Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( ) ( ) x < x f x > f x, x, x I. monoton turun pada interval I jika untuk

Definisi. Fungsi f(x) dikatakan

• monoton naik pada interval I jika untuk

( ) ( )

< ⇒ < ∀ ∈

1 2 1 2

,

1

,

2

x x f x f x x x I

• monoton turun pada interval I jika untuk

• monoton turun pada interval I jika untuk

( ) ( )

< ⇒ > ∀ ∈

1 2 1 2

,

1

,

2

x x f x f x x x I _.

Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton

f(x₂) f(x₁) f(x ) f(x₁) f(x₂)

x₁ x₂ x₁ x₂

(a) monoton turun (b) monoton naik

Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :

> ∀ ∈ '( ) 0

f x x I

ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:

ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:

< ∀ ∈ '( ) 0

f x x I

Contoh

Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :

=

¹₃ ³

−

²

− +

( ) 3 4

f x x x x

=

¹₃ ³

−

²

− + ⇔ =

²

− −

( ) 3 4 '( ) 2 3

f x x x x f x x x

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f

' ( )

x

> 0 ∀

x

∈

I

>

⇔

²

− − >

'( ) 0

2 3 0

f x

x x

(+) (-) (+)

⇔ − − >

⇔ + − >

↓ ↓

= − =

2

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

x x

x x

x x

f(x) monoton naik pada selang −∞ −( , 1) dan (3, ) ∞

-1 3

(-) (+)

(+)

f ’

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( ) 0x < ∀ ∈x I

<

⇔ − − <

⇔ + − <

2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

f x

x x

x x

(+) (-) (+)

↓ ↓

f ’

= − =

1 3

x x

f(x) monoton turun pada selang −( 1,3)

-1 3

f ’

Contoh

Tentukan selang kemonotonan

= +

( 1)

2

( ) x

f x x

Jawab

+ + +

= =

2 2

( 1) 2 1

( ) x x x

f x x x x x

2 2

2 2

2 2

2

(2 2)( ) ( 2 1)(1)

'( )

2 2 2 1)

1

x x x x

f x

x

x x x x

x x

x

+ − + +

=

+ − − −

=

= −

• Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( ) 0x > ∀ ∈x I

>

⇔ − >

+ −

⇔ >

2 2

2

'( ) 0

1 0

( 1)( 1)

0 f x

x x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang −∞ −( , 1) dan (1, ) ∞

-1 1

(-) (+)

(-)

f ’ 0

(+)

• Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( ) 0x < ∀ ∈x I

<

⇔ − <

+ −

⇔ <

2 2

2

'( ) 0

1 0

( 1)( 1)

0 f x

x x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang −( 1,0) dan (0,1)

-1 1

(-) (+)

(-)

f ’ 0

(+)

Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya.

Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c

∈

I.

• f(c) disebut nilai ^maksimum

minimum global dari f pada I jika minimum

≥ ∀ ∈

≤

( ) ( ) ( ) ( ) f c f x

x I

f c f x

• f(c) disebut nilai ^maksimum

minimum lokal dari f pada I jika terdapat selang buka yang memuat c sehingga ≥

≤

( ) ( ) ( ) ( ) f c f x

f c f x untuk setiap x pada selang buka tadi.

Min

Max

global Min

global Max Min

lokal

global Max lokal

a b c d e f

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

• Titik pada daerah definisi dimana

kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

• Ada tiga jenis titik kritis :

• Ada tiga jenis titik kritis : a. Titik ujung selang I

b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f c '( ) = 0 )

c. Titik singular ( x = c dimana ^{f c '( )} tidak ada )

Min lokal

Max

global Min

global Max lokal

Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang

Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner

Titik x = e merupakan titik singular

lokal

a b c d e f

Jika >

<

'( ) 0 '( ) 0 f x

f x pada selang (c − ε , )c dan <

>

'( ) 0 '( ) 0 f x

f x pada selang ( ,c c + ε) , maka f(c) merupakan nilai maksimum

minimum lokal f.

f(c)

c

Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)

f(c)

f(c)

Misalkan f c'( ) = 0 _Jika ^<

>

''( ) 0 ''( ) 0 f c

f c maka f(c) merupakan nilai maksimum minimum lokaldari f.

