6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat

(1)

1/11

6. Fungsi Trigonometri

Sudaryatno Sudirham

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas.

.

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh

(2)

2/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri”

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

OQ Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat

1 Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

θ

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1. pula kurva pada Gb.6.5.

(3)

3/11 Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika

θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.

Fungsi Secan dan Cosecan

OQ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7.

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.2., yaitu

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut

θ didefinisikan dengan persamaan

θ dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka ukuran sudut

(4)

4/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri” rad. 0,5 adalah 90

θ₂= o π rad. ) 180 / ( adalah 1

θ₃= o π dst.

Fungsi Sinus. _{Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita}

gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus

) sin(x

y= (6.8)

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.

Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x

= π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360o; inilah satu perioda.

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.

Fungsi Cosinus. _{Kurva fungsi cosinus}

) cos(x

y= (6.9)

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x =

π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π.

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

) cos( ) cos( sedangkan

) sin( )

sin(x =− −x x = −x (6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebutmemiliki simetri genap.

perioda

-1,5 -1 -0,5

0 0,5

1 1,5

0 x

y

2π

π −π

x y

-1,5 -1 -0,5

0 0,5 1 1,5

0

−π π 2π

(5)

5/11 Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus

) 2 / cos( )

sin( = −π

= x x

y (6.11)

Fungsi Tangent. _{Selanjutnya kita lihat fungsi}

) cos(

) sin( ) tan(

x x x

y= = (6.12)

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan

−π/2.

Fungsi Cotangent. _{Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.}

) tan(

1 ) sin(

) cos( ) cot(

x x

y= = = (6.13)

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6.

Gb.6.6. Kurva y = cot (x)

Fungsi Secan. _{Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.}

) cos(

1 ) sec(

x x

y= = (6.14.a)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y

Gb.6.5. Kurva y====tan(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3

(6)

Fungsi Cosecan. _{Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.}

) sin(

1 ) csc(

x x

y= = (6.14.b)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.

(a) y = sec(x)

(b) y = csc(x)

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan y=sin(x), maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai

x y

x

y=arcsin atau =sin−1 (6.15) Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x.

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi y=sin−1x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a.

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus

inversi pada

2 2

π ≤ ≤ π

− y . Dengan pembatasan ini maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai

utama dari sin−1x. Jadi nilai utama y=sin−1x terletak pada

2 sin 2

1 _≤π

≤ π

− − x . Kurva fungsi

x

y=sin−1 yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. -3

-2 -1 0 1 2 3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3 -2 -1 0 1 2 3

(7)

7/11 Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh: _y=_sin−1₍₁₎=₀_,₅π_; π − = −

=sin−1( 1) 0,5

y

6 ) 5 , 0 ( sin 1 =π

= −

y ;

6 ) 5 , 0 (

sin 1 − =−π

= −

y

a) b)

Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3.

pada rentang

2 2

π ≤ ≤ π

− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi.Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

x x

y 1 sin 1

2 cos− = π− −

= (6.16)

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah

α dan β, maka β=π/2−α dan sinα=cosβ. Oleh karena itu jika sinα=x maka cosβ= x sehingga

x

x 1

1 _/₂ _/₂ _sin

cos− =β=π −α=π − −

Karena dengan pembatasan

2 2

π ≤ ≤ π

− y pada fungsi sinus inversi memberikan

2 sin 2

1 _≤π

≤ π

− − x maka nilai-nilai utama dari cos−1x akan terletak pada 0≤cos−1x≤π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama.

x y

-1 0 0 1

−π π

2π

−2π

-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π

-1 -0,5 0 0,5 _x 1

(8)

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang 0_≤x_≤_π.

a) b)

Gb.6.9. Kurva y=cos−1x

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

x

y=tan−1 (6.17)

dengan nilai utama

2 tan

2

1 _< π

< π

− − _x

Untuk fungsi ini, nilai y=±(π/2) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva

x

y=tan−1 lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai −0,5π< y<0.5π.

a) b)

Gb.6.10. Kurvay=tan−1x

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang

2 tan 2

1 _< π

< π

− − x

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. x

y

-1 0 0 1

−π π

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π y

x

-0,5π -0,25π 0 0,25π 0,5π

-10 -5 0 5 x 10

y

0 0,25π 0,5π 0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 _x 1

(9)

9/11

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

x x

y 1 tan 1

2 cot− = π− −

= (6.18)

dengan nilai utama 0<cot−1x<π

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah

α dan β, maka β=π/2−α dan tanα=cotβ. Oleh karena itu jika tanα=x maka cotβ=x sehingga

x

x 1

1 _/₂ _/₂ _tan

cot− =β=π −α=π − −

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

Gb.6.11. Kurva y=cot−1x

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

x x

y=sec−1 =cos−11 (6.19)

dengan nilai utama 0_≤sec−1x_≤_π.

Gb.6.12. Kurva y=sec−1x

Fungsi Cosecan Inversi.

x x sin 1

csc−1 = −1 (6.20)

dengan nilai utama

2 csc 2

1 _≤π

≤ π

− − x

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.

0 0,5π 1π

-10 -5 0 5 10

y

x

0 0,25

0,5π 0,75π π

(10)

10/11 Sudaryatno Sudirham, “Fungsi Trigonometri” Gb.6.12. Kurva y=csc−1x

6.4. Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi.

Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku.

1). Dari fungsi y=sin−1x, yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

Dari gambar ini selain fungsi y=sin−1x dan siny=x, kita dapat peroleh

2

1

cosy= −x ,

2

1 tan

x x y

−

= , dst.

2). Dari fungsi cosinus inversi y=cos−1x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

Selain cosy=x dari gambar ini kita dapatkan

2

1

siny= −x ,

x x y

2

1

tan = − , dst.

3). Dari fungsi y=tan−1x, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini.

Selain tany=x, kita peroleh

x

1

2 1+ x

y x

1 ₂

1−x y

x

1

2 1− x y

y

-0,5π -0,25π 0 0,25π

0,5π

(11)

11/11

2

1 sin

x x y

+

= ,

2

1 1 cos

x y

+

= , dst

4). Dari fungsiy=sec−1x kita gambarkan

Dari gambar ini kita peroleh

2

1 tany= −x ,

x x

y 1

sin

2₋

= , dst.

x

1 2 ₋ x y