Sebaran asimtotik penduga turunan pertama dan turunan kedua fungsi intensitas proses poisson periodik

(1)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK

IHDA ANISSA INDRIASTUTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

IHDA ANISSA INDRIASTUTI. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI.

(3)

ABSTRACT

IHDA ANISSA INDRIASTUTI. Asymptotic Distribution of Estimators for the First and Second Derivatives of the Intensity Function of a Periodic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

This manuscript is concerned with estimation of the first and second derivatives of intensity function of a periodic Poisson process. To construct the estimators for the first and second derivatives of this intensity function, an estimator for the intensity function itself is formulated. Then, the statistical properties of the estimators for the first and second derivatives of the intensity function are discussed. Finally, an asymptotic normality of those estimators are established.

(4)

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN

TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON

PERIODIK

IHDA ANISSA INDRIASTUTI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul : Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua

Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik.

Nama : Ihda Anissa Indriastuti

NRP :

G54070002

Menyetujui

Pembimbing

I,

Pembimbing

II,

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

Drs. Siswandi M,Si.

NIP. 19620305 198703 1 001

NIP. 19640629 199103 1 001

Mengetahui:

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Drs. Siswandi M,Si. Selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

3. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Pak Yono, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Bu Susi, Mas Deni.

6. Keluargaku tercinta : Ayah dan Ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, dan kasih sayangnya) ,om, tante, adik-adik ku tersayang, kakek dan nenek (terima kasih atas doanya).

7. Dede Febriyanto (terima kasih atas waktu, doa, dukungan, saran, dan segala bantuannya). 8. Ining, Ira, Vivi, Evi, Prisma, Eli, Yastika, Intan, Nila, Chyntia, Dian (terima kasih atas doa,

dukungan, saran dan segala bantuannya),

9. Teman sebimbingan : Wenti, Nadiroh, Pepi, Tita (makasih atas bantuannya).

10. Teman-teman Math 44 : Ruhiyat, Siska, Lingga, Yuyun, Lugina, Diana, Yanti, Lilis, Ririh, Eka, Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Nurul, Tanti, Rachma, Mutia, Lili, Cita, Selvi, Tendhy, Ali, Lina, Iresa, Deva, Nurul “Ucu”, Istiti, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Vianey, Devi, Yogie, Copa, Ayung, Sari, Endro, Fitri “Dora”, Ima, Fajar, Nurfitriana, Masayu, Denda, Atik, Dika, Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Rizky, Tyas, Arina, Imam, Rofi, Indin, Mariyam, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puying, Naim (selamat berjuang teman-temanku...).

11. Teman-teman Math 42 : Ka Agnes, Ka Ricken, Ka Ocoy, Ka Ratna, dan teman-teman Math 42 lainnya (terima kasih atas saran dan segala bantuannya).

12. Teman-teman Math 43 : Ka Emta, Ka Apri, Ka Supri, Ka Destya, Ka Vera, Ka Kabil, Ka Agung, Ka Ratna, Ka Aini, Ka Tami, Ka Wira, Ka Sunarsih dan teman-teman Math 43 lainnya (terima kasih atas dukungan, saran, dan segala bantuannya).

13. Adik-adik Math 45, Math 46, dan TPB 47 (terima kasih atas doa dan dukungannya). 14. Teman-teman Perwira 48 (terima kasih atas doanya)

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2011

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 29 Oktober 1989 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Samingan dan Surastiyah.

Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Sirnabaya III. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 3 Karawang. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 5 Karawang dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

LANDASAN TEORI ... 2

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

Momen Peubah Acak ... 3

Kekonvergenan Peubah Acak ... 3

Penduga ... 3

Proses Poisson Periodik ... 4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis ... 5

HASIL PEMBAHASAN ... 7

Review Perumusan Penduga Bagi λ

( )

s

dan Sifat-sifat Statistiknya ... 7

Review Perumusan Penduga Bagi

λ

'( )

s

Review Perumusan Penduga Bagi

λ

"( )

s

Sebaran Asimtotik bagi

λ

ˆ_n ,

λ

ˆ_n' dan

λ

ˆ_n" ... 11

SIMPULAN ... 16

DAFTAR PUSTAKA ... 17

(9)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Banyak fenomena nyata dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Model semacam ini menggunakan aturan-aturan peluang yang menggambarkan perilaku suatu sistem yang tidak diketahui secara pasti di masa yang akan datang. Misalnya, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis (bank, kantor pos, supermarket, dan sebagainya).

Proses stokastik adalah suatu model matematika yang menggunakan kaidah-kaidah peluang. Model ini umumnya digunakan untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang tidak dapat diketahui secara pasti mengenai perilakunya yang akan terjadi. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya dibatasi pada proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses ini antara lain dapat digunakan untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi

intensitas lokal menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu tertentu.

Dalam banyak penerapan, kita tidak mengetahui secara pasti perilaku suatu sistem di masa yang akan datang sehingga selain diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan pula penduga bagi turunan fungsi intensitas tersebut. Pada karya ilmiah ini dipelajari perumusan penduga bagi turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan menggunakan fungsi kernel seragam. Selain itu dibahas pula sifat-sifat statistiknya, dan akhirnya ditentukan sebaran normal asimtotiknya jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga.

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk :

(i) Mempelajari perumusan penduga

turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan fungsi kernel seragam. (ii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari

nilai harapan penduga.

(iii) Mempelajari pendekatan asimtotik dari ragam penduga.

(iv) Menentukan sebaran asimtotik dari penduga yang dikaji.

(10)

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω .

(Grimmett and Stirzaker 1992)

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω .

(Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian lepas)

Kejadian A_danB_{disebut saling lepas jika}

irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

( )

φ

.

(Grimmett and Stirzaker 1992)

Definisi 4 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari ruang contoh Ω , yang memenuhi syarat berikut :

1. _.

2. _Jika_A_{, maka}_Ac _. 3. _Jika_A₁_,_A₂_{,… , maka}

1 i i

A

∞

=

U

.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 5 (Ukuran Peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan-σ pada Ω . Suatu fungsi Ρ yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau Ρ:

→ disebut ukuran peluang jika :

1. Ρ tak negatif, yaitu untuk setiapA∈ _,

( )

A

0

Ρ

≥

.

