Textbook INF206 Text Book Limit Fungsi

5 4 6 x x 4 x lim 2 2 2

x _{ } 





LIMIT FUNGSI

Definisi Intuitif

Misalkan y=f(x) merupakan sebuah fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:

• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L

Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama dengan a

• Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

Contoh :

, jika dihitung secara numerik maka hasilnya dapat dilihat pada tabel dan grafik berikut :

0.8 2 8 . 0 2 0.80004 2.001 79996 . 0 999 . 1 0.80392 2.1 7959 . 0 9 . 1 81818 . 0 5 . 2 7778 . 0 5 . 1 83333 . 0 3 75 . 0 1 ) ( ) (     x f x x f x

Definisi Limit Secara Teoritis

Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R, ditulis

jika dan hanya jika, untuk e > 0, terdapat d > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < d maka |f(x) - L| < e

lim

x→af(x)=L

f(x)= x

2

−4 x2_+x−6

x

lim

Sifat-sifat Limit Fungsi

Bila limx→af(x)=L dan limx→ag(x)=M , dengan a sebarang bilangan riil, boleh -  dan + 

Maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. limx→a kf(x)=klimx→af(x)=kL _{, k adalah sebarang bilangan}

2. limx→a(f(x)±g(x))=limx→af(x)±limx→ag(x)=L±M _{(sifat penjumlahan)}

3. limx→a(f(x).g(x))=limx→af(x). limx→ag(x)=L.M _{(sifat perkalian)}

4. limx→a(f(x)) n

=(lim

x→af(x)) n

=Ln

, n bilangan asli (1,2,3…..) (sifat perpangkatan)

5. lim x→a

1 g(x)=

1 limg(x)

x→a

= 1 M

, jika M≠0

6.

lim

x→a

f(x) g(x)=

limf(x)

x→a

limg(x)

x→a

= L M

, bila M  0 (sifat pembagian)

7. limx→a n

√

f(x)=n

√

lim

x→af(x)= n

√

L

, asalkan n

√

L bilangan riil (sifat akar)

8. limx→aln f(x)=ln limx→af(x)=ln L (sifat logaritma natural)

9. limx→a p f(x)

=plimx→a f(x)_=pL

, asalkan PL _{bil.riil, P sebarang bil. Riil (sifat}

eksponensial)

10 .Misalkan lim

x→ag

(x)=L dan lim

x→Lf

(x)=f(L) maka

lim

x→af(g(x) )=f (limx→ag(x))=f(L). (Hk . Substitusi/ Limit Komposisi)

Teorema Limit

1. Teorema Limit trigonometri :

2. Hukum Apit : Misalkan f(x)  g(x)  h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan lim

x→0 sinx

maka Contoh : Bukti : 0 dan 1 1 sin 1 , 0

Untuk 2

     x x x

Apit).

Prinsip

an

(menggunak

0

1

sin

lim

maka

0

lim

dan

0

)

lim(

karena

2 0 2 0 2 0









  

x

x

x

x

x x x

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) :

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) :

Teorema : jika dan hanya jika :

Contoh :

lim

x→ag(x)=L

lim

x→af(x)=L=limx→ah(x)

Tunjukkan lim

x→0x 2_sin1

x=0.

−

x

2

≤

x

2

sin

1

x

≤

x

2

lim

x→a−

f(x)=L

lim

x→a+f

(x)=L

lim

x→a−

f (x)=L=lim x→a+

f (x)

lim

x→a

f

(

x

)=

L

f(x)=

{

1, x≥0 −2, x<0 . Untuk x>0, lim

x→0+f

(x)=lim x→0+1

=1. limit kanan. Untuk x<0 , lim

x→0−

f(x)=lim x→0−

(−2)=−2. limit kiri. Maka lim

Contoh soal :

(1) lim x→1(x

2₊₁₎₌₁2_{+1=2 .}

(2) lim x→0|x|=0 .

(3) lim x→0

1

x2 does not exist .

(4) f(x)=

{

1, x≥0 −1, x<0 lim

x→0f(x) does not exist .

