GEOMETRI ANALITIK BIDANG HIPERBOLA DAN L

I. HIPERBOLA

Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, maka selisih jarak tersebut lebih kecil dari d.

Berdasarkan definisi di atas kita dapat melukis hiperbola titik demi titik. Untuk setiap titik T berlaku

|

TF₂−TF₁

_|

=d

Langkah-langkah dalam melukis hiperbal antara lain sebagai berikut:  Tetapkan titik F1dan F2 dan panjang d.

 Tentukan titik-titik A dan B pada ruas garis F₁F₂ sehingga

|

F₂A

_|

=

_|

B F₁

_|

=1

2

(

|

F1F2

|

−d

)

GEOMETR

I

ANALITIK

BIDANG

 Titik-titik T_i diperoleh sebagai berikut :

a. Buat lingkaran dengan pusat Fidan jari−jari ri>

|

F2A

|

b. Dari F₂ busurkan lingkaran dengan jari-jari r_i−d c. Perpotongan a dan b adalah titik-titik T_i

d. Lakukan hal yang sama dengan mengganti peran F₁dengan F₂

F₁dan F₂ disebut titik-titik api A dan B disebut titik−titik puncak

Berdasarkan definisi di atas kita akan mencari persamaan hiperbola.

Misalkan titik-titik api F₁, F₂ pada sumbu x dan sumbu dari F₁F₂ adalah sumbu y.

Jika | F₁F₂ |=2c maka F1(c ,0) dan F2(−c ,0) .

Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a, dengan a<c. ambil T(x,y) sebarang titik dari himpunan yang dicari, maka dipenuhi

|

TF2∨−¿TF1

|

=2a

Berarti :

_√

(x+c)2+y2−

√

(x−c)2+y2=2a

√

(x+c)2+y2

=2a+

√

(x−c)2+y2

Setelah kedua ruas dikuadratkan dan dijabarkan kita memperoleh

cx−a2

=a

_√

(x−c)2+y2 _{kemudian kedua ruas dikuadratkan lagi dan dijabarkan} sehingga kita memperoleh

(

c2−a2

)

x2−a2y2=a2(c2−a2) ….(**)

karena a<c maka c2−a2>0 sehingga kita dapat menuliskan c2−a2=b2 dan persamaan (**) menjadi b2x2−a2 y2=a2b2

karena T sebarang titik pada himpunan, maka setiap titik dari himpunan itu berlaku

b2x2−a2y2=a2b2ataux 2 a2−

y2 b2=1

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan pusat hiperbola.

Titik O disebut titik pusat hiperbola.

Titik-titik F₁dan F₂ disebut titik-titik api

Karena titik potong hiperbola dengan sumbu x adalah nyata, maka sumbu x disebut sumbu nyata. Karena titik potong hiperbola dengan sumbu y adalah khayal, maka sumbu y disebut sumbu khayal.

Bilangan e=c

a>1 disebut eksentrisitas numerik

Persamaan hiperbola yang pusatnya P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Diadakan translasi susunan sumbu sedemikian sehingga O’ berimpit dengan P

PF – PG = 2a

PF = 2a + PG

(PF)2 _{= 4a}2 _{+ 4a (PG) + (PG)}2

(x – (α – c))2 _{+ (y – β)}2 _{= 4a}2 _{+ 4a}

_√

(x−(α+c))2+(y−β)2 + (x – (α + c))2 + (y – β)2

((x – α) + c )2 _{– ((x – α) – c )}2 _{= 4a}2 _{+ 4a}

_√

_(x−(α+c))2

+(y−β)2

(x – α)2 _{+ 2c (x – α) + c}2 _{– ((x – α)}2 _{– 2c (x – α) + c}2_{) = 4a}2 _{+ 4a}

_√

(x−(α+c))2+(y−β)2

4c (x – α) = 4a2 _{+ 4a}

_√

_(x−(α+c))2

+(y−β)2

c_a (x – α) = a +

√

(

x−(α+c)

)

2+(y−β)2

c_a (x – α) – a =

√

(

(x−α)−c

)