2. Ρ_{bersifat aditif tak hingga, yaitu jika}

A1,A2,… denganA A_k ,j k, j∩ =φ ≠

maka

( )

1 1

A_n A

n n n

∞ ∞

Ρ = ∑ Ρ

= =

U .

3. Ρ bernorma satu, yaitu

Ρ Ω =

( ) 1

.

Pasangan (Ω, ,Ρ) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika :

(

A B

)

( ) ( )

A

B

Ρ ∩ = Ρ Ρ

.

Secara umum, himpunan kejadian

{

A i_i; ∈I

}

dikatakan saling bebas jika :

( )

A_i (A_i) i J i J

Ρ = ∏ Ρ

∈ ∈I

untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett and Stirzaker 1992)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak)

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur

ω

∈Ω

ke satu dan hanya satu bilangan real

( )

X

ω

disebut peubah acak.

Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real =

{

x x: =X( ),

ω ω

∈Ω

}

.

(Hogg et al. 2005)

Suatu peubah acak dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya X Y Z, , ,sedangkan nilai dari peubah acak dilambangkan dengan huruf kecil seperti

x y z

, ,

.

Definisi 8 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 9 (Fungsi sebaran)

Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang _{. Misalkan kejadian}

A

= −∞ ∈

(

, ]

x

, maka peluang dari kejadian A adalah (X x) F_X( )x

Ρ ≤ = .

Fungsi _FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X .

(11)

Definisi 10 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : , yang diberikan oleh :

( ) ( )

X

p x = Ρ X =x .

(Hogg et al. 2005)

Definisi 11 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter ,λ λ>0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh

( )

! X

k

p k e

k

λ λ

−

= ,

untuk k =0,1, ...

(Ross 2007)

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson) Jika X _danY _{adalah dua peubah acak yang}

saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ₁ dan λ₂, maka X ₊Y _{adalah peubah acak bersebaran}

Poisson dengan parameter λ₁+ λ₂.

(Taylor and Karlin 1984) Bukti : Lihat Lampiran 1.

Momen Peubah Acak Definisi 12 (Nilai harapan)

Misalkan X _{adalah peubah acak diskret}

dengan fungsi massa peluang p_X( )x . Nilai harapan dari X _{, dinotasikan dengan}

Ε

( )

X

, adalah

(X) xp_X( ),x x

Ε = ∑ ∀

jika jumlah di atas konvergen mutlak.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 13 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p_X( )x dan nilai harapan

Ε

( )

X

. Ragam dari X , dinotasikan dengan

Var X

( )

atau σ_X2, adalah

2 2 2

(( ( )) ) ( ( )) ( )

X X X x X pX x

x

σ = Ε − Ε =∑ − Ε . (Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Momen ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-katau m_k dari peubah acak X

adalah

( k).

m_k = Ε X

(Hogg et al. 2005)

Definisi 15 (Momen pusat ke-k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-katau σ_k dari peubah acak

X _adalah

((X ( )) ).X k k

σ = Ε − Ε

(Hogg et al. 2005)

Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X . Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam dari X . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X .

Definisi 16 (Fungsi Indikator)

Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi

: [0,1]

Ι_Α Ω → , yang diberikan oleh :

{

1, jika ( )

0, jika A A

ω ω

ω

∈

Ι_Α =

∉ .

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :

( _A) ( )A

Ε Ι = Ρ _.

Kekonvergenan Peubah Acak

Definisi 17 (Kekonvergenan dalam sebaran)

Misalkan , , … , adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Ω, , P . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis

, untuk ∞, jika

P x P

untuk ∞, untuk semua titik x dimana

fungsi sebaran P adalah

kontinu.

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

(12)

Definisi 18 (Statistik)

Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 19 (Penduga) Misalkan , ,...,

1 2

X X _Xn adalah contoh acak. Suatu statistik ( , ,..., )

1 2

U X X _Xn yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter

( )

g

θ

, dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi

g

( )

θ

, dilambangkan dengan

g

ˆ( )

θ

.

Bilamana nilai , ,...,

1 1 2 2

X =x X =x X_n=x_n,

maka nilai U x x( _{1 2}, , ...,_xn) disebut sebagai nilai dugaan (estimator) bagi

g

( )

θ

.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 20 (Penduga Tak Bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter

g

( )

θ

, yaitu

[ ( ,U X X_{1 2},...,X_n)] g( )θ

Ε = , disebut penduga

tak bias bagi

g

( )

θ

. Apabila sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(ii) Jika lim [ (U X X₁, ₂,...,X_n)] g( )

n→∞Ε = θ ,

maka (U X X_{1 2}, ,...,_Xn) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi

g

( )

θ

. (Hogg et al. 2005)

Definsi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter

g

( )

θ

, disebut penduga konsisten bagi

g

( )

θ

.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 22 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu

penduga

U

bagi parameter

g

( )

θ

didefinisikan sebagai

2 2

( ) ( ( )) ( ( )) ( )

MSE U = Ε −U gθ = Bias U +Var U

dengan

Bias U

( )

= Ε −

U g

( )

θ

.

Proses Poisson Periodik

Definisi 23 (Proses Stokastik)

Proses stokastik

X

=

{ ( ),

X t t T

∈

}

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state

X t

( ).

(Ross 2007)

Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks

T,

X t

( )

adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai waktu dan

X t

( )

sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.

Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T

adalah suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 25 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

{ ( ),

X t t T

∈

}

disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t₀< < < <t₁ t₂ ... _tn,

peubah acak

( )₁ ( ), ( )₀ ₂ ( ),..., ( )₁ ( ₁)

X t −X t X t −X t X t_n −X t_n₋

adalah bebas.

(Ross 2007)

Berdasarkan definisi di atas, maka suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X

disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 26 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu

{ ( ),

}

X

=

X t t T

∈

disebut memiliki

inkremen stasioner jika

X t s X t

(

+ −

)

( )

memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross 2007)

Berdasarkan definisi di atas, maka suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X

(13)

Definisi 27 (Proses Pencacahan)

Suatu proses stokastik

{ ( ),

N t t

≥

0}

disebut proses pencacahan jika

N t

( )

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

(Ross 2007)

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan

N t

( )

harus memenuhi syarat-syarat berikut :

(i)

N t

( ) 0

≥

untuk semua

t

∈ ∞

[0, )

. (ii) Nilai

N t

( )

adalah integer.

(iii) Jika s <t maka

N s Nt

( )

≤

( )

dengan , [0, ).

s t∈ ∞

(iv) Untuk s<t maka

N t

( )

−

N s

( )

sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval

( , ]

s t

.

Definisi 28 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan

{ ( ),

N t t

≥

0}

disebut proses Poisson dengan laju ,λ λ >0, jika dipenuhi tiga syarat berikut :

(i)

N

(0)

=

0

.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan

λ

t

. Sehingga untuk semua

, 0

t s> ,

( )

( ( ) ( ) ) ,

!

t k

e t

N t s N s k

k

λ λ

−

Ρ + − = =

0,1, ...

k =

(Ross 2007)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh :

( ( ))

N t

λ

t

.

Ε

=

Definisi 29 (Proses Poisson tak homogen) Suatu proses Poisson

{ ( ),

N t t

≥

0}

disebut proses Poisson tak homogen jika laju pada sembarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu

λ

( )

t

.

Definisi 30 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas

λ

pada titik adalah

λ

( )

s

yaitu nilai fungsi λ di s.

(Cressie 1993)

Definisi 31 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi

λ

disebut periodik jika

(

s k

)

( )

s

λ

+

τ

=

λ

untuk semua dan . Konstanta

terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi

λ

tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 32 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 (Fungsi terintegralkan lokal) Fungsi intensitas

λ

disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh

( )B _B ( )s ds .

μ =∫ λ < ∞

(Dudley 1989)

Definisi 34 (

Ο

(.)

dan

ο

(.)

)

Simbol-simbol

Ο

(.)

dan

ο

(.)

merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi

u x

( )

dan

v x

( )

dengan x menuju suatu limit L.

(i) Notasi u x( )=Ο( ( )),v x x→L, menyatakan

bahwa ( ) ( ) u x

v x terbatas, untuk

x

→

L

. (ii) Notasi

u x

( )

=

ο

( ( )),

v x x

→

L

, menyatakan

bahwa ( ) 0

( ) u x

v x → , untuk

x

→

L

.

(Serfling 1980)

Definisi 35 (Titik Lebesque)

Kita katakan s adalah titik Lebesque dari

λ

jika berlaku

1

lim ( ) ( ) 0.

0 2 h

s x s dx

h→ h h−∫ λ + −λ =

(Wheeden and Zygmund 1977) Lema 2 (Formula Young dari Teorema

(14)

Misalkan

g

memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka

(

)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 !

k

n g x k n

g y g x y x y x

k k ο

= + ∑ − + −

= ,

untuk

y

→

x

.

(Serfling 1980)

Bukti : Lihat Serfling 1980.

Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan

μ

dan ragam

σ

2, maka untuk setiap k>0

(

X k

)

₂2

k

σ

μ

Ρ − ≥ ≤ .

(Ross 2007) Bukti : Lihat Lampiran 2.

Lema 4 (Teorema Limit Pusat)

Misalkan 1, 2,..., n adalah suatu contoh

acak dari suatu distribusi yang mempunyai nilai-harapan µ dan variance σ2. Maka peubah acak

(

₁n

)

/

(

)

/

Y_n= ∑ X_i−nμ nσ = n X_n−μ σ

konvergen ke sebaran normal dengan nilai-harapan nol dan ragam 1.

(Hogg and Craig 2005)

Bukti : Lihat Hogg and Craig 2005

(15)

HASIL PEMBAHASAN

Review Perumusan Penduga Bagi λ

( )

s

dan Sifat-sifat Statistiknya

Misalkan

N

adalah suatu proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas λ yang diamati pada suatu interval [0,n]. Pembahasan hanya dibatasi untuk kasus periode τ yang diketahui dari fungsi intensitas λ.

Misalkan _hnadalah barisan dari bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu _hn

0 jika n ∞. Penduga bagi λ

( )

s

dapat dirumuskan sebagai berikut :

[

]

(

)

1 ˆ ( )

0 2

, [0, ] .

s n

k

n _hn

N s k h_n s k h_n n

τ λ τ τ ∞ = ∑ = + − + + ∩ (1)

Teorema 1 : (Aproksimasi asimtotik untuk nilai harapan

λ

ˆ ( )_n s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal serta _hn 0.

a) Jika λ memiliki turunan ketiga berhingga di s dan _nhn3 ∞, maka

1 _" ₂ ₃

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

6

s s s h o h

n n n

λ λ λ

Ε = + +

jika n ∞. (2) b) Jika λ memiliki turunan keempat

berhingga di s dan _nhn4 ∞, maka

4

1 " 2 1 (4) 4

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 120 n

s s s h s h o h

n n n

λ λ λ λ

Ε = + + +

jika n ∞. (3) Bukti : Lihat Pramarani 2009.

Teorema 2 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam

λ

ˆ ( )_n s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal serta _hn 0.

a) Jika λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka

" 2 ( ) ( ) ˆ ( ( )) 2 12

s h h

s _n _n

Var _n s o

nh_n n n

τλ τλ

λ = + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞. (4)

b) Jika λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

" ( ) ( ) ˆ ( ( )) 2 12

(4) 3 3

( ) 240

s h

s _n

Var _n s

nh_n n

s h_n h_n

o n n τλ τλ λ τλ = + + +

⎛

⎜

⎞

⎟

⎝

⎠

jika n ∞. (5) Bukti : Lihat Pramarani 2009.

Review Perumusan Penduga Bagi

λ

'( )

s

Jika

λ

ˆ ( )_n s adalah penduga bagi

λ

( )

s

, maka penduga bagi

λ

'( )

s

ˆ ₍ ₎ ˆ ₍ ₎ '

ˆ ( ) .

2

s h s h

n n n n

s n

hn

λ λ

λ = + − − (6)

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa untuk nilai

h

> 0 yang cukup kecil, maka

( ) ( )

'

( ) .

