Modul II Limit Limit Fungsi

Modul II

Limit

Konsep limit merupakan suatu konsep dasar yang penting untuk memahami kalkulus diferensial dan integral. Oleh karena itu sebelum kita mempelajari lebih lanjut tentang kalkulus diffrensial dan integral, maka kita terlebih dahulu harus mempelajari dan memahami konsep limit secara baik.

2.1. Limit Fungsi

Suatu fungsi riil y=f(x) dikatakan mempunyai limit l pada x=a bila untuk sembarang bilangan >0 (bagaimana pun kecilnya) terdapat bilangan >0, sedemikian rupa sehingga | f(x) – l| <  untuk |x-a| < .

Secara ilmu ukur dapat digambarkan sebagai berikut:

X₁ a-d a x a+d X₂ y l l-e l+e Y=f(x) f(x) didefinisikan pada x1<x<x2 |x-a|<  a-<x<a+ |y-l|<  l-<y<l+

Definisi diatas dengan singkat ditulis lim f(x) a x

Berarti f(x)  1 bila xa

Dalam kalkulus dan penggunaannya kita sering tertarik akan nilai-nilai f(x) jika x dekat sekali dengan suatu bilangan a, tetapi x tidak perlu sama dengan a. pada kenyataannya sering dijumpai bahwa bilangan a tidak terdefinisi. Secara singkat kita pelajari bagaimana perangai f(x) jika x mendekati tetapi xa. pakah fungsi f(x) mendekati suatu nilai l. Jika jawabnya ya, maka dapat ditulis :

   ( ) lim x f a x Pendekatan

Istilah-istilah mendekati, didekati dan pendekatan kita tinjau dari dua arah yaitu dari

kiri dan dari kanan.

Misal : 5 didekati dari 4 (dari kiri) 5 didekati dari 6 (dari kanan)

Jadi 5 ditinjau dari interval/selang tertutup 4x6, dimana 5 mewakili salah satu nilai

xR. 4  5  6

5 didekati 5- dari kiri 5 didekati 5+ dari kanan

Bila 5 ditinjau dari interval terbuka.

5-<5<5+ dimana  diambil bilangan positif yang kecil

      5_ 5 5_

Titik-titik pada sumbu x disekitar 5 yang dibatasi (5-)<5<(5+) itu disebut daerah : {x|5-<x<5<5+, xR}

Daerah  itu adalah interval dari domain suatu fungsi/wilayah fungsi. Juga masih dapat dibedakan

1. Daerah  kiri dengan interval 5-<x5 2. Daerah  kanan dengan interval 5x<5+

Secara Umum kita nyatakan Daerah  dari f(x) sekitar x=a ialah

{x|a-<x<a+; xR} Daerah  kiri ialah {x|a-<xa; xR} Daerah  kanan ialah {x|ax<a+; xR}

Kalau diberikan fungsi f(x)=x3_{, maka untuk x mendekati 2, fungsi akan bernilai}

lim f(x) = lim x3 _{= 2}3 _{= 8} x2 x2 Kalau diketahui 3 3    x x ) x (

f _{, maka untuk x mendekati 4, fungsi akan bernilai:}

7 1 3 4 3 4 3 3 4 lim        x x x

pernyataan xa mengandung arti xa.

Untuk menjelaskan konsep limit fungsi dari suatu fungsi ada empat elemen yang harus diperhatikan:

1. Variabel bebas x

2. Fungsi x, f(x) atau variabel terikat y=f(x) 3. Konstanta l

4. Konstanta a

Dari ke empat elemen itu kita ingin mencari berapa nilai yang mendekati variabel terikat y=f(x) bila variabel bebas x mendekati nilai tertentu, katakan a. Pernyataan variabel bebas x mendekati nilai tertentu (konstanta a) meruapakan suatu limit, bila nilai variabel x berubah-ubah sedemikian rupa sehingga selisih absolut x dan a (|x-a|) menjadi lebih kecil daripada bilangan yang positif yang telah ditentukan terlebih dahulu.

Pernyataan x mendekati a dilambangkan dengan xa.

Jadi, jika nilai l, ketika x mendekati a, tetapi xa, maka l adalah limit dari f(x), ketika

x mendekati a. Hal ini dapat ditulis: lim f(x) = l atau f(x)  l ketika xa xa

Dalam contoh diatas 8 2 lim ₃

  x

x , ini berarti f(x) mendekati 8, ketika x mendekati, tetapi tidak mencapai 2.

2.2. Limit Kiri dan Limit Kanan

Jika x mendekati a dari kiri, maka ditulis xa. Jika x mendekati a dari kanan, maka ditulis xa+_{, Secara limit kedua pernyataan ditulis sebagai berikut:}

1. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kiri.

xa

-2. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kanan.

xa+

3. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kiri dan limit kanan ada dan sama.

xa

Contoh: Diketahui :

f(x) = x ; jika x1 2; jika x>1

Tinjaulah f(x) disekitar titik x=1 Penyelesaian:

lim f(x) = lim x = 1

x1-1 _xx-1

lim f(x) = lim 2 = 2

x1+1 _xx+1

++ lim f(x) tidak ada , karena limit kiri  limit kanan

2.3. Teori Tentang Limit

Teori atau suatu sifat dari suatu limit dapat membantu kepada kita dalam pencarian nilai limit dari suatu fungsi, jika ada. Berikut ini akan disajikan sifat-sifat limit berserta contoh-contohnya:

1. Limit dari suatu konstanta k adalah k itu sendiri, jika f(x)=k; k=konstanta.

xa

Contoh:

lim 10 = 10 x3

2. Suatu konstanta dapat dipindahkan kembali disebelah kiri tanda limit.

lim k f(x) = k lim f(x)

xa xa

Contoh:

lim 3x2 _{= 3 lim x}2 _{= 3(2)}2 _{= 12}

xa xa

3. Limit dari suatu penjumlahan atau pengurangan adalah penjumlahan atau pengurangan dari limit-limit tersebut.

lim [f(x)g(x)] = lim f(x)  lim g(x)

xa xa xa

Jika lim f(x)=A dan lim g(x)=B

xa xa

maka lim [f(x) g(x)] = lim f(x)  lim g(x)

xa xa xa

= A  B Contoh:

lim (x3_{+5x+10) = lim x}2 _{+ lim 5x + lim 10}

x3 x3 x3 x3

= 32_+5(3)+10 = 9+15+10 = 34

4. Limit dari suatu hasil kali adalah perkalian dari limit-limit tersebut.

lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x)

xa xa xa

Jika lim f(x)=A dan lim g(x)=B

xa xa

maka lim [f(x) .g(x)] = lim f(x).lim g(x)

xa xa xa

= A.B Contoh:

lim (x+4)(x-1) = lim (x+4) + lim (x-1) x2 x2 x2

= 6(1) = 6

5. Limit dari suatu hasil bagi adalah hasil bagi dari limit-limit tersebut, bila pembaginya atau penyebutnya bukan nol.

7 6 1 7 13 2 3 4 3 2 4 3 0 2 2 2 2 2                         ) x ( x lim ) x ( x lim ) x ( ) x ( x lim : Contoh jikaB , B A ) x ( g a x lim ) x ( f a x lim ) x ( g ) x ( f a x lim maka , B ) x ( g a x lim dan , A ) x ( f a x lim Jika \ ) x ( g a x lim ) x ( f a x lim ) x ( g ) x ( f x lim

6. Limit dari suatu pangkat dari f(x) adalah pangkat dari limit f(x) itu.









9 3 2 5 2 5 2 2 2 _{ }       _                          ) x ( x lim ) x ( x lim : Contoh A ) x ( f a x lim ) x ( f a x lim maka , A ) x ( f a x lim Jika ) x ( f a x lim ) x ( f a x lim n n n n n

7. Limit akar n dari suatu f(x) adalah akar pangkat n dari limit fungsi tersebut.

el Re bilangan adalah , A jika , A ) x ( f a x lim ) x ( f a x lim maka , A ) x ( f a x lim Bila ) x ( f a x lim ) x ( f a x lim n n n n n n         

3 4 ) 2 ( 1 lim ) 3 ( 1 lim ) 2 ( ) 3 ( 1 lim ) 2 )( 1 ( ) 3 )( 1 ( 1 lim 2 3 2 1 lim . 3 0 4 0 4 4 4 ) 2 ( 2 lim ) 4 ( 2 lim 2 4 2 lim . 2 1 5 ) 2 ( 4 4 ) 5 4 ( 2 lim . 1 : 5 25 9 16 ) 9 ( 4 lim ) 9 ( 4 lim : 2 2 2 2 2 2 9 2                                                 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x contoh Beberapa x x x x Contoh 112 ) 7 ( ) 4 ( ) 3 2 ( 2 lim ) 2 ( 2 lim ) 3 2 ( 2 lim 2 2 lim ) 3 2 ( 2 lim ) 2 ( 2 lim ) 3 2 ( ) 2 ( 2 lim . 5 4 3 4 9 4 lim 5 4 lim 5 4 lim . 4 3 3 3 2 1 1 2 1 1                            _        _         _                x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4 ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 1 lim 1 3 2 1 lim . 8 2 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 lim 1 1 1 lim . 7 8 1 4 16 1 4 1 16 lim ) 4 )( 4 ( ) 4 ( 16 lim 16 4 16 lim . 6 2 2                                  x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Perluasan teori 3 dan 4 untuk limit dari sejumlah berhingga fungsi diberikan pada rumus berikut:

Jika lim fi(x) = Li, i = 1,2,3,…n, maka:













n n n n n n L ) x ( f a x lim Khususnya , L ... L . L ) x ( f )... x ( f ) x ( f a x lim . L ... L L ) x ( f ... ) x ( f ) x ( f a x lim .             2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 Latihan Soal

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

7 4 9 3 lim . 5 2 4 4 lim . 4 4 4 3 3 4 lim . 3 2 3 1 2 1 lim . 2 1 4 2 lim . 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2                     x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 2 2 2 1 1 1 lim . 10 1 2 lim . 9 2 2 2 2 lim . 8 4 16 4 lim . 7 5 6 9 3 lim . 6                      x x x x x x x x x x x x x x

2.4. Limit Tak Hingga dan Limit Di Tak Terhingga

1. Limit tak hingga

Jika f adalah suatu fungsi yang tak terdefinisi pada selang | interval terbuka yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri, dapat terjadi kasus dimna nilai fungsi f, f(x) membesar tanpa batas atau mengecil tanpa batas untuk nilai-nilai x yang cukup dekat ke a

Contoh:

Perhatikan f(x) =

x 1

yang gambar grafiknya sebagai berikut:

X Y

4 4

x 1 2 1 4 1 10 1 …. 0 …. 10 1  4 1  2 1  1 f(x) 1 2 4 10 …. …. …. -10 -4 -2 -1

Nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas bilamana x makin dekat ke 0 dari arah positif (sebelah kanan 0). Dalam kasus ini kita katakan bahwa:

      _x  _x lim ) x ( f x lim 1 0 0

Nilai f(x) akan semakin mengecil bilamana x mendekati ke 0 dari arah negatif (dari sebelah kiri). Dalam kasus ini kita katakan bahwa:

      _x  _x lim ) x ( f x lim 1 0 0

Dengan demikian secara umum:

1. Fungsi y=f(x) dikatakan membesar tanpa batas (x+), bilamana x mendekati a dan ditulis

a x : untuk , ) x ( f : atau , ) x ( f a x lim      

jika untuk setiap >0 terdapat >0

2. Fungsi y = f(x) dikatakan mengecil tanpa batas, bilamana x mendekati a dan ditulis : a x : untuk , ) x ( f : atau , ) x ( f a x lim      

Jika untuk setiap >0 terdapat >0 sedemikian rupa sehingga 0<|x-1|<

Catatan:  x f a x lim 

Ada, maka limit kiri dan limit kanan ada, sehingga limit kiri=limit kanan. Tidak Ada

- Limit kiri ada, limit kanan ada, tetapi limit kiri  limit kanan - Limit kiri atau limit kanan adalah limit tak berhingga.

