RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) (Simulasi Mengajar Pengajar Praktik)

(1)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

(Simulasi Mengajar – Pengajar Praktik)

Nama : Meyra Dwi Nugrahaningsih Sekolah : SMA Negeri 1 Purwantoro

E-mail : Meyranugrahaningsih05@guru.sma.belajar.id Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : XI/Genap

Tema : Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar Materi Pokok : Titik dan Jenis-jenis Nilai Stasioner Pembelajaran ke- : 2 (dua)

Alokasi Waktu : 10 menit

A. Kompetensi Inti

KI-1 : Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

KI-2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, santun, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), bertanggung jawab, responsif, dan pro-aktif dalam berinteraksi secara efektif sesuai dengan perkembangan anak di lingkungan, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, negara, kawasan regional, dan kawasan internasional.

KI-3 : Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI-4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

(2)

B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi 3.9 Menganalisis keberkaitan turunan

pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

3.9.1 Menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

3.9.2 Menentukan titik belok menggunakan turunan kedua.

4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

4.9.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

C. Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran Think Pair Share (TPS), peserta didik menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dan titik belok menggunakan turunan kedua serta menyelesaikan masalah matematis yang berkaitan dengan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dengan jujur dan penuh tanggungjawab.

D. Materi Pembelajaran

Fakta : Tafsiran geometri dari uji turunan pertama

Konsep : Turunan tingkat tinggi, uji turunan kedua, dan jenis-jenis nilai stasioner Prinsip : Titik stasioner

Prosedur : Menentukan keterkaitan turunan pertama dan turunan kedua untuk menentukan

Metakognisi : - Mentransformasi masalah kontekstual ke permasalahan matematis - Memilih aplikasi turunan fungsi aljabar yang sesuai untuk

menyelesaikan suatu masalah

(3)

E. Metode Pembelajaran

1. Pendekatan Pembelajaran : Saintifik (Scientific)

2. Model Pembelajaran : Kooperatif tipe Think Pair Share (TPS) 3. Metode Pembelajaran : tanya jawab, diskusi, dan penugasan

F. Media Pembelajaran

Tayangan Powerpoint; Video Roller Coaster; Simulasi Osilasi: Simulasi Grafik pada Kalkulus (Lampiran 2); LKPD (Lampiran 3)

G. Sumber Belajar

1. Manullang, Sudianto, dkk. 2017. Buku Siswa Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI.

Jakarta: Kemendikbud.

2. Manullang, Sudianto, dkk. 2017. Buku Guru Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI.

Jakarta: Kemendikbud.

3. Sukino. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta : Erlangga.

4. Modul Titik Stasioner dan Jenis-jenis Nilai Stasioner Kelas XI SMA.

H. Langkah-langkah Pembelajaran

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi

Waktu Pendahuluan Orientasi

1. Guru memberikan salam dan mengajak peserta didik untuk mengawali kegiatan dengan berdoa.

2. Guru mengecek kehadiran peserta didik, kebersihan kelas (PLH) dan menyiapkan fisik dan psikis peserta didik untuk mengikuti kegiatan pembelajaran.

3. Guru meminta peserta didik untuk membaca materi yang akan dipelajari mengenai titik stasioner dan jenis-jenis nilai stasioner. (Literasi)

Pemberian Acuan

4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan ini.

(Lihat poin C. Tujuan Pembelajaran).

5. Guru menjelaskan model pembelajaran Think Pair Share (TPS) yang akan diterapkan selama proses pembelajaran berlangsung.

2 Menit

(4)

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu Motivasi

6. Guru memberikan motivasi dengan menampilkan video yang mencerminkan kegunaan materi titik stasioner dan jenis-jenis nilai stasioner dengan memberikan uraian singkat berikut: “materi jenis-jenis nilai stasioner ini memuat nilai maksimum yang sangat banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya pada roller coaster. Perhatikan roller coaster dan lintasannya pada tayangan video. Disana dapat dibuat grafik yang menggambarkan kecepatan yang dialami oleh roler coaster saat berada di lintasannya. Dengan mengetahui ini, jika kalian telah dewasa dan mampu membuat bisnis pembuatan roller coaster, maka dengan modal materi ini kalian dapat membuat lintasan yang menarik. Dalam artian, menjadi wahana yang diminati oleh orang banyak. Selain itu, manfaat lainnya, jika kalian nanti mempunyai sebuah perusahaan produksi barang, kalian dapat menggunakan konsep nilai maksimum untuk memaksimumkan keuntungan dan konsep nilai minimum untuk meminimumkan biaya produksi barang.” (Video terlampir dalam Slide pada Lampiran 2)

Apersepsi

7. Guru memberikan pernyataan dan pertanyaan: “Pada saat kalian kelas IX SMP, kalian telah belajar fungsi kuadrat. Misal diberikan fungsi berikut:

f(x)= 𝑥²− 𝑥 − 2

menghadap kemanakah grafik fungsi tersebut? Ada berapa titik potong grafik fungsi tersebut dengan sumbu- x? sebutkan! Tentukan pula titik puncaknya.”

(5)

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu selanjutnya, guru menanyakan bagaimana mencari

turunan kedua suatu fungsi?

Dan menjelaskan sekilas mengenai turunan kedua (digunakan menentukan titik belok suatu fungsi).

Inti Fase 1: Think

8. Peserta didik mengamati tayangan osilasi yang dapat direpresentasikan sebuah fungsi yang memiliki beberapa titik stasioner dengan nilai maksimum dan minimum.

(4C: critical thinking)

9. Berdasarkan masalah yang diamati, peserta didik dimotivasi oleh guru untuk dapat memberikan pertanyaan. Contoh pertanyaan yang diharapkan:

a. Apa itu titik stasioner?

b. Bagaimana posisi titik maksimum dan minimum sebuah fungsi?

c. Dapatkah menentukan nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi tanpa menggambar grafik fungsinya?

