PENGENALAN KONSEP DERIVATIF, DAN PENERAPANNYA DALAM PENYELESAIAN PROBLEMATIKA FISIKA
Ashari1& Budiyono2
1)Jurusan Pendidikan Fisika 2)Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Derivatif merupakan konsep dasar turunan. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai bagaimana konsep turunan diperoleh, selain itu akan dibahas pula penggunaan konsep derivatif dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, yang mana nilai maksimum fungsi ini diterapkan dalam beberapa penyelesaian permasalahan Fisika.
Kata Kunci: derivatif, fungsi
Pendahuluan
Setiap makhluk hidup di alam ini selalu mengalami proses yang disebut sebagai “perubahan”, dapat berupa perubahan fisik. Seperti misalnya yang mula-mula bayi menjadi dewasa, mula-mula kepom-pong menjadi kupu-kupu, pada awal
bulan mempunyai banyak uang
hingga tidak mempunyai uang sama sekali pada akhir bulan. Perubahan yang terjadi dapat pula hanya merupakan perubahan sementara, misalnya perubahan pola pikir, perubahan model rambut, atau juga
perubahan tempat/kedudukan, pada pukul tujuan si A ada di perpus-takaan, satu jam kemudian dia sudah duduk di rumah. Secara kasar dari contoh-contoh yang dikemu-kakan dapat dinyatakan bahwa tak satupun di alam ini yang lepas dari proses perubahan.
Apabila kita cermati lebih dalam setiap peristiwa perubahan yang dikemukakan, kita akan melihat
bahwa “perubahan” selalu
merupakan keterkaitan antara satu hal terhadap hal lain yang terjadi.
Peristiwa dikatakan mengalami perubahan karena ada sesuatu hal yang digunakan sebagai acuan dari peristiwa. Sebagai contoh, A berdasarkan tinjauan tempat pada waktu tertentu (pada skala jam), berada di lokasi berbeda-beda. Kita katakan bahwa A mengalami perubahan posisi kedudukan, bukan perubahan fisik. Bila dilihat dari wujudnya A adalah tetap A yang berkaca mata, berkumis dan gemuk, dia oleh karena perubahan posisinya tidak berubah menjadi berkulit putih berambut panjang. Secara fisik A adalah tetap, tetapi dikatakan berubahan karena kita tinjau keberadaannya berdasarkan hu-bungan posisi dan waktu. Demikian pula yang mula-mula bayi menjadi dewasa berdasarkan tinjauan secara fisik dalam kaitannya dengan waktu dia mengalami proses perubahan dan kita tidak perlu meninjau dimana posisi/ kedu-dukannya.
Keterkaitan hubungan antara satu hal dengan hal lain secara
matematis dapat dinyatakan sebagai
fungsi. Dan dalam penulisannya,
misalnya jarak sebagai fungsi waktu, kita dapat menyatakan seba-gai berikut.
Jika jarak yang ditempuh s, dan waktu yang digunakan untuk menempuh jarak adalah t, maka untuk menyatakan jarak yang ditempuh tempat dalam tiap satuan waktu dituliskan sebagai s(t). Perubahan yang dialami dinyatakan
dengan (delta) atau , sehingga
untuk menyatakan perubahan jarak dituliskan sebagai ∆s atau s.
Konsep Derivatif
Kembali lagi pada pengertian perubahan, misalnya terdapat tiga orang berbeda A, B, dan C yang ingin pergi ke Parangtritis yang berjarak 30 km dari Yogya. A pergi naik sepeda dan memerlukan waktu 60 menit. B naik sepeda motor memerlukan waktu 30 menit dan C naik bus memerlukan waktu 15 menit saja. Di sini kita lihat bahwa perubahannya terhadap waktu
ti-daklah sama meskipun jarak yang ditempuh sama. Kejadian ini dise-but sebagai perubahan jarak terha-dap waktu atau yang disebut sebagai
kecepatan dan hasilnya belum tentu
sama untuk peristiwa-peristiwa lain seperti misalnya pendapatan
marji-nal, merupakan perubahan
panda-patan terhadap berbagai jenis produk,
arus listrik merupakan laju perubahan
muatan listrik terhadap waktu,
peluruhan yang menun-jukkan laju
perubahan jumlah zat terhadap waktu, pertumbuhan menunjukkan laju perubahan wujud zat terhadap waktu, dan sebagainya. Dengan menggunakan suatu acuan tertentu (terhadap hal yang diukur) kita dapat mengetahui laju perubahan y terhadap x (satu variabel terhadap
variabel yang lain). Secara
matematis ungkapan laju perubahan matematis ungkapan laju perubahan
y terhadap x dituliskan
δx δy
. Jadi kecepatan sebagai laju perubahan
jarak terhadap waktu dapat
dinyatakan dengan δt δs
.
