TURUNAN RANGKUMAN MATERI. '( x) lim. '( x) lim lim 0. Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai berikut. f (x+h) f (x) x x + h

1

TURUNAN

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai berikut

0 ( ) ( ) '( ) lim     h f x h f x f x h

Secara geometri turunan fungsi di x = x1 merupakan gradien/kemiringan kurva fungsi tersebut di

x = x1.

Teorema1: Turunan konstanta

Pembuktian: 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim 0 h h f x h f x c c f x h h        

RANGKUMAN MATERI

Jika c adalah sebuah konstanta, maka berlaku d c0 dx . x y x x + h f (x) f (x+h)

2 Teorema 2: Pangkat Pembuktian: Perhatikan bahwa:



1 2 2 1



( )   ...          n n n n n n a b a b a a b ab b

Dari sini akan kita peroleh:





0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 ( ) lim ( ) ( ) ... ( ) lim ( 0) ( 0) ... ( 0) n n n h n n n n h n n n n n d x h x x dx h h x h x x h x h x x h x x x x x x nx                                Teorema 3 Konstanta Pembuktian: 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim '( ) h h h h h d f x h f x cu x dx h cu x h cu x h u x h u x c h u x h u x c h cu x                 _{ }         _{ }   

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku

1   n n d x nx dx _.

Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan dan c adalah sebuah konstanta, maka d cu x( )cu x'( ) dx

3 Teorema 4: Penjumlahan Pembuktian: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lim         h d u x h v x h u x v x u x v x dx h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim        h u x h u x v x h v x h 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim         h h u x h u x v x h v x h h '( ) '( ) u x v x Teorema 5: Perkalian Pembuktian:

















0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim '( ) ( ) ( ) '( ) h h h h h d u x h v x h u x v x u x v x dx h u v x v u x h u x h u x v x v x h v x u x h u x h u x v x v x h v x u x h h u x v x u x v x                                    

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi yang mempunyai turunan di titik x, maka turunan uv

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) d

u x v x u x v x u x v x dx

Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka penjumlahannya dapat di turunkan di setiap x dimana u dan v dapat diturunkan di titik tersebut.

( ( ) ( )) '( ) '( ) d

u x v x u x v x dx

4

Teorema 6: Pembagian

Pembuktian:

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi yang mempunyai turunan di titik x, maka turunan u/v di titik x 2 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )         d u x u x v x u x v x dx v x v x v(x) u(x) u v

5 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( h h h h u x h u x d u x v x h v x dx v x h u x h v x v x h u x v x h v x h h u x h v x v x h u x hv x h v x u x h v x u x v x u x v x v x h u x hv       _     _{ }  _       _{ }         _{ }                      

















0 0 0 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

lim lim lim

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) h h h h x h v x u x h v u x v x u x v x v x h hv x h v x u x h v u x v x u x v x v x h v x h v x h h u x v x u x v x v x                     

Teorema 7: Pangkat Bilangan Negatif

Bukti:

Misal n = - m, diamana m adalah bilangan integer positif. Dari sini akan kita peroleh:

 

1 1 1 2 2 (1) (1) ₀ m m m n m n m m d d x x d _{dx dx} mx x mx nx dx x x      _     

Turunan Fungsi Komposisi

Jika y adalah fungsi dari u, sedangkan u adalah fungsi dari x, maka berlaku:

x 

d dy du y

dx du dx

Jika n adalah bilangan bulat negatif dan x  0, maka d

 

xn nxn1 dx

6 Pembuktian x  d dy du y dx dx _du x  d dy du y dx du _dx

Turunan dengan orde yang lebih tinggi

Turunan 'y dy

dx y merupakan turunan pertama y terhadap x.

Apabila 'y differensiabel, turunan

2 2 ' ''  _ _   dy d dy d y y

dx dx dx dx merupakan turunan kedua y terhadap x.

Apabila ''y differensiabel, turunan

2 2 '' '''  _ _   dy d d y y

dx dx dx merupakan turunan ketiga y terhadap x, begitu seterusnya.