Rumus dibawah ini merupakan dasar untuk menghitung limit tak hingga. Jika n bilangan asli, maka:

ganjil n bilamana genap n bilamana , x x lim . x x lim . n n 1 0 2 1 0 1      

Dari kedua rumus tersebut dapat disimpulkan

genap n bilamana , x x lim n   1 0

2.4.1. Limit Di Tak Terhingga

Jika f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang [a,+ ] dapat terjadi suatu kasus dimana nilai-nilai f(x) akan mendekati suatu nilai tertentu l bilamana variabel x membesar tanpa batas (x +). Kasus yang sama dapat juga terjadi pada fungsi yang terdefinisi pada selang | interval [-,a] yaitu nilai-nilai f(x) akan mendekati suatu nilai tertentu l, bilamana variabel x mengecil tanpa batas (x-) Kedua kasus diatas berturut-turut kita nyatakan dengan simbol.

        x f(x) lim dan , ) x ( f x lim

2.4.2. Teorema Limit Di Tak Hingga

Bila f dan g masing-masing adalah fungsi yang terdefinsi pada interval

terbuka [a,+] dengan g(x) B

x lim dan , A ) x ( f x lim      

0 1 lim . , 0 1 lim . : , . 5 0 : , ) ( ) ( lim . 4 ) ( . lim : tan , ) ( : , ) ( ). ( lim . 3 ) ( lim ) ( lim . 2 lim lim . 1                                      n n X x b dan X x a maka asli bilangan suatu n Jika x dengan diganti x bilamana juga berlaku diatas Rumus B bila B A x g x f x kA x f k x maka kons k k x g bilamana Khususnya AB x g x f x B A x g x x f x B A x x Beberapa Contoh: 3 1 9 0 0 3 15 9 10 3 2 3 lim 15 9 10 2 3 lim . 2 7 1 0 0 0 7 1 2 15 7 7 lim 2 15 7 7 lim . 1 2 2 2 2 2 2 2 2                                 x x x x x x x x x x x x x x x                                    0 3 3 1 4 6 1 1 2 6 3 lim 3 4 6 1 2 6 3 lim . 4 0 0 1 0 0 1 1 4 1 lim 1 4 lim . 3 6 5 4 6 4 3 2 2 5 2 3 4 6 3 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Soal Latihan









x a x lim . x b x lim . a x a x x lim . x x x x x x x lim . x x x x x x x x lim . x x x x x x lim . 1 1 6 10 3 2 5 4 3 5 16 15 1 3 2 5 3 4 3 3 4 6 10 3 6 3 2 2 6 3 1 3 1 3 3 2 2 2 3 2 5 2 3 4 6 2 3 4 2 4                                        

2.5. Beberapa Limit Fungsi Yang Istimewa









a x a x x e x x x x e x x e x x x x x ln 1 0 lim . 5 1 1 0 lim . 4 1 1 ln 0 lim . 3 1 0 lim . 2 1 1 lim . 1 1                       riil bilangan k , 0 lim . 8 1 0 lim . 7 kanan sebelah di ada hanya ln grafik kanan, limit ada hanya Disini 0 ln 0 lim . 6            x k x e x x X x x f(x) x x x Beberapa Contoh:

       









lne y a y lim a y y lim a x x lim x : bila , y : maka , y x : atau , y x : misal a x x lim . e x x lim x x lim x x lim x x lim . e x x lim x x lim x x lim x x x lim . e x x lim x x lim x x lim . y y x x x x x x x x x x x x x                                  _                                                                                                                   1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

2.6. Limit Trigonometri

Limit trigonometri merupakan limit yang mengandung bentuk trigonometri, seperti sinus, cosinus dan tangen. Satu rumusan yang paling dasar dalam limit trigonometri adalah: 1 0 lim , 1 0 lim . 2 1 sin 0 lim , 1 sin 0 lim . 1         tgx x x dan x tgx x x x x dan x x x