(

5

)

lim

x→3

x

2

−

9

x

−

3

;

Disini

f

(

x

)=

x

2

−

9

x

−

3

⇒

f

(

3

)

tidak terdefinisi.

Tetapi

f

(

x

)=

x

2

−

9

x

−

3

=

(

x

−

3

)(

x

+

3

)

x

−

3

=

x

+

3 , untuk

x

≠

3 .

Jadi

lim

x→3

x

2

−

9

x

−

3

=

lim

x→3

(

x

+

3

)=

3

+

3

=

6 .

( a ) limx→1

3x+5 4x−2=

3 . 1+5 4 . 1−2=

8 2=4

( b ) xlim→±∞

x+1 x =xlim→±∞

(1+1

x)=1

( c )

lim

x→2

x

2

−

4

x

−

2

=

lim

x→2

(

x

+

2

)(

x

−

2

)

(

x

−

2

)

=

4

( d ) lim 1/x sin2_{x = lim 1/x . lim sin}2_{x = 0 . lim sin}2_{x = 0}

x x x x

( e ) lim x 2 _{– x – 2 = lim (x+1)(x-2) = 2 + 1 = 3}

x2 x – 2 x2 x – 2

( f ) lim x 3 _{– 8 = lim (x-2).(x +2x+4) = lim 2}2 2 _{+ 2.2 + 4 = 12}

x2 x - 2 x2 (x-2) x2

( g ) lim t 2 _{– 5t + 6 = lim (t-2) (t-3) = (2-3) = -1/3}

t2 t2 _{– t – 2 t2 (t-2) (t+1) (2+1)}

( h ) lim x 2 _{– 1 = lim (x+1) (x-1) = lim x + 1 = 2}

x1  x – 1  x1 (x-1) x1

= lim (x+1) (x-1) = lim x + 1 = -2 x-1 -(x-1) x-1 -1

( i ) lim (25 – x2_{) = (25 – 16) = 9 = 3}

x4

( j ) lim x 3 _{– 27 = lim (x-3) (x}2 _{+3x+9) = 27 = 9/2}

x3 x2 _{– 9 x3 (x-3) (x+3) 6}

( k ) lim (x+h)2 _{– x} 2 _{= lim x +2hx+h}2 2 _{– x} 2 _{= lim 2hx + h}2 _{= (2x+h) = 2}

h0 h h0 h h0 h

( l ) lim 1 = lim 1 = 1/3 x0 3 + 21/x _{x0 3 + 0}

= lim 1 = 0 x0 3+

( m ) lim ( x+ h )3 _{– x} 3 _{= lim ( x} 3 _+3x 2 _{h + 3xh}2 _{+ h} 3 _{) – x}3

