1
LIMIT FUNGSI
DEFINISINotasi
dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L” atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a “
berarti bahwa
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
L
x
f
a
x
=
→
(
)
lim
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu f(a)
2
Situasi yang mungkin terjadi:
a x 0 L y f(x) a x 0 L y f(x) a x 0 L y f(x) f(a)
3 Contoh :
,
2
4
2
)
(
2−
≠
−
=
x
x
x
x
f
?
4
2
lim
2
2
=
−
−
→
x
x
x
2 x 0 y f(x) 0,25(
2
)
4
1
)
2
(
1
lim
)
2
)(
2
(
2
lim
4
2
lim
2
2
2
2
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
≠
=
+
=
−
+
−
=
−
−
→
→
→
Karenax
≠
2
maka4
=
≠
−
−
=
2
,
1
2
,
4
2
)
(
2x
x
x
x
x
f
Jika didefinisikan1
)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
=
≠
=
−
−
→
x
f
x
x
2 x 0 y f(x) 0,25 15
=
≠
−
−
=
2
,
4
1
2
,
4
2
)
(
2x
x
x
x
x
f
Jika didefinisikan 2 x 0 y f(x) 0,25)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
f
x
x
x
=
=
−
−
→
6
Nilai limit
tidak selalu ada
Contoh 1.
EKSISTENSI NILAI LIMIT
x
x
π
→
sin
lim
0
Bila
n
,
n
bilangan
bulat tak
nol
x
=
π
π
yaitunol
bulat tak
bilangan
,
1
n
n
x =
makasin
π
=
0
x
bulat
bilangan
,
2
2
n
n
x
+
π
π
=
π
Namun bila yaitu
bulat
bilangan
,
1
4
2
n
n
x
+
=
makasin
=
1
π
x
7 1 x 0 y f(x) 1 -1 -1
8
Contoh 2. Fungsi bilangan bulat terbesar
[ ]
x
x
f
(
)
=
1 x 0 y f(x) 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3
<
≤
<
≤
=
=
→
3
x
2
2,
2
x
1
,
1
)
(
?
)
(
lim
2
x
f
x
f
x
9
LIMIT SEPIHAK
DEFINISI:
Notasi
Dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L” atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“
berarti bahwa
Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a dan x < a (x > a).
L
x
f
a
x
=
−→
(
)
lim
=
+→
a
f
x
L
x
)
(
lim
Jadi dengan f(x) seperti pada contoh 2. maka
<
≤
<
≤
=
=
=
+ − → →3
x
2
2,
2
x
1
,
1
)
(
sebab
,
2
)
(
lim
sedangkan
,
1
)
(
lim
2 2x
f
x
f
x
f
x x10
+∞
=
−
→
1
1
lim
1
x
x
Contoh :L
x
f
a
x
=
→
(
)
lim
jika dan hanya jikaf
x
f
x
L
a
x
a
x
=
=
+ −→
→
(
)
lim
(
)
lim
Jadi untuk f(x) seperti pada contoh 2. maka
)
(
lim
)
(
lim
sebab
ada,
tidak
)
(
lim
2 2 2x
f
x
f
x
f
x x x→ → − → +≠
Limit yang tak berhingga
DEFINISI
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali pada x = a sendiri. Maka
berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin, dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
)
(
lim
=
+∞
→
a
f
x
x
−∞
=
→
(
)
lim
f
x
a
x
11 1 x 0 y 2
1
1
)
(
−
=
x
x
f
1Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak
12
Situasi yang mungkin terjadi:
+∞ = − → ) ( lim f x a x y x 0 a f(x) −∞ = − → ( ) lim f x a x x 0 y a f(x) +∞ = + → ( ) lim f x a x 0 y a f(x) −∞ = + → ) ( lim f x a x x 0 a f(x) x 0 y a f(x) +∞ = → ( ) lim f x a x x 0 y a f(x) x −∞ = → ) ( lim f x a x
13
Limit di ketakhinggaan
)
(
lim
f
x
x
→
+∞
−∞
→
)
(
lim
f
x
x
Notasidisebut limit f(x) di ketakhinggaan, adalah mengkaji bagaimana perilaku nilai f(x) manakala x membesar positif (negatif).
∞
±
=
±∞
→
ada
tidak
)
(
lim
f
x
L
x
Contoh:−
=
+∞
−∞
→
lim
1
.
1
x
2
x
2
1
2
lim
1
2
lim
.
2
−
=
−
=
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
ada
tidak
cos
lim
.
3
=
+∞
→
x
x
Jika salah satu di antara keenam situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x) maka garis x = a disebut
asimtot tegak
dari grafik y = f(x).14
Situasi yang mungkin terjadi:
x 0 f(x) y −∞ = −∞ →lim f (x) x y x 0 f(x) y +∞ = +∞ → ) ( lim f x x x 0 f(x) +∞ = −∞ → ) ( lim f x x x 0 L f(x) y L x f x = +∞ →lim ( ) x 0 L f(x) y L x f x = −∞ → ) ( lim x 0 f(x) ada tidak ) ( lim = +∞ → f x x
15 Contoh:
6
5
1
)
(
2−
+
+
=
x
x
x
x
f
+∞
=
−
−
=
−
−
+
=
+
−
+
=
− − − − → → → →lim
(
3
)(
2
)
3
)
2
)(
3
(
1
lim
6
5
1
lim
)
(
lim
.
1
2 2 2 2 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x x x x−∞
=
−
−
=
−
−
+
=
+
−
+
=
+ + + + → → → →lim
(
3
)(
2
)
3
)
2
)(
3
(
1
lim
6
5
1
lim
)
(
lim
.