2

s h s h

s

h

λ λ

λ ≈ + − − (7)

λ

ˆ ( )_n' s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal. Jika _hn 0, _nhn3 ∞ untuk n ∞ dan λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka

'''

1

' ' 2 2

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 3

s s s h o h

n n n

λ λ λ

Ε = + +

jika n ∞

(8) Bukti :

Nilai harapan ruas kiri dari persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai berikut :

ˆ ₍ ₎ ˆ ₍ ₎ '

ˆ ( )

2

s h s h

n n n n

(16)

1 _ˆ _ˆ

( ) ( ) . 2_hn λns hn λns hn

=

⎡

⎣

Ε + −Ε −

⎤

⎦

(9)

Berdasarkan persamaan (2), maka

1 " 2 3

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

6

s h s h s h h o h

n n n n n n

λ λ λ

Ε + = + + + +

jika n ∞ (10)

dan

1 " 2 3

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

6

s h s h s h h o h

n n n n n n

λ λ λ

Ε − = − + − +

jika n ∞. (11)

Dengan menggunakan deret Taylor maka diperoleh bahwa

( )

' " '''

( ) ( ) ₂ ( ) ₃ ₃

( ) ( )

1! 2! 3!

s hn

s s s

s h_n h_n h_n o h_n

λ

λ λ λ

λ

+ =

+ + + + (12)

''' ( ) " " ( ) ( ) ( ) 1! s

s h_n s λ h_n o h_n

λ + =λ + + (13)

( )

' " '''

( ) ( ) ₂ ( ) ₃ ₃

( ) ( )

1! 2! 3!

s hn

s s s

s h_n h_n h_n o h_n

λ

λ λ λ

λ

− =

− + − + (14)

''' ( ) " " ( ) ( ) ( ). 1! s

s h_n s λ h_n o h_n

λ − =λ − + (15)

Dengan mensubtitusikan persamaan (12) dan (13) ke persamaan (10) maka didapatkan

ˆ ( )

2 1

' " 2 ''' 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

s h

n n

s s h_n s h_n s h_n o h_n

λ

λ λ λ λ

Ε + =

+ + + +

jika

n

∞. (16)

ˆ ( )

2 1

' " 2 ''' 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

s h

n n

s s h_n s h_n s h_n o h_n

λ

λ λ λ λ

− =

− + − +

Ε

jika

n

∞. (17)

'''

1

' ' 2 2

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 3

s s s h o h

n n n

λ λ λ

Ε = + +

jika n ∞. Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam

λ

ˆ ( )_n' s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal. Jika _hn 0, _nhn3 ∞ untuk n ∞ dan λ memiliki turunan ketiga berhingga pada s, maka

"

( ) ( ) 1

' ˆ ( ( )) 3 ₆ 4 s s

Var _n s o

nh n

nh_n _n

τλ τλ

λ = + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞. (18)

Bukti :

' ˆ ( ( ))

Var

λ

_n s dapat ditentukan sebagai berikut

ˆ ₍ ₎ ˆ ₍ ₎ '

ˆ ( ( ))

2

s h s h

n n n n

Var _n s Var

hn

λ λ

λ =

⎛

⎜

+ − −

⎞

⎟

⎝

⎠

1 _ˆ _ˆ

[ ( ( )) ( ( ))

2 4

ˆ ˆ

2 ( ( ), ( ))].

Var _ns h_n Var _ns h_n

hn

Cov _ns h_n _ns h_n

λ λ

= + + −

− + −

(19) Dari persamaan (1) diperoleh :

[

]

(

)

ˆ ( )

1

, 2 [0, ]

2

s h

n n

N s k s k h_n n

k n _hn λ τ τ τ + = ∞ + + + ∩ ∑ =−∞ dan

[

]

(

)

ˆ ( ) 1

2 , [0, ] .

2

s h

n n

N s k h_n s k n

k n _hn λ τ τ τ − = ∞ + − + ∩ ∑ =−∞

Dari _hn 0 jika n ∞ maka untuk nilai n

yang cukup besar, selang

[

s k s k+ τ, + τ+2_hn

]

dan

[

s k+ −τ 2 ,h s k_n + τ

]

tidak saling tumpang tindih, sehingga N s k s k

[

+ τ, + +τ 2_hn

]

dan

[

2 ,

]

N s k+ −τ h s k_n + τ adalah peubah acak

bebas.

Dengan demikian

(

ˆ ₍ _), ˆ ₍ ₎

)

₀

(17)

' ( ( ))

1 _ˆ _ˆ

[ ( ( )) ( ( ))]. 2

4

Var _n s

Var _n s h_n Var _n s h_n hn λ λ λ = + + − (20) Berdasarkan persamaan (4) diperoleh :

ˆ

( ( ))

" 2

( ) ( )

2 1 2

V a r _n s h_n

s h_n s h_n h_n

h_n o

n h_n n n

λ τλ τλ + = + + + +

⎛

⎜

⎞

⎟

⎝

⎠

jika n ∞ (21)

dan ˆ ( ( )) " 2 ( ) ( ) 2 12

Var _n s h_n

s h_n s h_n h_n

h_n o

nh_n n n

λ τλ τλ − = − − + +

⎛

⎜

⎞

⎟

⎝

⎠

jika n ∞. (22)

Dengan mensubtitusikan persamaan (12) dan (13) ke (21) maka diperoleh

ˆ

( ( ))

2

' " '''

( ) ( ) ( ) _{( ) 2}

2 2 3 6

Var _n s h_n

h

s s s s _n

h_n h_n o

nh_n n n n n

λ

τλ τλ τλ τλ

+ =

+ + + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞. (23)

Dengan mensubtitusikan persamaan (14) dan (15) ke (22) maka diperoleh

ˆ

( ( ))

2

' " '''

( ) ( ) ( ) _{( ) 2}

2 2 3 6

Var _n s h_n

h

s s s s _n

h_n h_n o

nh_n n n n n

λ

τλ τλ τλ τλ

− =

− + − +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞.

(24) Dengan mensubtitusikan persamaan (23) dan (24) ke (20) maka

"

( ) ( ) 1

' ˆ ( ( )) 3 ₆ 4 s s

Var _n s o

nh n

nhn n

τλ τλ

λ = + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞. Teorema 4 terbukti.

Review Perumusan Penduga Bagi

λ

"( )

s

Jika

λ

ˆ ( )_n s adalah penduga bagi

λ

( )

s

, maka penduga bagi

λ

"( )

s

ˆ ₍ _{2 )} ˆ ₍ _{2 ) 2 ( )}ˆ "

ˆ ( ) .