h0 h h0 h = lim 3x 2 _{h + 3xh}2 _{+ h} 3 _{h0 h}

= lim ( 3x2 _{+ 3xh + h}2 _{) = 3x}2

( o ) lim ( x2 _{– 1 ) ( x – 3 ) = lim ( x}2 _{– 1 ) . lim ( x – 3 )}

x 2 x2 x2 = ( 4 – 1 ) . ( 2 – 3 ) = -3

( p ) lim 3x3 _{+ 5x – 7 = lim 3 + 5/x – 7/x}2 3 _{= 3 (dikali 1/x}3₎

x 10x3 _{– 11x}2 _{+ 5x x 10 – 11/x + 5/x}2 ₁₀

( q ) lim ln ( 1 + x ) = lim (1/x ) (ln ( 1 + x )) x0 x x0

= lim ln ( 1 + x ) 1/x _{= ln lim ( 1 + x )} 1/x _{= ln 1}

x0 x0

( r ) lim [( x2 _{+ 1 )( 3x – 1 )] = lim ( x}2 _{+ 1 ) . lim ( 3x – 1 )}

x 2 x 2 x 2

= [ lim (x2_{) + lim (1)] [ lim (3x) – lim (1)]}

x 2 x 2 x 2 x 2 = [ lim (x2_{) + 1 ] [ 3 lim x – 1]}

x 2 x 2 = [ 22_{+1 ] [ 3(2)–1 ] = 25}

( s ) lim 3x 4 _{– 8 = lim (3x}4 _{– 8) lim (3x}4_{) – lim 8}

x-2 x3 _{+ 24 x  -2 = x  -2 x  -2____}

lim (x3_{+24) lim (x}3_{) + lim 24}

x -2 x -2 x -2 = 3 lim (x4_{) – 8}

x  -2______ lim (x)3 _{+ 24}

x -2

= 3(-2)4 _{– 8 = 5 = 2,5}

-8+24 2

( t ) lim (2t3 _{+ 15)}13 _{= lim (2t}3_{) + lim (15)}13

t-2 t-2 t-2

= 2 lim (t3_{) + 15} 13 _{= [ 2(-2)}3 _{+ 15 ]}13 _{= (-1)}13 _{= -1}

( u ) lim ( 2w4 _{– 9w}3 _{+ 19 )}-1/2 _{= lim (2w}4_{) – lim (9w}3_{) + lim (19)} -1/2

w5 w5 w5 w5 = 2 lim (w)4 _{– 9 lim (w)}3 _{+ 19} -1/2 _{w5 w5}

= 2 (5)4 _{– 9(5)}3 _{+ 19} -1/2

= (144)-1/2

=  144  1/12

lim f(x) + lim g(x) xa xa = 2(3) – 3(-1) = 9 = 4,5 (3) + (-1) 2 dengan f(x) = 3 , g(x) = -1

( w ) lim f(x) – f(2) = lim ( 3x 2 _{– 5 ) – (7)}

x2 x – 2 x2 x – 2 = lim 3x 2 _{– 12}

x2 x – 2

= lim 3( x+2 )( x-2 ) = 3(2+2) = 12 x2 x - 2

dengan f(x) = (3x2 _{– 5)}

Kontinuitas Fungsi

Definisi

Fungsi f (x) di sebut kontinu di x = x0 jika :

i. f ( x0 ) terdefinisi

ii. xlim→x₀f(x) _ada

iii. xlim→x₀f(x) _{= f(x}

0)

Fungsi f (x) disebut kontinu di x = x0 jika ketiga syarat di atas terpenuhi. Tetapi jika

salah satu atau lebih persyaratan tidak terpenuhi maka di sebut diskontinu.

Secara grafik, fungsi f kontinu di

x

=

x

0 _{jika grafik fungsi f pada suatu}

interval yang memuat x0 tidak terpotong di titik (x0,f(x0)) . Jika fungsi f tidak

kontinu di x0 maka dikatakan f diskontinu di x0. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di

setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2

karena xlim→x₂ f(x) _{tidak ada, diskontinu di x}

3 karena nilai

lim

dengan nilai fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai

fungsi di titik ini tidak ada.

y

=

f

(

x

)

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh :

(a). Fungsi f dengan rumus

f

(

x

) =

x

2

−

1

x

−

1

_{diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak}

terdefinisi.

(b). Fungsi HeavysideH yang didefinisikan oleh

H

(

x

) =

{

0

jika x

<

0

1

jika x

≥

0

diskontinu di x = 0 sebab xlim→0 H (x) _{tidak ada.}

(c). Fungsi g dengan definisi:

g(x)=

{

x2_{− 4}

x − 2 jika x ≠2

1 jika x =2









a x1 x2 x3

x4 _Gambar b

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan

lim

x→2

g

(

x

) =

x

lim

→2

x

2

−

4

x

−

2

=

x

lim

→2

(

x

+

2

) =

4

_{. Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1}

sebab xlim→1

g(x) =3=g(1)

.█

Sifat-sifat Dasar Fungsi Kontinu.

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini

Contoh : Diberikan

f

(

x

) =

√

1

−

x

2

.

Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada

(

− ∞

,

−

1

)

dan pada

(

1

,

∞

)

sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

lim

x→a

f

(

x

)

=

lim

x→a

√

1

−

x

2

=

√

lim

x→a

(

1

−

x

2

)

=

√

1

−

a

2

=

f

(

a

)

Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

lim

x→ −1+

f

(

x

) =

0

=

f

(−

1

)

dan

lim

x →1−

f

(

x

) =

0

=

f

(

1

)

sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu

pada

[

−

1,1

]

.█

Contoh :

kiri di a jika

lim

x→a−

=

f

(

a

)

.