2+(y−β)2

c_a22 (x – α)2 – 2c (x – α) + a2 = (x – α)2 – 2c (x – α) + c2 + ( y – β )2

c_a22 (x – α)2 + a2 = (x – α)2 + c2 + ( y – β )2

c2

a2 (x – α)

2 _{– (x – α)}2 _{– ( y – β )}2 _{= c}2 _{– a}2

(c2−a2)(x−a)2

a2 – ( y – β )

(x−α)2 a2 −

(y−β)2 (c−a)2=1

Dimisalkan c2 _{– a}2 _{= b}2 _{, menjadi}

(x−α)2 a2 −

(y−β)2 b2 =1

Rumus translasinya adalah : x=x'+α atau x=x'−α

y=y'+β y=y'−β

Karena O’ merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola terhadap sumbu x’ O’

y’ adalah x ' 2 a2 −

y '2 b2 =1

Jadi persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu xOy adalah (x−α) 2 a2 −

(y−β)2 b2 =1

Sekarang kita akan mencari titik-titik potong hiperbola x 2 a2−

y2

b2=1 dengan garis y=mx. Absis-absis titik potong kita peroleh dari persamaan

x2 a2−

m2x2

b2 =1atau

(

b 2

−a2m2

)

x2=a2b2 Berarti x=± ab

√

b2

−a2_m2 sehingga y=±

mab

√

b2

Jadi koordinat-koordinat titik potongnya adalah

(

ab

−a2_m2 _{< 0 maka tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal} Jika b2−a2m2 = 0 maka titik potongnya di jauh tak berhingga

Hal yang terakhir menyatakan bahwa jika m=±b

a maka garis y=mx menyinggung

hiperbola di jauh tak berhingga. Garis-garis y ¿±b

a x disebut asimtot-asimtot hiperbola.

Persamaan asimtot-asimtot dapat dinyatakan juga sebagai x_a−y

b=0 atau x a+

y b=0 , sehingga persamaan susunan asimtotnya adalah

x2 a2−

y2 b2=0

Berikut ini kita turunkan definisi hiperbola yang lain. Misalnya P( x₁, y₁¿ _sebarang

Pandang garis-garis x=±a 2 c

Maka d1=c a

(

x1−

a2 c

)

=

c

a . jarak P ke garis x= a2

c

Maka d2=c_a

(

x1+a 2 c

)

=

c

a . jarak P ke garis x= −a2

c

Garis-garis x=±a 2

c disebut garis-garis arah atau direktriks dari hiperbola.

Berdasarkan hal di atas kita dapat mendefinisikan hiperbola sebagai berikut:

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis arah (direktriks).

Contoh Soal:

Carilah persamaan hiperbola jika titik-titik apinya terletak pada sumbu x, simetris

terhadap O dan persamaan asimtotnya y=±4

3x sedangkan jarak antara kedua titik-titik apinya 20.

Misalkan persamaan hiperbola itu x 2 a2−

y2 b2=1

Karena persamaan asimtotnya y=±4

3 x maka b a=

4

3 dan karena jarak kedua titik-titik apinya 20 maka 2c=20 atau c=10

Pada hiperbola berlaku b2

=c2

Jadi persamaan hiperbola yang dimaksud adalah x2 36−

y2 64=1

Selanjutnya kita mencari persamaan garis singgung pada hiperbola dengan jalan yang sama seperti mencari persamaan garis singgung pada ellips

Persamaan garis singgung pada hiperbola x 2

Persamaannya garis singgung pada hiperbola x 2

Sifat utama garis singgung

Garis si nggung pada suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api.

Misalkan T (x1, y1) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan d1 = TF1 , d2 = TF2 dengan F1 (c, 0) , F2 (-c,0)

Misalakn titik potong garis singgung ini dengan sumbu x adalah P, maka koordinat yp = 0 dan

xp=a

Seperti pada elips, kita mempunyai dua garis singgung melalui satu titik T diluar ellips, demikian juga pada hiperbola.

