GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

(1)

HANDOUT (BAHAN AJAR)

GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

Sofyan Mahfudy

IAIN Mataram

(2)

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta’ala yang dengan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan handout yang sederhana ini.

Handout ini masih sangat banyak kekurangannya dikarenakan keterbatasan waktu penulisan. Salah satunya adalah materi yang diambil hanya satu sub materi yaitu lingkaran. Tentunya ke depan handout ini dapat disempurnakan dan dikembangkan lagi sehingga lebih baik. Tujuan pembuatan handout ini adalah sebagai upaya dan ikhtiar penulis untuk membuat referensi mata kuliah bagi mahasiswa sehingga mudah dipahami dan didapatkan oleh mahasiswa. Saran dan masukan yang positif tentunya sangat dibutuhkan oleh penulis bagi sempurnanya handout ini ke depan. Akhirnya, semoga karya sederhana ini dapat memberikan manfaatkan khususnya bagi mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah Geometri Analitik Bidang.

Mataram, Juli 2016 Penulis

(3)

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...i

DAFTAR ISI ... ii

LINGKARAN ... 1

A. Tentang Lingkaran ... 1

B. Definisi Lingkaran ... 1

C. Persamaan Umum Lingkaran... 1

D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain ... 2

E. Garis singgung Lingkaran ... 3

F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝑚) tertentu ... 4

G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran ... 5

H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran ... 6

I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ... 9

J. Garis singgung melalui di luar lingkaran... 11

K. SOAL-SOAL LATIHAN ... 14

REFERENSI ... 15

(4)

Lingkaran

Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang 1

LINGKARAN

A. Tentang Lingkaran

Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk yang paling sempurna. Lingkaran memiliki beberapa sifat yang istimewa diantaranya adalah:

 Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang memiliki keliling paling minimum. Pada dimensi 3 padanannya adalah bola.

 Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.

 Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya perbandingan tersebut disebut dengan 𝜋 (Archimedes menemukan pendekatan 𝜋 ini 287-212 SM).

B. Definisi Lingkaran

Definisi lingkaran secara persis adalah “himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu sama panjangnya”. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.

C. Persamaan Umum Lingkaran

Pada gambar 1.a, misalkan diketahui sebuah titik tertentu adalah (𝑎, 𝑏) dan jaraknya adalah sebesar 𝑟, maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh:

√(𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟 (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²= 𝑟²

Maka persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 adalah 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²= 𝑟²

(5)

Lingkaran

Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 0, sehingga diperoleh:

𝐿 ∶ (𝑥 − 0)²+ (𝑦 − 0)²= 𝑟² 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦²= 𝑟²

Latihan Soal A

Carilah persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3 2. Pusat P (−2,3) dan jari-jari 2

3. Pusat P (−5, −1) dan melalui (−2,2)

D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain

Apabila lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari r yang berbentuk:

(𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²= 𝑟² diuraikan, maka diperoleh bentuk:

𝑥²+ 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏²= 𝑟² 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎²+ 𝑏² − 𝑟²= 0 Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk 𝑥²+ 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , maka diperoleh:

Gambar 1

(6)

Lingkaran

𝐴 = − 2𝑎 ⟹ 𝑎 = −¹

2 𝐴 ; 𝐶 = 𝑎² + 𝑏²− 𝑟² ⟹ 𝑟² = 𝑎²+ 𝑏²− C 𝐵 = − 2𝑏 ⟹ 𝑏 = −¹

2 𝐵 ; 𝑟 = √𝑎²+ 𝑏²− 𝐶 =√¹

4𝐴²+¹

4𝐵²− 𝐶

Jadi lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 memiliki:

Pusat (−¹

2 𝐴 , −¹

2 𝐵) r = √¹

4𝐴²+¹

4𝐵²− 𝐶

Latihan Soal B

Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah:

1. 𝐿₁ : 𝑥²+ 𝑦² − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 = 0 2. 𝐿₂: 𝑥²+ 𝑦² + 20𝑥 + 36 = 0 3. 𝐿₃: 𝑥²+ 𝑦² − 8𝑦 − 9 = 0

E. Garis singgung Lingkaran

Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu dan hanya satu titik. Dari gambar 2 di bawah ini 𝑔₁menyinggung lingkaran di titik D.