2 4

s h s h s

n n n n n

s n

hn

λ λ λ

λ = + + − − (25)

Penduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, untuk nilai h>0 yang cukup kecil, maka :

' '

( ) ( )

" ( )

2

s h s h

s

h

λ λ

λ ≈ + − −

( 2 ) ( 2 ) 2 ( )

"_{( )} _.

2 4

s h s h s

s

h

λ λ λ

λ ≈ + + − − (26)

λ

ˆ ( )_n" s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal. Jika _hn 0, _nhn4→ ∞ untuk n ∞ dan λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka

" 1 (4)

" 2 2

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

2

s s s h o h

n n n

λ λ λ

Ε = + +

jika n ∞. (27)

Bukti :

Nilai harapan di ruas kiri persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut :

ˆ ₍ _{2 )} ˆ ₍ _{2 ) 2 ( )}ˆ "

ˆ ( )

2 4

s h s h s

n n n n n

s n hn λ λ λ λ + + − − Ε = Ε

⎡

⎢

⎤

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1 _ˆ _ˆ

[ ( 2 ) ( 2 ) 2

4 ˆ 2 ( )].

s h s h

n n n n

hn s n λ λ λ = Ε + + Ε − − Ε (28) Berdasarkan persamaan (3), maka

4

ˆ ( 2 )

1 _" ₂ _{1 (4)} ₄ ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

6 120 n

s h

n n

s h_n s h h_{n n} s h h_n o h_n

λ

λ λ λ

Ε + =

+ + + + + +

jika n ∞ (29)

dan

4

ˆ ( 2 )

1 _" ₂ _{1 (4)} ₄ ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

6 120 n

s h

n n

s h_n s h h_{n n} s h h_n o h_n

λ

λ λ λ

Ε − =

− + − + − +

jika n ∞. (30)

(18)

' " ( ) ( ) ₂

( 2 ) ( ) 2 4

1! 2!

(4) '''

( ) 3 ( ) 4 4

8 16 ( ),

3! 4!

s s

s h_n s h_n h_n

s s

h_n h_n o h_n

λ λ λ λ λ λ + = + + + + + (31) "

( 2 )

( 4 ) '''

( ) ( )

" 2 2

( ) 2 4 ( ),

1! 2 !

s _hn

s s

s h_n h_n o h_n

λ λ λ λ + = + + + (32) (4) (4)

(s 2h_n) ( )s o(1),

λ

+ =

λ

+ (33)

' " ( ) ( ) ₂

( 2 ) ( ) 2 4

1! 2!

(4) '''

( ) ₃ ( ) ₄ ₄

8 16 ( ),

3! 4!

s s

s h_n s h_n h_n

s s

h_n h_n o h_n

λ λ λ λ λ λ − = − + − + + (34) "

( 2 )

(4) '''

( ) ( )

" 2 2

( ) 2 4 ( ),

1! 2!

s _hn

s s

s h_n h_n o h_n

λ λ λ λ − = − + + (35) dan (4) (4)

(s 2h_n) ( )s o(1).

λ

− =

λ

+ (36)

Dengan mensubtitusikan persamaan (31), (32), dan (33) ke persamaan (29) maka didapatkan

'

'''

13 " 2 ˆ ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( )

6 5 3 121 (4) 4 4

( ) ( ) ( )

3 120

s h s s h s h

n n n n

s h_n s h_n o h_n

λ λ λ λ

λ λ

Ε + = + +

+ + +

jika n ∞. (37)

Dengan mensubtitusikan persamaan (34), (35), dan (36) ke persamaan (30) maka didapatkan

'

'''

13 " 2 ˆ ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( )

6 5 3 121 (4) 4 4

( ) ( ) ( )

3 120

s h s s h s h

n n n n

s h_n s h_n o h_n

λ λ λ λ

λ λ

Ε − = − +

− + +

jika n ∞. (38) Dengan mensubtitusikan persamaan (3), (37), dan (38) ke persamaan (28) maka didapatkan

'' 1 (4)

" 2 2

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 2

s s s h o h

n n n

λ λ λ

Ε = + +

jika n ∞.

Teorema 5 terbukti.

Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik untuk ragam

λ

ˆ ( )"_n s )

Misalkan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal. Jika _hn 0, _nhn4→ ∞ untuk n ∞ dan λ memiliki turunan keempat berhingga pada s, maka " ˆ ( ( )) (4) "

3 ( ) 15 ( ) 123 ( ) 1

5 3 ₁₉₂₀

16 96

Var _n s

s s s

o

nh nh

nhn nhn n n

λ

τλ τλ τλ

=

+ + +

⎛

⎜

⎞

⎟

⎝

⎠

jika n ∞. (39)

Bukti :

" ˆ ( ( ))

Var

λ

_n s dapat ditentukan dengan sebagai berikut

ˆ ₍ _{2 )} ˆ ₍ _{2 ) 2 ( )}ˆ "

ˆ ( ( ))

2 4

s h s h s

n n n n n

Var _ns Var

hn

λ λ λ

λ =

⎡

⎢

+ + − −

⎤

⎥

⎣

⎦

1 _ˆ _ˆ

[ ( ( 2 )) ( ( 2 )) 4

16

Var _n s h_n Var _n s h_n hn

λ λ

= + + −

ˆ ˆ ˆ

4 ( ( )) 2 ( ( 2 ), ( 2 ))

ˆ ˆ

4 ( ( 2 ), ( ))

ˆ ˆ

4 ( ( 2 ), ( ))].

Var _ns Cov _n s h_n _n s h_n

Cov _n s h_n _n s

Cov _n s h_n _ns

λ λ λ λ λ λ λ + − + − − + − − (40) Dari persamaan (1), diperoleh

[

]

ˆ ( 2 )

1

( , 3 [0, ])

2

s h

n n

N s k h s k_n h_n n k n _hn λ τ _τ _τ + = ∞ + + + + ∩ ∑ =−∞ dan

[

]

ˆ ( 2 )

1

( 3 , [0, ]).