Tanpa memperhatikan letak titik T(x1,y1), persamaan x1x a2 −

y₁y

b2 =1 disebut

persamaan garis kutub dari T terhadap hiperbola x 2 a2−

y2 b2=1

Jika T di luar hiperbola maka garis kutub menjadi tali busur singgug.

Jika T pada hiperbola maka garis kutub menjadi garis singgung.

Jika T dalam hiperbola maka garis kutub berupa garis yang tidak memotong hiperbola.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola x2 16−

y2

64=1 yang sejajar garis 10x-3y+9=0.

Jawaban:

Gradien garis 10x-3y+9=0 adalah m= 10₃ . Berarti gradient garis singgungnya adalah 10₃ . Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y=10

3 x ±

√

16. 100

9 −64

y=10 3 x ±

32 3

3y=10x ±32

Contoh soal

Dari titik c(1,-10) dibuat garis singgung pada hiperbola x2 8 −

Tentukan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya.

Jawaban:

Garis yang menghubungkan kedua titik singgung itu adalah garis kutub.

Persamaan garis kutub dari titik c(1,-10) terhadap hiperbola

x2

Berikut ini akan dicari syarat agar garis y = mx memotong garis lengkung x2

a2− y2

b2=−1 . Absis-absis titik potong dicari sebagai berikut:

x2

Berarti sumbu x merupakan sumbu khayalnya. Sedangkan persamaan asimtot-asimtotnya adalah

y=b

ax dan y= −b

a x

Titik-titk apinya adalah F1 (0,c) dan F2 (0,-c) dan garis-garis arahnya adalah y=b 2

c dan

y=−b 2 c

Eksentrisitas numeriknya adalah e=c b

Jika pada suatu hiperbola a = b, maka hiperbola ini disebut hiperbola sama sisi dan mempunyai persamaan x2

−y2

=a2 _.

Karena asimtot-asimtotnya saling tegak lurus, maka disebut juga hiperbola ortogonal.

Contoh soal

Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu y dan simetris

terhadap titik O yang memenuhi syarat jarak kedua garis arahnya 71

7 dan sumbu 2b = 10.

Jawaban:

Jarak kedua garis arahnya adalah 2b 2

Jadi persamaan hiperbolanya adalah x2 24−

y2

25=−1

Selanjutnya, kita akan mencari tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

a. Misalkan kita mempunyai persamaan hiperbola x 2 a2−

y2

Akan dicari tempat kedudukan titik-titik tengah talibusur-talibusur hiperbola yang sejajar dengan garis y = mx sebagai berikut:

Mula-mula kita mencari titik-titik potong garis-garis y = mx + n , n parameter, dengan hiperbola kemudian kita mencari titik tengahnya.

x2 a2−

(mx+n)2

b2 =1 atau (b

2 _{- a}2 _m2_{) x}2 _{– 2a}2 _{mnx – a}2 _n2 _{– a}2 _b2 _{= 0}

Absis dari titik-titik potongnya adalah akar-akar dari persamaan kuadrat di atas. Misalkan titik tengah talibusurnya adalah T, maka

x_T=x1−x2

Dengan menjalankan koordinat titik T kita memperoleh tempat kedudukan yang kita cari, yaitu

y= b 2 a2_mx

Persamaan ini merupakan persamaan suatu garis tengah hiperbola. Garis-garis tengah y = mx dan y= b

2

a2mx disebut garis-garis tengah sekawan dan m1= m dan m2 = b

2

a2m disebut arah-arah sekawan.

b. Dengan cara yang serupa seperti pada ellips, kita memperoleh persamaan tempat

kedudukan titik-titik potong garis-garis singgung pada hiperbola x 2 a2−

y2 b2=1 yang tegak lurus sesamanya, yaitu x2 _{+ y}2 _{= a}2 _{– b}2_.

Persamaan ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari

√

a2

−b2 _{. Lingkaran ini disebut lingkaran orthoptis dari Monge.}

c. Dengan cara yang serupa juga seperti pada ellips, kita memperoleh persamaan tempat kedudukan titik-titik potong garis-garis singgung pada hiperbola

x2 a2−

y2

b2=1 dengan garis-garis yang tegak lurus padanya dan melalui titik-tiik api yaitu x2 _{+ y}2 _{= a}2_.