Gambar 2

(7)

Lingkaran

F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝒎) tertentu

Pada gambar 3 di atas garis 𝑔₁ dan 𝑔₂ memiliki gradien (𝑚) yang sama dan keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran 𝐿. Bagaimana mencari persamaan garis 𝑔₁ dan 𝑔₂jika gradien dan persamaan lingkaran yang disinggungnya diketahui??

Jika garis 𝑔₁ dan 𝑔₂memiliki persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 dan menyinggung lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟², maka dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ke 𝑥²+ 𝑦²= 𝑟² diperoleh:

𝑥²+ (𝑚𝑥 + 𝑝)²= 𝑟² 𝑥² + 𝑚²𝑥²+ 2𝑚𝑝𝑥 + 𝑝² = 𝑟² (𝑚²+1)𝑥² + 2𝑚𝑝𝑥 + (𝑝²− 𝑟²) = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut bernilai nol (𝐷 = 0)

𝐷 = 0 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 0

(2𝑚𝑐)² − 4(𝑚²+ 1) (𝑝²− 𝑟²) = 0 4𝑚²𝑝² − 4(𝑚²𝑝² − 𝑚²𝑟²+ 𝑝²− 𝑟²) = 0 4𝑚²𝑝² −4𝑚²𝑝² + 4𝑚²𝑟²− 4𝑝² + 4𝑟² = 0

Gambar 3

(8)

Lingkaran

𝑚²𝑟²− 𝑝² + 𝑟² = 0

𝑝² = 𝑟²(1+𝑚²) ⇒ 𝑝 = ± 𝑟 √1 + 𝑚²

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat 𝑂 (0,0) dengan gradient 𝑚 adalah:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟 √1 + 𝑚²

Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran 𝐿: (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² dengan gradien m adalah:

(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 √1 + 𝑚²

Latihan Soal C

1. Carilah persamaan singgung lingkaran 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟² dengan gradien (𝑚) = ²

3

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran 𝑥²+ 𝑦² − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 = 0 dengan gradien (𝑚) = −2

G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan seperti pada gambar 4 di atas. Setiap kemungkinan memiliki ketentuan sebagai berikut:

Gambar 4

(9)

Lingkaran

1. Memotong (𝐷 > 0)

2. Tidak memotong dan tidak menyinggung (𝐷 < 0) 3. Menyinggung (𝐷 = 0)

𝐷 adalah nilai diskriminan (𝑏² − 4𝑎𝑐) dari persamaan kuadrat yang diperoleh dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran

H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran

Pada gambar 5 terlihat titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟² dan garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿 di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥² + 𝑦² = 𝑟², sehingga berlaku 𝑥₁² + 𝑦₁²= 𝑟²

Dari ilustrasi pada gambar 5 terlihat bahwa 𝑂𝑃̅̅̅̅ ⊥ 𝑔

Jika 𝑂𝑃̅̅̅̅ kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m _OP_̅̅̅̅ , maka m _OP_̅̅̅̅=^y¹

x1

Karena 𝑂𝑃̅̅̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku

m _OP_̅̅̅̅. mg = −1 mg = − ¹

m _OP_̅̅̅̅ sehingga mg = −^x_y¹

1

Jika persamaan garis 𝑔 adalah:

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) Gambar 5

(10)