(4C: critical thinking and problem solving)

10. Peserta didik diajak oleh guru untuk mengerjakan Lembar Kegiatan Peserta Didik (LKPD) mengenai titik stasioner, jenis-jenis nilai stasioner dan solusi maksimum dan minimum suatu permaslahan. Setiap kelompok dibagikan LKPD untuk dikerjakan. (LKPD dapat dilihat pada Lampiran 3)

6 Menit

(6)

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu 11. Peserta didik secara individual bertanggungjawab

menyelesaikan LKPD mengenai stasioner, titik stasioner, jenis-jenis nilai stasioner dan solusi maksimum dan minimum suatu permaslahan yang diberikan guru dengan mengumpulkan data berupa materi yang telah dipelajari seperti, bagaiamana menentukan turunan pertama, turunan kedua, dan daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan. (4C: Critical thinking and problem solving, creativities, collaboration dan communication, PPK : tanggung jawab, literasi : membaca)

Fase 2: Pair

12. Melalui data materi yang telah dipelajari dan jawaban- jawaban pada pertanyaan yang telah dijawab dari LKPD secara individu, peserta didik secara berkelompok menganalisis, menalar, menyimpulkan mengenai titik stasioner, jenis-jenis nilai stasioner dan solusi maksimum dan minimum suatu permasalahan dari berbagai sumber belajar dan melakukan verifikasi terhadap informasi yang didapatkannya.

13. Peserta didik diberikan hak untuk bertanya kepada guru dan guru memberikan bimbingan kepada individu dan kelompok dalam proses menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik stasioner, jenis-jenis nilai stasioner dan solusi maksimum dan minimum suatu permasalahan

Fase 3: Share

Mengkomunikasikan

14. Dua kelompok dengan pekerjaan berbeda diminta untuk mempresentasikan jawabannya di depan kelas secara tanggungjawab terkait hasil pekerjaan kelompoknya mengenai titik stasioner, jenis-jenis nilai stasioner dan solusi maksimum dan minimum suatu permasalahan serta membuka kesempatan diskusi antar kelompok (bertukar infomasi), dan guru memberikan penguatan atas hasil diskusi. (4C: communication, PPK: tanggung jawab)

(7)

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi Waktu 15. Guru dan peserta didik lain, memberikan apresiasi

kepada kelompok yang maju dengan tepuk tangan bersama peserta didik lainnya.

Penutup 16. Guru membimbing peserta didik untuk membuat rangkuman mengenai titik stasioner dan jenis-jenis nilai stasioner.

17. Guru memberikan kuis kepada peserta didik terkait materi titik stasioner dan jenis-jenis nilai stasioner dan dikerjakan secara individu dengan jujur dan tanggugjawab. (assessment for learning, 4C: critical thinking and problem solving dan creativities, PPK: jujur dan tanggungjawab. Soal kuis dapat dilihat pada Lampiran 4)

18. Guru mengajak peserta didik untuk merefleksi proses pembelajaran hari ini berupa kritik dan saran selama proses pembelajaran dari guru maupun peserta didik.

19. Guru memberikan Tugas materi titik stasioner dan jenis- jenis nilai stasioner. (assesment of learning. Soal dapat dilihat pada Lampiran 5)

20. Guru meminta peserta didik untuk mempersiapkan diri dengan mempelajari materi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertutup dari berbagai sumber sebagai bekal untuk pembelajaran pertemuan berikutnya.

21. Guru mengucapkan terima kasih dan salam.

2 Menit

I. Teknik Penilaian 1. Sikap

No. Teknik Bentuk

Instrumen Butir Instrumen Waktu Pelaksanaan 1. Observasi: Sikap Religius

dan Sosial

Jurnal Lihat Lampiran 6 Saat pembelajaran berlangsung

(8)

2. Pengetahuan

No. Teknik Bentuk Instrumen

Butir Instrumen

Waktu Pelaksanaan

Pendekatan Penilaian 1. Tes

Tertulis

Uraian Lihat Lampiran 4

Diakhir proses pembelajaran (setelah kegiatan menyimpulkan)

Penilaian untuk pembelajaran

(assesment for learning)

2. Penugasan Uraian Lihat Lampiran 5

Setelah pembelajaran berlangsung

Penilaian pencapaian pembelajaran

(assesment of learning)

3. Keterampilan

No. Teknik Bentuk Instrumen

Butir Instrumen

Waktu Pelaksanaan

Pendekatan Penilaian 1. Tes

Tertulis

Uraian Lihat Lampiran 4

Diakhir proses pembelajaran (setelah kegiatan menyimpulkan)

Penilaian untuk pembelajaran

(assesment for learning)

2. Penugasan Uraian Lihat Lampiran 5

Setelah pembelajaran berlangsung dan Penilaian akhir KD

Penilaian pencapaian pembelajaran

(assesment of learning)

(9)

TINDAKLANJUT HASIL PENILAIAN

1. Remedial  Pembelajaran remedial dilakukan bagi peserta didik yang belum tuntas dalam pencapaian KD

 Tahapannya dilaksanakan melalui remedial teaching (klasikal), atau tutor sebaya, atau tugas, dan diakhiri dengan tes.

 Tes remedial dilakukan sebaganya 3 kali dan apabila 3 kali tes remedial belum mencapai ketuntasan, maka remedial dilakukan dalam bentuk tugas tanpa tes

2. Pengayaan Bagi peserta didik yang sudah mencapai nilai ketuntasan diberikan pembelajaran pengayaan

Mengetahui,

Kepala SMA Negeri 1 Purwantoro

Meyra Dwi Nugrahaningsih, S.Si., M.Pd.

NIP. 19720510 200003 2 005

Wonogiri, September 2022

Guru Mata Pelajaran Matematika

Meyra Dwi Nugrahaningsih, S.Si., M.Pd.