Lingkaran orthoptis dari suatu hiperbola orthogonal berupa lingkaran titik dan garis-garis singgung pada hiperbola itu yang saling tegak lurus adalah

asimtot-asimtotnya.

Misalkan P1 (x1, y1) dan Q1 (-x1, -y1) ujung-ujung garis tengah hiperbola x2

a2− y2

b2=1 . Akan kita cari ujung-ujung garis tengah sekawannya.

Persamaan garis singgug di P1 (x1, y1) pada hiperbola x 2

Berarti gradien garis singgung di P adalah m₁=b

2_x 1 a2_y

1

Sedangkan gradient P1Q1 adalah m₂=y1

x1

. jadi m1m2=b 2 a2

Hal ini menunjukkan bahwa garis singgung di P1 sejajar dengan garis tengah yang sekawan dengan garis tengah P1Q1.

Persamaan garis tengah yang sekawan dengan P1Q1 adalah y=b

2 x1

a2y₁x . Absis titik-titik potong garis ini dengan hiperbola dicari sebagai berikut:

b2_x2

Karena P1(x1,y1) pada hiperbola maka

x2= a

Akan tetapi dapat diperiksa bahwa P2 (a terletak pada hiperbola sekawannya x

2 a2−

y2

b2=−1 .

Jika suatu garis tengah tidak memotong hiperbola, maka yang dimaksud ujung-ujungnya adalah titik-titik potongnya dengan hiperbola sekawannya.

Misalkan OP1 = a1 dan OP2 = a2 Maka diperoleh

❑12=a12=x12+y12 dan

Kita telah membuktikan dalil berikut ini

 Dalil I dari Apollonius:

Selisih kuadrat garis-garis tengah sekawan suatu hiperbola sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya. Untuk dalil II dari Apollonius dapat anda buktikan sendiri.  Dalil II dari Apollonius:

Luas setiap jajaran genjang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbunya.

II. LINGKARAN

Kurva lengkung sederhana yang banyak kita jumpai sehari-hari diantaranya adalah lingkaran. Lebih khusus lingkaran didefinisikan sebagai berikut :

Selanjutnya titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Karena T (x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran berlaku x2

+y2

=4 . Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 satuan adalah x2

+y2

=4 .

Dari contoh ini dengan mudah kita menentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik asal O (0,0) dan jari-jari r satuan adalah

x2

+y2

=r2

Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik P(a,b) dan jari-jari r satuan.

X Y

O

T(x,y)

r P(a,b)

Pada gambar 2.7nampak gambar lingkaran dengan titik pusat O (0,0) dan jari-jari 2 satuan panjang. Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita ambil sebarang titik pada lingkaran, misalnya T(x,y). Jarak titik T dan titik O adalah

_√

x2

+y2 _{. Padahal} jarak titik-titik O dan T adalah jari-jari lingkaran yaitu 2, maka diperoleh hubungan bahwa

√

x2+y2=2

x2+y2=4

Padahal jarak titik-titik T dan P adalah jari-jari lingkaran yaitu r, maka diperoleh hubungan

√

(x−a)2+(y−b)2=r

(x−a)2+(y−b)2=r2

Karena T(x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran itu, maka setiap titik pada lingkaran itu memenuhi hubungan tersebut. Ini berarti bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di P(a,b) dengan jari-jari r satuan adalah

(x−a)2+(y−b)2=r2

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3) dan berjari-jari 5 satuan.

Jawab : Persamaan lingkarannnya adalah (x−4)2+(y−(−3))2=52

(x−4)2+(y+3)2=25

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(1,3) dan melalui titik Q(-2,5).