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di

(a).

f

(

x

)

=

x

2

−

x

+

1

kontinu pada R .

(b).

f

(

x

) =

x

3

−

5

x

x

2

−

1

_{kontinu pada}

{

x

∈

_{R ;}

x

≠

1

, x

≠−

1

}

_.

(c).

f

(

x

)

=

√

x

−

1

kontinu pada

[

1,

∞)

.█

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

a.

Selidiki kekontinuan fungsi f(x) = 2x + 3 di titik x0 = 1

Jawab : ( i ) f(x0) = f(1) = 2(1) + 3 = 5

(ii) limx→1 2x+3 = 2(1) + 3 = 5

(iii) limx→1 _2x+3

=

_{f(1) = 5}

Karena ke tiga (3) syarat terpenuhi maka f(x) kontinu pada x = 1

b. Selidiki kekontinuan fungsi f(x)=

(x2−4) (x−2)

Jawab : (i) f(2)=

(22−4) (2−2)=

0

0 _{tidak terdefinisi}

Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka f(x) diskontinu di x = 2

c. Selidiki kekontinuan fungsi

f (x)=

{

x2₋₄

x−2 untuk x≠2 4 untuk x=2

Jawab : (i) f(2)=4

(ii)

lim

x→2

f

(

x

)=

lim

x→2

x

2

−

4

x

−

2

=

lim

x→2

(

x

+

2

)(

x

−

2

)

(

x

−

2

)

=

4

(iii)

lim

x→2

f

(

x

)=

lim

x→2

x

2

−

4

x

−

2

=

lim

x→2

(

x

+

2

)(

x

−

2

)

(

x

−

2

)

=

4

_{= f(2)}

Karena ketiga syarat terpenuhi maka f(x) kontinu pada x = 2

Contoh 3.7.9

Hitung

x

lim

→1

ln

(

1

+

x

)

.

Penyelesaian: Namakan

f

(

x

)

=

ln

x

dan

g

(

x

)

=

1

+

x

. Karena x

lim

→1

g

(

x

) =

2

dan f(x) kontinu di x = 2 maka

lim

x→1

ln

(

1

+

x

)

=

lim

x→1

f

(

g

(

x

)

)

=

f

(

lim

x→1

g

(

x

)

)

=

ln

(

lim

x→1

g

(

x

)

)

=

ln 2

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. h(x) =

√

x+ 3

x _2.

f

(

x

) =

3

√

x

2

−

1

_3.

f

(

x

)=

x

+

2

x

3

−

1

4. g(x)=xtanx 5.

f

(

s

)=

2

s

s

2

−

3

_6.

h

(

t

)=

t

2

−

4

t

−

2

7.

g

(

x

) =

{

3

x

2

−

1

, x

>

3

5

,

1

<

x

≤

3

3

x

+

2

, x

≤

1

_8.

f

(

x

)=

{

x ,

x

<

0

2

x ,

0

≤

x

≤

1

/

3

3

x

2

,

x

>

1

/

3

9. Selidiki kontinuitas

f

(

x

) =

1

1

−

x

_pada

[−

1, 5

]

10.Jika

f(x) =

{

2x , 0≤x≤3

15−x2, 3<x≤7 _{maka tunjukkan bahwa f kontinu pada}

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.

11.

f(x) =

{

ax2−3

x +5 , x> −5

bx +2 , x ≤ −5 _12.

f

(

x

) =

{

tan

ax

tan

bx

,

x

<

0

4

,

x

=

0

ax

+

b , x

>

0

Soal dari Nash

Carilah nilai f(x) untuk nilai-nilai limit berikut ini:

1 limx→3f(x)=

x2−4x+3 x−3

2. limx→3f(x)=

x3−3x2+4

x3−x−2 _tipps:

(x−2)2.(x+1) (x−2).(x+1)

3. limx→3f(x)=

x3−3x2+4 x3_−4x2_+4x

tipps: