Slide: Fungsi Dua Peubah

Fungsi Dua Peubah

Sistem Koordinat

y

x

P(x,y) Kuadran I

Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV y

x

y z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

R³(Ruang) R²(Bidang)

Permukaan di Ruang (R

³

)

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara

membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :

•Bola, mempunyai bentuk umum :

0 a

, a z

y

x

²

+

²

+

²

=

²



2 2

2 y a

x + =

Jejak di bidang XOY, z = 0 ➔ Jejak di bidang XOZ, y = 0 ➔

, berupa lingkaran

2 2

2 z a

x + = , berupa lingkaran Jejak di bidang YOZ, x = 0 ➔ y² + z² = a², berupa lingkaran

Gambar Bola

Z

x

y

Permukaan di Ruang

 Elipsoida, mempunyai bentuk umum c 1

z b

y a

x

2 2 2

2 2

2 + + = , a, b, c > 0

b 1 y a

x

2 2 2

2 + =

Jejak di bidang XOY, z = 0 ➔ , berupa Ellips c 1

z a

x

2 2 2

2 + =

Jejak di bidang XOZ, y = 0 ➔ , berupa Ellips

b 1 y c

z

2 2 2

2 + =

Jejak di bidang YOZ, x = 0 ➔ , berupa Ellips

Gambar Ellipsoida

Z

x

y

Permukaan di R ³

 Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:

c 1 z b

y a

x

2 2 2

2 2

2 + − = , a, b, c > 0

b 1 y a

x

2 2 2

2 + =

Jejak di bidang XOY, z = 0 ➔ , berupa Ellips c 1

z a

x

2 2 2

2 − =

Jejak di bidang XOZ, y = 0 ➔ , berupa Hiperbolik

c 1 z b

y

2 2 2

2 − =

Jejak di bidang YOZ, x = 0 ➔ , berupa Hiperbolik

Gambar Hiperbolik Berdaun Satu

Z

x

y

Permukaan di R ³

 Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:

c 1 z b

y a

x

2 2 2

2 2

2 − − = , a, b, c > 0

b 1 y a

x

2 2 2

2 − =

Jejak di bidang XOY, z = 0 ➔ , berupa Hiperbolik c 1

z a

x

2 2 2

2 − =

Jejak di bidang XOZ, y = 0 ➔ , berupa Hiperbolik c 1

z b

y

2 2 2

2 − =

−

Jejak di bidang YOZ, x = 0 ➔ , tidak ada jejak a 1

x c

z b

y

2 2 2

2 2

2 + = − , maka terdefinisi saat x  - a atau x  a

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a ,

Gambar Hiperbolik Berdaun Dua

Z

x

y

Permukaan di R ³

• Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:

c z b

y a

x

2 2 2

2 + = , a, b, c > 0

 Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:

c z b

y a

x

2 2 2

2 − = , a, b, c > 0

 Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

c 0 z b

y a

x

2 2 2

2 2

2 + − =

 Bidang , mempunyai bentuk umum:

D Cz

By x

A + + =

Gambar

Z

x

y

z

y Z

x

y

Paraboloida Eliptik Paraboloida Hiperbolik z

Fungsi Dua Peubah

• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang

mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A → R ( A C R²) (x,y) → z = f(x,y) Contoh:

1. f(x,y) = x² + 4 y²

2. f(x,y) = 36 9 ² 4 ² 3

1 − x − y

3. f(x,y) = ²

( )

²

2

2 2

− +

− y x

x y

Latihan: Gambarkan

1. x² + y² = 4

2. y = x²

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1

4. 9 z² + 9x² + 4y² = 36

5. z =4

6. x² + y² + z² – 2x – 2y – 4z = 3

Daerah Asal (D

_f

) dan Daerah Nilai (R

_f

)

 ^{( x , y ) R f ( x , y ) R} 

D

_f

= 

²



Contoh. Tentukan dan gambarkan D_f dari



_f



f

f ( x , y ) ( x , y ) D

R = 

1. f(x,y) = x² + 4 y²

2

2

4 y

x 9 3 36

) 1 y , x ( f .

2 = − −

) y 1 ( x )

y , x ( f .

3 = −

Contoh (Jawab)

1. D_f ={(x,y) R² | x² + 4 y²  R}

= {(x,y) R²}

x y

2.

= {(x,y) R² | 36 – 9x² – 4y²  0} 



  − − 

= x y R x y R

D_f ² 36 9 ² 4 ²

3 ) 1

, (

= {(x,y) R² | 9x² + 4y²  36}

y

3

Contoh (Jawab)

3.

= {(x,y) R²| x(1 – y)  0}

x y

 ^{x y R x y R} 

D

_f

= ( , ) 

²

( 1 − ) 

= {(x,y) R²|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0}

= {(x,y) R²|x  0 dan y  1 atau x0 dan y  1}

Latihan

Tentukan dan Gambarkan D_f dari 1. f(x,y) = ²

( )

²

2

2 y x

x y 2

− +

−

5. f(x,y) =

1 x y

) 1 y x ln(

+

− + 2. f(x,y) = −

y 1

x

−

4. f(x,y) =

) y x ln(

y x

16 ^{2 2}

+

−

−

3. f(x,y) = 2 x

y −

Grafik Fungsi Dua Peubah

• Grafiknya berupa permukaan di ruang

Z=f(x,y)

Df x

y z

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z

Contoh

Gambarkan Grafik

1. f(x,y) = 2 x²+ 3y² z = 2 x²+ 3y²

2. f(x,y) = 3 – x² – y²

Paraboloida eliptik 13

12

2

2 y

z = x +

Z

x

y

z = 3 – x² – y²

Z

y 3

3

Contoh

3. f(x,y) = 36 9 ² 4 ² 3

1 − x − y

4. f(x,y) = 16− x² − y² 9z² = 36 – 9x² – 4y² 9x² + 4y² + 9z² = 36

4 1 9

4

2 2

2 + y + z =

x Elipsoida

Z

x

y

z² = 16 –x² –y² x² + y² + z² = 16

Bola

3 2

2

4 4

Z

x

y

4

Kurva Ketinggian

z = f(x,y) → z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.

Contoh:

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

1. f(x,y) = x²+ 2y² , k = 0, 1, 2, 4

2. f(x,y) = 2x – y² , k = -2, 0, 2, 4

Contoh (Jawab)

1. f(x,y) = x²+ 2y² , k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0



^{x2 +2 y2 = 0}

x = 0, y = 0



titik (0, 0) Untuk k = 1



^{x2 +2 y2 = 1}



^elips

Untuk k = 2



^{x2 +2 y2 = 2}



^elips

Untuk k = 4



^{x2 +2 y2 = 4}



^elips

1 12

1

2

2 + y =

x

2 1

2 2

= + y x

2 1 4

2 2 + y = x

.

k=0

k=1 k=2 k=4

x y

Contoh (Jawab)

Untuk k = -2



^{x – y2 = -2}

x = y² – 2



^parabola

Untuk k = 0



^{x – y2 = 0}



^parabola

Untuk k = 2



^{x – y2 = 2}



^parabola

Untuk k = 4



^{x – y2 = 4}



^parabola

k=0

k=-2

k=2 k=4 x

y 2. f(x,y) = x – y² , k = -2, 0, 2, 4

x = y²

x = y² + 2 x = y² + 4

Latihan

1. f(x,y) = x²/y , k = -4, -1, 0, 1, 4

2. f(x,y) = x²+y² , k = 0, 1, 4, 9

3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4

4. f(x,y) = y² – x² , k = 1, 2, 3, 4

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

Limit Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis

Jika ε > 0  > 0 

L )

y , x ( f lim) (a,b) y

, x

( =

→

berlaku

(

−

) (

+ −

)



 ^{2 2}

0 x a y b





−L ) y , x (

f ^z _{Z =f(x,y)}

L L+ε L–ε

Catatan

L )

y , x ( f lim

) b , a ( ) y , x

( =

→ ada jika lim f(x,y) L

) b , a ( ) y , x

( =

→

kurva yang melalui (a,b).

untuk sembarang

Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R² yang melalui

kurva, maka dikatakan lim f(x,y)

) b , a ( ) y , x

( →

berbeda untuk masing-masing )

y , x ( f lim

) b , a ( ) y , x

( →

(a,b) dengan nilai

tidak ada.

. (a,b)

Contoh

Buktikan bahwa limit

2 ) 2

0 , 0 ( ) ,

( lim

y x

xy

y

x ^→ +

Jawab

2

) 2

,

( x y

y xy x

f = + terdefinisi di D_f = R² – {(0,0)}

Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah

0 0 0 ) .

0 ,

( _{2 2} =

= + x x x

f

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah

0 . x

berikut tidak ada

Contoh (Lanjutan)

Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah 2

1 ) .

,

( _{2 2} =

= +

x x

x x x

x f

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah

2 1 lim .

) , (

lim _{2 2}

) 0 , 0 ( ) , ( )

0 , 0 ( ) ,

( =

= +

→

→ x x

x x x

x

f x x

x x

Karena lim ( ,0) lim ( , )

) 0 , 0 ( ) , ( )

0 , 0 ( ) 0 ,

( f x f x x

x x

x →  → maka

2 ) 2

0 , 0 ( ) ,

( lim

y x

xy

y

x ^→ + tidak ada

Latihan

1. 2 2

2 2

) 0 , 0 ( ) y , x

( x y

y lim x

+

−

→

2. 4 2

2 )

0 , 0 ( ) y , x

( x y

y lim x

+

→

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

3. 2 6

4 3

) 0 , 0 ( ) y , x

( x y

y lim x

+ +

→

Kekontinuan

Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

ada )

y , x ( f lim) (a,b) y

, x

( →

i. f(a,b) terdefinisi ii.

) b , a ( f ) y , x ( f lim) (a,b) y

, x

( =

iii. →

Teorema:

1. Polinom dengan m peubah kontinu di R^m

2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada D_f asal q(x,y)≠0

3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f⁰g

Contoh Kekontinuan

Selidiki kekontinuan fungsi berikut:

1. f(x,y) =

) x 4 y

(

y 3 x 2

2 − +

2. f(x,y) = cos(x² −4xy+ y²)

Kontinu dimana-mana (R²) kecuali di parobola y²=4x

Misal g(x,y) = x²-4xy+y² (Polinom) → g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.

Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

Turunan Parsial

Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.

1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

h

) y , x ( f ) y , h x ( lim f )

y , x (

fx h 0

−

= +

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y →

(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

h

) y , x ( f ) h y , x ( lim f )

y , x (

fy h 0

−

= +

→

Contoh:

1. f(x,y) = x³y+4xy² Tentukan f_x dan f_y

Jawab

f_x(x,y) = 3 x² y + 4 y² f_y(x,y) = x³ + 8 xy

2. f(x,y) = ycos(x² + y²)

3. f(x,y) ⁼



x^yln sin t dt

Jawab

f_x(x,y) = –2xy sin(x² + y²)

f_y(x,y) = cos(x²+y²)– 2y² sin(x²+y²) Jawab

f_x(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx) f_x(x,y) = – ln(sinx)

f_y(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx) f_y(x,y) = ln(siny)

Latihan

1.

2.

xy y

y x

x y

x

f( , ) = ³ cos( + ) + sin2



= ^y

x

tdt e

y x

f( , ) ^cos Tentukan f_x dan f_y

3. f (x, y) = x³sin(x+ y)+ ycos(2xy)

1. f(x,y, z) = xy + y²z + 3xz

2. f(x,y,z) = x cos(y − z) + 2xy Tentukan f_x, f_y dan f_z

Turunan Parsial Kedua

2

) 2

,

( x

f x

f y x

x f_xx



= 



 











= 

2

) 2

,

( y

f y

f y y

x f_yy



= 



 











= 

x y

f x

f y y

x f_xy





= 



 











=  ²

) , (

y x

f y

f y x

x f_yx





= 



 











=  ²

) , (

Contoh

1. f(x,y)= x y³ + y³x² Tentukan f_xx, f_yy ,f_xy, f_yx

Jawab

f_x(x,y) = y³ + 2xy³

f_y(x,y) = 3xy² + 3x²y² f_xx(x,y) = 2y³

f_xy(x,y) = 3y² + 6xy² f_yy(x,y) = 6xy + 6x²y

f_yx(x,y) = 3y² + 6xy²

Contoh

2. f(x,y) = xy sin(x²+2xy+y³) Jawab

f_x(x,y) = y sin(x²+2xy+y³) + xy(2x+2y) cos(x²+2xy+y³) f_y(x,y) = x sin(x²+2xy+y³)+xy(2x+3y²) cos(x²+2xy+y³)

f_xx(x,y)=y(2x+2y)cos(x²+2xy+y³)+(4xy+2y²)cos(x²+2xy+y³) f_xy(x,y) = sin(x²+2xy+y³)+y(2x+3y²) cos(x²+2xy+y³)

f_yy(x,y)=(2x+3y²)sin(x²+2xy+y³)+(2x²+9xy²)sin(x²+2xy+y³) – xy(2x+2y)² sin(x²+2xy+y³)

+(2x²+4xy)cos(x²+2xy+y³)

–xy(2x+2y)(2x+3y²)sin(x²+2xy+y³) –xy(2x+3y²)² sin(x²+2xy+y³)

Teorema (Kesamaan Parsial Campuran)

Jika fungsi f, f_x , f_y , f_xy , f_yx kontinu pada suatu himpuan terbuka D, maka f_xy = f_yx untuk setiap titik dari D

 Contoh:

Diketahui z = f(x,y) = ln(x² + 2xy³).

Tunjukkan bahwa f_xy = f_yx

 Jawab:

………..

………..

………..

Latihan

Tentukan f_xx, f_yy ,f_xy, f_yx

1. f(x,y) = x cos(xy) + xy e^x+y 2. f(x,y) = ln(x² + 2 xy + y³) 3. f(x,y) = tan^-1(y²/x)

4. f(x,y) =ln(x²+2xy+y²) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

Arti Geometri Turunan Parsial

Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada

permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b)

merupakan

gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x.

z

x

y (a, b)

s

Arti Geometri Turunan Pertama (2)

Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada

permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b)

merupakan

gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam

z

x

(a, b) y

s

Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

1.36 z= 4x² + 9y² dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab:

y y y z

x f_y

2 ) 1

,

( =



= 

Turunan parsial terhadap y adalah

Sehingga didapat (3,2) = 1



=  y

f_y z . Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t

Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2. 2z =(9x²+9y²-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab:

36 9

9 2

9 36

9 9

4 ) 18

,

( 2 2 = 2 + 2 −

−

= +



= 

y x

x y

x

x x

y z x f_x

Turunan parsial terhadap x adalah

Sehingga didapat

( 2 , 1 ) = 3



=  x

f

_x

z

. Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan

melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter

Latihan

1. 3z =(36-9x² -4y²) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, (11/3))

2. 4z =5(16-x²) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5(3/2)) Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis

singgung kurva perpotongan

Vektor Gradien

Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D  R²

• Definisi

Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai

jˆ ) y , x ( f iˆ

) y , x ( f )

y , x (

f =

_x

+

_y

 

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

jˆ , iˆ

 Definisi

Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah



Contoh

Tentukan f(x,y)

dan f (−1,−1)

dari ^f(^x,^y) = ^{x e xy}

xy

x x y e xy xye

f ( , ) = + Jawab

y x y x e xy

f ( , ) = ²

e e

e

f_x(−1,−1) = + = 2 e

f_y(−1,−1) =

(

^{e xye}

)

^{i x e j}

y x

f( , ) = ^xy + ^xy ˆ+ ^{2 xy}ˆ



j e i

e

f(−1,−1) = 2 ˆ+ ˆ







Sehingga diperoleh:

Vektor Gradien



Latihan

I. Tentukan

  f

dari

1. x y

y y x

x

f( , ) = +²

2. f(x,y) = ln x² + y²

3. ^{f(x,y) = sin3}

( )

^x2y

4. f(x,y) = xyln(x + y)

II. Tentukan

  f

di titik yang diberikan 1. f(x,y) = x²y − xy²

2. f(x,y) = ln(x³ − xy² + 4y³)

3. x

y x

f( , ) = ²

di P (– 2,3)

di P (– 3, 3) di P (2, –1)

5. f(x,y,z) = x ²y e ^x−z 6. f (x, y,z) = xe ^−2y secz

Aturan Rantai

Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))

Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai

t y y z t

x x z dt

dz





 + 







= 

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

( ) ⁱ

^dz_ds ⁼ _^_x^{z }_^x_s ⁺ _^_y^{z }_^y_s

Contoh

1. Misalkan w = x² y³ dengan x = t³ dan y = t², tentukan

dt dw

Jawab:

t y y w t

x x w dt

dw





 + 







= 

= 2x y³ (3t²)+3 x² y²(2t)

= 2t³ (t²)³ (3t²)+3 (t³)² (t²)²(2t)

= 2t³. t⁶. 3t²+3 t⁶. t⁴. 2t

= 6t¹¹+6 t¹¹ = 12 t¹¹

Contoh

2. Misalkan z = 3x² – y² dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, dt

dz

Jawab:

t y y z t

x x z dt

dz





 + 







= 

= 42 (2s +7t) – 50 s²t

= 6x. 7 + (–2y) 5 s tentukan

ds dan dz

s y y z s

x x z ds

dz





 + 







= 

Latihan

1. Tentukan

dt

dw (dalam t)

a. w = x² y – y²x ; x = cos t, y = sin t b. w = e^x siny – e^ysin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz²) ; x = t³, y = t² , z =t 2. Tentukan

dt

dw (dalam t dan s)

a. w = x² – y lnx ; x = s/t, y = s² t

b. w = ; x

e

^x2+y2 = s sin t, y = t sin s

Turunan Berarah

jˆ u iˆ u

u = ₁ + ₂

u ) p ( f )

p ( f

D_u =  •

Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan

adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :

atau D f(a, b) = f_x (a, b)u₁ + f_y (a, b)u₂

u





( ) cos cos

) ( )

( )

(p f p u f p u f p

f

D_u =  •  =   =  Perhatikan bahwa

Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum (=0)jika )

p ( f

) p ( u f



= 

 



Contoh

1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x³y pada titik P(2,1) dalam arah vektor a = 4ˆi + 3ˆj

Jawab:

2 1 (2,1) )

1 , 2 ( )

1 , 2

( f u f u

f

D_u^ = _x + _y

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

f_x (x,y)= 12 x² y

j j i

i a

u a ˆ

5 ˆ 3

5 4 5

3ˆ 4ˆ

+ + =

=

= 

 

f_x (2, 1)= 12.2².1 =48 f_y (x,y)= 4 x³ f_y (2, 1)= 4.2³ =32

2 1 (2,1) )

1 , 2 ( )

1 , 2

( f u f u

f

D_u^ = _x + _y

Sehingga

=48 . (4/5) + 32 . (3/5)

 

Contoh

2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada titik P(1,2, /2) dalam arah vektor a =ˆi + 2 ˆj + 2kˆ

Jawab:

3 2

1 )

, 2 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1

( f u f u f u

f

D_u



_{= x}



_{+ y}



_{+ z}





Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

f_x (x,y,z)= y sinz

k j

k i j

i a

u a ˆ

3 ˆ 2

3 ˆ 2

3 1 9

2ˆ 2ˆ

ˆ + + = + +

=

= 

 

f_x (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2 f_y (x,y,z)= x sinz f_x (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1

 

Contoh (Lanjutan)

3 2

1 )

, 2 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1 ( 2)

, 2 , 1

( f u f u f u

f

D_u



_{= x}



_{+ y}



_{+ z}





Sehingga

=2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3)

= 4/3

Latihan

1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a

a. f(x,y) = y² lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xe^y – ye^x , P(0, 0), a = 5 i – 2 j

c. f(x,y) = e ^–xy , P(1, –1), a = – i + 3 j

d. f(x,y) = x/(x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y,z) = xy+z² , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f

bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini

a. f(x,y) = x³ – y⁵ , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x²–y² , P(–1,2)