2
2 2 2 2 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x x x xMaka garis x = 2 adalah
asimtot tegak
dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.(
)
(
1
0
0
)
0
0
0
6
5
1
1
1
lim
6
5
1
1
1
lim
6
5
1
lim
.
3
2 2 2 2 2 2 2=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
+∞ → +∞ → +∞ →x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x xGaris y = 0 adalah
asimtot datar
dari grafik y = f(x).Jika maka garis y = L disebut
asimtot datar
dari grafik y = f(x). L x f L x f x x = = +∞ → −∞ → ) ( lim atau ) ( lim16
6
5
1
2−
+
+
=
x
x
x
y
Asimtot datar Asimtot tegak17
Teorema-teorema tentang limit
[
]
[
]
[
(
)
]
lim
(
)
lim
d.
0
)
(
lim
asalkan
,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
c.
)
(
lim
).
(
lim
)
(
)
(
lim
b.
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
a.
maka
ada,
)
(
lim
dan
)
(
lim
nilai
dan
konstanta
suatu
Jika
1.
x
f
k
x
kf
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
k
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=
≠
=
=
±
=
±
L
x
g
L
x
h
f(x)
a
a
x
x
h
x
g
x
f
a x a x a x=
=
=
≤
≤
→ →→
lim
(
)
,
maka
lim
(
)
lim
jika
dan
)
di
mungkin
kecuali
(
sekitar
di
nilai
untuk
)
(
)
(
)
(
Jika
:
Apit
Prinsip
.
2
18
Trik menentukan limit, yaitu
1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)
2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa limit-limit sepihak.
)
(
lim
f
x
a
x→
Contoh0
4
4
4
lim
.
1
4=
+
−
=
+
− →x
x2
1
)
1
(
1
lim
)
1
)(
1
(
1
lim
1
2
1
lim
1
2
1
1
lim
.
2
1 1 2 1 2 1=
+
=
+
−
−
=
−
−
+
=
−
−
−
→ → → →x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x19
?
sin
lim
.
3
2 0=
π
→x
x
x1
sin
1
≤
π
≤
−
x
Jawab: karena maka2
2
sin
x
2
.
x
x
x
≤
π
≤
−
0
lim
)
(
lim
2
0
2
0
=
=
−
→
→
x
x
x
x
Diketahui bahwa maka(
)
0
sin
lim
0
sin
lim
0
lim
sin
lim
lim
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=
π
⇒
≤
π
≤
⇔
≤
π
≤
−
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
20 4. f(x) = [ x ] + [-x]
lim
(
)
?
2=
→f
x
x 1 x 0 y 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3
<
<
−
=
+
=
=
−
<
<
−
=
−
+
=
3
x
2
1,
(-3)
2
2
,
0
2
2
2
x
1
,
1
)
2
(
1
)
(
x
x
f
)
(
lim
1
)
(
lim
)
(
lim
2 2 2x
f
x
f
x
f
x x x → → →=
−
=
=
+ −21
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
ada
tidak
tan
lim
,
0
cos
lim
,
1
sin
lim
,
0
tan
lim
,
1
cos
lim
,
0
sin
lim
2 2 20
0
0
=
=
=
=
=
=
π π π→
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y = tan x22
0
sin
lim
,
0
sin
lim
,
1
sin
lim
0
=
=
=
−∞
→
+∞
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
23
LIMIT DAN KEKONTINUAN
Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang
memuat a dikatakan kontinu di x = a jika
)
(
)
(
lim
f
x
f
a
a
x
=
→
Dengan perkataan lain:
f
(x) kontinu di x = a jika
f(a) terdefinisi
Nilai limitnya di x = a ada
Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu
)
(
)
(
lim
)
(
lim
f
x
f
x
f
a
a
x
a
x
=
=
+ −→
→
24 2 x 0 y f(x) 0,25 Contoh
=
≠
−
−
=
2
,
4
1
2
,
4
2
)
(
2x
x
x
x
x
f
)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
f
x
x
x
=
=
−
−
→
Jadi f(x) kontinu di x = 2.
25
Teorema:
1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi-fungsi f + g,
f
– g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a.
2. fungsi polinom kontinu di , sedangkan fungsi rasional kontinu di daerah definisinya. 3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposisi
kontinu di x = a.
0
)
(
a
≠
g
ℜ
)
)(
(
f o
g
x
Akibat: jika f kontinu di x = a maka ada
lim
f
(
x
)
a x→
riil.
bilangan
setiap
di
kontinu
)
(
agar
dan
tentukan
,
3
,
2
3
0
,
0
,
1
)
(
Jika
2x
f
b
a
x
x
x
b
ax
x
x
f
≥
+
<
<
+
≤
=
Contoh:26
Jawab: karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3
Agar f(x) kontinu di x = 0:
• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0 sama dengan f(0), yaitu
Agar f(x) kontinu di x = 3:
• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5
• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3 sama dengan f(3), yaitu
1
0
.
1
yaitu
),
0
(
)
(
lim
)
(
lim
2 0 0=
+
=
=
=
+ − → →b
a
f
x
f
x
f
x x b = 14
9
5
1
9
5
9
5
5
3
.
yaitu
),
3
(
)
(
lim
)
(
lim
2 3 3=
⇒
=
+
⇒
=
+
⇒
=
=
+
=
=
+ − → →a
a
b
a
b
a
f
x
f
x
f
x x9
4
=
a
27