NIP. 19720510 200003 2 005

(10)

Lampiran 1

1. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari nilai 𝑎 dan D. Dengan D adalah diskriminan (𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐).

a. Untuk 𝑎 > 0 (𝑎 bernilai positif) ada tiga jenis:

Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu- x di dua titik berbeda

Grafik terbuka ke atas dan menyinggung sumbu-x

Grafik terbuka ke atas dan tidak memotong ataupun menyingung sumbu-x

b. Untuk 𝑎 < 0 (𝑎 bernilai negatif) ada tiga jenis:

Grafik terbuka ke bawah dan memotong sumbu-x di dua titik berbeda

Grafik terbuka ke

bawah dan

menyinggung sumbu-x

Grafik terbuka ke bawah dan tidak memotong ataupun menyingung sumbu-x

(11)

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat:

Titik puncang/titik balik 𝑃(𝑥_𝑝, 𝑦_𝑝), dengan 𝑥_𝑝 = − 𝑏

2𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑦_𝑝 = 𝐷

−4𝑎

2. Turunan Tingkat Tinggi

Pada beberapa persoalan matematika di bidang kalkulus akan dijumpai penurunan suatu fungsi lebih dari satu kali. Turunan fungsi yang lebih dari satu kali disebut turunan tingkat tinggi. Turunan tingkat tinggi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dapat dilihat pada tabel berikut.

Untuk fungsi polinomial turunan tingkat tingginya akan berakhir dengan 0, yaitu turunan ke-n = 0.

Notasi turunan tingkat tinggi untuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) Turunan pertama 𝑦^′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓^′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Turunan kedua 𝑦^′′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓^′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑²𝑦

𝑑𝑥² 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑²𝑓(𝑥) 𝑑𝑥² Turunan ketiga 𝑦^′′′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓^′′′(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑³𝑦

𝑑𝑥³ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑³𝑓(𝑥) 𝑑𝑥²

……. ……….

Turunan ke-n 𝑦^𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓^𝑛(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑^𝑛𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^𝑛

(12)

3. Titik Stasioner dan Jenis-jenis Nilai Stasioner

Kurva suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai tiga jenis ekstrim fungsi, yaitu maksimum, minimum dan belok. Titik stasioner kurva fungsi itupun ada tiga, yaitu titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Titik stasioner merupakan titik dalam keadaan diam dari suatu fungsi.

Misalkan c suatu bilangan pada daerah asal f. Jika 𝑓′(𝑐) = 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai stasioner f pada x = c. Pasangan c dan 𝑓(𝑐) dalam suatu koordinat, yaitu (𝑐, 𝑓(𝑐)) disebut titik stasioner. Istilah lain untuk titik stasioner adalah titik kritis atau titik balik atau titik ekstim atau titik optimum.

Hal ini berarti, 𝑓′(𝑥) = 0 kita mendapatkan nilai stasioner dari 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Titik stasioner pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) berupa (𝑐, 𝑓(𝑐)) dalam kondisi 𝑓′(𝑐) = 0.

Dalam arti geometris, titik stasioner pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva tersebut bernilai nol.

Gambar 1.

Perhatikan Gambar 1. Pada kurva tersebut, titik P dan titik Q merupakan titik stasioner.

Penentuan jenis ekstrim kurva sebuah fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama sebagai berikut.

Jika 𝑓′(𝑐) = 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai stasioner f pada x = c. Nilai stasioner mungkin berupa nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik f. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda 𝑓′(𝑐) di sekitar x = c.

(13)

Tafsiran geometri dari uji turunan pertama pada penentuan jenis ekstrim suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut.

(1) 𝑓(𝑥) mempunyai nilai balik maksimum 𝑓(𝑐) dan titik ekstrim (𝑐, 𝑓(𝑐))

(2) 𝑓(𝑥) mempunyai nilai balik minimum 𝑓(𝑐) dan titik ekstrim (𝑐, 𝑓(𝑐))

Kondisi kurva fungsi 𝑓(𝑥) Kondisi kurva fungsi 𝑓(𝑥)

Naik – Diam – Turun Turun – Diam – Naik

(1) 𝑓(𝑥) mempunyai nilai balik maksimum 𝑓(𝑐), jika 𝑓′(𝑥) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.

(2) 𝑓(𝑥) mempunyai nilai balik minimum 𝑓(𝑐), jika 𝑓′(𝑥) berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.

(3) 𝑓(𝑥) mempunyai titik belok horizontal pada c, jika 𝑓′(𝑥) tidak berganti tanda saat melalui nol.

(14)

(3) 𝑓(𝑥) mempunyai titik belok horizontal pada c dengan titik belok (𝑐, 𝑓(𝑐))

𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim Kondisi kurva fungsi 𝑓(𝑥) Kondisi kurva fungsi 𝑓(𝑥)

Naik – Diam – Naik Turun – Diam – Turun

4. Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Jenis-jenis Nilai Stasioner

Uji turunan kedua sangat diperlukan saat penentuan titik belok kurva suatu fungsi.

Uji turunan kedua pada penentuan jenis nilai stasioner suatu fungsi juga berdasarkan pada pengamatan tanda 𝑓′′(𝑥) di sekitar x = c yang diperoleh dari 𝑓^′(𝑥) = 0. Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih, maupun fungsi trigonometri.

Misalkan fungsi 𝑓(𝑥) kontinu dan diferensiabel dalam interval I yang memuat x = c. Turunan pertama 𝑓^′(𝑥) dan turunan kedua 𝑓^′′(𝑥) pada interval I, serta 𝑓^′(𝑐) = 0 dengan nilai 𝑓(𝑐) nilai stasioner.

(1) Jika 𝑓^′′(𝑐) < 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai balik maksimum fungsi f.

(2) Jika 𝑓^′′(𝑐) > 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai balik minimum fungsi f.

(3) Jika 𝑓^′′(𝑐) = 0, maka 𝑓(𝑐) adalah bukan nilai stasioner fungsi f dan titik (𝑐, 𝑓(𝑐)) adalah titik belok kurva fungsi 𝑓(𝑥).

