æ_p  Æ_o4 J  Æ_p _{. Diketahui} ©  J  12000 ² J ^_U dan Æ_p  2Æ_o

sehingga Æ_FºF  2Æ_o  Æ_o4 ^_U  Æ_p   3Æ_o ^{`­</sup><sub>…</sub> Æ<sub>o</sub> artinya Æ<sub>FºF</sub> adalah fungsi dari s atau dapat ditulis Æ<sub>FºF</sub>   3Æ<sub>o</sub> <sup>`­} Æ_o  3Æ_o  48000 Æ_o. Untuk mencari ukuran supaya harga pembuatannya minimum maka harus dicari

Æ_FºF^b   0.

Æ_FºFb   6Æo  48000 Æ_o 0 ² 6Æ_o  48000 Æ_o, ' 0 6 P  48000

P  8000

 20 IJI sehingga J ^_U  J  ^_`  30 IJI

Sehingga supaya pembuatan bak minimum maka panjang sisinya  20 IJI dan

tingginya J  30 IJI

2. Yang diketahui adalah grafik b

a. Untuk melihat selang kemonotonan dari fungsi, terlihat bahwa b
 & 0 pada

selang ∞, 0 dan selang 1,3 artinya f monoton naik. Lalu terlihat bahwa b
 % 0 pada selang 1,1 dan selang 3, ∞ artinya f monoton turun.

b. Titik ekstrim terjadi saat titik stasioner b
  0 pada
 1 dan
 3.Juga

terjadi pada titik singular yaitu b
 tidak ada, yaitu saat
 0

c. Cekung atas: ∞, 0, 0,2 dan 4, ∞. Cekung bawah: 2,4. Terjadi perubahan

kecekungan atau titik belok yaitu pada
 2 dan
 4.

d. f(x) 4 3 2 1 0 1 x

3. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral tentu terlebih dahulu yaitu: lim_[—∑ 
[ ¿∆
 · 
9
¾ _’^À

ZN ^{di mana} ∆
 ^À’_[ . Panjang selang adalah ∆
^_[ _[^P dimana " 
  2 ;
_  2 ^P_[ ;

_  2  2._[^P ; …,
_Z  2  ^P_[ ; …,
_[  y  2  _[^P  1. Sehingga · 2
 v9
_^  lim_[—∑ 
— ¿∆
_¾ ZN  lim_[—∑ R2 R2  [ _[^PS  vS_[^P ZN  lim_[—∑ R4  [ ^‰_[ vS_[^P ZN  lim_[—∑ R[ ^_[  _[^­_U_[^PvS ZN  lim_[—R∑ R^_[S  ∑ R [ ^­_[US ZN  ∑ R[ ^P_[vS ZN [ ZN S  lim_[—R^_[  ^­_[U∑ [ ZN _[^PvS  lim_[—R12 ^­_[U^[[Q_  3vS  lim_[—R12  9^B[U_[^Q[C_U  3vS  lim_[—R12  9  9^_[ 3vS  12  9  0  3v  3  3v

4. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa


 _D^D · J9J_’^ , oleh karena itu 
  ¯b
 _D^D · J9J_’^ . Selain itu didapat

¯b
 _D^D Rcos
^_S   sin
. Oleh karena itu berlaku

¯
  cos
^_ · J9J_’^  ·  sin
9J  $cos
|_’^ ’^  cos
 cos ". Maka diperoleh cos " ^_² " ^w_‰ "J" "  ^w_‰

5. Diketahui daerah R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh   √
,   
 2

dan sumbu-x a)

y = √
y = -x + 2

a) Sebelum mencari luas kita harus tahu titik perpotongannya terlebih dahulu yaitu: √
 
 2
 √
 2  0 B√
 2CB√
 1C  0 √
 1  0 √
 1 ²
 1 dan   1 2  · B2    ^ C9  $2 ^_ ^_PPˆ    R2 ^_^_PS  0 ^š_‰

6. Diketahui Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh
  dan
 f

Partisinya memiliki diameter yaitu

_{, maka volume partisinya (berbentuk tabung} tapi setengah lingkaran) adalah Ʃ ^_R^_`v

S ∆, maka volumenya adalah:

·^_R^<sub>`</sub>v

S 9
 ·<sup></sup><sub>­</sub>v
` 2
P
9
 ^_­v $R^_O^¨^_^³^_O Sˆ    _­^v R^_O^¨^_^³^_O S  _`^ v ∆ x – x² y = x y = x² z x y 1 1 R partis

Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008

1. Sebuah fungsi kontinu f dengan periode v mempunyai sifat-sifat:

• 0  0,  R^w_S  2 , dan 0 , 
 , 2

• b
 & 0 untuk 0 ,
,^w_ dan b
 % 0 untuk ^w_ ,
, v

• bb
 % 0 untuk 0 ,
, v

a. Tentukan selang kemonotonan dari f pada interval |^w_ , 2v¼

b. Tentukan selang kecekungan dari f pada interval |^w_ , 2v¼

c. Gambarkan grafik f pada interval |^w_ , 2v¼

2. Tentukan solusi dari persamaan differensial D}

DF  3√2J  1;  R^_S  1

3. Tentukan fungsi kontinu 
 jika diketahui · ^U J9J ^_P
P_.

4. Diberikan fungsi ganjil 
 dan fungsi genap 
 dengan · |
|^ 9
 3 dan · |
|^ 9
 2. Tentukan:

a. · |
  
|_^ 9

b. · |_^ P

|9

5. Sebuah partikel bergerak pada sumbu x. Posisi mula-mula berada di titik nol dan grafik kecepatannya, –J adalah fungsi yang terdefinisikan dan grafiknya diberikan oleh

gambar di samping. Gunakan informasi yang diberikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut dan beri penjelasan:

a. Tenttukan posisi partikel pada saat J  3.

b. Selama 9 detik pertama, tentukan saat partikel paling jauh dari titik asal. c. Kapan percepatan partikel bernilai 0?

d. Tentukan selang waktu di mana partikel bergerak mendekati titik asal.

6. Alas sebuah benda pejal adalah lingkaran
   4. Irisan penampang benda

tersebut dangan bidang yang tegak lurus sumbu-x berbentuk segitiga sama sisi. Tentukan volume benda tersebut.

(3,3) (1,1) (5,2) (6,0) (9,0) v t

Solusi Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008

1. Dari informasi yang diberikan

a. Karena merupakan fungsi kontinu dengan periode v, maka pada interval |^w_ , 2v¼, f monoton naik pada selang |0,^w_¼ dan |v,^Pw_ ¼. Sedangkan f monoton

turun pada selang |^w_ , 0¼, |^w_, v¼ dan |^Pw_ , 2v¼

b. Fungsi f cekung bawah pada selang |^w_ , 0¼, )0, va dan )v, 2va

c. Sketsa kurva

2. Diketahui D}

DF  3√2J  1;  R^_S  1. Untuk mencari solusinya misalkan   √2J  1 ²   2J  1 ² 2 9  29J ²  9  9J. Sehingga:

9  3√2J  1 9J (diintegralkan kedua ruas) · 9  · 3√2J  1 9J · 9  3 · √2J  1 9J · 9  3 ·  . 9   3 · 9   P i J  B√2J  1C^P i dimana  R^_S  1 maka  R^_S  Á˜2.^_ 1Ã^P i  1

0  i  1 ² i  1, sehingga solusinya adalah J  B√2J  1C^P  1.

3. Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untuk

menentukan turunan fungsi komposit   
  B
C yaitu:

b
  bB
Cb
 Misalkan   
 
 ² b
  2
maka 0 2 3π/2 π/2 π _2π -π/2

D

DB· ^c J9JC _D^D R^_P
PS . b 2



. 2
 2



 
² 
  √
. Jadi 
  √
fungsi kontinu yang dimaksud.

4. Diberikan fungsi ganjil 
 dan fungsi genap 
 dengan · |
|^ 9
 3 dan · |
|^ 9
 2.

a. · |
  
|_^ 9

 · |
|_^ 9
 · 
9
_^ (karena harga mutlak fungsi ganjil adalah fungsi genap)

2 · |
|^ 9
 2 · 
9
^  2.3  2.2  6  4  2

b. · |_^ P

|9
, karena P
 fungsi ganjil dan 
 fungsi genap, maka hasil

kali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil juga, oleh karena itu

· |_^ P

|9
 0

5. Diketahui:

a. Posisi partikel pada saat
 3?

Persamaan garis yang melewati 1,1 dan 3,3 adalah –J  J, maka pososi

benda adalah:

J  · –J9J  · J9J ^_J i, diberitahu bahwa
0  0, maka
0  0  0  i ² i  0

Sehingga
J ^_J

b. Pada detik ke-6 karena kecapatan selama 6 detik pertama adalah positif, sehingga partikel bergerak menjauhi titik asal. Tetapi setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal.

c. Percepatan nol terjadi saat titik balik kurva kecepatan, yaitu di sekitar J  4 dan J  7.

d. Setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal.

6. Lihat gambar berikut ini (3,3) (1,1) (5,2) (6,0) (9,0) v t

Partisi mempunyai sisi 2√4 
 _{dan tingginya adalah} √12  3
_{, maka volume dari} partisi tersebut adalah:

∆© ^_2√4 
. √12  3
∆
 √4 
. √12  3
∆
 √34 
∆
, maka

volume benda adalah:

· √34 
_^ 9
 √3 $R4
^_P
PSˆ    √3 $R4
^_P
PSˆ    √3 †R4.2 ^_P2PS  R42 ^_P2PS‡ ^P_P √3 ∆x f12  3
 2f4 


Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009

1. Diketahui 
 _^||. Tentukan fungsi turunan pertama dan turunan kedua fungsi f, kemudian gambarkan grafik fungsi f.

2. Diketahui segitiga sama kaki ABC (lihat gambar) dengan panjang gh  12 dan i<  3. Titik P terletak pada garis CD. Tentukan panjang DP sehingga jumlah kuadrat

jarak dari titik-titik sudut segitiga ABC ke titik P maksimum. (Petunjuk: misalkan panjang <  J.)