Latihan (lanjutan)

3. Misal

y x

y y x

f( , ) = + ^.Tentukan u

sehingga D_u^f(2,3) = 0 4. Jika f(x₀,y₀) = ˆi − 2ˆj

,Tentukan u

sehingga D_u^f(x₀,y₀) = −2 5. Diketahui D_u^f(1,2) = −5 jika

10 jika )

2 , 1

( =

f D_v^

j dan i

u ˆ

5 ˆ 4

5 3 −

 =

j i

v ˆ

5 ˆ 3

5

4 +

 = a. Tentukan f_x(1,2) dan f_y(1,2)

b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)

Bidang Singgung dan Hampiraan

 Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai

persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P_o(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui P_o dan

tegak lurus pada

) c , b , a (

f

Teorema:

Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

F_x(a,b,c) (x–a) + F_y(a,b,c) (y–b) + F_z(a,b,c) (z–c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah :

Contoh

1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan x² + y² + 2z² = 23 di titik (1, 2, 3)

Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x² + y² + 2z² k

z j

y i

x z

y x

f( , , ) = 2 ˆ+ 2 ˆ+ 4 ˆ



Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah k

j i

f(1,2,3) = 2ˆ + 4 ˆ + 12 ˆ



2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46

Contoh (Lanjutan)

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

12 3 4

2 2

1 = − = −

− y z

x

x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

Contoh

2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(x,y)=x²+2xy-3xy² +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:

3 2

2 2

) ,

(x y x y y

f_x = + −

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah xy

x y

x

f_y( , ) = 2 − 6

(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21

6 12

4 2

) 2 , 1

( = + − = − fx

10 12

2 )

2 , 1

( = − = −

fy





Contoh

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

1 5 10

2 6

1

−

= +

−

= −

−

− y z

x

x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

Latihan

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan

a. x² + y² – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = e^x cos z di titik (1, e, 0)

c. x^1/2 + y^1/2 + z^1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e^3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)

2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x²–2xy–y²–8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar

3. Perlihatkan bahwa permukaan x²+4y+z²=0 dan

x²+y²+z² – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2).

yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama

4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x²+2y²+3z²=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan

Hampiran

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah

 Definisi

Misalkan (x₀,y₀)  D_f, maka

f(x₀,y₀) adalah nilai maksimum global dari f pada D_f, jika f(x₀,y₀)  f(x,y),  (x,y)  D_f

f(x₀,y₀) adalah nilai minimum global dari f pada D_f, jika f(x₀,y₀)  f(x,y),  (x,y)  D_f

f(x₀,y₀) adalah nilai ekstrim global dari f pada D_f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai

minimum global.

Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N



S, dengan N suatu daerah di sekitar (x₀, y₀).

Di mana nilai ekstrim muncul?

 Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

 Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu

Titik-titik batas D_f

Titik Stasioner

Titik Singular

Uji Nilai Ekstrim

 Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:

Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x₀,y₀),

dan

0 ) y , x (

f _{0 0} =



maka

(

_{xy 0 0}

)

²

0 0 yy 0

0 xx 0

0,y ) f (x ,y ).f (x ,y ) f (x ,y ) x

( D

D = = −

1. f(x₀,y₀) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f_xx(x₀,y₀)  0 2. f(x₀,y₀) nilai minimum lokal jika D>0 dan f_xx(x₀,y₀)  0 3. Jika D<0, f(x₀,y₀) bukan suatu nilai ekstrim

((x₀,y₀) merupakan titik pelana)

Contoh

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f(x,y) = 2x⁴–x²+3y²

Jawab

f_x(x,y) = 8x³ – 2x f_y(x,y) = 6y f_xx(x,y) = 24x² – 2 f_yy(x,y) = 6 f_xy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f_x(x,y) = 0 dan f_y(x,y)=0, yaitu

8x³ – 2x=0



^{2x (4x2 – 1)=0}



^{x=0 , x =± ½}

Contoh (lanjutan)

f_xx f_yy f_xy D Keterangan (0,0) – 2 6 0 –12 Titik pelana

(½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

(-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

Contoh

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x²–y²+1 pada S={(x,y)| x² + y²  1}