(15)

5. Lebih Banyak Masalah Maksimum dan Minimum

Penerapan masalah masimum dan minimum dapat juga untuk masalah matematika maupun masalah dalam kehidupan sehari-hari. Ketika menghadapi masalah maksimum-minimum, kita dihadapkan pada langkah utama yaitu penentuan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Berikut langkah-langkah pemecahan masalah maksimum dan minimum.

1) Tetapkan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini biasanya dilambangkan dengan huruf agar kita dapat dengan mudah menuliskan model matematika.

2) Tentukan formula untuk model matematika dari masalah yang dihadapi.

3) Terapkan metode maksimum-minimum.

4) Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada langkah 3) yang diselesaikan dengan masalah semula agar ketelitian dari jawaban lebih akurat dan benar.

(16)

Lampiran 2

Media pembelajaran berupa slide powerpoint.

(17)

(18)

(19)

(20)

Lampiran 3

Kelas : XI …..

Anggota kelompok : 1.

2.

Kompetensi Dasar

3.9 Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksi-mum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masa-lah kontekstual.

Indikator Pencapaian Kompetensi

3.9.3 Menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

3.9.4 Menentukan titik belok menggunakan turunan kedua.

4.9.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

Tujuan Pembelajaran

1. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

2. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menentukan turunan kedua suatu fungsi.

3. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menentukan titik belok menggunakan turunan kedua.

4. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis-jenis nilai stasioner

(21)

Titik dan Nilai Balik Maksimum-Minimum

Mengingat kembali persamaan kuadrat 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Grafik persamaan kuadrat dinamakan parabola dan berikut contoh gambarnya.

Kedua parabola simetri pada sebuah titik yang merupakan titik maksimum atau minimum.

Parabola tidak memiliki titik belok. Pada persamaan kuadrat kita tahu bahwa ketika koefisien 𝑥² positif, maka grafik akan membuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Akan tetapi, ketika koefisien 𝑥² negatif, maka grafik akan membuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum. Dan ketika koefisien 𝑥² nol, maka akan menjadi persamaan linear dengan grafik garis lurus.

1. Tuliskan apa yang kalian ketahui tentang diskriminan.

2. Tuliskan cara mencari titik puncak suatu parabola.

PETUNJUK

^1. Kerjakan secara secara individu selama 15 menit!

2. Setelah waktu kalian bekerja secara individual selesai, lanjutkan untuk bekerja secara berpasangan dengan teman sebangku kalian.

3. Diskusikan pekerjaan kalian secara berpasangan dalam waktu 25 menit!

(22)

3. Misal, diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 + 1. Tentukan titik potong parabola dari fungsi-fungsi tersebut tersebut dengan sumbu-x?

4. Kemanakah parabola tersebut menghadap? Nilai apa yang dimiliki? (kaitkan dengan narasi diawal)

5. Tentukan titik puncak parabola tersebut.

6. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi tersebut.

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 + 1

(23)

7. Tentukan nilai x pada turunan pertama kedua fungsi yang kalian dapatkan dengan membuat turunan pertama tersebut sama dengan nol.

8. Ujilah nilai daerah yang berada di kanan dan kiri nilai x yang kalian dapatkan pada turunan pertama fungsi dan gambarlah dalam garis bilangan.

9. Perhatikan tanda di sebelah kiri dan kanan nilai x. Perubahan tanda apa yang terjadi?

10. Selanjutnya, subtitusi nilai x yang diperoleh ke fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dan nyatakan hubungan nilai x dengan nilai fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dalam sebuah titik.

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥²+ 2𝑥 + 1

(24)

11. Adakah persamaan hasil antara jawaban kalian pada poin 5 dan 10? Jika ada, tuliskan hasilnya.

12. Jika titik yang kalian dapatkan pada poin 10 disebut dengan titik stasioner, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai titik stasioner?

13. Berdasarkan kegiatan kalian pada poin 5, 8, 9, 10 dan 12, apa yang dapat kalian simpulkan. (Petunjuk: buka referensi buku siswa dan materi ajar)

14. Berdasarkan apa yang kalian dapatkan, sketsakan grafik fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥).

(25)

Titik Belok Horizontal

1. Misal diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 3𝑥² + 3𝑥 − 1 dan grafik fungsinya berikut.

2. Apakah grafik fungsi tersebut mempunyai titik maksimum dan minimum? Jelaskan secara singkat jawaban kalian.

3. Tahukah kalian, titik apakah (1, 0) tersebut?

Sekarang, ikuti kegiatan berikut dan siapkan buku siswa dan materi ajar yang kalian miliki.

4. Tentukan turunan pertama dari fungsi tersebut.

(26)

5. Tentukan nilai x pada turunan pertama fungsi yang kalian dapatkan dengan membuat turunan pertama tersebut sama dengan nol.

6. Ujilah nilai daerah yang berada di kanan dan kiri nilai x yang kalian dapatkan pada turunan pertama fungsi dan gambarlah dalam garis bilangan.

7. Apakah terjadi perubahan tanda ketika melalui nilai x? Jika tidak, berdasarkan kegiatan kalian sebelumnya, dapatkah kondisi tersebut memberikan nilai maksimum dan minimum?

8. Selanjutnya, subtitusi nilai x yang diperoleh ke fungsi 𝑓(𝑥) dan nyatakan hubungan nilai x dengan nilai fungsi 𝑓(𝑥) dalam sebuah titik.

(27)

9. Jika titik tersebut merupakan jenis dari nilai stasioner, disebut apakah titik tersebut?

(Petunjuk: buka referensi buku siswa dan materi ajar)

10. Apa yang dapat kalian simpulkan dari titik tersebut?

Sekarang akan diperiksa dengan uji turunan kedua.

11. Tentukan turunan kedua dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 3𝑥² + 3𝑥 − 1 tersebut.

12. Tentukan nilai x pada turunan kedua fungsi yang kalian dapatkan dengan membuat turunan kedua tersebut sama dengan nol.