Dari rumus ini dapat diturunkan sejumlah rumus dalam limit trigonometri.

d c b a dx cx tgbx ax x b a bx tgax x bx ax x b a tgbx tgax x bx ax x b a tgbx ax x bx tgax x b a bx ax x bx ax x                       sin sin 0 lim . 5 sin 0 lim sin sin 0 lim . 4 0 lim sin sin 0 lim . 3 0 lim 0 lim . 2 sin 0 lim sin 0 lim . 1

Beberapa Contoh: 1 6 6 0 lim . 3 3 0 lim 2 1 2 1 . 6 6 3 3 0 lim 6 3 0 lim . 2 3 ) 1 ( 3 3 3 sin 0 lim 3 3 3 sin 3 0 lim 3 sin 0 lim . 1                   x tg x x x x tg x x tg x x x tg x x tg x tg x x x x x x x x x x

 





 

2 1 1 2 1 0 lim 2 1 2 1 0 lim 0 lim 8 4 0 lim 8 1 sec 4 0 lim 8 4 sec 2 0 lim . 4 6 1 1 6 1 sin 0 lim 6 1 2 12 1 sin 6 1 0 lim 0 0 2 1 2 1 . 4 . 3 2 1 sin 2 0 lim 3 cos 1 0 lim . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                       x tgx x x x tg x x x tg x x x tg x x x x x x x t t t x x x t maka x Jika t x misal x x x x x x Soal Latihan









x x tg x x x x x x x x x x x x Sin x 2 3 0 lim . 3 3 sin 5 sin 0 lim . 5 1 sin 1 1 sec 3 0 lim . 2 2 1 2 cos 0 lim . 4 3 cos 1 7 0 lim . 1 2 2 2 2          

2.7.

Kontinuitas Fungsi

Definisi:

Sebuah fungsi y=f(x) dikatakan kontinu pada x=a, jika untuk suatu bilangan >0 (bagaimanapun kecilnya), dapat ditemukan bilangan >0 sedemikian rupa sehingga |

f(x)-f(a)<  untuk |x-a|<. Dengan perkataan lain f(x) kontinu pada x=a bila ketiga syarat-syarat dibawah ini dipenuhi:

2. f(x) ada 3. lim f(x) = f(a) xa f(x) X Y x a

ε

δ

Persyaratan ini mengandung arti bahwa sebuah fungsi hanya mungkin kontinu pada titik yang terkandung dalam daerah definisinya. Sebuah fungsi yang kontinu di setiap titik dalam suatu interval/selang disebut kontinu dalam interval tersebut. Artinya suatu fungsi f(x) disebut kontinu didalam suatu interval, jika fungsi tersebut kontinu disetiap titik dari interval tersebut. Apabila sebuah fungsi yang gagal memenuhi salah satu dari tiga syarat tersebut diatas adalah suatu fungsi yang diskontinu.

Jika lim f(x) = f(a), maka f(x) disebut kontinu di sebelah kanan pada x=a xa+

Jika lim f(x) = f(a), maka f(x) disebut kontinu di sebelah kiri pada x=a. xa

-Dengan demikian dapat dikatakan f(x) kontinu, bila kontinu disebelah kiri dan kontinu disebelah kanan.

Sifat-Sifat Fungsi Kontinu

1. Jika f(x) dan g(x) kontinu di titik x=a maka f(x)g(x); f(x) g(x) dan _gf₍(_xx₎)

kontinu pula untuk g(a)0.