Jadi persamaan lingkarannya adalah (x−1)2+(y−3)2=13

Perhatikan persamaan suatu lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r, yaitu

(x−a)2+(y−b)2=r2

Ruas kiri dari persamaan ini dapat diuraikan menjadi

x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0

Selanjutnya persamaan terakhir ini dituliskan dalam bentuk :

x2+y2+Ax+By+C=0

Persamaan bentuk terakhir ini dinamakan persamaan bentuk umum suatu lingkaran. Dari bentuk umum ini, kita dapat mencirikan suatu persamaan lingkaran, yaitu :

1) Koefisien-koefisien x2 dan y2 selalu sama 2) Tidak ada suku yang memuat xy.

Apabila diketahui persamaan bentuk umum suatu lingkaran, yaitu x2+y2+Ax+By+C=0 , maka kita dapat mencari koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jarinya. Persamaan bentuk umum tersebut diubah menjadi

x2+Ax+1

Dari persamaan terakhir ini, kita dapat menyimpulkan bahwa titik pusat lingkaran adalah

(−1

Memperhatikan jari-jari tersebut, dapat disimpulkan tiga kemungkinan , yaitu :

1. Jika 1

−C>0 , persamaan bentuk umum itu menyatakan lingkaran nyata.

2. Jika 1

3. Jika 1 4 A

2 +1

4B 2

−C=0 , persamaan bentuk umum itu menyatakan lingkaran dengan jari-jari nol, berarti berupa sebuah titik.

Contoh Soal

Tentukan koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan

4x2+4y2−4x+16y−19=0

Jawab : 4x2+4 y2−4x+16y−19=0 x2+y2−x+4y−19

4 =0

x2−x+1 4+y

2

+4y+4=1 4+4+

19 4

(x−1 2)

2

+(y+2)2=9

Jadi lingkaran itu mempunyai titik pusat (1

2,−2) dan jari-jari 3.

Contoh Soal

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan T(2,2).

Jawab : Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah x2

+y2

+Ax+By+C=0 . Karena titik-titik P,Q dan R pada lingkaran ini , maka koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut. Sehingga dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik-titik tersebut diperoleh

P(1,0), 1+0+a+0B+C=0 Q(0,1), 0+1+0A+B+C=0

R(2,2), 4+4+2A+2B+C=0

Jika persamaan ketiga dikurangi persamaan kedua diperoleh 2A+B+7=0. Selanjutnya karena A=B , maka A=B=−7

3 . Substitusi harga A ini pada persamaan pertama akan

diperoleh C=4 3 .

Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah

x2+y2−7 3 x−

7 3 y+

4 3=0

3x2+3y2−7x−7y+4=0 Cara lain (dengan determinan)

Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah x2+y2+Ax+By+C=0 .

Ambil sebarang titik K(x,y) pada lingkaran ini. Sehingga lingkaran yang dicari melalui titik-titik K,P,Q dan R. Dengan substitusi koordinat-koordinat titik-titik ini pada x dan y dari persamaan tersebut diperoleh

K(x , y) _x2

+y2+xA+yB+C=0

P(1,0) 1+1A+0B+C=0 Q(0,1) 1+0A+1B+C=0 R(2,2) 8+2A+2B+C=0

Kita memproleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 4 persamaan dengan 3 variabel A,B dan C. Sistem persamaan ini akan mempunyai penyelesaian untuk A,B dan C apabila determinan koefisien-koefisien dari A, B dan C dan konstantanya sama dengan nol, yaitu

x2+y2 x y 1

1 1 0 1

1 0 1 1

8 2 2 1

Dengan mengekspansikan determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris pertama, kita memperoleh

(1)

|

1 0 1

Nampak bahwa hasilnya sama dengan hasil pada cara pertama.

Cara kedua tersebut dapat diperumum sebagai berikut :

Misalkan kita akan menentukan persamaan lingkaran yang melalui P

₍

x₁, y₁

₎

, Q(x₂, y₂) dan x₃, y₃.