2

s h

n n

N s k h s k_n h_n n k n _hn λ τ τ τ − = ∞ + − + − ∩ ∑ =−∞

Dari _hn ↓0, jika n ∞ maka untuk nilai n yang cukup besar interval

[

s k+ −τ h s k_n, + +τ h_n

]

,

[

s k+ +τ h s k_n, + +τ 3h_n

]

,dan

[

s k+ −τ 3 ,h s k_n + −τ h_n

]

tidak saling tumpang tindih, sehingga

[

,

]

N s k+ −τ h s k_n + +τ h_n ,

[

, 3

]

N s k+ +τ h s k_n + +τ h_n, dan

[

3 ,

]

(19)

Dengan demikian

ˆ ˆ

( ( 2 ), ( 2 )) 0

Cov

λ

_n s+ h_n

λ

_n s− h_n = ,

ˆ ˆ

( ( 2 ), ( )) 0

Cov

λ

_n s+ h_n

λ

_n s = , dan

ˆ ˆ

( ( 2 ), ( )) 0

Cov

λ

_n s− h_n

λ

_n s = ,sehingga persamaan (40) menjadi

1 "

ˆ ˆ

( ( )) [ ( ( 2 )) 4

16

ˆ ˆ

( ( 2 )) 4 ( ( ))].

Var _n s Var _n s h_n hn

Var _n s h_n Var _n s

λ λ

= +

+ − +

(41)

Berdasarkan persamaan (5), diperoleh :

3

"

( 2 ) ( 2 )

ˆ

( ( 2 ))

2 12

(4) 3

( 2 )

240 n

s h_n s h_n

Var _n s h_n h_n

nh_n n

s h_n h_n

h o n n τλ τλ λ τλ + + + = + + + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞

(42) dan

3

"

( 2 ) ( 2 )

ˆ

( ( 2 ))

2 12

(4) 3

( 2 )

240 n

s h_n s h_n

nh_n n

s h_n h_n

h o n n τλ τλ λ τλ − − − = + − + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

jika n ∞. (43)

Dengan mensubtitusikan persamaan (31), (32), dan (33) ke persamaan (42) maka

3

( ) '( ) 13 "( ) ˆ

( ( 2 ))

2 12

(4) 5 "'( ) ₂ 121 ( ) ₃

6 240

hn n

s s s

nh_n n n

s s

h_n h_n o

n n τλ τλ τλ λ τλ τλ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + = + + + + +

jika n ∞. (44)

3

( ) '( ) 13 "( ) ˆ

( ( 2 ))

2 12

(4) 5 "'( ) ₂ 121 ( ) ₃

6 240

hn n

s s s

nh_n n n

s s

h_n h_n o

n n τλ τλ τλ λ τλ τλ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = − + − + +

jika n ∞. (45)

1

(4) "

3 ( ) 15 ( ) 123 ( ) "

ˆ

( ( )) ₅ ₃

1920

16 96

o nhn

s s s

Var _ns

nh

nhn nhn n

τλ τλ τλ

λ + ⎜⎛_⎜ ⎞⎟_⎟

⎝ ⎠

= + +

jika n ∞.

Jadi Teorema 6 terbukti.

Sebaran Asimtotik bagi

λ

ˆ_n ,

λ

ˆ_n' dan

λ

ˆ_n"

Teorema 7 : (Normalitas asimtotik untuk

ˆ

n

λ

)

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal, dan mempunyai turunan keempat

λ

( 4) berhingga pada s. Misalkan pula _hn ↓0 dan

4

nhn → ∞ , untuk n→ ∞ . Berlaku hal berikut :

(i) Jika _nhn5 →1, maka

(

_{ˆ ( ) ( )}

)

2

( , ) d

nh_n λ_ns −λs

⎯⎯

→

Normalμ σ (46) untuk n→∞, dengan 1 "( )

6 s

μ= λ dan

( ) 2 2 s τλ σ = .

(ii) Jika _nhn5 →0, maka

nh_n

(

λˆ ( )_ns −λ( )s

)

⎯⎯

d

→

Normal(0,σ2)

untuk n→ ∞ (47)

Bukti :

Ruas kiri pernyataan (46) dan pernyataan (47) dapat ditulis sebagai

ˆ ˆ ˆ

( ( ) ( )) ( ( ) ( )).

nh_{n n}

λ

s −Ε

λ

_ns + nh_nΕ

λ

_ns−

λ

s

(48) Untuk membuktikan Teorema ini cukup ditunjukkan

(a) nh_{n n}( ( )λˆ s −Ελˆ_n( ))s

⎯⎯

d

→

Normal(0,σ2)

untuk n→ ∞, (49)

(b) jika _nhn5 →1, maka

( ˆ ( ) ( )) 1 "( ), 6

nh_n Ελ_n s −λ s → λ s

untuk

n

→∞

, (50)

(c) jika _nhn5 →0, maka nh_n(Ε

λ

ˆ_n( )s −

λ

( ))s →0,

untuk n→ ∞. (51)

(20)

ˆ _{( )} ˆ _{( )} ˆ ( ( )) . ˆ ( ( )) s s n n

nh_n Var _n s

Var _n s

λ λ λ λ − Ε

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

(52)

Maka untuk membuktikan pernyataan (49), cukup diperiksa

ˆ _{( )} ˆ _{( )}

(0,1), ˆ

( ( ))

s s _d

n n _Normal

Var _n s

λ λ λ − Ε

⎛

⎞

⎯⎯

→

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

(53) dan ( ) ˆ ( ( )) 2 s nh_n Var λ_n s → τλ

(54) jika n→ ∞.

Untuk membuktikan pernyataan (53) kita perhatikan bentuk berikut. Misalkan

[

] [ ]

(

, 0,

)

X_k = N s+kτ −h_n s+kτ +h_n ∩ n

,k=0,1, 2,.... Karena _hn ↓ 0 jika n→ ∞, maka untuk n yang cukup besar, interval

[

s+kτ −h_n,s+kτ +h_n

]

dan

[

s+ jτ −h_n,s+ jτ +h_n

]

tidak beririsan untuk semua

k

≠

j

. Hal ini berimplikasi, untuk semua

k

≠

j

, peubah acak X_k dan X j saling bebas. Lebih lanjut lagi

{ }

X_k ,k =0,1, 2, ..., adalah barisan peubah acak i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

( ) ( [0, ])

s k _hn

X x x n dx

k

s k _hn

τ λ τ + + Ε = ∫ Ι ∈ + − dan ragam

( )

( ) ( [0, ])

s k _hn

Var X x x n dx

k _{s k}

hn τ λ τ + + = ∫ Ι ∈ + −

yang berhingga. Oleh karena itu, penduga

ˆ ( )_n s

λ

dapat ditulis sebagai

ˆ ( )

0 2

s X

n _k k

nhn

τ

λ = ∞∑

= ,

yang merupakan jumlah peubah acak i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh pernyataan (53).