Secara singkat dapat dituliskan dengan sederhana:

1   n d n y y dx

7

Latihan

1. Tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x

a. ( ) 10f x  k. 4 ( )2  f x x b. ( )f x  25 l. ₁ 10 5 ( )  f x x c. ( )f x 200 _m. 3 5 ( )20  f x x d. f x( )6x _n. 1 6 ( )6  f x x e. f x( ) 15 x o. 2 ( ) 5 7 f x x x f. f x( )20x p. 2 ( )0,5 20 5 f x x x g. 2 ( )3 f x x q. 3 2 ( )4 3 5 3 f x x x x h. ₁ 5 5 ( ) f x x r. f x( )x x( 2) i. ₂ 18 6 ( ) f x x s. ( )f x 4 (2x x5) j. ₂ 35 7 ( ) f x x t. ( )f x 5 (4 3 )x  x

2. Tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x

a. f x( ) (x 1)2 k. f x( )



x2



x1



b. f x( ) (x 3)2 _{l. f x( )}



_x₄



_x₂



c. f x( ) (x 5)2 m. f x( )



x3



x5



d. f x( ) (x 4)2 _{n. f x( )} 



_{3 x}



₁ _x



e. f x( ) (x 2)2 o. f x( )



2 x



6 x



f. f x( ) 1 x p. f x( ) 



8 x





5 x



g. 3 1 ( ) f x x q. _{f x( )} 



_{1 x}23



₁_x16



h. 9 5 1 ( ) f x x r. _{f x( )}



₅_x35



₄_x32



i. 3 4 ( ) x f x x s. _{f x( )}



_x34₃



_x312₆



j. f x( ) 1 x x t. _{f x( )}



_x16₂





_x53₁



3. Dengan menggunakan konsep turunan komposisi, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x

a. f x( ) (x 1)4 _{k. f x( )}



_x2



6 b. f x( ) (x 3)7 _l.





8

( ) 4

8 c. f x( ) (x 2)4 _m.



2



8 ( ) 2 f x x d. f x( ) (x 4)8 _n.



2



6 ( ) 2 4 f x x e. f x( ) (x 7)10 _o.



2



3 ( ) 4 5 f x x x f. f x( )



2x3



6 p.



2



5 ( ) 3 5 10 f x x x g. 3 ( )(5 1) f x x _q.



3 2



6 ( ) 2 3 4 f x x x x h. 8 ( )(3 4) f x x _r. 2 ( ) 1 f x x i. 15 ( )(4 6) f x x _s. 2 ( ) 4 f x x j.



2



5 ( ) 3 f x x t. f x( ) 2x2 x 3

4. Dengan menggunakan Teorema Perkalian, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x a. f x( )(2 )( )x x3 k. f x( )



x2

 

3 x1



2 b. f x( )(3 )(4x2 x4) l. f x( )



x4

 

7 3x5



2 c. f x( )(5 )(2x5 x7) _m.



2

 

8 2



10 ( ) 2 5 f x x x d. ( )f x  (x 4)(x3) _n.



₂

 

6 ₃



5 ( ) 4 2 3 f x x x x e. ( )f x (2x7)(x2) _o.



₂



3

_

_

( ) 4 1 2 f x x x x f. f x( )



2x4



x3



_p.



2



4





2 ( ) 4 2 5 4 f x x x x g. 2 ( )(2 1) ( 3) f x x x q. ( )f x  x 3 3x5 h. 2 2 ( )(3 4) (2 5) f x x x _r. 2 ( )  5 1 f x x x i. 6 ( )( 6) (5 2) f x x x _s. 2 ( ) 4  1 6 3 f x x x x j.



2







4 ( ) 3 6 f x x x t. _{f x( )}5 _x _{3 x}2_2x₁₀

5. Dengan menggunakan teorema pembagian, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x a. 3 ( ) 2  x f x x k. 2 5 8 ( ) 3 4     x x f x x b. 2 5 3 ( ) 2   x f x x l. ( ) ₂6 1 3 4     x f x x x c. 5 7 5 ( ) 2  x f x x m. 2 2 4 2 ( ) 3 10      x x f x x x d. ( ) 4 2    x f x x n. 2 2 4 7 3 ( ) 2 5 9      x x f x x x

9 e. ( ) 2 6 5    x f x x o. 2 2 2 7 4 ( ) 5 5      x x f x x x f. ( ) 3 6 3 4    x f x x p. 3 2 ( ) 1    x f x x g. ( ) 3 5 4 2    x f x x q. 2 8 ( ) 5 3    x f x x h. ( ) 10 4 3 7    x f x x r. 4 ( ) 3 5    x f x x i. 2 4 ( ) 3     x x f x x s.