(28)

13. Ujilah nilai daerah yang berada di kanan dan kiri nilai x yang kalian dapatkan pada turunan kedua fungsi dan gambarlah dalam garis bilangan.

14. Apakah terjadi perubahan tanda ketika melalui nilai x?

15. Selanjutnya, subtitusi nilai x yang diperoleh ke fungsi 𝑓(𝑥) dan nyatakan hubungan nilai x dengan nilai fungsi 𝑓(𝑥) dalam sebuah titik.

16. Sesuaikah hasil yang kalian dapatkan dengan gambar grafik? Jika sesuai apa yang dapat kalian simpulkan terkait penentuan titik tersebut dengan menggunakan turunan kedua?

(Petunjuk: buka referensi buku siswa dan materi ajar)

(29)

Setelah kalian melakukan kegiatan sebelumnya, kerjakanlah latihan soal berikut.

1. Tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari fungsi : 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 6𝑥²+ 9𝑥 + 1.

2. Tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari kurva fungsi : 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 3𝑥²+ 3𝑥 − 1 dengan uji turunan kedua.

(30)

3. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari (dalam juta rupiah) dinyatakan sebagai fungsi berikut: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 +^1.000

𝑥 − 40). Tentukan total biaya proyek minimum.

(31)

Lampiran 4

4.1 Kisi-kisi Assesment for Learning

No Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian

Kompetensi Tujuan Pembelajaran Bentuk Tes

Dimensi Proses Kognitif

Nomor Butir Soal 1. 3.9. Menganalisis keberkaitan

turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

3.9.3. Menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

Kuis C3 1

3.9.4. Menentukan titik belok menggunakan turunan kedua.

Kuis C3 2

2. 4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

4.9.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis- jenis nilai stasioner.

1. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis- jenis nilai stasioner.

(32)

4.2 Instrumen

Kuis Pertemuan Ke-3

Materi: Titik Stasioner dan Jenis-jenis Nilai Stasioner Nama

No.

Kelas : : :

Waktu : 8 menit Petunjuk :

1. Bacalah soal dengan seksama, kemudian jawablah dengan menguraikan jawaban selengkap mungkin!

2. Tuliskan pekerjaanmu di tempat yang tersedia. Jika kurang, lanjutkan di bagian belakang lembar ini!

3. Kerjakan Soal secara individu!

Soal

1. Tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari fungsi : 𝑓(𝑥) =¹

3𝑥³+¹

2𝑥² − 6𝑥 + 8.

2. Tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari kurva fungsi : 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 1 dengan uji turunan kedua.

(33)

4.3 Kunci Jawaban Kuis Nomor

Butir Uraian Alternatif Jawaban

1. Tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari fungsi : 𝑓(𝑥) =¹

3𝑥³+¹

2𝑥² − 6𝑥 + 8.

Pembahasan:

Diberikan 𝑓(𝑥) =¹

3𝑥³ +¹

2𝑥²− 6𝑥 + 8 maka 𝑓^′(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 − 6 Syarat suatu fungsi akan mencapai stasioner adalah 𝑓^′(𝑥) = 0.

𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0 𝑥 = − 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 2

Uji titik 𝑥 = 0

0² + 0 − 6 = −6 < 0

a) Untuk 𝑥 = −3, nilai stasionernya:

𝑓(−3) =1

2(−3)³+1

2(−3)²− 6(−3) + 8 = 211 2 Titik stasionernya adalah (−3, 21¹

2) b) Untuk 𝑥 = 2, nilai stasionernya:

𝑓(2) =1

2(2)³+1

2(2)²− 6(2) + 8 =2 3 Titik stasionernya adalah (2,²

3).

Berdasarkan a) dan b) diperoleh nilai balik maksimum saat 𝑥 = −3 adalah 21¹

2

dan nilai balik minimum saat 𝑥 = 2 adalah ²

3.

Jadi, fungsi f mempunyai nilai stasioner 𝑓(−3) = 21¹

2 dan 𝑓(2) =²

3, serta titik stasionernya adalah (−3, 21¹

2) dan (2,²

3) dan mempunyai nilai balik maksimum 21¹

2 dan nilai balik minimum ²

3.

(34)

Nomor

Butir Uraian Alternatif Jawaban

2. Diberikan 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 1 maka Turunan pertama:

𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²

Syarat suatu fungsi akan mencapai stasioner adalah 𝑓^′(𝑥) = 0.

3𝑥² = 0 𝑥₁₂ = 0

Titik stasioner di 𝑥 = 0 𝑓(0) = (0)³+ 1 = 1

Sehingga diperoleh titik stasionernya adalah (0,1) Turunan kedua:

𝑓^′′(𝑥) = 6𝑥

Uji turunan kedua pada nilai-nilai stasioner, diperoleh 𝑓^′′(0) = 0

Karena 𝑓^′′(0) = 0, maka 𝑓(0) bukan nilai stasioner fungsi f dan titik (0,1) merupakan titik belok kurva fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 1.

(35)

4.4 Prosedur Penilaian

Prosedur Assessment for Learning sebagai berikut:

1. Setelah sesi presentasi, guru mengecek pemahaman peserta didik dengan memberikan kuis kepada seluruh peserta didik.

2. Seluruh peserta didik diwajibkan mengerjakan soal secara mandiri selama 8 menit.

3. Selama peserta didik mengerjakan soal, guru berkeliling sambil melihat pekerjaan peserta didik.

4. Dari hasil pantauan guru tersebut, guru sudah mendapatkan gambaran umum apa yang akan diberikan sebagai umpan balik.

5. Setelah 8 menit, guru mengoreksi jawaban peserta didik. Sementara itu, peserta didik mendiskusikan hasil jawabannya dengan teman sebangku.

Kriteria hasil kuis secara kualitatif :

Excellent : Jika jawaban benar semua.

Well Done : Jika jawaban sudah benar, namum terdapat langkah yang kurang tepat.