R¿ Andaikan persamaan lingkaran yang akan dicari adalah

x2

+y2

+Ax+By+C=0

Ambil sebarang titik T(x,y) pada lingkaran. Jadi titik-titik T,P,Q dan R tersebut pada lingkaran, maka koordinat-koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran yang dicari. Sehingga didapat :

T(x , y)

(

x2

Kita memperoleh sistem persamaan linear dalam A,B dan C (3 variabel) dengan 4 persamaan. Sistem persamaan ini akan mempunyai penyelesaian untuk variabel-variabel A,B dan C, apabila determinan dari koefisien-koefisien dari A, B dan C dan konstantanya sama dengan nol, yaitu :

Karena T(x,y) adalah titik sebarang pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran akan memenuhi hubungan /persamaan determinan itu. jadi persamaan determinan itu merupakan persamaan lingkaran yang dicari.

Karena garis ini menyinggung pada lingkaran, maka ada sebuah titik yang koordinat-koordinatnya memenuhi pada persamaan garis maupun persamaan lingkaran. Sehinggga kita memperoleh

x2

+(mx+k)2=r2

(

1+m2

)

x2+2mk x+k2−r2=0

Persamaan ini dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam x. Karena garis singgung dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan , maka persamaan kuadrat hanya mempunyai satu harga x, syaratnya adalah diskriminan dari persamaan itu harus sama dengan nol, yaitu :

D=4m2k2−4

(

1+m2

) (

k2−r2

)

=0 −4

(

k2−r2−m2r2

)

=0

k2−r2

(

1+m2

)

=0 k=±r

√

1+m2

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y=mx+r

√

1+m2 dan

y=mx−r

√

1+m2

Dengan cara yang mirip seperti cara tersebut dapat diturunkan bahwa persamaan garis singgung pada lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 _{yang sejajar dengan garis y=mx+n adalah}

y−b=m(x−a)+r

√

1+m2 _dan

y−b=m(x−a)−r

√

1+m2 Contoh Soal

Y

X o

Pada gambar 2.9 diketahui garis y=mx+n dan lingkaran x2+y2=r2 .

Kita akan mencari persamaan garis singgung pada lingkaran yang sejajar dengan garis

y=mx+n .

Karena garis singgung yang dicari harus sejajar dengan garis y=mx+n , maka kita dapat memisalkan garis singgung itu adalah

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut dan yang mengapit sudut 600 _dengan sumbu X arah positif :

a) x2+y2=16 b) x2

+y2

−4x−6y−3=0

Jawab : Tanjakan garis singgung adalah m=tg60°=

√

3

a) Persamaan garis singgung dengan tanjakan m=

√

3 adalah y=

√

3x ±4

√

1+3, yaitu

y=x

√

3+8dan y=x

√

3−8

b) x2+y2−4x−6y−3=0 x2−4x+4+y2−6y+9=16

(x−2)2+(y−3)2=16

Persamaan garis singgung dengan tanjakan m=

√

3 adalah y−3=

√

3(x−2)+8 dan y−3=

√

3(x−2)−8

y=x

√

3+11−2

√

3 dan y=x

√

3−5−2

√

3

Pada gambar 2.10 diketahui lingkaran x2 +y2

=r2 _{dan titik P}

₍

_x

1, y1

)

yang terletak pada lingkaran.

Karena titik-titik P dan Q pada lingkaran, maka berlaku x22+y22=r2 dan x12+y12=r2

Apabila kedua persamaan ini dikurangkan, maka diperoleh

x12+x22=y22−y12

(

x₁−x₂

₎₍

x₁+x₂

₎

=

₍

y₂−y₁

_{) (}

y₂+y₁

₎

Y

X o

Kita akan mencari persamaan garis singgung pada lingkaran di titik P. Ambil titik Q

(

x₂, y₂

)

pada lingkaran pula, maka persamaan garis PQ adalah

y−y₁ y2−y1

= x−x1

x2−x1

a

tau

y−y₁=y2−y1 x2−x1

y₂−y₁ x2−x1=

−x₂+x₁ y2+y1

Dengan kesamaan ini, persamaan garis PQ di atas dapat ditulis menjadi

y−y₁=−x2+x1 y2+y1

(x−x₁)