Lingkaran

𝑦 − 𝑦₁ = −𝑥₁

𝑦₁ (𝑥 − 𝑥₁) 𝑦𝑦₁− 𝑦₁² = −𝑥𝑥₁+ 𝑥₁²

𝑥𝑥₁+ 𝑦𝑦₁ = 𝑥₁² + 𝑦₁² 𝑥𝑥₁+ 𝑦𝑦₁ = 𝑟²

Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟² adalah

𝑥𝑥₁ + 𝑦𝑦₁ = 𝑟²

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟², maka garis singgung lingkaran L melalui 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥₁ − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦₁− 𝑏) = 𝑟². Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Dari gambar 6 di atas terlihat bahwa titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran

𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² dan garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿 di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟², sehingga berlaku (𝑥₁− 𝑎)²+ (𝑦₁− 𝑏)² = 𝑟²

Karena 𝑂𝑃̅̅̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku

m _OP_̅̅̅̅. mg = −1 Gambar 6

(11)

Lingkaran

mg = − ¹

m _OP_̅̅̅̅

Karena m _OP_̅̅̅̅=^𝑦¹^−𝑏

𝑥₁−𝑎sehingga mg = −^𝑥¹^−𝑎

𝑦₁−𝑏

Jika persamaan garis 𝑔 adalah:

𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 𝑦 − 𝑦₁ = −𝑥₁− 𝑎

𝑦₁− 𝑏 (𝑥 − 𝑥₁) (𝑦 − 𝑦₁)(𝑦₁− 𝑏) = −(𝑥₁− 𝑎)(𝑥 − 𝑥₁) 𝑦𝑦₁− 𝑏𝑦 − 𝑦₁²+ 𝑏𝑦₁ = −𝑥𝑥₁+ 𝑥₁²+ 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥₁

𝑥𝑥₁− 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦₁− 𝑏𝑦 = 𝑥₁²− 𝑎𝑥₁+ 𝑦₁²− 𝑏𝑦₁ 𝑥𝑥₁− 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦₁− 𝑏𝑦 + (−𝑎𝑥₁− 𝑏𝑦₁+ 𝑎² + 𝑏²)

= 𝑥₁²− 𝑎𝑥₁+ 𝑦₁²− 𝑏𝑦₁+ (−𝑎𝑥₁ − 𝑏𝑦₁+ 𝑎² + 𝑏²) (𝑥𝑥₁− 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥₁+ 𝑎²) + (𝑦𝑦₁− 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦₁+ 𝑏²)

= (𝑥₁²− 2𝑎𝑥₁+ 𝑎²) + (𝑦₁²− 2𝑏𝑦₁+ 𝑏²)

(𝑥𝑥₁− 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥₁+ 𝑎²) + (𝑦𝑦₁− 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦₁+ 𝑏²) = (𝑥₁ − 𝑎)²+ (𝑦₁− 𝑏)² (𝑥 − 𝑎)(𝑥₁− 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦₁− 𝑏) = 𝑟²

Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥₁− 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦₁− 𝑏) = 𝑟²

Jika lingkaran dinyatakan dalam persamaan

𝐿: 𝑥²+ 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, maka persamaan garis yang melalui titik 𝑃 (𝑥₁, 𝑦₁) pada 𝐿 adalah:

𝑥𝑥₁+ y𝑦₁+ ¹

2𝐴(𝑥 + 𝑥₁) +¹

2𝐵(𝑦 + 𝑦₁) + 𝐶 = 0 (*)

Latihan Soal D

Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagai berikut:

1. Titik 𝐴 (2, −√5) pada lingkaran 𝑥²+ 𝑦² = 9

2. Titik 𝑃 (−3,7) pada lingkaran (𝑥 + 2)² + (𝑦 − 3)² = 17 3. Titik 𝑄 (5, −6) pada lingkaran 𝑥²+ 𝑦² − 6𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0

(12)

Lingkaran

I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran

Jika titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) terletak di luar lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟², maka dari titik 𝑃 dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran 𝐿 seperti ditunjukkan pada gambar 7. Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran 𝐿 di titik 𝐴 (𝑥₁, 𝑦₁) dan 𝐵 (𝑥₂, 𝑦₂). Karena titik 𝐴 dan 𝐵 pada 𝐿, maka persamaan garis singgung yang melalui A dan B berturut-turut adalah 𝑔1: 𝑥𝑥₁+ 𝑦𝑦₁ = 𝑟² dan 𝑔2: 𝑥𝑥₂+ 𝑦𝑦₂ = 𝑟².