Very Good : Jika 1 salah karena proses hitung diakhir, namun konsep sudah benar.

Good : Jika benar 1 nomor.

Not Bad : Jika tidak ada yang benar, namun konsep sudah benar.

Keep Spirit : Jika tidak ada yang benar.

6. Jika ada peserta didik yang masih mengalami kesulitan lebih, secara klasikal guru memberikan penjelasan yang juga melibatkan peserta didik untuk aktif selama pembahasan soal dan memberikan penekanan pada materi dimana peserta didik mengalami kesulitan berdasarkan pantaun guru. Misal, pada bagian mensubtitusi nilai x dari turunan pertama ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai balik maksimum-minimum.

7. Guru memberikan modul bagian soal latihan dan pembahasannya.

8. Jika seluruh peserta didik sudah memahami materi dengan baik (dicerminkan dengan hasil pekerjaan Kuis sudah baik), guru melanjutkan aktivitas selanjutnya.

(36)

Lampiran 5

5.1 Kisi-kisi Assesment of Learning

No Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian

Kompetensi Tujuan Pembelajaran Bentuk Tes

Dimensi Proses Kognitif

Nomor Butir Soal 1. 3.9. Menganalisis keberkaitan

turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva.

3.9.3. Menentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner.

Tugas C3 1

3.9.4. Menentukan titik belok menggunakan turunan kedua.

2. 4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual.

4.9.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis- jenis nilai stasioner.

1. Setelah berdiskusi dan menggali informasi, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan titik dan jenis- jenis nilai stasioner.

Tugas

Penilaian Harian

C3 C3 C4

C3

2 3 4

1

(37)

5.2 Instrumen

Soal Tugas

Materi: Titik dan Jenis-jenis Nilai Stasioner

Petunjuk :

2. Tuliskan pekerjaanmu di kertas folio bergaris!

3. Kerjakan secara individu!

4. Pengumpulan tugas paling lambat besok sebelum pulang sekolah!

Soal

1. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) =²

3𝑥³−¹

2𝑥² − 3𝑥 +¹

6. Jika 𝑔(𝑥) = 𝑓(1 − 2𝑥), maka tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari kurva fungsi 𝑔(𝑥).

2. Keliling suatu persegi panjang adalah 100 m. Tentukan ukuran persegi panjang itu agar luasnya maksimum.

3. Dua kandang berdampingan masing-masing berukuran x meter dan y meter serta luasnya 12 m², seperti pada gambar di samping. Tentukan panjang x dan y agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin.

4. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan ukuran silinder tegak beralas lingkaran dengan volume maksimum yang dapat dibuat dari kerucut beralas lingkaran berjari-jari R dan tinggi H.

(38)

Soal Penilaian Harian KD 3.9 dan 4.9 Materi: Titik dan Jenis-jenis Nilai Stasioner

Petunjuk :

2. Tuliskan pekerjaanmu di kertas folio bergaris yang telah disediakan!

3. Kerjakan secara individu!

Soal

1. Sebuah pintu berbentuk seperti gambar. Jika keliling pintu tersebut adalah p, maka tentukan nilai x agar luas pintu tersebut menjadi maksimum.

(39)

5.3 Rubrik Penilaian Tugas

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor

1. Dapat mengidentifikasi fakta-fakta yang diketahui dari soal Diketahui: fungsi 𝑓(𝑥) =²

3𝑥³−¹

2𝑥²− 3𝑥 +¹

6 dan 𝑔(𝑥) = 𝑓(1 − 2𝑥)

1

Dapat mengidentifikasi pertanyaan soal

Ditanya: tentukan titik dan jenis-jenis nilai stasioner dari kurva fungsi 𝑔(𝑥).

1

Dapat menentukan fungsi 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(1 − 2𝑥)

=2

3(1 − 2𝑥)³ −1

2(1 − 2𝑥)²− 3(1 − 2𝑥) +1 6

=2

3(1 − 6𝑥 + 12𝑥²− 8𝑥³) −1

2(1 − 4𝑥 + 4𝑥²) − 3 + 6𝑥 +1 6

= −16

3 𝑥³+ 6𝑥²+ 4𝑥 −8 3

3

Dapat menentukan turunan pertama dari 𝑔(𝑥) Turunan pertama:

𝑔^′(𝑥) = −16𝑥²+ 12𝑥 + 4

2

Dapat menentukan nilai x yang memenuhi domain pada titik stasioner Syarat suatu fungsi akan mencapai stasioner adalah 𝑔^′(𝑥) = 0. Sehingga diperoleh

−16𝑥²+ 12𝑥 + 4 = 0

−4(4𝑥²− 3𝑥 − 1) = 0

−4(4𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = −1

4𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1

3

Dapat menentukan turunan kedua fungsi g(𝑥) untuk mengecek nilai maksimum atau minimum yang didapatkan

Turunan kedua:

𝑔^′′(𝑥) = −32𝑥 + 12

6

(40)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor a) Untuk 𝑥 = −¹

4, maka 𝑔^′′(−1

4) = −32 (−1

4) + 12 = 20 > 0 Karena 𝑔^′′(−¹

4) > 0, maka 𝑔 (−¹

4) adalah nilai balik minimum fungsi 𝑔.

b) Untuk 𝑥 = 1, maka

𝑔^′′(1) = −32(1) + 12 = −8 < 0

Karena 𝑔^′′(1) < 0, maka 𝑔(1) adalah nilai balik maksimum fungsi 𝑔.

Dapat menentukan nilai balik maksimum-minimum dengan tepat a) Nilai balik minimum diperoleh dari 𝑔 (−¹

4), yaitu 𝑔 (−1

4) = −16 3 (−1

4)

3

+ 6 (−1 4)

2

+ 4 (−1 4) −8

3

= −16 3 (− 1

64) + 6 (1

16) − 1 −8 3

= 1 12+3

8− 1 −8 3

=2 + 9 − 24 − 64 24

= −77 24

Sehingga, diperoleh titik balik minimum (−¹

4, −⁷⁷

24) b) Nilai balik minimum diperoleh dari 𝑔(1), yaitu

𝑔(1) = −16

3 (1)³+ 6(1)²+ 4(1) −8 3

= −16

3 + 6 + 4 −8 3

= −24 3 + 10

= −8 + 10

= 2

Sehingga, diperoleh titik balik maksimum (1, 2)

8

(41)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor Dapat menyimpulkan solusi dari permasalahan

Jadi diperoleh: titik balik maksimum (1, 2) dan titik balik minimum (−¹

4, −⁷⁷

24)

2

Skor Maksimum No. 1 26

2. Dapat mengidentifikasi fakta-fakta yang diketahui dari soal Diketahui: keliling suatu persegi panjang adalah 100 m.

1

Ditanya: ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.

1

Dapat menemukan ide awal memisalkan panjang dan lebar persegi panjang Misal, 𝑥 adalah lebar persegi panjang dan 𝑦 adalah panjang persegi panjang.

Diketahui keliling persegi panjang adalah 100 m, sehingga diperoleh 2𝑥 + 2𝑦 = 100 ⇔ 𝑦 =1

2(100 − 2𝑥) = 50 − 𝑥 Luas persegi panjang adalah panjang kali lebar

𝐿(𝑥) = 𝑥. (50 − 𝑥) = 50𝑥 − 𝑥²

5

Dapat menentukan turunan pertama fungsi luas 𝐿(𝑥) 𝐿^′(𝑥) = 50 − 2𝑥

2

Dapat menentukan turunan kedua fungsi luas 𝐿(𝑥) untuk mengecek nilai maksimum atau minimum yang didapatkan

𝐿^′′(𝑥) = −2 < 0

2

Dapat menentukan nilai maksimum L dengan tepat Nilai maksimum L didapat jika 𝐿^′(𝑥) = 0

𝐿^′(𝑥) = 0 ⇔ 50 − 2𝑥 = 0 ⇔ 2𝑥 = 50 ⇔ 𝑥 = 25 Subtisusi 𝑥 = 25 ke fungsi 𝐿(𝑥)

𝐿(25) = 50. 25 − (25)² = 625

4

Dapat menyimpulkan solusi dari permasalahan

Jadi, luas maksimum persegi panjang agar maksimum adalah 625 m² dengan panjang 25 m dan lebar 25 m.

2

(42)

Skor Maksimum No. 2 17

3. Dapat mengidentifikasi fakta-fakta yang diketahui dari soal

Diketahui: dua kandang berdampingan masing-masing berukuran x meter dan y meter serta luasnya 12 m².

1

Ditanyakan: panjang x dan y agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin

1

Dapat menemukan ide awal fungsi yang merepresentasikan panjang pagar Luas satu kandang = 𝑥. 𝑦 = 12 ⇔ 𝑦 =¹²

𝑥. Domain dari masalah ini adalah 0 < 𝑥 < ∞,

Misalkan panjang pagar = 𝑓(𝑥), diperoleh model matemtika sebagai berikut:

𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 3 (12

𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 36𝑥⁻¹

5

Dapat menentukan turunan pertama dari 𝑓(𝑥) 𝑓^′(𝑥) = 4 − 36𝑥⁻²

2

Dapat menentukan nilai x yang memenuhi domain pada titik stasioner Pembuat nilai maksimum atau minimum dengan syarat 𝑓^′(𝑥) = 0, diperoleh:

4 − 36𝑥⁻² = 0 4 = 36𝑥⁻² 4𝑥² = 36

𝑥² = 9

3

(43)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor 𝑥 = ±3

Karena domainnya positif, maka yang memenuhi adalah 𝑥 = 3

Dapat menentukan turunan kedua fungsi 𝑓(𝑥) untuk mengecek nilai maksimum atau minimum yang didapatkan

Turunan Kedua : 𝑓^′′(𝑥) = 72𝑥⁻³ =⁷²

𝑥³

Uji turunan kedua:

𝑥 = 3 ⇔ 𝑓^′′(3) =72 27> 0

Ini berarti panjang pagar minimum.

3

Menentukan panjang pagar agar minimum dengan tepat Perhitungan panjang pagar agar minimum sebagai berikut.

𝑓(𝑥) = 4𝑥 +36 𝑥 𝑓(3) = 4.3 +36

3 = 24

3

Dapat menyimpulkan solusi dari permasalahan Jadi,

𝑥 = 3 𝑚 dan 𝑦 =¹²

3 = 4 𝑚, dengan panjang pagar 24 m.

2

Skor Maksimum No. 3 ²⁰

4. Dapat mengidentifikasi fakta-fakta yang diketahui dari soal

Diketahui : silinder tegak beralas lingkaran dengan jari-jari r dan tinggi h dalam kerucut beralas lingkaran yang berjari-jari R dan tinggi H

1

Dapat mengidentifikasi pertanyaan soal 1

(44)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor Ditanya : tentukan ukuran silinder dengan volume maksimal.

Dapat menemukan ide awal dengan menyatakan volume silinder dan konsep kesebangunan segitiga

Volume silinder adalah

𝑉 = 𝜋𝑟²ℎ Dari segitiga yang sebangun

𝐻 − ℎ

𝑟 =𝐻

𝑅 yang memberikan

ℎ = 𝐻 −𝐻 𝑅. 𝑟

5

Dapat mensubtitusi ℎ ke rumus volume silinder (V) sehingga menghasilkan fungsi dalam r (𝑉(𝑟))

𝑉(𝑟) = 𝜋𝑟²(𝐻 −𝐻

𝑅. 𝑟) = 𝜋𝐻𝑟² − 𝜋𝐻 𝑅𝑟³

3

Dapat menentukan domain dari r agar 𝑉(𝑟) maksimum Domain r = [0, 𝑅]

2

Dapat menentukan turunan pertama fungsi 𝑉(𝑟) 𝑉^′(𝑟) = 2 𝜋𝐻𝑟 − 3 𝜋𝐻

𝑅𝑟² = 𝜋𝐻𝑟 (2 − 3.𝑟 𝑅)

2

Dapat menentukan nilai r yang memenuhi domain pada titik stasioner Pembuat nilai maksimum atau minimum dengan syarat 𝑉^′(𝑟) = 0, diperoleh:

𝜋𝐻𝑟 (2 − 3.𝑟

𝑅) = 0 𝑟 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 =2

3𝑅

3

Dapat menentukan turunan kedua fungsi 𝑉(𝑟) untuk mengecek nilai maksimum atau minimum yang didapatkan

Turunan kedua:

𝑉^′′(𝑟) = 2𝜋𝐻 − 6𝜋𝐻 𝑅 𝑟

9

(45)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor ada 3 nilai r yang harus diuji, yaitu 0, ²

3𝑅, dan R a) Untuk 𝑟 = 0, maka

𝑉^′′(0) = 2𝜋𝐻 − 6𝜋𝐻

𝑅 0 = 2𝜋𝐻 > 0

Karena 𝑉^′′(0) > 0, maka 𝑉(0) adalah nilai balik minimum fungsi 𝑉.

b) Untuk 𝑥 = ²

3𝑅, maka 𝑉^′′(2

3𝑅) = 2𝜋𝐻 − 6𝜋𝐻 𝑅 (2

3𝑅) = −2𝜋𝐻 < 0 Karena 𝑉^′′(²

3𝑅) > 0, maka 𝑉 (²

3𝑅) adalah nilai balik maksimum fungsi 𝑉.

c) Untuk 𝑟 = 𝑅, maka 𝑉^′′(𝑅) = 2𝜋𝐻 − 6𝜋𝐻

𝑅 𝑅 = −4𝜋𝐻 > 0

Karena 𝑉^′′(𝑅) < 0, maka 𝑉(𝑅) adalah nilai balik maksimum fungsi 𝑉.

Dapat menentukan nilai balik maksimum dengan tepat

Karena ingin memaksimumkan, kita hanya memandang nilai balik maksimum

a) Nilai balik maksimum yang diperoleh dari 𝑉 (²

3𝑅), yaitu 𝑉 (2

3𝑅) = 𝜋𝐻 (2 3𝑅)

2

− 𝜋𝐻 𝑅(2

3𝑅)

3

=4

9𝜋𝐻𝑅²− 8

27𝜋𝐻𝑅²

= 4

27𝜋𝐻𝑅²

b) Nilai balik maksimum yang diperoleh dari 𝑉(𝑅), yaitu 𝑉(𝑅) = 𝜋𝐻(𝑅)²− 𝜋𝐻

𝑅(𝑅)³

= 𝜋𝐻𝑅²− 𝜋𝐻𝑅²

= 0

6

(46)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor Dapat menentukan nilai h dan r agar volume silinder maksimum dengan

tepat

Karena yang memberikan nilai maksimum ketika 𝑟 = ²

3𝑅, maka dengan mensubtitusikan nilai r tersebut ke ℎ = 𝐻 −^𝐻

𝑅. 𝑟, diperoleh ℎ =1

3𝐻

3

Dapat menyimpulkan solusi dari permasalahan

Jadi, agar silinder mempunyai volume maksimum, diperoleh ℎ =1

3𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝑟 =2 3𝑅

2

Skor Maksimum No. 4 ³⁷

𝑺𝒌𝒐𝒓 = 𝑺𝒌𝒐𝒓 𝑵𝒐. 𝟏 + 𝑺𝒌𝒐𝒓 𝑵𝒐. 𝟐 + 𝑺𝒌𝒐𝒓 𝑵𝒐. 𝟑 + 𝑺𝒌𝒐𝒓 𝑵𝒐. 𝟒

(47)

Penilaian Harian

1. Dapat mengidentifikasi fakta-fakta yang diketahui dari soal Diketahui: keliling pintu p

1

Ditanya: tentukan nilai 𝑥 agar luas pintu maksimal

1

Dapat menentukan ide awal menyatakan y dalam x pada keliling (K) dan menentukan fungsi Luas (𝐿(𝑥))

Pintu terdiri dari persegi panjang dan setengah lingkaran 𝐾 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝜋𝑥 = 𝑝 ⇔ 2𝑦 = 𝑝 − 2𝑥 − 𝜋𝑥

𝐿(𝑥) = 2𝑥𝑦 +1 2 𝜋𝑥²

= 𝑥(𝑝 − 2𝑥 − 𝜋𝑥) +1 2 𝜋𝑥²

= 𝑝𝑥 − 2𝑥²− 𝜋𝑥²+1 2 𝜋𝑥²

= 𝑝𝑥 − 2𝑥²−1 2 𝜋𝑥²

3

Dapat menentukan turunan pertama dari 𝐿(𝑥) 𝐿(𝑥) = 𝑝 − 4𝑥 − 𝜋𝑥

2

(48)

No. Langkah – langkah proses kognitif Skor Dapat menentukan nilai x dengan tepat

Syarat suatu fungsi akan mencapai stasioner adalah 𝐿^′(𝑥) = 0. Sehingga diperoleh

𝑝 − 4𝑥 − 𝜋𝑥 = 0 𝑝 − 𝑥(4 + 𝜋) = 0

𝑥(4 + 𝜋) = 𝑝 𝑥 = 𝑝

4 + 𝜋

3

Dapat menyimpulkan solusi dari permasalahan Jadi diperoleh: nilai

𝑥 = 𝑝 4 + 𝜋

2

Skor Maksimum No. 1 ¹²

(49)

Lampiran 6

INSTRUMEN PENILAIAN SIKAP

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 1 Purwantoro Kelas/Semester : XI/Genap

Tahun Ajaran : 2022/2023

Materi : Nilai Stasioner

No. Waktu Nama Catatan

Perilaku

Butir Sikap

Postitif/

Negatif Tindak Lanjut