Jika Q mendekati P sehingga hampir x₂=x₁dan y₂=y₁ maka garis PQ berubah menjadi garis singgung lingkaran di titik P, yaitu :

y−y₁=−x1 y1

(x−x₁)

y1y−y1 2

=−x1x+x1 2

y1y+x1x=x1 2

+y1 2

x1x+y1y=r 2

Jadi persamaan garis singgung ligkaran x2 +y2

=r2 _{di titik}

₍

_x

1, y1

)

adalah x1x+y1y=r 2

Dengan cara yang sama dapat diturunkan bahwa persamaan garis singgumg pada lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 _{dengan titik singgung}

₍

_x

1, y1

)

adalah

(

x1−a

)

(x−a)+

(

y1−b

)

(y−b)=r2 . Cara lain

Mengingat bahwa garis singgung pada lingkaran tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik singgung, maka persamaan garis singgung lingkaran adalah garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus pada garis hubung titik singgung dengan titik pusat lingkaran.

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=25 di titik (4,-3). Demikian pula untuk lingkaran x2+y2−4x−6y−12=0 di titik (-1,7).

Jawab : Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=25 adalah 4x−3y=25.

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2−4x−6y−12=0 di titik (-1,7) adalah (−1−2) (x−2)+(7−3)(y−3)=25

Contoh Soal

Diketahui persamaan lingkaran x2+y2+2x−19=0 dan titik B(1,6) . Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran. Selidiki apakah titik di bagian dalam, pada atau di luar lingkaran. Dan tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik B.

Jawab :

x2+y2+2x−19=0

(x+1)2+y2 =20

Titik pusat lingkaran adalah P(-1,0) dan jari-jarinya adalah 2

√

5.

|PB|2=(1+1)2+62

=40>20. Berarti titik B terletak di luar lingkaran. Atau dapat dilakukan B(1,6) disubstitusikan pada persamaan lingkaran, yaitu 1+36+2−19=20>0

Perhatikan bahwa 40−20=20.

Titik S₁

(

x₁, y₁

)

pada lingkaran, maka

(

x₁+1

₎

2+y₁2=20… …(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa S1(3,2) dan S2(−3,4). Jadi persamaan-persamaan garis singgung yang dicari adalah x−2y+11=0dan2x+y−8=0

Perhatikan titik T (x0, y0) dan lingkaran x2+y2=r2

Pada gambar 2.12. dari titik T dibuat garis-garis singgung pada lingkaran dan titik-titik P

Y

X o

Y

X o

Kita misalkan garis singgung yang melalui titik B menyinggung lingkaran di titik S₁

(

x₁, y₁

)

, maka persamaan garis singgung itu adalah

(

x₁+1

₎

(x+1)+y₁y=20

Garis singgung ini melalui B(1,6), maka diperoleh

(

x₁+1

)

(1+1)+6y₁=20

2x1+6y1=18… … .(1)

singgungnya S₁

₍

x₁, y₁

₎

, dan S₂

(

x₂, y₂

)

, maka persamaan garis-garis singgungnya adalah

x1x+y1y=r 2

dan

Garis-garis singgung ini melalui titik T (x0, y0) , maka berlaku bahwa

x1x0+y1y0=r 2 _dan

x₂x₀+y₂y₀=¿ _r2

Dari dua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik-titik S1 dan S2 memenuhi persamaan

x0x+y0y=r2

Dan berarti bahwa garis ini melalui titik-titik singgung S₁ dan S₂ dan biasa disebut tali busur singgung dari titik T. Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya sama dengan persamaan garis singgung, jika T sebagai titik singgungnya.