Contoh

Tentukan nilai ekstrim fungsi f x( ) = ¹₃ x³ − x ² − 3 x + 4 Jawab:

Jawab:

= 1 ³ − ² − + ⇔ = ² − −

( ) 3 4 '( ) 2 3

f x 3 x x x f x x x

Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner

=

⇔ − − =

⇔ + − =

⇔ = − =

2

1 2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 d a n 3 f x

x x

x x

x x

= − − +

− = − − − − − + = − − + = − − + + =

3 2

3 2

( ) 1 3 4

3

1 1 1 2

( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5

3 3 3 3

f x x x x

f

− = − − − − − + = − − + = − − + + =

=

³

−

²

− + = − + = − − + = −

( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5

3 3 3 3

1 1

(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5

3 3

f f

Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.

-1 3

(-) (+)

(+)

f ’

• Pada selang −∞ −( , 1) , f x^'( ) > 0 Pada selang −( 1,3) , f x^'( ) < 0 Jadi − = 2

( 1) 5

f 3 merupakan nilai maksimum lokal

• Pada selang −( 1,3) , f x^'( ) < 0 Pada selang (3, ) , ∞ f x^'( ) > 0

Jadi f(3) = −5 merupakan nilai minimum lokal

-1 3

• Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( ) x naik pada interval I.

• Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I bila f '( ) x turun pada interval I

bila f '( ) x turun pada interval I

Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. ^{Jika f "( ) x > 0 , ∀ ∈} x I maka f(x) cekung ke atas pada I

2. ^{Jika f "( ) x < 0 , ∀ ∈} x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Tentukan selang kecekungan dari f x ( ) = x

³

Jawab

=

²

=

'( ) 3 dan "( ) 6

f x x f x x

• f cekung ke atas jika pada f " ( ) x > 0 , ∀ ∈ x I

> ⇔ >

"( ) 0 6 0

f x > ⇔ x >

⇔ >

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)

• f cekung ke bawah jika pada f " ( ) x < 0 , ∀ ∈ x I

< ⇔ <

⇔ <

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)

• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di

sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di

sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau sebaliknya.

• Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik

belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak

diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).

f(c) f(c)

c

(c,f(c)) titik belok

c

(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung

keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

c f(c)

c

(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak

Terjadi perubahan kecekungan

Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan

Kecekungan tapi tidak ada

Titik belok karena f tidak

terdefinisi di c

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. f x ( ) = 2 x

³

− 1

b. f x ( ) = x

⁴

b. f x ( ) = x

c. ^{f x ( ) = x}

¹³

^{+ 1}

a.

^{Dari f x( ) = 2x3 −1 maka} f "( ) 12x ⁼ x .

• Bila f "( )x = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.

• Fungsi f kontinu di x = 0.

• Untuk x < 0 maka Untuk x < 0 maka ff "( )"( )xx < 00 , sedangkan untuk x > 0 maka , sedangkan untuk x > 0 maka

"( ) > 0

f x .

Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

b.

^{Dari f x( ) = x4 maka} f " ( ) 12x ⁼ x² .

•

^{Bila f " ( )x = 0} maka x = 0 merupakan calon dari titik belok

•

Fungsi f kontinu di x = 0

•

Untuk x < 0 dan x > 0 maka f " ( )x > 0 .

•

Untuk x < 0 dan x > 0 maka f " ( )x > 0 .

Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

c.

^{f x( ) = x13 +1 maka = − 5}

3

"( ) 2 f x 9

x .

• Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.

• Fungsi f kontinu di x = 0.

• Untuk x < 0 maka Untuk x < 0 maka ^ff ^{" ( )}" ( )^xx ^{> 0}0 , sedangkan untuk x > 0 maka , sedangkan untuk x > 0 maka

" ( ) < 0

f x .

• Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1.

Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.

1. Jika , tentukan:

a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

( ) 2 6 5 f x = x − x +

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

2. Jika ,tentukan:

a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

3 2

( ) 6 9

f x = x − x + x

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

2. Jika ,tentukan:

a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal

c. Selang kecekungan

3 2

( ) 2 3 12 8

f x = x − x − x +

c. Selang kecekungan

d. Titik belok (jika ada)

Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Penggunaan Turunan

1. Grafik fungsi ( ) ₂ ²

1 f x x

= x

− monoton turun pada selang ….

a. ( ) (^{0,1 ∪ 1,+∞} )

b. (^{−1, 0}

]

^∪ (^1,+∞ )

c. (^{−∞ − ∪ −, 1}) ( ^{1, 0})

d. (^{−∞ − ∪ −, 1}

]

^{( 1, 0)}

e. (^{−∞ − ∪, 1}

] [

^1,+∞)

2. Grafik fungsi ^{f x =}( ) ^x2 naik pada selang ….

2. Grafik fungsi ( ) ₂

1 f x x

= x

− naik pada selang ….

a. (^{−∞ − ∪, 1}

] [ ]

^0,1

b. (−1,0] ∪ (1,+∞)

c. (−∞ − ∪ −, 1) ( 1, 0)

d. (−∞ − ∪ −, 1] ( 1,0) e. (^{−∞ − ∪, 1}] [^1,+∞ )

3. Nilai minimum dari fungsi ^{f x}

( )

^{= x3 −3x2 +2} pada selang[ ]1,3 adalah ….

a. -4 b. -2 c. 0 d. 1 e. 2

4. Titik stasioner fungsi

( )

^{1 3 2 2 3 4}

f x = 3 x − x + x+ adalah ….

a. ^{x = −1} dan x = 3

b. ^{x = −3}danx =1

c. ^{x = −3}danx = −1

d. ^{x =1}dan x = 3

e. Tidak ada titik stasioner

5. Fungsi ^{f x}

( )

^{= 1 x3 −2x2 +3x} + monoton turun pada selang …. ⁴ 5. Fungsi

( )

^{1 3 2 2 3 4}

f x = 3 x − x + x + monoton turun pada selang ….

a. ^{1< <x 3} b. ^x < ∪ >^{1 x 3}

c. ^{x > 3}

d. ^{x <1} e. ^{x < 3} 6. Fungsi

( )

^{1 3 2 2 3 4}

f x = 3 x − x + x+ cekung ke atas pada selang ….

a. ^(−∞,2) b. ^(0,2) c. ^{( 2,− +∞)}

d. ^(2,+∞) e. ^{( 2,0)−}

7. Titik belok fungsi ( ) ¹

³

²

²

^{3 4}

f x

= 3

x

−

x

+ + adalah ….

x

a.

^(3,4)

b.

^{(1,4 )2}₃

c.

^{(2,4 )2}₃

d.

^(0,4)

e.

^{( 2,− −26}₃⁾

3

8. Titik ekstrim maksimum fungsi

^{f x}

( )

^x ₂

¹

x

= − adalah ….

a.

^{(3, )2}₉

b.

^{(2, )1}₄

c.

^(1,0)

d.

^{( 2, )− 3}₄

e.

^{( 1, 2)− −}

9. Fungsi ^{f x}

( )

^x ₂¹

x

= − monoton turun pada selang ….

a. ^(0,2)

b. ^{(−∞,0)∪(2,+∞)} c. ^(3,+∞)

d. ^{(−∞,0)∪(0,3)} d. ^{(−∞,0)∪(0,3)} e. ^(0,3)

10. Fungsi ^{f x}

( )

^x ₂¹

x

= − monoton naik pada selang ….

a. ^(0,2)

b. ^{(−∞,0)∪(2,+∞)} c. ^(3,+∞)

d. ^{(−∞,0)∪(0,3)} e. ^(0,3)