Untuk membuktikan pernyataan (54), kita ingat bahwa ruas kiri pernyataan (54) dapat ditulis menjadi

ˆ ( ( )).

nh Var_n λ_n s

Berdasarkan Teorema 2 kita dapatkan kuantitas di atas sama dengan

( ) ( ) (1) (1) 2 2 s s o o τλ τλ + = + ,

jika n→ ∞. Sehingga kita dapatkan pernyataan (54).

Selanjutnya dibuktikan pernyataan (50) dan pernyataan (51).

Dari Teorema 1 diperoleh

( )

1 " 5 ˆ

( ( ) ( )) ( ) 6

32 (4) 2 5 5

( ) 240

nh_n _n s s s nh_n

s h_n nh_n o nh_n

λ λ λ

λ

Ε − =

+ +

(55) jika n→ ∞. Karena _hn ↓0 jika n→ ∞, maka suku ke dua pada ruas kanan pernyataan (55) adalah o

( )

_nhn5 . Sehingga ruas kanan persamaan (55) menjadi

( )

1 " 5 5

( )

6λ s nhn+o nhn . Dari asumsi

5 1

nhn → , untuk n→ ∞, kita peroleh pernyataan (50). Selain itu dari asumsi _nhn5 → 0, untuk

n→ ∞, kita peroleh pernyataan (51). Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

Teorema 8 : (Normalitas asimtotik untuk

' ˆ

n

λ

)

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal, serta mempunyai turunan ketiga ’’’ dengan nilai terhingga pada s. Misalkan pula

0

hn ↓ dan _nhn3→ ∞ , untuk n→∞. Berlaku hal berikut:

(i) Jika _nhn7 →1, maka

(

)

3 '_{ˆ ( )} ' 2

( ) d ( , )

nh_{n n}λ s−λ s

⎯⎯

→

Normalμσ (56)

untuk n→ ∞, dengan 1 "'( )

3 s

μ= λ dan

( ) 2 4 s τλ σ = .

(

)

3 '_{ˆ ( )} ' 2

( ) d (0, )

nh_{n n}λ s−λ s

⎯⎯

→

Normal σ (57) untuk n→ ∞

(21)

Bukti :

Ruas kiri pernyataan (56) dan pernyataan (57) dapat ditulis menjadi

3₍_ˆ'_{( )} _ˆ'_{( ))} 3₍ _ˆ'_{( )} '_{( )).}

nh_n λ_ns −Ελ_ns + nh_n Ελ_ns −λ s

(58) Karena itu, untuk membuktikan Teorema ini cukup ditunjukkan

3₍_ˆ'_{( )} _ˆ'_{( ))} d _(0, 2_),

nh_n λ_n s − Ελ_n s ⎯⎯→Normal σ

(59) jika n→ ∞.

Jika _nhn7 →1 maka 1

3 _ˆ' ' "'

( ( ) ( )) ( )

3

(60)

untuk n→ ∞, dan jika _nhn7 → 0 maka

3 _ˆ' '

( ( ) ( )) 0 ,

n h_n Ελ_n s − λ s → (61) untuk n→ ∞.

Kita perhatikan pernyataan (59). Ruas kiri pernyataan (59) dapat ditulis sebagai

' '

ˆ _{( )} ˆ _{( )} '

3 _ˆ'

( ( )) . ' ˆ ( ( )) s s n n

nh_n Var _n s

Var _n s

λ λ λ λ −Ε

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

(62)

Oleh karena itu, untuk membuktikan pernyataan (59), cukup diperiksa

' ' ˆ _{( )} ˆ _{( )} (0,1), ' ˆ ( ( ))

s s _d

n n _Normal

Var _n s

λ λ λ − Ε

⎛

⎞

⎜

⎟ ⎯⎯

→

⎜

⎟

⎝

⎠

(63) dan ( ) 3 _ˆ'

( ( )) ,

4

s nh_n Var λ_n s → τλ

(64) jika n→ ∞.

Untuk membuktikan pernyataan (63) , kita dasarkan pada persamaan (1) sehingga

[

] [ ]

(

)

ˆ ( )

1

, 2 0,

2 s h

n n

N s k s k h_n n

k n _hn λ τ τ τ + = ∞ + + + ∩ ∑ =−∞ dan

[

] [ ]

(

)

. ˆ ( ) 1

2 , 0,

2 s h

n n

N s k h s k_n n

k n _hn λ τ τ τ − = ∞ + − + ∩ ∑ =−∞

Dari persamaan (6) maka diperoleh

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

, 2 0,

'

( ) .

2

4 2 , 0,

N s k s k h_n n

s n

k

nh_n N s k h s k_n n

τ τ τ λ τ τ + + + ∩ ∞ = ∑ =−∞ − + − + ∩

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

Misalkan

[

]

[ ]

(

)

[

]

[ ]

(

)

, 2 0,

2 , 0,

X N s k s k h_n n

k

N s k h_n s k n

τ τ

= + + + ∩

− + − + ∩

untuk k=0,1, 2,...

Karena _hn ↓ 0 jika n→ ∞, maka untuk n yang cukup besar, interval

[

s k+ −τ 2 ,h s k_n + τ

]

dan

[

s+ −jτ 2 ,h s_n +jτ

]

, juga

[

s k s k+ τ, + +τ 2_hn

]

dan

[

s+j sτ, + +jτ 2_hn

]

, tidak berpotongan untuk semua

k

≠

j

k

≠

j

, peubah acak X_k dan _{X j} saling bebas. Lebih lanjut lagi

{ }

X ,k 0,1, 2, ...,

k = adalah

barisan peubah acak i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

[

]

[ ]

(

)

[

]

[ ]

(

)

, 2 0,

2 , 0,

X_k N s k s k h_n n

N s k h s k_n n

τ τ τ τ Ε = Ε + + + ∩ −Ε + − + ∩ dan ragam

[

]

[ ]

(

)

[

]

[ ]

(

)

( ) , 2 0,

2 , 0,

Var X_k N s k s k h_n n

N s k h s k_n n

τ τ

= Ε + + + ∩

−Ε + − + ∩

dengan nilai berhingga. Oleh karena itu, bisa kita tulis penduga

λ

ˆ ( )_n' s sebagai

' ˆ ( ) 2 ₀ 4 s X n _k k nhn

τ

λ

= ∞∑ = ,

yang merupakan jumlahan peubah acak i.i.d dikalikan suatu konstanta. Selanjutnya dengan Teorema Limit Pusat kita peroleh pernyataan (63).