Tanpa memperhatikan letak titik T, di dalam, di luar atau pada lingkaran, persamaan

x0x+y0y=r2

Dinamakan persamaan garis kutub T (x0, y0) terhadap lingkaran x2+y2=r2

Dengan cara yang mirip, kita dapat menemukan persamaan garis kutub titik T (x0, y0) terhadap lingkaran (x−a)2+(y−b)2=r2 _{, yaitu}

(

x0−a

)

(x−a)+

(

y0−b

)

(y−b)=r2

Sedangkan persamaan garis kutub titik T (x0, y0) terhadap lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 adalah

x₀x+y₀y+1

2 A

(

x+x0

)

+ 1

2B

(

y+y0

)

+C=0 Dari penjelasan di atas dapat dimengerti bahwa :

1) Apabila titik T di luar lingkaran, maka garis kutubnya merupakan tali busur singgung. 2) Apabila T pada lingkaran, maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran di T. 3) Apabila titik T di dalam lingkaran, maka garis kutubnya tidak memotog lingkaran.

Contoh Soal

Jawab : Persamaan garis kutubnya adalah −1x+3y−(x−1)−3(y+3)−20=0 x−14=0

Untuk menyelidikinya, kita cukup menunjukkan titik P terletak di dalam, di luar atau pada lingkaran. Dengan substitusi P(-1,3) pada persamaan lingkaran diperoleh :

1+9+2−18−20=−26<0

Berarti P terletak di dalam lingkaran, maka garis kutub tersebut tidak memotong lingkaran.

Contoh Soal

Jika diketahui garis kutub terhadap lingkaran x2+y2−4x+6y+5=0 adalah x+2y+12=0 , tentukanlah titik kutubnya.

Jawab : Misalkan titik kutubnya adalah P

(

x₀, y₀

)

, maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah x1x+y1y−2

(

x+x1

)

+3

(

y+y1

)

+5=0

(

x₁−2

)

x+

₍

y₁+3

)

y−2x₁+3y₁+5=0

Garis ini berimpit dengan x+2y+12=0

Maka x1−2 1 =

y₁+3 2 =

−2x₁+3y₁+5

12 atau

2x₁−4=y₁+3 12x₁−24=−2x₁+3y₁+5

2x₁−y₁=7 14x₁−3y₁=29

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah (1,-5). Jadi titik kutub yang dicari adalah (1,-5).

|

TA

|

2=

_|

T B₁

_||

T B₂

_|

=

_|

T C₁

_||

T C₂

_|

=

_|

T D₁

_||

T D₂

_|

dan seterusnya.

Selanjutnya hasil kali ini disebut kuasa titik T terhadap lingkaran. Sekarang akan kita hitung besarnya kuasa titik T terhadap lingkaran itu.

Misalkan T

(

x₁, y₁

)

dan persamaan lingkaran adalah x2

Seperti telah kita pelajari di depan, maka kita dapat mentimpulkan bahwa kuasa suatu titik adalah positif, nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu di luar, pada atau di dalam lingkaran .

Contoh Soal

Tentukan kuasa titik T(1,3) terhadap lingkaran x2+y2−2x−4y−20=0 . Tentukan letak titik T terhadap lingkaran tersebut.

Jawab : Kuasa titik T terhadap lingkaran adalah 12+32−2.1−4.3−30=−24. Karena kuasa titik T terhadap lingkaran bernilai negatif, maka T terletak di dalam lingkaran.

DEFINISI :

Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh garis-garis singgung pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran-lingkaran itu.

Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lainsedemikian hingga menjadi dua busur yang sama panjangnya, dikatakan bahwa lingkaran itu membagi dua lingkaran lain (lihat gambar 2.15).

Pada gambar disamping, α adalah sudut antara lingkaran-lingkaran dengan pusat P₁

dan P_2.

Lingkaran dengan pusat P₁ membagi dua lingkaran P₂ , maka ∆ P₁P₂A siku-siku, sehinggaberlaku

Contoh Soal

Tentukan nilai k, agar lingkaran x2

+y2

−2x+4 y−k=0 membagi dua sama besar lingkaran x2+(y−1)2=4.

Jawab :

x2+y2−2x+4 y−k=0 berpusat di P2 (1,-2) dengan jari-jari r1=

√

5+k . Sedangkan lingkaran x2+(y−1)2=4 berpusat di P2 (0,1) dengan jari-jari r2=2.

|

P₁P₂

_|

2=r₁2 −r₂2

(1−0)2+(−2−1)2=5+k−4