Karena 𝑔1 dan 𝑔2 melalui titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀), maka berlaku:

𝑥₀𝑥₁+ 𝑦₀𝑦₁ = 𝑟² dan 𝑥₀𝑥₂+ 𝑦₀𝑦₂ = 𝑟²

Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik 𝐴 (𝑥₁, 𝑦₁) dan 𝐵 (𝑥₂, 𝑦₂) memenuhi persamaan: 𝑥₀𝑥 + 𝑦₀𝑦 = 𝑟² (*).

Selanjutnya, persamaan garis (*) disebut persamaan garis kutub (polar) lingkaran 𝐿. Garis polar tersebut melalui titik 𝐴 dan 𝐵 seperti terlihat pada gambar 8 di bawah ini.

P (x0,y

0)

B (x2,y

2) A (x1,y

1)

Gambar 7

(13)

Lingkaran

Selanjutnya dengan cara yang sama (buktikan sendiri) persamaan garis kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) terhadap lingkaran

L : (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟² adalah

(𝑥₀− 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦₀− 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟²

Sedangkan persamaan garis kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) terhadap lingkaran L : 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 adalah:

𝑥𝑥₀ + 𝑦𝑦₀ + ¹

2𝐴(𝑥 + 𝑥₀) + ¹

2𝐵(𝑦 + 𝑦₀) + 𝐶 = 0 Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Jika titik P di luar lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa tali busur (memotong lingkaran di dua titik berbeda)

2. Jika titik P pada lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa garis singgung lingkaran di titik tersebut

3. Jika titik P di dalam lingkaran, maka garis kutub (polar) nya tidak memotong lingkaran

Latihan Soal E

Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui:

Gambar 8

(14)

Lingkaran

1. Titik A (5, −4) terhadap lingkaran x²+ y² = 25

2. Titik P (1, −2) terhadap lingkaran (x − 4)²+ (y − 2)² = 25 3. Titik P (−1,4) terhadap lingkaran (x − 4)²+ (y − 2)² = 16 4. Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x²+ y² − 6x + 4y − 3 = 0 5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x − 4)²+ (y − 2)² = 16

J. Garis singgung melalui di luar lingkaran

Misalkan titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) adalah titik di luar lingkaran 𝐿 dengan pusat (𝑎, 𝑏) seperti sketsa pada gambar 9.

Akan ditentukan persamaan garis singgung yang melalui titik 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) dan menyinggung lingkaran 𝐿. Cara menentukan persamaan garisnya adalah dengan memanfaatkan persamaan garis polar suatu lingkaran. Langkah- langkahnya adalah seperti berikut ini:

1. Tentukan persamaan garis polar 𝑃 (𝑥₀, 𝑦₀) tersebut terhadap lingkaran 2. Potongkan garis polar (yang diperoleh dari langkah 1) terhadap

lingkaran, sehingga diperoleh dua titik potong Gambar 9

(15)

Lingkaran

3. Selanjutnya dengan titik-titik potong yang diperoleh pada langkah 2 dapat ditentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung pada lingkaran. Akan diperoleh dua garis singgung yang berbeda sebagaimana pada gambar 9.

Contoh Soal

Diketahui lingkaran 𝐿: 𝑥²+ 𝑦² = 16 dan titik 𝑃(−3,4). Tentukanlah persamaan- persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 yang melalui titik 𝑃.

Solusi

Mudah ditunjukkan bahwa titik P berkedudukan di luar lingkaran L. Sehingga langkah pertama adalah menentukan persamaan garis polar lingkaran 𝐿 di titik 𝑃.

Persamaan polarnya adalah 𝑔: − 3𝑥 + 4𝑦 = 16. Selanjutnya potongkan garis polar 𝑔 dengan lingkaran 𝐿.