Untuk mengetahui besarnya laju perubahan y terhadap x (men-dapatkan harga
δx δy
) secara real terdapat metode pendekatan, sebagai berikut.
1. Andaikan variabel bebas beralih ke x ke x + ∆x. Perubahan yang berse-suaian dalam variabel tak bebas y akan berupa
∆y = f (x + ∆x) – f(x).
Perubahan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai perbanding-an perbanding-antara x Δ y Δ = f(x + ∆x) – x Δ (x) f
yang menggambarkan kemi-ringan tali busur melakui (x,
f(x)). Seperti pada gambar
beri-kut. Jika ∆x 0, kemiringan tali busur ini mendekati kemi-ringan garis singgung, bela-kangan ini oleh Leibniz diguna-kan lambang δx δy , sehingga: δx δy =Δxlim0 x Δ y Δ =Δxlim0 x ) x ( ) x x ( f f
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.
Baik Leibniz maupun Fermat menyebut
δx δy
sebagai suatu hasil kali bilangan yang sangat kecil yang menyebabkan persa-maan ini menjadi benar. Dalam penentuan turunan fungsi, nilai yang sangat kecil ini tidak kita perhatikan, karena tidak jelas. Akan tetapi menurut Fermat jika harga yang sangat kecil tadi mendekati nol maka persamaan akan mempunyai nilai ekstrim. 2. Pendekatan lain, misalkan
da-lam kasus sebuah fungsi linear y = mx + b, apabila fungsi ini
dinyatakan dengan grafik maka dapat digambarkan dengan sebu-ah garis lurus berkemiringan m yang mana m ditentukan dengan kecuraman garis. Laju kenaikan garis merupakan laju perubahan terhadap x. Jika x berubah x0 ke ke x1 dan y akan
berubah m kali sesuai dengan perubahan x, sehingga dapat dinyatakan y1 – y0 = m(x1 – x0).
Kemiringan dalam gambar
diberikan sebagai perubahan y dalam tiap unit perubahan x.
Dalam kasus yang lebih umum kita dapat menyatakan y sebagai fungsi x atau y = f(x) dan kemiringan kurva dinyatakan sebagai
δx δy
= f(x). Laju perubahan ini dapat bervariasi dari titik ke titik. Pada x = x1laju perubahan y terhadap x adalah
f(x1), kecuraman grafik adalah
sebuah garis dengan ke-miringan
f(x1). Pada x = x2 laju perubahan
y terhadap x adalah f(x2). Pada x
= x3laju peru-bahan y terhadap x
y
(x + ∆x, f(x+∆x)) f(x) (x,f(x))
adalah f(x3), kecuraman grafik adalah sebuah garis dengan kemiringan f(x3). Bila hasil ini
digambarkan dalam bentuk
grafik maka diperoleh grafik yang indikasinya sama seperti garis tangan (seperti grafik pada gambar 1).
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Dalam hidup kita sering menghadapi masalah guna menda-patkan jalan terbaik untuk melaku-kan sesuatu. Sebagai contoh, seo-rang petani ingin memilih kombi-nasi hasil panen yang dapat meng-hasilkan keuntungan terbesar. Seo-rang dokter akan menentukan obat dengan dosis terkecil untuk menyem-buhkan suatu penyakit. Seorang ke-pala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian pro-duknya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan fungsi tertentu. Adapun yang dimaksud dengan nilai maksimum suatu fungsi tersebut dalam interval yang diberikan. Nilai maksimum
tidak selalu merupakan nilai ter-tinggi dari sebuah fungsi sehingga terdapat pengertian nilai maksimum relatif (relatif berarti terhadap interval tertentu). Sedangkan nilai minimum fungsi adalah nilai terke-cil yang dapat dicapai oleh fungsi
tersebut dalam interval yang
diberikan. Seperti halnya nilai mak-simum, untuk nilai minimum ter-dapat pula pengertian nilai mini-mum relatif lokal.