Jawab

f_x(x,y) = 2x f_y(x,y) = – 2y f_xx(x,y) = 2 f_yy(x,y) = –2 f_xy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan f_x(x,y) = 0 dan f_y(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)(→ terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)

Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint

Contoh (lanjutan)

Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0



4 cos t sint= 0 sin2t= 0



2t= 0, , 2, 3



t= 0, /2, , 3/2 Untuk t = 0 x = 1, y = 0



f(1, 0) = 2





Untuk t = /2 x = 0, y = 1



f(0, 1) = 0



Untuk t =  x = -1, y = 0



f(-1, 0) = 2



Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1



f(0, -1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

Latihan

1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari a. f(x,y) = x³+y³-6xy

b. f(x,y) = xy² –6 x² – 6y²

c. f(x,y) = x² +4 y² – 2x+8y – 1 d. f(x,y) = 3x³ +y² – 9x + 4y

y xy x

y x f

e. ( , ) = + 2 + 4

) 4 ( ^{2 2}

) , (

. f x y e ^{x y y}

f = ^{− + −}

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

a. f(x,y) =x²–6x+y²–8y+7 pada S={(x,y)| x² + y²  1}

b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y  1}

Metode Lagrange

 Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala

g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g.

Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 – x² – y² berikut :

g (x, y) = 0

Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 →

sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0

sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y  D_f sepanjang g (x, y) = 0

Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung → garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian _⊥^ _f dan kurva kendala

Metode Lagrange

 Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x₀,y₀) terhadap kendala g(x₀,y₀)=0, selesaikan

0 )

y , x ( g dan )

y , x ( g )

y , x (

f

_{0 0}

=  

_{0 0 0 0}

=

  

dengan (x₀,y₀) titik kritis,  pengali langrange

 Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x₀,y₀)

terhadap kendala g(x₀,y₀)=0 dan h(x₀,y₀)=0, selesaikan

) , ( )

, ( )

,

(x₀ y₀ g x₀ y₀ h x₀ y₀

f =  + 

  





dengan (x ,y ) titik kritis,  pengali langrange

, g(x₀,y₀)=0, h(x₀,y₀)=0

Contoh

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1. f(x,y)= x² – y² + 1 pada lingkaran x²+y²=1 Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

) , ( )

,

(x y g x y

f = 

 

 dan ^{g(x,y) = 0} yaitu:

2x =  2x …….(1) – 2y =  2y …….(2)

x²+y² = 1 ……..(3) j y i

x y

x

f ( , ) = 2 ˆ− 2 ˆ



j y i

x y

x

g( , ) = 2 ˆ+ 2 ˆ



Contoh (lanjutan)

Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama- sama nol, sehingga

Untuk x  0, dari (1) di dapat  = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x²=1 → x = ± 1

Untuk y  0, dari (2) di dapat  = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y²=1 → y = ± 1

Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)



f(1, 0) = 2,

Untuk (1,0) untuk (-1,0)



f(-1, 0) = 2



f(0, 1) = 0,

Untuk (0,1) untuk (0,-1)



f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

Contoh

2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x²+y²=2 dan bidang y + z = 1

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

) , , ( )

, , ( )

, ,

(x y z g x y z h x y z

f =  + 

  



 , ^{g(x,y,z) = 0}

yaitu:

1 = 2x ……….(1) 2 = 2y +  …….(2) x²+y² = 2 ……..…..(4)

k j

i y

x

f ( , ) =ˆ+ 2 ˆ+ 3 ˆ



j y i

x y

x

g( , ) = 2 ˆ+ 2 ˆ



k j

y x

h( , ) = ˆ+ ˆ



0 )

, ,

(x y z = dan h

3 =  ……….(3)

Contoh (lanjutan)

Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat  = ± ½.

Untuk  = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2).

Untuk  = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).

Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),

Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

Latihan (Gunakan Metode Lagrange)

1. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x² + y² pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy pada lingkaran x² + y² = 1

3. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 4x² – 4xy+ y² pada kendala x²+y² = 1

4. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x²+y²+z² pada kendala x + 3y – 2z = 12