2. Polinom dalam x kontinu untuk semua harga x.

3. Fungsi rasional dari x kontinu untuk semua harga x, kecuali untuk x yang memberikan harga nol pada penyebut.

4. Jika f(x) kontinu dalam interval a  x  b dan jika f(a) f(b), maka untuk sembarang bilangan c antara f(a) dan f(b) akan terdapat paling sedikit satu harga x misalkan x=xo yang memberikan f(xo)=c.

b a x0 c f(b) f(a) 0 Y X a x0 b f(b) f(a) 0 Y X

5. Jika f(x) kontinu dalam interval a  x  b, maka f(x) akan mempunyai nilai

terendah m dan nilai tertinggi M dalam interval tersebut.

b a M m 0 Y X a x0 b M m 0 Y X Beberapa Contoh

1. Jika fungsi f mempunyai persamaan.



2



2 3 10 3 2      _;jikax x x x f(x) = 1 ; jika x=-2

Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut. Penyelesaian: 1. f(2) = -1



2



3 10 3 2 lim ) ( 2 lim 2         x x x x x f x











3 1 2 3 5 2 3 5 2 lim 2 3 2 5 2 lim                x x x x x x 2. f(-2)  lim f(x) x-2

Berarti f(x) tidak kontinu (diskontinu) pada x=-2

2. Diberikan fungsi g diberikan dengan persamaan g(x)=5x.3x-1 _{+ 3xSinx.}

Apakah fungsi g(x) kontinu di titik x=1. Penyelesaian:

1. g(1) = 5.(1).31-1 _{+ 3.(1).(0).1 = 5.3}0 _{+ 0 = 5}

2. Lim f(x) = lim 5.x.3x-1 + 3xSinx = 5(1)30 _{+ 0 = 5}

x1 x1

3. g(1) = lim f(x)

x1

Berarti fungsi g(x) kontinu pada x=1.

3. Diberikan fungsi f mempunyai persamaan berikut:

|x-3| ; Jika x3

f(x) =

2 ; Jika x=3

Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian: 1. f(3) = 2 2. lim |x-3| = 0 x3- _{lim f(x) = 0} x3 lim |x-3| = 0 x3+ 3. f(3)  lim f(x)  f(x) diskontinu di titik x=3 0 3 2

Soal Latihan

1. Diberikan fungsi dengan persamaan. (2x+1) ; untuk x<3

f(x) =

(10-x) ; Jika x3 a. Tentukan lim f(x) dan lim f(x)

x3- _x3+

b. Apakah lim f(x) ada

2. Selidikilah apakah ( ) ₍ 1₂₎   x x f _{kontinu di x=2}

3. Diberikan fungsi f dengan persamaan



2



2 4 2    x Jika ; x x f(x) = (10-x) ; Jika x  3 Periksalah kontinuitas fungsi tersebut. 4. Selidikilah kontinuitas fungsi berikut:

3 3 9 2    _;Jikax x x 6 ; Jika x = 3 5. Selidikilah kontinuitas fungsi

1 1 2    x x y

Untuk x=1 dan gambarkan grafiknya!

6. Diberikan fungsi f dengan persamaan

2 2 1 _  ;Jikax x f(x) = 3 ; Jika x  2

Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya!

2.8. Bentuk Tak Tentu dan Aturan L’ Hospital

Limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk

~ ~ ; 0 0 . Untuk

menghitung limit tersebut digunakan aturan L’Hospital. f(x) =

Bentuk

0 0

dengan aturan L’Hospital, bila a adalah suatu bilangan

) ( ) ( lim x g x f a

x , maka f(x) dan g(x) dideferensialkan den g(x)0 untuk setiap x pada selang 0<|x-a|<  x g x f a x x a lim dan 0 lim  

 , maka

 

 

(Adaatau Tak berhingga)

lim 1 1 L x g x f a x  Contoh : 1.





12 1 3 2 lim ) 2 ( 8 2 lim 2 8 2 lim 2 1 1 3 3           x x x x x x x x 2. 7 1 3 2 2 lim 2 10 3 2 lim 2            x x x x x x Bentuk   Bila

_{ }

 

 

 

x L(Ada) g x f x x g x f x   1  1 lim lim Contoh: 1. 2 0 2 18 2 lim 2 6 2 lim 1 3 4 lim 2 2 2 2                 x x x x x x x x x x 2. 0 2 0 lim 2 1 0 lim 1 ln 0 lim 2 3 2         x x x x x x x x

(Bentuk di atas suatu bentuk  