Dari gambar 1 di atas, perhatikan bahwa
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < δ atau 0 > x – c > -δ Untuk x > c , maka : 0 < c – x < δ
Dari kedua persamaan diatas didapat : 0< x−c <
δ
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < ε atau f(x) – L > -ε Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < ε. Sehingga didapat : f )(x − L <ε c - δ x c x c + δ L + ε f(x) L f(x) L - ε ε ε f(x) - L f(x) - L 0 y x Gambar 3.1 c-x x-c δ δ
Dari Ilustrasi di atas didapat definisi sebagai berikut : Pernyataan : f x L
c
x→ ( )=
lim , berarti untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0< x-c <δ maka f(x) -L <ε Dengan demikian :
1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan riil c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan
2. Jika f(x) mendekati bilangan riil L tertentu pada saat x mendekati c, Maka dapat ditulis : L x f c x→ ( )= lim
dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c”
B. Sifat-sifat Limit fungsi
Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan riil, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan riil positif.
Sifat-sifat limit : 1. x c c xlim→ = Contoh 3.1 a) lim 5 5 = → x x b) lim 7 7 =− − → x x 2. k k c xlim→ =
Contoh 3.2 a) lim 4 3 = − → 4 x b) lim 9 2 = → 9 x
3. lim[f(x) g(x)] lim f(x) limg(x)
c x c x c x→ + = → + → Contoh 3.3 = + → (x 6) lim 5 x xlim→5x+xlim→56=5 + 6 = 11
4. lim[f(x) g(x)] lim f(x) limg(x)
c x c x c x→ − = → − → Contoh 3.4 = → ) lim 5 x x (7- 57 -lim → x →5 x= lim x 7 - 5 = 2 5. = →[ ( ). ( )] lim f x g x c x xlim→c f(x).xlim→cg(x) Contoh 3.5 = + → {(7-x)(x 1)} lim 5 x x →lim5(7-x) . xlim→5(x+1)=(2)(6)=12 6. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f c x c x c x → → → ⎥⎦= ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Contoh 3.6 7 4 7 4 3 lim lim 3 lim 4 4 4 =− − = − = − − → − → − → x x x x x x x 7. limaf(x) alim f(x) c x c x→ = →
Contoh 3.7 a) x e e e x 9 9 lim = = → → 9x xlim b) lim 3 (4 ) 3(4 π) π π = → − = − → x x 3(4-x) xlim 8. lim n c x ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = → →[ ( )] ( ) lim f x n f x c x Contoh 3.8 1 ) 1 ( ) 3 ( lim 7 7 2 2 ⎥⎦ = − =− ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = → → x x x 7 lim 3) -(x
9. Teorema Sandwich ( teorema apit )
Misal terdapat f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri.
Jika = =
→c f(x) L
xlim xlim→c g(x), maka : limx→c h(x)=L
Contoh 3.9
Selesaikan lim x2cos1x
0 x → Penyelesaian : 1 1 cos 1≤ ≤ − x , x ≠ 0 2 2 2 cos1 x x x x ≤ ≤
− (kalikan semua suku dengan x2)
lim 2 0 0 = → -x x lim 2 0 0 = → x x Karena : = → 2 0 lim -x x lim 0 2 0 = → x x , maka x x x 1 cos lim 2 0 → = 0
10. Limit sepihak f x L
c
xlim → [ ( )]= ⇔ xlim→c− [ f(x)]= xlim→c+[f(x)]= L
x → c- artinya x mendekati c dari arah kiri
x → c+ artinya x mendekati c dari arah kanan
Contoh 3.10 Jika f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ > + < − -2 x jika 7 x -2 x jika x 2 1
Tentukan f(x),jikaada.
2 lim − → x Penyelesaian : 5 ) 2 1 ( lim 2− − = − → x x (limit kiri) 7) (x 5 lim 2 = + + − → x (limit kanan)
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka =5
− → ( ) lim 2 f x x Soal-soal 1. lim 7 2 → x 6. lim( 1)( 5 6) 2 1 − + + → x x x x 2. lim 5 3 → x 7. x-2 x 4 lim → x 3. x xlim→−53 8. 3 ) 9 5 ( lim − → x x π 4. lim(3 5x) e x→ − 9. 2 2 0 1 sin lim x x x→ 5. lim( 2 4 12) 5 − − → x x x 10. Tentukan lim4 ( ) x f x→ jika f(x) = ⎩⎨ ⎧ > ≤ − 4 7 4 5 2 x -x x x jika jika
C. Limit fungsi trigonometri dan siklometri
Beberapa limit fungsi trigonometri : 1. lim sin 1
0 =
→ x
x
x
Untuk menunjukkan , perhatikan gambar berikut !
Luas ∆OPQ < Sektor OPQ < ∆OPT (*) Luas ∆OPQ = θ= r sinθ
2 1 sin r 2 1 . r 2 (**)
Luas sektor OPQ = r2
2
1θ (***)
Luas ∆OPT = r. rtanθ 2
1 = r tanθ
2
1 2 (****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat :
θ < θ < θ r tan 2 1 r 2 1 sin r 2 1 2 2 2 ( # )
Jika pers. (#) dibagi r sinθ 2 1 2 didapat : θ < θ θ < cos 1 sin 1 atau > θ θ θ >sin cos 1
Gunakan teorema apit !
1 1 lim
0 = →
θ dan θlim→0cosθ=1, maka : 1
sin lim 0 θ = θ → θ atau x 1 x sin lim 0 x→ = θ 0 r T Q P x y Gambar 3.2 0 < θ < 2 π
2. lim cosx 1 0 x→ = 3. lim sinx 0 0 x→ = 4. lim tan x 0 0 x→ = 5. 1 x x tan lim 0 x→ = 6. 1 x tan x lim 0 x→ = 7. 0 x 1 -x cos lim 0 x→ =
Beberapa limit fungsi siklometri (invers trigonometri)
1. 1 x x arcsin lim 0 x→ =
Bukti : y =arcsin x ⇔ x=sin y untuk -1 ≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2
Jadi : = → x x x arcsin lim 0 → y= y y sin lim 0 1 sin 1 lim 0 = → y y y ( terbukti ) 2. lim arctan 1 0 = → x x x 3. limarcsin 0 0 = → x x 4. 2 arccos lim 0 π x x→ = 5. limarctan 0 0 = → x x 6. lim cot 0 0 = → arc x x
Soal-soal
Hitung limit berikut, jika ada ! 1. x x x 5 2 sin lim 2 → 6. x x x 5 2 cos 1 lim 0 − → 2. x x x sin3 2 lim 0 → 7. x x x 4 3 tan lim 4 → 3. x x x sin3 4 sin lim 0 → 8. ( x-π-x -x sin 2 2 cos 1 lim 0 → 4. 2 3 0 sin lim x x x→ 9. x x x 7 3 arcsin lim 0 → 5. x x xlimsin27 2 0 → 10. x x x 1 7 arctan lim 0 − →
D. Limit tak hingga
Jika kita lakukan pengamatan terhadap limx→c− f(x) dan limx→c+f(x)
mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut ! Misal f(x) = 0 1 1 n -1 n n n 0 1 1 m -1 m m m b x b ... x b x b a x a ... x a x a + + + + + + + + − − Jika m < n, maka : 0 b x b ... x b x b a x a ... x a x a lim 0 1 1 n -1 n n n 0 1 1 m -1 m m m x + + + + = + + + + − − ∞ → Jika m = n, maka : n m 0 1 1 n -1 n n n 0 1 1 m -1 m m m x b a b x b ... x b x b a x a ... x a x a lim = + + + + + + + + − − ∞ → Jika m > n, maka : ∞ = + + + + + + + + − − ∞ → n n n-1 n 1 1 0 0 1 1 m -1 m m m x b x b x ... bx b a x a ... x a x a lim
Contoh 3.11 Tentukan ∞ → xlim x x -4 x x x + − + + 4 3 4 5 7 3 2 Penyelesaian : am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4 Karena m = n , maka ∞ → xlim x x -4 x x x + − + + 4 3 4 5 7 3 2 = n m b a = 52 E. Kekontinuan fungsi
Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) lim f(x)
a
x→ ada
ii) f(a) terdefinisi iii) lim f(x)
a
x→ = f(a)
Contoh 3.15
Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) = 2 3 + x ; a = -2 2. f(x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − − 3 6 3 3 9 2 x x x x jika jika ; a = 3 Penyelesaian : 1. =∞ + − → 2 3 lim 2x x .
Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2
2. 6 3 9 lim 2 3 − = − → x x x dan f(3) = 6.
Karenalim ( ) (3)
3 f x f
x→ = maka f(x) kontinu di titik a =3.
Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi lim f(x)
a
x→ ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = lim f(x)
a
x→ maka f(x) menjadi
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi danlim f(x)
a
x→ tidak ada
maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 3.16 Diketahui f(x) = 2 4 2 + − x x
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. Penyelesaian : = + − − → 2 4 lim 2 2 x x
x xlim→−2(x−2)=−4, f(-2) tak terdefinisi
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena lim ( )
2 f x
x→− ada.
Selanjutnya lakukan definisi ulang lim( 2) ( 2) 4
2 − = − =−
−
→ x f
x . Sehingga f(x)
dapat ditulis menjadi : f(x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + − 2 - x jika 4 --2 x jika 2 4 2 x x Contoh 3.17 Diketahui f(x) = 9 1 −
x . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
= − ∞ → 9 1 lim x
x ∞, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak
dapat dihapuskan.
Soal-soal
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + = < − 3 x jika 5 x 3 x jika 8 3 x jika 1 2 x a = 3 3. f(x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < 0 x jika 2x cos 0 x jika 1 -2 x a = 0 2. f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < 1 x jika x -2 1 x jika 3 1 x jika 2 x a = 1 4. f(x) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − = − < 2 x jika 3 x 2 x jika 1 2 x jika x 4 2 a = -2
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 5. f(x) = 9 3 − − x x ; a = 9 8. f(x) = 4 6 2 + − + x x x ; a = 4 dan a = -4 6. f(x) = 4 1 − x ; a = 4 dan a = -4 9. f(x) = 4 ) 12 )( 1 ( 2 2 + − − + x x x x x 5 - ; a = -1 7. f(x) = 81 9 4 2 − − x x ; a = 3 10. f(x) = 12 3 2 − − + x x x ; a = -3