3. (a) Hitunglah ·_^`B√C_√  9
.

(b) Hitunglah °b2 jika diketahui °
  · √J  cos vJ 9J_^U .

4. Misalkan D daerah di kuadran I dan II yang dibatasi oleh kurva-kurva  
 1,  
 1, dan sumbu x

a) Gambarkan daerah D dan tentukan luas D

b) Hitunglah isi benda putar yang terjadi bila derah D diputar mengelilingi garis

  1

5. Di sebuah SPBU, terdapat tangki bahan bakar berbentuk tabung (lihat gambar) yang dipendam 3 satuan panjang dari permukaan tanah. Panjang tangki tersebut 6 satuan panjang dan jari-jarinya1 satuan panjang. Pada awalnya, tangki tersebut penuh berisi pertamax dengan berat jenis Ç. Misalkan W menyatakan kerja yang dilakukan

berdasarkan gaya berat untuk mengeluarkan setengah isi tangki bagian atas ke permukaan tanah. Rumuskan W dalam bentuk integral tentu tanpa dihitung.

3 1 6 3 D P B C A 12

Solusi Ujian Tengah Semester 2

(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009

1. Diketahui: 
 _^||, dimana |
|  #
,
 0_{
,
% 0}$, sehingga 
 _^||  È  ,
 0 9"
' 1  ,
% 0 $ b
    U  ^_U _^_U,
 0 9"
' 1  U ^QQ_U  _^ _U,
% 0 $ bb
   U ³ ^_³ _^  ,
 0 9"
' 1 U. ³ ^_³ _^  ,
% 0 $

Gambar kurva diketahui bahwa 
 _^|| tidak terdefinisi di
 1, maka
 1

adalah asimptot tegaknya. Lalu untuk
 0 lim_—^||  1 dan lim_—^||  1,

maka   1 dan   1 adalah asimptot datarnya. Untuk
 0 turunan pertamanya

negative, maka 
 fungsi turun, Untuk
% 0 turunan pertamanya positif, maka 


fungsi naik. Untuk 0 ,
% 1 turunan keduanya negative, maka 
 cekung bawah,

untuk
& 1 turunan keduanya positif, maka 
 cekung atas, untuk
% 0, selalu

positif, maka 
 cekung atas.

2. Lihat kembali gambarnya

0

-1 1

1 x

Inginnya g h i _{maksimum, maka}

g<  < h< < i<  < _{karena diketahui segitiga sama kaki, maka}

g<  6, <h  6 dan diketahui <  J, sehingga:

6 J 6 J 3  J  72  2J  9  6J  J  3J 6J  81

Misalkan J  3J 6J  81 Supaya J maksimum maka turunan pertama harus

sama dengan nol. l bJ  6J  6  0 ² 6J  6 ² J  1

Maka panjang <  J  1

3. (a) Hitunglah ·_^`B√C_√  9

Misal   √
 1

√
   1 ²
   1^ sehingga d
 2  19

saat
 1 maka   0 dan saat
 4 maka   1, Jadi

l ·_<sup>`B√C</sup><sub>√</sub>  9
 ·<sup></sup><sub>cQ</sub><sup>c</sup>  2  19  · 2<sup></sup> P9 $<sup></sup><sub></sub>`ˆ

 

^_ 0 ^_

(b) Hitunglah °b2 jika diketahui °
  · √J  cos vJ 9J_^U . Misalkan  
 maka b 2
, oleh karena itu

°b
 _D^D · √J  cos vJ 9J_^c  √  cos v . b  √
  cos v
 2
°b2  √2 cos v. 2 2.2  √5. 4  4√5 4. Gambar: 3 D P B C A 12

Cari titik perpotongannya terlebih dahulu yaitu:

 1 
 1

 2  0


 2
 1  0 maka
 2 atau
 1

Luas  ·
 1  
_^  19
· 

_^{ } 29
_^$
^_P
P 2
ˆ_^ ^V_

Menghitung Volume: Ʃ  v)1 
 1 1 
 1a∆
Ʃ  v)2 
 
a∆
©  v · 
_^  4
 4 
`9
 $v R^_P
P  2
  4
^_O
OSˆ   ^š_O v

5. Perhatikan gambar berikut   √1 
 -1 2 -1 f(x) x 0 D D adalah daerahnya

Maka usaha yang diperlukan adalah É  ¯

∆É  "" u ®" "K  Ç. 2. f1  . 6. ∆ u 4   É  · 12Ç4  f1  ^ 9 1 ∆ 4    4  f1 
   f1 
 4 3
 f1  

UJIAN AKHIR SEMESTER