Dengan mengubah −3𝑥 + 4𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 = ^16+3𝑥

4 ⇒ 𝑦 = 4 +³

4𝑥, kemudian subtitusikan ke lingkaran 𝐿. Diperoleh sebagai berikut:

𝑥²+ 𝑦² = 16 𝑥²+ (4 +³

4𝑥)² = 16 𝑥²+ 16 + 6𝑥 + ⁹

16𝑥² = 16 𝑥²+ ⁹

16𝑥²+ 6𝑥 = 0 16𝑥²+ 9𝑥²+ 96𝑥 = 0

25𝑥²+ 96𝑥 = 0 𝑥(25𝑥 + 96) = 0 𝑥 = 0 atau 𝑥 = −⁹⁶

25 Untuk 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 4 +³

4(0) = 4. Jadi titik potong (0,4) Untuk 𝑥 =⁹⁶

25⇒ 𝑦 = 4 +³

4(−⁹⁶

25) = 4 −⁷²

25=²⁸

25. Jadi titik potong (−⁹⁶

25,²⁸

25) Titik (0,4) dan (−⁹⁶

25,²⁸

25) merupakan titik singgung bagi garis singgung yang akan ditentukan ehingga cara menentukan persamaan garis singgungnya adalah sama dengan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.

Sehingga persamaan-persamaan garis singgungnya adalah:

𝑔₁: 𝑥(0) + 𝑦(4) = 16 ⟹ 𝑔₁: 4𝑦 − 16 = 0 ⟹ 𝑔₁: 𝑦 − 4 = 0

(16)

Lingkaran

𝑔₂: 𝑥 (−96

25) + 𝑦 (28

25) = 16 ⟹ 𝑔₁: −96𝑥 + 28𝑦 = 400 ⟹ 𝑔₁: 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥²+ 𝑦² = 16 dan melalui titik 𝑃(−3,4) adalah

𝑦 − 4 = 0 dan 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0

(17)

Lingkaran

K. SOAL-SOAL LATIHAN

1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik 𝐴 (3, 1) dan 𝐵 (−1, 3) serta titik pusatnya terletak pada garis 𝑔: 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A (3,0), B (0,2), dan

C (2,1)

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat 𝐶 (1, −1) dan menyinggung garis 𝑔: 5𝑥 − 12𝑦 + 9 = 0

4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 𝐿: (𝑥 + 2)²+ (𝑦 − 4)² = 9 di titik yang berabsis 1

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan 𝐿: (𝑥 − 3)²+ (𝑦 − 2)² = 9 yang sejajar garis 𝑔: −3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 6. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran

𝐿: 𝑥²+ 𝑦²+ 10𝑥 − 6𝑦 − 2 = 0 yang tegak lurus dengan garis ℎ: − 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

7. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥² + 𝑦² = 25 yang melalui titik (−3 , 5)

8. Tentukan persamaan lingkaran dalam segitiga yang titik-titik sudutnya mempunyai koordinat:

a. (10, 9), (– 4, 11), (– 6, – 3) b. (1, 7), (– 2, 8), (18, 12)

9. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x, mempunyai pusat pada garis 𝑥 + 𝑦 = 7, dan melalui titik (5, 4)

10. Tentukan persamaan lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang sisi- sisinya diberikan oleh persamaan 𝑥 + 7𝑦 – 30 = 0; 7𝑥 – 𝑦 – 10 = 0;

dan 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0

11. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3𝑥 – 4𝑦 + 5 = 0 dan 4𝑥 + 3𝑦 – 10 = 0 dan melalui titik (2, 4)

(18)

Lingkaran

REFERENSI

Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA Universitas Indoensia. 2001

Tim FMIPA Universitas Pendidikan Indonesia. Ilmu Ukur Analitik I dan II (Geometri Analitik Bidang). 1971

Maxime Bocher. Plane Analytic Geometry. Havard University. 1915