Gambar 3.
Untuk memperoleh nilai
maksimum atau minimum fungsi dari kurva polynomial y = f(x), dapat ditempuh dengan memban-dingkan dengan nilai f(x) pada suatu titik tertentu dengan nilai f(x + E) yang berada pada titik terdekatnya.
y
Min local Min local
Jika kita memasukkan nilai E sembarang pada fungsi maka hasil yang akan diperoleh dari fungsi f(x + E) akan sangat berbeda, tetapi ketika mencapai nilai pada puncak atau dasar kurva perubahan nilai
f(x + E) dan nilai f(x) nyaris tidak
kelihatan. Sehingga untuk menya-takan titik maksimum atau minimum dengan memasukkan harga real pada persamaan f(x) dan f(x + E) meskipun tidak tepat sama namun akan mendapatkan nilai yang mendekati sama. Untuk interval nilai E yang lebih kecil antara dua titik terdekat, setelah membagi seluruh persamaan dengan E akan membuat persamaan berharga nol. Hasil
perhitungan dari persamaan
merupakan titik maksimum atau minimum dari fungsi polinomial. Dalam pembahasan di atas, proses ini identik dengan proses penurunan (derivatif) dengan ide limit seperti
yang telah dituliskan pada
persamaan (1) yang berharga nol. Apabila tidak berharga maka fungsi
tersebut tidak mungkin mempunyai nilai maksi-mum atau minimum.
Bagaimana menentukan apa-kah fungsi f mempunyai nilai maksimum (atau minimum) pada daerah asal S? Jawaban dari permasalahan ini tergantung pada himpunan S tersebut. Agar menda-patkan nilai ekstrim fungsi, apa-kah maksimum atau minimum maka terdapat beberapa definisi yang perlu dikemukakan.
Definisi:
Andaikan suatu S yang merupakan daerah asal fungsi f memuat titik c, maka kita katakan bahwa:
1. f(c) adalah nilai maksimum
f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S
2. f(c) adalah nilai minimum f
pada S jika f(c) f(x) untuk
semua x di S
3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum
Contoh Penerapan Penentuan Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Beberapa soal yang dapat diselesai-kan dengan menggunakan konsep maksimum dan minimum fungsi.
1. Sebuah peluru ditembakkan dari permukaan bumi, jika peluru itu ditembakkan dengan arah ti-dak tegak lurus dengan permu-kaan bumi dan ketinggian yang dicapainya merupakan fungsi dari waktu yang dinyatakan oleh
y(t) = – t² + 2t – 3. Hitung jarak
tertinggi yang dicapai oleh peluru.
2. Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar identik yang berdampingan, se-perti yang diperlihatkan dalam gambar. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksi-mum.
3. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30 +
2 v
)
sen dollar per mil pada saat dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudinya dibayar $12 per jam. Pada kece-patan berapakah biaya pengi-riman minimum.
Secara umum permasalahan-permasalahan menyangkut nilai maksimum dan minimum fungsi mekanika klasik yang melibatkan aplikasi hukum Newton tentang Gerak Persamaan Lagrange tentang Dinamika Gerak Partikel.
Penutup
Dari penjelasan yang telah dikemukakan dalam makalah ini dapat disimpulkan bahwa konsep derivatif dapat diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan gradien garis singgung yang diper-oleh dari fungsi f(x). Pendekatan terhadap gradien garis tersebut dengan menggunakan konsep limit fungsi.
Dalam penerapannya, terdapat banyak teorema yang dikembang-kan dari konsep dasar derivatif. Kasus sederhana yang
menggu-nakan konsep derivatif adalah penentuan nilai ekstrim fungsi. Adapun permasalahan tentang per-samaan gerak partikel yang dibahas dalam mata kuliah Mekanika Klasik.
Daftar Pustaka
Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, 1989, A History of
Mathe-matics, LHM University, Canada: John Wiley & Sons.
Edwin J. Purcell, Dale Verberg (alih bahasa I. Nyoman Susila, dkk.), 1995, Kalkulus dan
Geometri Analitis, Edisi V,
Jakarta: Erlangga.
Jero Wacik, Suardhana Linggih dkk., 1986, Ringkasan Matematika, Bandung: Ganeca Exact. S.L. Salas & Haddam Conn, 1982,
Calculus, One and Several Variables with Analutic Geometry, Fourth Edition,
