FUNGSI dan LIMIT Fungsi Kontinu

FUNGSI dan LIMIT

Disusun oleh :

Bob Rozalno (1006734533)

Siti Julaeha (1006734621)

Desti Riminarsih (1006786064)

Iffatul Mardhiyah (1006786133)

Rida Novrida (1006786221)

Departemen Matematika

FUNGSI dan LIMIT

1.1 Fungsi dan Grafiknya

Fungsi :

suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil)

Daerah asal Daerah hasil

fungsi

Aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan :

y = f(x)

x adalah variabel bebas , y adalah variabel tak bebas contoh :

y = x2 _{- 4}

y = 2x + 1

-2 2 4

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap sumbu Y maka fungsi yang demikian disebut fungsi genap, yaitu jika f(-x) = f (x).

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap titik asal O (0,0) maka fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil, yaitu jika f(-x) = - f(x).

1.2 Operasi Pada Fungsi

JUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT. Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus

f(x) =x−₂3 g(x) = √x

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x−₂3 + √x

Operasi pada Fungsi Rumus dan Contoh Daerah asal

Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0. Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fn_{, kita maksudkan fungsi}

yang menetapkan nilai [f(x)]n _{pada x. Jadi,}

f2_{(x) = [f(x)]}2 ₌

[

x−3

Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam fn _{adalah n = -1}

CONTOH 1. Andaikan F(x) = 4

√x+1 dan G(x) =

√

9−x2, dengan masing- masing daerah

asal alamiah [ - 1, ∞ ) dan [ - 3, 3 ]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F . G, F/G dan F5

(F . G) (x) = F(x) . G(x) = 4

Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan. Sekarang diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin.

Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi,

( g o f )(x) = g(f(x))

Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) = √x . Kita dapat

menyusunnya dalam dua cara,

( g o f )(x) = g(f(x)) = g

(

x−₂3

)

=

√

x−₂3

( f o g )(x) = f(g(x)) = f( √x) = √x−₂ 3

Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof dan fog umumnya berlainan.

CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x2 _{– 9) dan g(x) = √3x. Pertama, cari ( fog )}

(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya.

Penyelesaian

3

Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya:

Bagaimana grafik- grafik dari

y = f(X) y = f(x – 3) y = f(x) + 2

y = f(x – 3) + 2

apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = |x|sebagai contoh. Keempat grafik

yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar

y = |x| y = |x−3| y = |x| + 2 y=|x−3|+2

Apa yang terjadi dengan f(x) = |x|adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik

tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran (translasi) dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x – 3 akan menggeser grafik itu 3 satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2 satuan.

KATALOG SEBAGIAN DARI FUNGSI.

Fungsi Konstan Fungsi identitas

Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi polinom. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk

f(x) = anxn + an−1xn−1+ … + a1x +ao

dengan koefisien- koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negative. Jika an≠0, maka n adalah derajat dari fungsi polinommya. Khususnya, f(x) = ax

+ b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 _{+bx + c adalah fungsi}

derajat dua, atau fungsi kuadrat

Hasil bagi fungsi- fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika dibentuk

f(x) = anx

n_+a

n−1xn−1+…+a1x+ao

bmxm+bm−1xm−1+…+bx+bo

Sebuah fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui operasi penambahan , pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar. Contohnya adalah

f(x) = 3x2/5 _{= 3}

_√

5 _x2 _{g(x) =} (x+2)√2

x3

+

_√

3x2−1

Fungsi – fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama- sama dengan fungsi-fungsi trigonometri, balikan trignometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan nanti), merupakan bahan baku yang mendasar untuk kalkulus kita.

1.3 Fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar berikut :

Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan , yaitu lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa sehingga panjang busur AP , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran searah jarum jam, maka t < 0.

Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus

Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka

sint y dan cost x

Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus

1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang



1,1



2. sin



t 2



sin dan cost



t 2



= cost

3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,

4.

sin cos dan cos =sin

2 t t 2 t t

 

 _ _  _ 

   

5. sin2tcos2t 1

Grafik Sinus dan Kosinus

Berikut ini gambar grafik sinus

Berikut ini grafik fungsi kosinus

sin cos

Sudut biasanya diukur dengan derajat atau dalam radian. Satu radian didefinisikan sebagai sudut yang berpadanan dengan busur sepanjang 1 unit lingkaran.

0

Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran dari sebuah lingkaran berjari-jari r dengan sudut pusat t radian memenuhi

2 2

Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai jari-jari 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran?

Penyelesaian :

Jadi, jarak yang ditempuh sepeda tersebut 188,5m

1.4 Pendahuluan Limit

Mengatakan bahwa

lim

x→c

Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan

limit-limit sepihak. Anggaplah lambang

x

→

c

+ berarti bahwa x mendekati c

dari kanan, dan andaikan

x

→

c

− berarti bahwa x mendekati c dari kiri.

Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan

Mengatakan bahwa xlim→c+f

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka

f

(

x

)

_{adalah dekat ke L.} Contoh

Carilah

lim

x→2

[

|x

|

_]

Penyelesaian

Ingatlah kembali bahwa

[

|

x

|

]

menyatakan bilangan bulat terbesar lebih kecil dari

y

=

[

|

x

|

]

1.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit

Definisi Pengertian yang tepat tentang limit

Mengatakan bahwa

lim

x→c

f

(

x

)

=

L

_{, berarti bahwa untuk tiap}

ε

>

0

_{yang diberikan}

0

<|

x

−

4

|<

δ

⇒|

(

3

x

−

7

)

−

5

|<

ε

Pandang ketaksamaan di sebelah kanan

|

(

3

x

−

7

)

−

5

|<

ε

⇔|

3

x

−

12

|<

ε

⇔|

3

(

x

−

4

)

|<

ε

⇔ |

3

||

x

−

4

|<

ε

⇔ |

x

−

4

|<

₃

ε

Sekarang kita lihat bagaimana memilih

δ

, yakni

δ

=

ε

/

3

. Tentu saja

δ

yang lebih kecil akan memenuhi.

Bukti Resmi

Andaikan diberikan

ε

>

0

. Pilih

δ

=

ε

/

3

. Maka

0

<|

x

−

4

|<

δ

membawakan

|

(

3

x

−

7

)

−

5

|=|

3

x

−

12

|=|

3

(

x

−

4

)

|=

3

|

x

−

4

|<

3

δ

=

ε

Jadi

|

(

3

x

−

7

)

−

5

|<

ε

1.6 Teorema Limit

Bukti teorema limit utama no.4 :

Misalkan dan . Jika terdapat >0 , maka >0.

karena ,

maka terdapat >0 sedemikian sehingga

Karena ,maka terdapat >0 sedemikian sehingga

Pilih maka menunjukkan

Maka disimpulkan

Teorema limit utama digunakan untuk memperoleh penyelesaian limit dari sebuah fungsi. Untuk beberapa kasus fungsi polinom atau fungsi rasional, penyelesaian limit dapat didasarkan teorema subtitusi, yaitu :

Teorema Subtitusi:

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

Dengan syarat pada fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.

Contoh

Mencari penyelesaian

Penyelesaian

Pada kasus fungsi rasional ini nilai penyebut untuk x=2 tidak nol, maka dapat diselesaikan berdasarkan teorema B, sehingga

Teorema Apit :

Misalkan fungsi f,g, dan h memenuhi untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c.

Jika , maka

Contoh

Diketahui untuk semua x mendekati tetapi tidak nol. Maka nilai

?

Penyelesaian

Misalkan

1.7 Kekontinuan Fungsi

Definisi. kekontinuan di satu titik

Fungsi f dikatakan kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terdapat dalam

domain f dan .

Contoh

Misalkan , bagaimana f didefinisikan di x=2 agar kontinu di titik tersebut.

Penyelesaian

Kita definisikan , sehingga

Definisi. Kekontinuan Pada Selang

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik (a,b),

f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.