2



3 4 3 ( ) 2    x f x x x j. 2 4 7 ( ) 2 5     x x f x x t.



₂



2 9 ( ) 3 6     x f x x x

5. Tentukanlah turunan pertama dan kedua fungsi f (x) berikut ini terhadap x a. f x( )x24x8 k. ( ) 1 3  f x x b. f x( ) 3x27x10 l. f x( ) 1₂ x c. f x( )x22x8 _m. 4 12 ( ) f x x d. f x( )x35x24x7 n. ( ) 10₅ 6  f x x e. f x( )3x34x26x8 o. f x( ) 3₈ x f. f x( )2x36x23x5 p. ( ) 2 2   f x x g. 5 3 ( )10 5 2 6 f x x x x q. ( ) 2 2 3   f x x h. f x( )3x57x48x212 r. ( ) 1 3 5    x f x x i. f x( )5x54x210x s. ( ) 2 5 4 1    x f x x

10

Turunan Fungsi Trigonometri

Pembuktian turunan fungsi sin x

0 0 0

0 0 0 0

sin( ) sin sin cosh cos sinh sin sin (cosh 1) cos sinh

sin lim lim lim

(cosh 1) sinh

lim sin lim lim cos lim sin 0 cos 1 cos

h h h h h h h d x h x x x x x x x dx h h h x x x x x h h                          

Pembuktian turunan fungsi cos x

0 0 0

0 0 0 0

cos( ) cos cos cosh sin sinh cos cos (cosh 1) sin sinh

cos lim lim lim

(cosh 1) sinh

lim cos lim lim sin lim cos 0 sin 1 sin

h h h h h h h d x h x x x x x x x dx h h h x x x x x h h                           

Pembuktian turunan fungsi tan x

2 2

2

2 2 2

sin cos cos sin ( sin ) cos sin 1

tan sec

cos cos cos cos

d d x x x x x x x x x dx dx x x x x        _{ }     

Pembuktian turunan fungsi cot x

2 2

2

2 2 2

cos sin sin cos cos sin cos 1

cot csc

sin sin sin sin

d d x x x x x x x x x dx dx x x x x          _{ }        sin cos d x x dx cos  sin d x x dx 2 tan sec d x x dx 2 cot  csc d x x dx

11

Latihan

1. Tentukanlah turunan y terhadap x

a. ysin 5x k. ycos 6x b. ysin 6x l. ycos 3x c. y sin10x m. y cos 9x d. y sin(8 )x n. y cos 2x e. y sin(15 )x o. y cos12x f. ysin(3x5) p. ycos(3x7) g. ysin(6x2) q. ycos(5x2) h. ysin(7x4) r. ycos(4x9) i. f x( )sin(4x9) s. ycos(7x2) j. f x( )sin(ax b ) t. ycos(ax b  )

2. Tentukanlah turunan y terhadap x

a. ycos sinx x k. y5cos 6 cos 4x x

b. ysin 6 cos 4x x l. y8sin 2 sin 6x x

c. ycos 2 sin 4x x m. y2cos 3 cos 5x x

d. ysin 3 cos5x x n. y12sin 4 sin 8x x e. ycos5 sin 5x x o. y9cos 7 cos 5x x

f. y3sin cos3x x p. y11sin 7 sinx x

g. y7 cos sin 5x x q. y20cos 6 cos10x x

h. y6sin 5 cos 7x x r. y8sin 7 sin 9x x

i. y4cos 4 sin 8x x s. y15cos8 cos12x x

j. y10sin 3 cos11x x t. y15sin 9 sin11x x

3. Tentukanlah turunan y terhadap x

a. ysin(x24x5) k. 2 sin( 1) y x b. ycos(x23x2) l. 5 sin(3 4) y x c. ysin(3x28x10) m. 4 cos(2 5) y x d. ycos(2x210x9) n. ycos(4x1)7 e. ytan(5x22x8) o. 2 sin y x f. ytan(4x25x12) p. 10 sin y x g. 2 sin 3 10 y x  x q. ysin (35 x2) h. 2 sin 2 8 15 y x  x r. ysin (4 x24x8) i. 2 cos 3 7 6 y x  x x s. ycos3x j. ycos 2x26x9 t. ycos (26 x33x6)

12

Turunan Fungsi Logaritma

Pembuktian:

0 0 0 0

0 0 0

log log 1

1 log( ) log 1

) log log lim lim lim lim log 1

1 1 1 1

lim log 1 lim log 1 log lim 1 log

h h h h x x h h h h h x h h d x h x x x h a x e dx x h h h h x x h h h e h x x x x x x x            _                   _  _          _  _ _  _  _  _        0 0 0 0 0 1 ln( ) ln 1 1

) ln lim lim ln lim ln

1 1 1 1 lim ln ln lim ln x x h h h h h h h d x h x x h x x h b x dx x h h x h x x x h x h e x x x x x x                 _{ } _{ }            _{ }  _{ }      









( ) 0 0 0 1 1

) ln lim lim lim 1

x h x x x x h x x h h h h d a a c a a a a a a a a dx h h h           

Misal u = ah-1 maka h = alog(1+u). Dari sini akan kita dapatkan:

1/ 1

0 0 0

1 1 1 log

lim lim lim ln

log(1 ) log(1 ) log(1 ) log log

x x x x x x x a a a u a u u u u d u a a a a a a a a e dx   u   u   u  e e  ( ) 0 0 0 1 1

) lim lim lim

ln x h x x h x h x x x x x e h h h d e e e e e e d e e e e e dx h h h e              1 log log d x e dx  x 1 ln d x dx  x ln x x d a a a dx  x x d e e dx 

13

Latihan

1. Tentukanlah turunan y terhadap x

a. ye3x _{k. 3x}2 _{4x 15} ye   b. ye10 x l. 2x2 3x 8 ye   c. ye5x m. sin x ye d. ye6 x n. yecos x e. ye12 x o. tan x ye f. ye20 x p. sinx cosx ye e g. 3x1 ye  q. sin 5x ye h. 5x 7 ye  r. yecos10 x i. 6x 3 ye  s. yetan 4 x j. x2 5x 6 ye   t. yxsinxcosx

2. Tentukanlah turunan y terhadap x a. 2 x y xe _{k. 2} 2 ₁ ( 5) x x y x  e   b. y5xe4x l. yexcosx c. _y6_xe2x _m. x_cos ye x d. y (x 4)e5x n. yextanx e. y(5x3)ex o. 2 sin 5 x ye x f. y (4 7 )x e20x p. 4 cos 3 x ye x g. 2 3x yx e q. 7 tan 2 x ye x h. 2 5 6 x y x e r. ye10xsin 4x e 3xcos 6x i. y8x e2 x21 s. ye2xtan 5x e 4xtan 8x j. 2 32 2 6 6 x x

14

Aplikasi Turunan: Titik Stasioner, Maksimum dan Minimum

Titik stasioner suatu kurva terjadi apabila gradien di titik tersebut bernilai nol. Ada dua kemungkinan jenis titik stasioner yaitu maksimum atau minimum. Apabila nilai turunan kedua dititik tersebut bernilai positif maka titik stasioner tersebut maksimum, sedangkan apabila nilai turunannya negatif maka maka titik stasioner tersebut minimum

Titik A dan titik C adalah titik stasioner maksimum, di tititk tersebut berlaku:

0 dy dx  dan 2 2 0 d y dx 

Titik B dan titik D adalah titik stasioner minimum, di tititk tersebut berlaku:

0 dy dx  dan 2 2 0 d y dx  x y A B C D f (x)

15

Latihan

Tentukan titik-titik stasioner dan jenis titik stasioner tersebut (maksimum atau minimum) untuk fungsi-fungsi berikut ini

1. y = x3 - 3x + 2 2. y = 2x3 + 9x2 - 36x + 6 3. y = -x3 + 9x2 -15x + 5 4. y = x3 +12x2 +36x+8 5. y = x3 +15x2 +72x+4 6. y = x3 + 9x2 - 48x+20 7. y = 2x3 +21x2-180x +15 8. y = 2x3 +15x2- 300x + 12 9. y =1/3 x3 - 9x + 8 10. y = x3 – 48x + 25