Untuk membuktikan pernyataan (64), ruas kiri dari pernyataan (64) dapat ditulis menjadi

3 ₍_ˆ'_{( )).}

nh Var_n λ_n s

Berdasarkan Teorema 4 kita dapatkan kuantitas di atas sama dengan

( ) ( ) (1) (1) 4 4 s s o o τλ τλ + = + ,

(22)

Selanjutnya akan dibuktikan pernyataan (60) dan pernyataan (61). Dari Teorema 3 didapat

( )

1 3 _ˆ' ' 7 "'

( ( ) ( )) ( ) 3

nh_n Ελ_ns−λ s = nh_n

⎜

⎛

λ s+o nh_n

⎞

⎟

⎝

⎠

jika n→ ∞.

Dari asumsi _nhn7 →1, untuk n→ ∞, kita peroleh pernyataan (60). Selain itu dari asumsi _nhn7 →0, untuk n→ ∞, kita peroleh pernyataan (61). Dengan demikian Teorema 8 terbukti.

Teorema 9 : (Normalitas asimtotik untuk

" ˆ

n

λ

)

Andaikan fungsi intensitas λ adalah periodik (dengan periode τ) dan terintegralkan lokal, serta mempunyai turunan keempat

λ

( 4) dengan nilai terhingga pada s. Misalkan pula

0

hn ↓ dan _nhn4 → ∞ , untuk n→ ∞. Berlaku hal berikut :

(i) Jika _nhn9 →1 , maka

nh_{n n}5 "

(

λˆ ( )s −λ"( )s

)

⎯⎯

d

→

Normal( ,μ σ2) (65) untuk n→ ∞, dengan 1 (4)( )

2 s

μ= λ

dan 2 3 ( )

16 s

τλ

σ = .

(

)

5 _{ˆ ( )}" " 2

( ) d (0, )

nh_n λ_n s −λ s

⎯⎯

→

Normal σ

untuk n→ ∞

(66) Bukti :

Ruas kiri pernyataan (65) dan pernyataan (66) dapat ditulis sebagai

5₍_ˆ"_{( )} _ˆ"_{( ))} 5₍ _ˆ"_{( )} "_{( )).}

nh_n λ_n s − Ελ_n s + nh_n Ελ_n s −λ s

(67) Karena itu, untuk membuktikan Teorema ini cukup ditunjukkan

5 _ˆ" _ˆ" 2 ( ( ) ( )) d (0, ),

nh_n λ_n s − Ελ_n s

⎯⎯

→

Normal σ

(68) untuk n→ ∞,

jika _nhn9 →1 maka

1 (4) 5 _ˆ" "

( ( ) ( )) ( )

2

(69)

untuk n→ ∞, dan jika _nhn9 →0 maka

5 _ˆ" "

( ( ) ( ) ) 0 ,

n h_n Ελ_n s − λ s → (70) untuk n→ ∞.

Kita perhatikan pernyataan (68). Ruas kiri pernyataan (68) dapat ditulis

" " ˆ _{( )} ˆ _{( )}

' 5 _ˆ"

( ( )) . " ˆ ( ( )) s s n n

nh_n Var _ns

Var _ns

λ λ λ λ −Ε

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

(71)

Maka untuk membuktikan pernyataan (68), cukup periksa " " ˆ _{( )} ˆ _{( )} (0,1), " ˆ ( ( ))

s s _d

n n _Normal

Var _n s

λ λ λ − Ε

⎛

⎞

⎜

⎟ ⎯⎯

→

⎜

⎟

⎝

⎠

(72) dan

3 ( ) 5 _ˆ"

( ( )) ,

16

s nh_n Var λ_n s → τλ

(73)

jika n→ ∞.

Untuk membuktikan pernyataan (72) , kita ingat kembali persamaan (1) sehingga diperoleh

[

]

[ ]

(

)

ˆ ( 2 )

1

, 3 0,

2

s h

n n

N s k h s k_n h_n n

k n _hn λ τ τ τ + = ∞ + + + + ∩ ∑ =−∞ dan

[

]

[ ]

(

)

ˆ ( 2 )

1

3 , 0,

2

s h

n n

k n _hn λ τ τ τ − = ∞ + − + − ∩ ∑ =−∞

Dari persamaan (25) maka diperoleh

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

" ( )

, 3 0,

3 , 0,

3 8

2 , 0,

s n

k nhn

(23)

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

, 3 0 ,

3 , 0 ,

2 , 0 ,

X_k

τ τ

=

+ + + + ∩

+ + − + − ∩

− + − + + ∩

untuk k =0,1, 2, ...

Karena _hn ↓0jika n→ ∞, maka untuk n yang cukup besar, interval

[

s j+ −τ h s j_n, + +τ 3h_n

]

,

[

s k+ −τ 3 ,h s k_n + +τ h_n

]

dan

[

s+jτ−3h_n,s+jτ+h_n

]

, juga

[

s+kτ −h_n,s+kτ+h_n

]

dan

[

s+jτ−h_n,s+jτ+h_n

]

tidak berpotongan untuk semua

k

≠

j

k

≠

j

, peubah acak X

k dan X j saling bebas. Lebih lanjut lagi

{ }

X_k ,k =0,1, 2, ..., adalah barisan peubah acak i.i.d, yang mempunyai nilai harapan

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

, 3 0,

3 , 0,

2 , 0,

X_k

N s k h s k_n h_n n N s k h s k_n h_n n

N s k h s k_n h_n n

τ

Ε =

Ε + + + + ∩

+Ε + − + − ∩

− Ε + − + + ∩

dan ragam

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

[

] [ ]

(

)

( )

, 3 0,

3 , 0,

2 , 0,

Var X_k

τ τ

=

Ε + + + + ∩

+Ε + − + − ∩

− Ε + − + + ∩

yang bernilai terhingga. Oleh karena itu, penduga

λ

ˆ ( )_n" s dapat ditulis sebagai

"

ˆ ( ) ₃ 0 8

s X

n _k

k <